Monades et adjonctions en théorie des catégories

La page Wikipedia est ici :
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monade_(théorie_des_catégories)

Et elle établit bien le lien avec la notion fondamentale d’adjonction , se rappeler nos articles passés :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/
Et

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

On peut lire aussi la page du Nlab qui a le mérite de lier la notion de mônade a celle de monofide dont elle est la categorification horizontale

http://ncatlab.org/nlab/show/monad

Rappel: un monoide est un ensemble muni d’une opération ou loi de composition * entre des éléments, opération associative, et muni aussi d’un élément neutre pour cette opération c’est à dire un élément 1 tel que pour tout élément y
Y*1 = 1 * y = y
Un groupe est un monoide tel que tout élément soit inversible pour l’opération c’est à dire tel que pour tout élément u il existe son inverse v défini par :
U* v= v* u = 1
e mônade peut donc être vue (page Wikipedia) comme un endofoncteur d’une catégorie C :
T : C ——–> C
Endofoncteur accompagné de deux transformations naturelles μ et η.
La transformation naturelle μ sera dirigée du foncteur identité sur C vers le foncteur T :
μ : 1———-> T
Et jouera le rôle de l’élément neutre dans le monoide voir ci dessus en considérant que le foncteur identité sur C noté 1 joue le rôle d’élément neutre pour la composition des foncteurs , et quant à la transformation naturelle μ elle jouera le rôle de la multiplication ou loi de composition dans le monoide voir lignes ci dessus, ainsi est comprise l’analogie entre monade et monoide , analogie qui est une categorification dite horizontale .
Dans la page Nlab une monade est expliquée comme un objet dans une bicategorie (une 2-categorie non stricte ) avec deux endomorphismes c’est à dire deux endofoncteurs et les deux transformations naturelles deviennent des 2- morphismes (en anglais « 2-cells »)
Satisfaisant aux équations spécifiée sur le page nlab comme sur le page Wikipedia au moyen de diagrammes car c’est cela un diagramme : l’analogie catégorique d’une équation en algèbre classique
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A toute adjonction de foncteurs corresponde une monade et réciproquement à toute monade corresponde une adjonction, ceci a été démontrée ´ par Kleisli et Moore d’où le nom de deux catégories importantes associées à une monade, celle de
Kleisli et celle d’Eilenberg-Moore :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_de_Kleisli
En notant toutes ces analogies où la pensée à toujours l’impression de « retomber sur ses pattes  » tel un chat faisant des bonds et des acrobaties on se persuadera j’espère que le mathesis est le domaine où est réalisée l’unité de la pensée (humaine) que Grothendieck désignait du mot sanskrit de yoga volant dire « lien, jonction » et il utilisait fréquemment l’expression « yoga des foncteurs »

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