Archives mensuelles : août 2015

En revoyant le téléfilm  » A la recherche du temps perdu »

Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια

J’ai revu « A la recherche du temps perdu » de Nina Companeez il y a Quelques semaines un vendredi soir sur Arte:

http://www.arte.tv/guide/fr/042266-001/a-la-recherche-du-temps-perdu-1-2

C’est une bonne réalisatrice mais il est impossible d’adapter une telle œuvre au cinéma, exactement pour la même raison qu’il est impossible d’adapter « La montagne magique » : parce que ces deux œuvres écrites ont une durée « hermétique » qui leur est propre…mais peu importe..
Le temps perdu, c’est celui perdu à vivre pour vivre, c’est à dire pour les exigences du plan vital.
Ce qui donne le change dans la « Recherche », tout comme d’ailleurs dans « La montagne magique » c’est que ces riches bourgeois ou aristocrates du « monde », que ce monde soit celui de la France du temps de l’affaire Dreyfus jusqu’à la guerre ou celui du sanatorium de Davos de 1907 à 1914 semblent employer ce temps pour autre chose que pour « reproduire leur force de travail », puisqu’ils ne…

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Exponentielle, somme et produit comme limites de diagrammes en théorie des catégories

HENOSOPHIA Réforme absolue du savoir humain ενοσοφια τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια

J’ai parlé hier de l’exponentielle dans une catégorie générale:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/08/28/ccc-cartesian-closed-category-categories-cartesiennes-fermees/

La notion de limite d’un diagramme comme « cône universel » dans une catégorie a été présentée ici:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/21/diagrammes-cones-et-limites-dans-une-categorie/

Il ne s’agit pas de notions différentes de celles que l’on connaît comme somme, produit et exponentielle ou dans le cas de nos bonnes vieilles opérations sur les nombres entiers: addition, multiplication et puissance.
Il suffit pour le vérifier de se placer dans la catégorie des ensembles, et notamment la catégorie des ensembles finis FinEns qui forme une sous-catégorie de la catégorie Ens des ensembles (ayant un nombre fini ou infini d’éléments).
Ainsi nous avons vu hier que l’exponentielle BA de deux ensembles est l’ensemble de toutes les applications (fonctions) allant de A vers B.

Il est facile de voir que si A a un nombre fini a d’éléments et B un nombre fini b, alors il y a un nombre fini…

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CCC : cartesian closed category (catégories cartésiennes fermées)

#BrunschvicgRaisonReligion le prologue du Traité de la réforme de l’entendement de Spinoza

La première des trois oppositions fondamentales, entre Moi vital et Moi spirituel, qui est le thème du chapitre 1 de « Raison et religion » de Léon Brunschvicg:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/05/19/brunschvicgraisonreligion-les-oppositions-fondamentales-moi-vital-ou-moi-spirituel/

est clairement visible dans le début du Traité de la réforme de l’entendement de Spinoza qui est sur Wikisource:

https://fr.m.wikisource.org/wiki/Traité_de_la_réforme_de_l’entendement

mais la lecture sur ce site est préférable car le plan du livre est mieux mis en évidence et le texte français est accompagné du latin:

http://hyperspinoza.caute.lautre.net/spip.php?rubrique316

« (1) 1. L’expérience m’ayant appris à reconnaître que tous les événements ordinaires de la vie commune sont choses vaines et futiles, et que tous les objets de nos craintes n’ont rien en soi de bon ni de mauvais et ne prennent ce caractère qu’autant que l’âme en est touchée, j’ai pris enfin la résolution de rechercher s’il existe un bien véritable et capable de se communiquer aux hommes, un bien qui puisse remplir seul l’âme tout entière, après qu’elle a rejeté tous les autres biens, en un mot, un bien qui donne à l’âme, quand elle le trouve et le possède, l’éternel et suprême bonheur. »

Comment ne pas reconnaître dans « les événements ordinaires de la vie commune, qui sont choses vaines et futiles » ce que nous appelons ici le plan vital ou ordre de la chair, et dont l’Ecclésiaste-Qohelet affirme que c’est là « vanité des vanités » et « poursuite du vent »

http://www.info-bible.org/lsg/21.Ecclesiaste.html

Beaucoup de lecteurs ont noté le caractère tragique et inhabituel de ce début, où Spinoza décrit son itinéraire, un peu comme Descartes dans le Discours de la méthode. Il se place dans la situation du membre de l’humanité commune qui débute et ne sait pas encore s’il existe un « bien véritable et capable de se communiquer aux hommes, un bien qui puisse remplir seul l’âme tout entière, après qu’elle a rejeté tous les autres biens, en un mot, un bien qui donne à l’âme, quand elle le trouve et le possède, l’éternel et suprême bonheur. »: ce bien véritable sera évidemment ce que nous appelons ici « plan spirituel ».

Est ce un hasard si nous retrouvons ainsi l’itinéraire de la conscience de l’individu Spinoza au 17 eme siècle dans les textes divers de l’œuvre de Brunschvicg au vingtième siècle, notamment celui ci qui est sans doute le plus beau et le plus clair, et où Brunschvicg cite d’ailleurs le titre de l’ouvrage, « De intellectus emendatione »?

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/quelques-citations-eparses-de-brunschvicg-particulierement-eclairantes-voire-illuminatrices/

« « le propre de l’esprit est de s’apparaitre à lui même dans la certitude d’une lumière croissante, tandis que la vie est essentiellement menace et ambiguïté. Ce qui la définit c’est la succession fatale de la génération et de la corruption. Voilà pourquoi les religions, établies sur le plan vital, ont beau condamner le manichéisme, il demeure à la base de leur représentation dogmatique… ce qui est constitutif de l’esprit est l’unité d’un progrès par l’accumulation unilinéaire de vérités toujours positives. L’alternative insoluble de l’optimisme et du pessimisme ne concernera jamais que le centre vital d’intérêt; nous pouvons être et à bon droit inquiets en ce qui nous concerne de notre rapport à l’esprit, mais non inquiets de l’esprit lui même que ne sauraient affecter les défaillances et les échecs, les repentirs et les régressions d’un individu, ou d’une race, ou d’une planète. Le problème est dans le passage , non d’aujourd’hui à demain, mais du présent temporel au présent éternel. Une philosophie de la conscience pure, telle que le traité de Spinoza « De intellectus emendatione » , en a dégagé la méthode, n’a rien à espérer de la vie, à craindre de la mort. L’angoisse de disparaitre un jour, qui domine une métaphysique de la vie, est sur un plan; la certitude d’évidence qu’apporte avec elle l’intelligence de l’idée, est sur un autre plan«  »

C’est sans doute le texte (tiré d’ailleurs de « Raison et religion ») où Brunschvicg oppose le plus nettement le plan vital (ce nom n’est donc pas notre invention) où sont établies les « religions » et auquel correspondent les métaphysiques de la vie, et la « philosophie de la conscience pure » qui est la sienne et celle de Spinoza avant lui, mais est aussi celle de Platon : l’idéalisme mathématisant, critique et spiritualiste, c’est à dire répondant positivement à la question angoissée que se pose le débutant Spinoza : existe t’il un bien véritable qui nous permette de ne pas désespérer une fois que nous avons compris comme l’Ecclesiaste la vanité et la futilité des occurrences de la vie commune, gouvernée par la passion de l’argent, de la volupté et de la « réputation », c’est à dire « la puissance et la gloire »?

Et qui répond positivement avec « la certitude d’évidence qu’apporte avec elle l’intelligence de l’idée »…
Car il serait vain, d’une vanité encore bien pire que la « vanité des vanités » du plan vital de répondre à l’homme qui se meurt littéralement de désespoir dont Spinoza décrit l’état d’esprit :

« Oui, il existe un bien véritable, et si tu suis mes leçons et. Deviens membre de mon mouvement spirituel tu le trouveras à coup sûr, un jour ou l’autre »
Soyons honnêtes : n’est ce pas la réponse donnée par Rudolf Steiner à ses « disciples » après 1900, une fois qu’il a rompu avec la « Philosophie de la liberté » de 1894, c’est à dire une fois qu’il a rompu avec la…liberté, en s’embrigadant dans la secte théosophique de H P Blavatsky et Annie Besant, prison qu’il quittera quelques années plus tard pour fonder sa propre prison l’anthroposophie, dont il deviendra le Directeur…emprisonné lui même ?

Ce que fait la philosophie véritable, celle de Spinoza et Brunschvicg, est tout autre : elle apporte la méthode permettant immédiatement au désespéré (que nous sommes tous) de scier immédiatement les barreaux de la prison et d’être libre, pas demain mais tout de suite s’il le veut..
Cette méthode, cette unique méthode de la philosophie brunschvicgienne, c’est la réflexion qui apporte avec elle sa lumière qui est l’intelligence de l’idée.

Il existe un autre ouvrage de jeunesse de Brunschvicg, datant de 1900, sur lequel j’avais écrit cet article:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/20/la-seule-vraie-religion/

« 

Introduction à la vie de l’esprit

 »

et ces quelques lignes rejoignent la pensée de Spinoza lorsqu’il caractérise ainsi le « Bien véritable »:

« Ici je veux seulement dire en peu de mots ce que j’entends par le vrai bien, et quel est le souverain bien. Or, pour s’en former une juste idée, il faut remarquer que le bien et le mal ne se disent que d’une façon relative, en sorte qu’un seul et même objet peut être appelé bon ou mauvais, selon qu’on le considère sous tel ou tel rapport ; et de même pour la perfection et l’imperfection. Nulle chose, considérée en elle-même, ne peut être dite parfaite ou imparfaite, et c’est ce que nous comprendrons surtout quand nous saurons que tout ce qui arrive, arrive selon l’ordre éternel et les lois fixes de la nature.

13. Mais l’humaine faiblesse ne saurait atteindre par la pensée à cet ordre éternel ; l’homme conçoit une nature humaine de beaucoup supérieure à la sienne, où rien, à ce qu’il lui semble, ne l’empêche de s’élever ; il recherche tous les moyens qui peuvent le conduire à cette perfection nouvelle ; tout ce qui lui semble un moyen d’y parvenir, il l’appelle le vrai bien ;

et ce qui serait le souverain bien, ce serait d’entrer en possession, avec d’autres êtres, s’il était possible, de cette nature supérieure. Or, quelle est cette nature ? nous montrerons, quand il en sera temps[3] que ce qui la constitue, c’est la connaissance de l’union de l’âme humaine avec la nature tout entière.

 »

Cette « union de l’âme humaine avec la nature tout entière » n’évoque t’elle pas la « pensée ou méditation de l’Un » que nous nous fixons pour but ici?
Et n’est elle pas la même chose que Brunschvicg décrit en les termes suivants dans l’ouvrage de 1900 « Introduction à la vie de l’esprit »?

« 

« l’univers est bon, absolument bon, du moment que nous savons le comprendre; car nous sommes maîtres de n’y voir que ce qui s’unit à nous »…

….Rien ne peut interdire à l’intelligence de rencontrer dans le monde uniquement ce qui est fait pour elle, la loi d’où naît la vérité. Il n’y a pas d’évènement quelqu’inattendu qu’il soit , quelque contraire à nos tendances personnelles, qui ne serve à enrichir le domaine de notre connaissance.

Nous n’avons à redouter d’autre ennemi que l’erreur; et l’erreur, si nous savons l’avouer avec sincérité et nous en délivrer scrupuleusement, ne fait qu’augmenter le prix de la vérité définitvement possédée.

Rien ne peut empêcher la volonté de rencontrer dans le monde uniquement ce qu’elle cherche, l’occasion de se dévouer à l’intérêt supérieur de l’humanité; elle n’a rien à craindre, hors ses propres défaillances……

….. Une fois que nous avons rempli l’univers de notre esprit « il est incapable de nous rien renvoyer si ce n’est la joie et le progrès de l’esprit.

Et dés lors, ce que nous avons dit de l’univers, il faut le dire aussi de la vie.

La vie est bonne absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité, au dessus de la mort.

La vraie religion est le renoncement à la mort;

elle fait que rien ne passe et rien ne meurt pour nous, pas même ceux que nous aimons; car de toute chose, de tout être qui apparaît et qui semble disparaître, elle dégage l’idéal d’unité et de perfection spirituelle, et pour toujours elle lui donne un asile dans notre âme

 »

Préface de « Higher topos theory » : n-champs (« n-stacks »)

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Sur mathoverflow (un site de dialogues où l’on peut poser des questions, aussi intéressant que mathstackexchange) on trouve des tas de pages passionnantes, dont ces deux sur le sujet des catégories supérieures (« Higher category theory »):

http://mathoverflow.net/questions/185997/why-higher-category-theory

Why Higher category theory? (Pourquoi les catégories superieures?)

Il y a plusieurs réponses mais le premier internaute qui répond lui conseille de lire la préface de « Higher topos theory ».

Un autre (David Corfield) lui signale deux sens du mot « Higher » :
– Au sens des (∞,1)-catégories (qui est celui retenu par Jacob Lurie dans son livre)
– au sens des n-catégories.
Il y a d’ailleurs une discussion portant sur Mathoverflow (où interviennent Jacob Lurie, David Corfield, Urs Schreiber, John Baez et d’autres) ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192

Une autre page de Mathoverflow porte sur Jacob Lurie lui même et sur ses idées-clefs (« key insights »):

http://mathoverflow.net/questions/37825/what-are-jacob-luries-key-insights

L’un des intervenants signale comme source de ces idées la prise au sérieux des travaux de Grothendieck, notamment « A la poursuite des champs » (« Pursuing stacks ») qui est disponible sur Internet mais c’est un fichier tellement énorme que je ne suis pas arrivé à le télécharger sur ma tablette.
Un autre dit qu’il ne croit pas aux « super-héros » en mathématiques, mais aux « super-idées », ce qui est très juste, mais il y a une difficulté pour accéder aux « super-idées » de gens comme Grothendieck ou Lurie : la forme technique souvent extrêmement exigeante qui constitue le « revêtement » de ces idées.

La préface de « Higher topos theory »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

s’étend des pages 7 à 15 (sur un total de 949 pages).

Page 9 Lurie se réfère effectivement à Grothendieck et à une lettre de lui à Quillen où il affirme qu’il devrait exister une théorie des n-champs (« n-stacks ») pour tout n entier positif ou nul.
Cette théorie des n-champs sur un espace X devrait être pensée comme « faisceau de n-types » (« sheaf of n-types ») : dans le cas où X est un point (et si l’on se restreint aux champs de groupoides) cette théorie devrait retrouver la théorie de l’homotopie classiquedes n-types.
Dans le cas n=0, un n-champ sur un espace topologique X est simplement un faisceau d’ensembles sur X, et la collection de ces faisceaux est le topos de Grothendieck paradigmatique:

Sh(X)

Que nous avons déjà expliqué

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Jacob Lurie précise d’ailleurs page 14 que le mot « topos » voudra toujours dire « topos de Grothendieck ».

Lurie se pose trois questions dans la préface:

« Que doit on entendre par « faisceau de n-types? » , la réponse fait l’objet du livre.
Cette réponse permet de répondre aux deux suivantes:
La collection notée :

Sh≦n(X)

de ces faisceaux de n-types sur X possède la structure de ce que Lurie appelle

∞-catégories

et dont il fait la théorie au chapitre 1.

Enfin cette ∞-catégorie

Sh≦n(X)

est un exemple de

(n+1)-topos

c’est à dire une ∞-catégorie qui satisfait des axiomes analogues (pour les catégories supérieures) à ceux de Giraud pour les topoi de Grothendieck (cf chapitre 6).

Survol de la théorie des n-catégories (« Higher category theory »)

Henosophia TOPOSOPHIA μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS οντοποσοφια ενοσοφια

Je n’ai pas encore beaucoup avancé dans la théorie des catégories, ni des topoi, mais je commence prochainement à aborder le livre de Jacob Lurie, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Ce blog n’est pas un blog de mathématiques, bien qu’il implique de suivre certains travaux de mathématique pure, mais il me semble de toutes façons que c’est une erreur de commencer par la théorie des categories (c’est à dire les 1-catégories), il vaudrait mieux à mon avis commencer directement par le cadre général des n-catégories et des ∞-catégories dont les ensembles qui sont les 0-catégories et les catégories ne sont que des cas particuliers.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Higher_category_theory

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

« Higher category theory is the generalization of category theory to a context where there are not only morphisms between objects, but generally k-morphisms between (k−1)-morphisms, for all k∈N. »

c’est donc l’etude des « catégories supérieures »: 2-catégories où il y a des 2-morphismes entre les 1-morphismes, etc…en faisant tendre…

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