David Ellerman : concrete universals in category theory

Le lien est ici:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

J’avais déjà commenté ce travail dans une page distinguant deux universalismes: abstrait ensembliste et concret catégorique:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/universalisme-abstrait-de-la-theorie-des-ensembles-vs-universalisme-concret-de-la-theorie-des-categories/

Revenons y pour tenter de mieux comprendre la notion mathématique de propriété universelle dont nous avons vu combien elle est obscurcie des qu’elle quitte le terrain des pures définitions pour celui de la philosophie.

Un universel concret est un « objet » qui exemplifie une propriété de manière parfaite

Il s’ensuit une relation de participation : un autre objet qui a la propriété en question participe à cet universel concret, et réciproquement s’il participe à l’universel il a la propriété.
Ellerman donne un exemple particulièrement éclairant, mais remarquons que nous sommes obligés pour trouver de tels exemples (toute construction universelle est un tel exemple) de nous adresser à la mathématique.
Car supposons que nous voulions trouver un exemple concret et parfait (un universel concret) de la propriété « être blanc », de la blancheur: c’est impossible (sauf dans la publicité où le linge est toujours parfaitement blanc).
Supposons même que nous l’ayions trouvé : cela dépendra de la subjectivité des témoins, certains trouveront que celui ci est parfaitement blanc, pour d’autres ce sera celui là; il faudra faire venir des physiciens qui définiront un protocole de mesures au niveau quantique, mais réaliseront ils l’accord unanime ? De plus que sera la perfection pour eux? Un maximum dans la mesure ! Mais comment être certain que c’est là un maximum éternel, que ne viendra pas une époque future où ce maximum sera dépassé?
C’est ce qui arrive dans la publicité où telle lessive lave « encore plus blanc » (sous entendu : que les autres, ou que la précédente version de la même), il y en a même qui lavent « plus blanc que blanc » (c’est nouveau, ça vient de sortir)

Nous comprenons ici avec évidence que par la nature même de nos recherches nous sommes obligés de quitter le plan vital, là où il y a des maisons, des arbres, des fleurs…pour le plan des idées (mathématiques).
Car comme on dit:
« 

La perfection n’est pas de ce monde

 »
La perfection appartient au monde des idées (mathématiques) : étendez les idées mathématiques de perfection, c’est à dire les universels concrets, à « TOUT », en enlevant toutes les limites de forme, vous obtenez l’Idee de

PERFECTION ABSOLUE, c’est à dire l’Idée de DIEU, c’est à dire DIEU

Oui, Dieu est une Idée, l’Idée de l’Idée si l’on veut, pas un « être souverain » qui aurait une conscience, alternativement un bon papa gâteau sur l’épaule duquel on pourrait pleurer ou un Père Fouettard qui nous punirait d’avoir trop bu par une bonne gueule de bois, ou d’avoir fait l’amour avec une inconnue par une MST.
La

conversion intellectuelle à l’idéalisme philosophique, qui est la véritable conversion religieuse universelle

c’est cela : être persuadé que les Idées ont une force (spirituelle) sans laquelle il nous serait impossible de vivre, et qu’elles sont la seule chose qui ait de l’importance, alors que les « étants naturels » n’en ont aucune.
Je rappelle aussi que notre recherche s’effectue entièrement sur le plan des Idées (mathématiques) et d’ailleurs quand on parle d’un arbre, ou d’un oiseau de quoi parle t’on ? De notre idée, ou plutôt notion, de l’arbre, de cet arbre ci, qui est au fond du parc, ou de l’arbre en général.
Mais nous n’appelons pas cela des Idées, car elles sont à vocation utilitaire et vitale, ce sont des notions. La nature même de nos travaux, comme on vient de le voir, nous oblige à quitter ce plan pour celui des Idées mathématiques : ainsi pour nous un « être » n’est plus un arbre ou un animal ou « quelque chose qui arrive là devant » mais un ensemble au sens mathématique, puisque nous avons convenu que l’ontologie est l’étude du topos Ens des ensembles. Et nous avons vu hier avec l’article de David Edwards sur la « catégorie des catégories » comme « modèle du monde platonicien des formes » que la « montée vers l’Un Absolu » a pour premier « geste » de passer du topos Ens au 2-topos CAT, qui est la 2-catégorie des catégories, foncteurs et transformations naturelles : nous sommes donc ainsi forcés d’aborder la « Higher topos theory » de Jacob Lurie.

Mais revenons à l’exemple que donne David Ellerman d’un universel concret, exemple tire de la théorie des ensembles, donc de l’ontologie, degré le plus bas, le moins « spirituel » de la

Henosophia μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS TOPOSOPHIA οντοποσοφια ενοσοφια

, qui nous convient donc puisque nous sommes au commencement.
Soient deux ensembles quelconques A et B et soit la propriété (des ensembles, puisque nous nous situons dans ce topos) :

F : « être un sous-ensemble de A et de B » (ou : être contenu à la fois dans A et dans B)
Autrement dit un ensemble X a la propriété F, ce que l’on note F(X), si et seulement si :

X ⊂ A et X ⊂ B
Nous connaissons déjà au moins un ensemble qui a cette propriété : c’est l’intersection de A et de B, notée A ∩ B
Nous en connaissons un autre : l’ensemble vide ∅
qui par définition n’a aucun élément, donc est contenu dans tout ensemble.
Si A et B sont disjoints, c’est à dire n’ont aucun élément en commun, l’intersection de A et de B est l’ensemble vide:

A ⋂ B = ∅

Nous affirmons que cette intersection de A et de B est l’universel concret recherche correspondant à la propriété F, et c’est facile à démontrer car:

– il a la propriété F (donc il est concret,Nil fait partie des ensembles qui ont la propriété)
– il est un universel, il est « parfait » au sens de cette propriété F, car il est un ensemble maximal pour la relation d’inclusion ⊂ , ce qui veut dire que tout autre ensemble ayant la propriété F est contenu en lui.
En effet si un ensemble X a la propriété, alors un élément quelconque x appartenant à X est à la fois élément de A et de B (puisque X a la propriété F), et donc il est élément de l’intersection de A et de B, par définition de l’intersection:

si F(X) et si x ∊ X, alors x ∊ (A ∩ B) et donc X ⊂ A ∩ B

David Ellerman appelle « relation de participation » la relation « être sous-ensemble de » et un universel concret correspondant à une propriété est un objet (un être, puisque nous sommes dans le cadre de la théorie des ensembles qui est l’ontologie) qui a cette propriété et tel que tout autre être ayant la propriété participe à lui.

Soit un ensemble X ayant la propriété F : Ellerman appelle « imperfection de X » tout ensemble Y ayant aussi la propriété F mais qui n’est pas contenu dans X.
Nous venons de voir que tout ensemble ayant la propriété « participe » à, est contenu dans l’intersection de A et de B.
Ceci veut dire que cette intersection A ∩ B n’a pas d’imperfections donc est parfait: c’est l’universel concret cherché, et il est le seul (puisque tout autre ensemble répondant aux conditions aura les mêmes éléments donc se confondra avec lui)
Il est l’universel, l’UN de la situation, mais il se situe parmi les autres êtres ayant la propriété : donc il n’est pas un UN transcendant, séparé de la collection des êtres dont il est l’Un, mais un UN(iversel) concret, parmi les autres qu’il unifie par sa perfection.
L’UN transcendant est l’Idole des religions qui disent « Dieu est Un », en envisageant un Dieu transcendant.
Poussé à son terme, cette démonstration nous indique que l’Un, qui est la perfection, ne peut pas être transcendant : la perfection appartient au monde des Idées.
Notons qu’il existe une autre conception d’un universel, basé sur l’ontologie : dans cet exemple, ce serait l’ensemble de tous les ensembles ayant la propriété F, c’est à dire de tous les ensembles contenus à la fois dans A et B.
Il est parfaitement légal de définir cet ensemble, seulement il n’a pas la propriété F, il ne figure pas parmi les objets ayant la propriété F, il est « en surplomb », il réalise l’unité de tous ces ensembles, mais de manière transcendante, séparée.
A ne pas confondre avec l’union de tous les ensembles qui ont la propriété F, qui est l’universel concret, à savoir:

A ∩ B

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