Archives mensuelles : août 2015

GOD BLESS AMERICA 1: introduction philosophico-cinématographico-religieuse

GOD BLESS AMERICA 1: introduction philosophico-cinématographico-religieuse.via GOD BLESS AMERICA 1: introduction philosophico-cinématographico-religieuse.

Diagrammes, cônes et limites dans une catégorie

HENOSOPHIA Τοποσοφια μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια

Un diagramme dans une catégorie est, intuitivement, un ensemble de points (c’est à dire d’objets de la catégorie, reliés ou non par des arêtes (c’est à dire des flèches).

Cela peut être défini rigoureusement comme un foncteur, voir cet article « Topos et hypothèse du continu » que je vous recommande de garder me mémoire, car il contient une exposition très claire du topos de Paul Cohen, inventeur de la theorie du forcing à laquelle Badiou donne une grande importance:

http://www.eleves.ens.fr/home/cagne/cagne_rapport_ter_m1.pdf

Voir paragraphe 1.3 « Diagrammes et limites » page 4 à 6

Soit J une catégorie « petite » (c’est à dire telle que la collection de ses jets et de ses flèches soient des ensembles) et C une catégorie. Dans d’autres expositions on ne se limite plus aux categories J petites.

Un diagramme de type J dans C est un foncteur de J dans C, ou encore un objet de [J,C] ou de C^J…

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Foncteurs adjoints : hétéromorphismes et homomorphismes

Nous poursuivons l’étude du travail de David Ellerman sur la théorie des foncteurs adjoints et de l’adjonction qui est avec l’universalité l’un des thèmes les plus importants et les plus spécifiques de la théorie des catégories:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Un (homo)morphisme est un morphisme, une flèche, entre deux objets d’une même catégorie, qui est (dans le cas des catégories concrètes) une collection d’entités mathématiques partageant la même structure reliées par des (homo)morphismes conservant la structure : ainsi dans le cas de la catégorie Grp des groupes les (homo)morphismes sont les flèches envoyant l’élément neutre du groupe source sur l’élément neutre du groupe cible, et telles que l’image du produit de deux éléments est le produit des images: f(a*b) = f(a)*f(b)

Un hétéromorphismes est une flèche entre deux objets appartenant à des catégories différentes : on appelle aussi un tel hétéromorphismes un morphisme-chimère (« chimera-morphism ») ou doit on traduire morphisme chimérique ?
On les note avec des flèches à double trait:
Si x est un objet de la catégorie X et a un objet de la catégorie A différente de X on note un hétéromorphisme allant de a vers b:

x ⇒ a

Les hétéromorphismes ne se composent pas entre eux, mais peuvent se composer à droite ou à gauche avec un homomorphisme pour donner un autre hétéromorphisme.
Ainsi dans le cas ci dessus, si y ——> x est un homomorphisme dans la catégorie X, le composé de l’heteromorphisme avec cet homomorphisme est un autre hétéromorphisme:

y ⇒ a

Notons Het(x,a) l’ensemble des hétéromorphismes de x vers a

Het(x,a) = {x ⇒ a}

On obtient alors un bifoncteur Het:

X_op x A —–> Ens

exactement comme pour les bifoncteurs Hom dans le cas des homorphismes dans A:

Hom : A_op x A —–> Ens

Ainsi par exemple le bifoncteur Het envoie un couple particulier d’objets (x,a) sur l’ensemble des hétéromorphismes {x ⇒ a}

Plan de travail sur les topoi et les n-topoi

Henosophia TOPOSOPHIA μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS οντοποσοφια ενοσοφια

Je me suis déjà expliqué sur le programme à suivre, notamment ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Ce projet de « parcours » n’est rien d’autre que l’axe horizontal de la « loi de création » d’Hoené Wronski (1776-1853) entre l’élément-être EE et l’élément-savoir ES, mais totalement réintégré dans la mathematique, à savoir le SEUL domaine théorique où l’on puisse réellement vérifier, ou réfuter, en démontrant rigoureusement nos propres affirmations.
J’ai aussi expliqué, à propos du travail extraordinaire de David Ellerman « Concrete universels in category theory » que nous nous situons ici complètement sur le plan de l’Idee, fidèles à l’obligation de la physique de « dissoudre » ses objets en entités mathématiques. Les êtres, pour nous, ce ne sont plus les arbres, les maisons, les chaises : ce sont les ensembles, et l’ontologie c’est la théorie des ensembles, qui étudie le topos paradigmatique des ensembles, qui est abordable par la théorie des topoi élémentaires, c’est à dire comme catégorie qui…

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Rilke : une rose seule c’est toutes les roses…et celle ci

J’avais utilisé ces vers pour l’en tête de ce blog, créé il y a longtemps…

http://poesie.webnet.fr/lesgrandsclassiques/poemes/rainer_maria_rilke/une_rose_seule_c_est_toutes_les_roses.html

« Une rose seule, c’est toutes les roses
et celle-ci : l’irremplaçable,
le parfait, le souple vocable
encadré par le texte des choses.

Comment jamais dire sans elle
ce que furent nos espérances,
et les tendres intermittences
dans la partance continuelle.

Cela fait étrangement à l’universel concret décrit par David Ellerman comme une exemple parfait, une essence, voir l’article précédent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/18/david-ellerman-concrete-universals-in-category-theory/

« Toutes les roses »: cela évoque l’ensemble indéfini de toutes les roses…
« Et celle ci » : qui est « l’irremplaçable, le parfait, le souple vocable »
Autant dire l’Essence, l’Idée de la Rose, or une rose seule est déjà une Idée.
La poésie ne parle JAMAIS des choses, qui sont le texte qui « encadre le Parfait, le souple vocable », texte en prose bien sûr , (p)rose de Rose.
La poésie est ce MIRACLE qui donne accès à l’Idée.
Seulement comme je l’ai dit, la poésie n’est pas démocratique: « some people havé Italie, some people don’t »
La mathesis si!
Un autre poème, sur la rose majestueuse, tiré des « Sonnets à Orphée »:

http://unsognoitaliano.blogspot.fr/2011_08_01_archive.html

« Rose, ô toi la majestueuse, tu n’étais,
aux anciens , qu’un calice avec un simple bord.
Par contre , à nous, tu es l’absolu de la fleur,
son infini, l’objet inépuisable.
 »

Seule l’Idée est l’infini, l’absolu, l’inépuisable de la Rose qui sinon reste prose…

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Ezra Pound : ce que tu aimes vraiment demeure

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http://www.marcelinpleynet.fr/index.php/textes/ezra-pound/

« Ce que tu aimes vraiment demeure,
le reste n’est que cendre
Ce que tu aimes vraiment ne te sera pas arraché
Ce que tu aimes vraiment est ton seul héritage
À qui le monde, à moi, à eux
ou à personne ?
D’abord tu as vu, puis tu as touché
Le Paradis, même dans les corridors de l’Enfer,
Ce que tu aimes vraiment est ton seul héritage,
Ce que tu aimes véritablement ne te sera pas volé.
»

Ces vers bouleversants tirés des Cantos ne peuvent que nous émouvoir jusqu’au fond de l’âme, surtout quand on connaît les malheurs innombrables auxquels Ezra Pound a dû faire face. Ils nous aident à faire façe nous aussi car ce qui est dit ici n’est pas de l’ordre du « wishful thinking » : c’est la vérité.
Ce qui demeure, ce sont les Idées éternelles, qui sont plus fondamentales que les vérités éternelles…

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David Ellerman : concrete universals in category theory

Le lien est ici:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

J’avais déjà commenté ce travail dans une page distinguant deux universalismes: abstrait ensembliste et concret catégorique:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/universalisme-abstrait-de-la-theorie-des-ensembles-vs-universalisme-concret-de-la-theorie-des-categories/

Revenons y pour tenter de mieux comprendre la notion mathématique de propriété universelle dont nous avons vu combien elle est obscurcie des qu’elle quitte le terrain des pures définitions pour celui de la philosophie.

Un universel concret est un « objet » qui exemplifie une propriété de manière parfaite

Il s’ensuit une relation de participation : un autre objet qui a la propriété en question participe à cet universel concret, et réciproquement s’il participe à l’universel il a la propriété.
Ellerman donne un exemple particulièrement éclairant, mais remarquons que nous sommes obligés pour trouver de tels exemples (toute construction universelle est un tel exemple) de nous adresser à la mathématique.
Car supposons que nous voulions trouver un exemple concret et parfait (un universel concret) de la propriété « être blanc », de la blancheur: c’est impossible (sauf dans la publicité où le linge est toujours parfaitement blanc).
Supposons même que nous l’ayions trouvé : cela dépendra de la subjectivité des témoins, certains trouveront que celui ci est parfaitement blanc, pour d’autres ce sera celui là; il faudra faire venir des physiciens qui définiront un protocole de mesures au niveau quantique, mais réaliseront ils l’accord unanime ? De plus que sera la perfection pour eux? Un maximum dans la mesure ! Mais comment être certain que c’est là un maximum éternel, que ne viendra pas une époque future où ce maximum sera dépassé?
C’est ce qui arrive dans la publicité où telle lessive lave « encore plus blanc » (sous entendu : que les autres, ou que la précédente version de la même), il y en a même qui lavent « plus blanc que blanc » (c’est nouveau, ça vient de sortir)

Nous comprenons ici avec évidence que par la nature même de nos recherches nous sommes obligés de quitter le plan vital, là où il y a des maisons, des arbres, des fleurs…pour le plan des idées (mathématiques).
Car comme on dit:
« 

La perfection n’est pas de ce monde

 »
La perfection appartient au monde des idées (mathématiques) : étendez les idées mathématiques de perfection, c’est à dire les universels concrets, à « TOUT », en enlevant toutes les limites de forme, vous obtenez l’Idee de

PERFECTION ABSOLUE, c’est à dire l’Idée de DIEU, c’est à dire DIEU

Oui, Dieu est une Idée, l’Idée de l’Idée si l’on veut, pas un « être souverain » qui aurait une conscience, alternativement un bon papa gâteau sur l’épaule duquel on pourrait pleurer ou un Père Fouettard qui nous punirait d’avoir trop bu par une bonne gueule de bois, ou d’avoir fait l’amour avec une inconnue par une MST.
La

conversion intellectuelle à l’idéalisme philosophique, qui est la véritable conversion religieuse universelle

c’est cela : être persuadé que les Idées ont une force (spirituelle) sans laquelle il nous serait impossible de vivre, et qu’elles sont la seule chose qui ait de l’importance, alors que les « étants naturels » n’en ont aucune.
Je rappelle aussi que notre recherche s’effectue entièrement sur le plan des Idées (mathématiques) et d’ailleurs quand on parle d’un arbre, ou d’un oiseau de quoi parle t’on ? De notre idée, ou plutôt notion, de l’arbre, de cet arbre ci, qui est au fond du parc, ou de l’arbre en général.
Mais nous n’appelons pas cela des Idées, car elles sont à vocation utilitaire et vitale, ce sont des notions. La nature même de nos travaux, comme on vient de le voir, nous oblige à quitter ce plan pour celui des Idées mathématiques : ainsi pour nous un « être » n’est plus un arbre ou un animal ou « quelque chose qui arrive là devant » mais un ensemble au sens mathématique, puisque nous avons convenu que l’ontologie est l’étude du topos Ens des ensembles. Et nous avons vu hier avec l’article de David Edwards sur la « catégorie des catégories » comme « modèle du monde platonicien des formes » que la « montée vers l’Un Absolu » a pour premier « geste » de passer du topos Ens au 2-topos CAT, qui est la 2-catégorie des catégories, foncteurs et transformations naturelles : nous sommes donc ainsi forcés d’aborder la « Higher topos theory » de Jacob Lurie.

Mais revenons à l’exemple que donne David Ellerman d’un universel concret, exemple tire de la théorie des ensembles, donc de l’ontologie, degré le plus bas, le moins « spirituel » de la

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, qui nous convient donc puisque nous sommes au commencement.
Soient deux ensembles quelconques A et B et soit la propriété (des ensembles, puisque nous nous situons dans ce topos) :

F : « être un sous-ensemble de A et de B » (ou : être contenu à la fois dans A et dans B)
Autrement dit un ensemble X a la propriété F, ce que l’on note F(X), si et seulement si :

X ⊂ A et X ⊂ B
Nous connaissons déjà au moins un ensemble qui a cette propriété : c’est l’intersection de A et de B, notée A ∩ B
Nous en connaissons un autre : l’ensemble vide ∅
qui par définition n’a aucun élément, donc est contenu dans tout ensemble.
Si A et B sont disjoints, c’est à dire n’ont aucun élément en commun, l’intersection de A et de B est l’ensemble vide:

A ⋂ B = ∅

Nous affirmons que cette intersection de A et de B est l’universel concret recherche correspondant à la propriété F, et c’est facile à démontrer car:

– il a la propriété F (donc il est concret,Nil fait partie des ensembles qui ont la propriété)
– il est un universel, il est « parfait » au sens de cette propriété F, car il est un ensemble maximal pour la relation d’inclusion ⊂ , ce qui veut dire que tout autre ensemble ayant la propriété F est contenu en lui.
En effet si un ensemble X a la propriété, alors un élément quelconque x appartenant à X est à la fois élément de A et de B (puisque X a la propriété F), et donc il est élément de l’intersection de A et de B, par définition de l’intersection:

si F(X) et si x ∊ X, alors x ∊ (A ∩ B) et donc X ⊂ A ∩ B

David Ellerman appelle « relation de participation » la relation « être sous-ensemble de » et un universel concret correspondant à une propriété est un objet (un être, puisque nous sommes dans le cadre de la théorie des ensembles qui est l’ontologie) qui a cette propriété et tel que tout autre être ayant la propriété participe à lui.

Soit un ensemble X ayant la propriété F : Ellerman appelle « imperfection de X » tout ensemble Y ayant aussi la propriété F mais qui n’est pas contenu dans X.
Nous venons de voir que tout ensemble ayant la propriété « participe » à, est contenu dans l’intersection de A et de B.
Ceci veut dire que cette intersection A ∩ B n’a pas d’imperfections donc est parfait: c’est l’universel concret cherché, et il est le seul (puisque tout autre ensemble répondant aux conditions aura les mêmes éléments donc se confondra avec lui)
Il est l’universel, l’UN de la situation, mais il se situe parmi les autres êtres ayant la propriété : donc il n’est pas un UN transcendant, séparé de la collection des êtres dont il est l’Un, mais un UN(iversel) concret, parmi les autres qu’il unifie par sa perfection.
L’UN transcendant est l’Idole des religions qui disent « Dieu est Un », en envisageant un Dieu transcendant.
Poussé à son terme, cette démonstration nous indique que l’Un, qui est la perfection, ne peut pas être transcendant : la perfection appartient au monde des Idées.
Notons qu’il existe une autre conception d’un universel, basé sur l’ontologie : dans cet exemple, ce serait l’ensemble de tous les ensembles ayant la propriété F, c’est à dire de tous les ensembles contenus à la fois dans A et B.
Il est parfaitement légal de définir cet ensemble, seulement il n’a pas la propriété F, il ne figure pas parmi les objets ayant la propriété F, il est « en surplomb », il réalise l’unité de tous ces ensembles, mais de manière transcendante, séparée.
A ne pas confondre avec l’union de tous les ensembles qui ont la propriété F, qui est l’universel concret, à savoir:

A ∩ B