Foncteurs adjoints : hétéromorphismes et homomorphismes

Nous poursuivons l’étude du travail de David Ellerman sur la théorie des foncteurs adjoints et de l’adjonction qui est avec l’universalité l’un des thèmes les plus importants et les plus spécifiques de la théorie des catégories:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Un (homo)morphisme est un morphisme, une flèche, entre deux objets d’une même catégorie, qui est (dans le cas des catégories concrètes) une collection d’entités mathématiques partageant la même structure reliées par des (homo)morphismes conservant la structure : ainsi dans le cas de la catégorie Grp des groupes les (homo)morphismes sont les flèches envoyant l’élément neutre du groupe source sur l’élément neutre du groupe cible, et telles que l’image du produit de deux éléments est le produit des images: f(a*b) = f(a)*f(b)

Un hétéromorphismes est une flèche entre deux objets appartenant à des catégories différentes : on appelle aussi un tel hétéromorphismes un morphisme-chimère (« chimera-morphism ») ou doit on traduire morphisme chimérique ?
On les note avec des flèches à double trait:
Si x est un objet de la catégorie X et a un objet de la catégorie A différente de X on note un hétéromorphisme allant de a vers b:

x ⇒ a

Les hétéromorphismes ne se composent pas entre eux, mais peuvent se composer à droite ou à gauche avec un homomorphisme pour donner un autre hétéromorphisme.
Ainsi dans le cas ci dessus, si y ——> x est un homomorphisme dans la catégorie X, le composé de l’heteromorphisme avec cet homomorphisme est un autre hétéromorphisme:

y ⇒ a

Notons Het(x,a) l’ensemble des hétéromorphismes de x vers a

Het(x,a) = {x ⇒ a}

On obtient alors un bifoncteur Het:

X_op x A —–> Ens

exactement comme pour les bifoncteurs Hom dans le cas des homorphismes dans A:

Hom : A_op x A —–> Ens

Ainsi par exemple le bifoncteur Het envoie un couple particulier d’objets (x,a) sur l’ensemble des hétéromorphismes {x ⇒ a}

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