Des ensembles aux catégories: article 2

Suite du commentaire à propos du cours donné à des philosophes par le mathématicien Stéphane Dugowson:

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/cours-n1–112#TOC-Des-ensembles-aux-cat-gories

et mon article sur les vidéos 1 et 2 de ce cours:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/04/08/des-ensembles-aux-categories-2/

Le titre général « L’un et le multiple » ainsi que celui du cours « Des ensembles aux catégories » est très proche des préoccupations et des thèmes que nous étudions ici, sous le nom générique :

οντοποσοφια

et je rappelle que nous suivons ici Badiou (provisoirement tout au moins) pour identifier ontologie, théorie des ensembles et théorie du multiple pur, et théorie des catégories et n-catégories à la « montée » progressive vers l’Un (pour utiliser une terminologie un peu mystique, Albert Laitman élève de Brunschvicg fusillé par les nazis hélas parlait quant à lui de « montée vers l’Absolu), sous la forme d’unification de plus en plus complexe.

Soulignons cependant ici un problème important dans la pensée de Badiou, à propos des « multiplicités inconsistantes » en amont du compte-pour-un dans un ensemble: ainsi « tous les ensembles » est une multiplicité qui ne peut pas être comptée-pour-une dans un ensemble qui serait l’ensemble de tous les ensembles, dans le cadre de la axiomatique ZF de Zermelo-Fraenkel.

Pourtant dans le cadre de l’axiome tique NBG de Godel, Bernays et Von Neumann, « tous les ensembles » forment une classe:

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

donc peuvent être comptés-pour-un dans une multiplicité « plus grande » que tout ensemble.

Et ainsi comme le dit Stéphane dans la vidéo 4, on peut parler de manière rigoureuse d’une catégorie de tous les ensembles, notée Ens ou Set chez les anglo-saxons.

Simplement les objets et les flèches de cette catégorie forment des classes, non des ensembles.

La vidéo 3 est consacrée à la définition de ce qu’est une catégorie, mais peut être les personnes non familières avec ces notions préfèreront elles cet exposé oral à un texte donnant il faut bien le dire une impression de sécheresse.

D’autant plus que Stéphane se distingue par des qualités pédagogiques évidentes!

Mais au milieu de cette vidéo 3, un peu plus de 5 minutes avant la fin, il aborde des thèmes plus philosophiques : les notions d’égalité, d’identité, de différence « se déploient de façon complexe dans les débats philosophiques et politiques, les débats de société, mais à la racine il existe un lien assez profond avec la manière dont ces questions sont traitées en mathématiques ».

Et, ajouterais je, seules les mathématiques en parlent avec rigueur : on n’a jamais vu de mathématiciens s’écharper devant une caméra de télévision à propos de la notion d’identité en traitant les autres de fascistes.

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