Monades et probabilités : monade de Giry

La monade de Giry est ainsi appelée d’après le nom de Michèle Giry qui avait fait paraître en 1982 un travail intitulé :
« Michèle Giry, A categorical approach to probability theory Categorical aspects of topology and analysis (Ottawa, Ont., 1980), pp. 68–85, Lecture Notes in Math., 915, Springer. »
voir:
http://mathoverflow.net/questions/117294/applications-of-the-giry-monad-in-probability-and-statistics

https://scholar.google.com/scholar?hl=en&lr=&cites=9453957818222470478
et sur le Nlab :

http://ncatlab.org/nlab/show/probability+theory#probability_theory_from_the_npov_15

http://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

La théorie des probabilités est au fondement d’un domaine qui a gagné une grande importance ces dernières années celui des statistiques (santé, économie accidentalité, sécurité, immigration, etc.. )et qui sont utilisées par l’Industrie pour élaborer des indicateurs de qualité ..que l’on se rappelle notamment la mise sous pression des policiers par Sarkozy au moyen des tels indicateurs dits d’efficacité des fonctionnaires qui ont hélas conduit des policiers à la dépression voire au suicide .

Un mesure de probabilité est comme son nom l’indique un cas particulier de mesure :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_(math%C3%A9matiques)

prenant ses valeursentre 0 et 1 : 1 est la valeur qui correspond à la certirude, probabilité de l’évènement certain et 0 correspond à l’évènement impossible.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_probabilis%C3%A9

Un espace doit être mesurable pour recevoir une mesure : un espace mesurable Xest un ensemble muni d’une sigma-algèbre ou tribu :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_(math%C3%A9matiques)
c’est à dire une collection de parties (sous ensembles de X) obéissant à certaines conditions (le complémentaire d’une pertie appartient encore à la tribu ainsi que l’union d’une collection dénombrable de partries, on parle alors de stabilité par complémentation et pa runion dénombrable)Les parrtis de X appartenant à la tribu sont appelées « évènements » l’evènement certain est X lui même en tant que partie de X , et l’évènement impossible est l’ensemble vide en tant aussi que partie de X .
Il estcourant en mathématiques de définir une structuresur un espace par une collection de sous ensembles d’un ensemble X de départ qui sera l’espace structuré cela est le cas pour les espaces topologiques qui sont des ensembles munis d’une collection de sous-ensembles, les ouverts, qui définissent la topologie : ils doivent obéir à des règles ifféérentes de celles des tribus voir la page :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ouvert_(topologie)

(NB : une topologie peut aussi être définie par la collection des « fermés » qui sont les complémentaires des ouverts )

noter qu’il y a un lien entre la topologie et la mesure : etant donné un espace topologique on peur définir la tribu borélienne définie comme la plus petite tribu contenant tous les ouverts de la topologie (pour obtenir la plus petite on prend l’intersection de toutes les tribus contenant les ouverts)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_bor%C3%A9lienne

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique
A coté de ces deux domaines importantsde la mathématique (mesure et topologie) il y en a plusieurs autres tout aussi importants et plus récents comme les espaces d’approche ,(approach spaces), les espaces uniformes (ou d’uniformité)  et les espaces connectifs qui doivent absolument être abordés en ce moment de septembre 2015 où il

s’avère nécessaire de réhabiliter d’urgence la notion de frontière

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_uniforme

https://en.wikipedia.org/wiki/Approach_space

comme on le voir si on lit cette page en anglais c’est d’un niveau de complexité nettement supérieur à  celui de la topologie ou de la mesure, les espaces d’approche constituent le chainon interméditiare entre les espaces uniformes et les espaces métriques (pourvus dune distance entre les points  ) voir:

http://win.ua.ac.be/~top/papers/featuredreview.pdf

et enfin les espaces connectifs de Stéphane Dugowson (dont j’ai déjà utilisé un cours en vidéo sur les catégories dans ce blog ou dans un autre de la mouvance « Henosophia toposophia mathesis universalis »

http://s.dugowson.free.fr/recherche/connectologie/CoRepFeOrdDiff_CTGDC_HAL.pdf

 

mais revenons à nos espaces mesurables (donc éventuellement mesurés et notament probabilisés) et à la monade de Giry quisavère être la voie ver une théorie catégorique des probabilités .

La théoriedela mesure est par nature fonctorielle comme l’ont montré dans le temps les travaux de Fred Linton (« the functorial nature of measure theory ») et le foncteur à la base de la monade de Giry est celui M qui envoie un espace mesurable (X,A) sur la totalité des espaces mesurés pouvant être définis sur (X,A) où X désigne je le rappelle un ensemble et A une tribu de partie de X

http://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

 

ce foncteur M est un endofoncteur dans la catégorie Mes des aspaces mesurables

M: Mes——> Mes

car l’espace des espaces mesurés définis sur (X,A) est lui même un espace mesurable  comme cela est démontré dans le livre de Giry et dans la page du nlab ci dessus mais dans cette page le foncteur est défini un peu différemment comme un endofoncteur sur la catégorie Pol des espaces polonais :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_polonais

M:Pol ——-> Pol

et cet endofoncteur conduit à une monade, la monade de giry: comme expliqué dans la pagedu nlab( où ils nomment P l’endofoncteur que nous nommons M):

« There is a natural transformation

μX:P(P(X))P(X)

given by

μX(M)(A):=P(X)τ(A)M(dτ)..

This makes the endofunctor P into a monad, and this is the Giry monad. »

C’est l’existence de cette transformation naturelle qui dérive de cet endofoncteur une monade, voir notre récent article :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/09/12/monades-en-theorie-des-categories/

Nous avons pri ici la théorie des probabilités comme exemple naturel de l’aléatoire, du non déteerministe, mais d’une façon générale étant connée une monade sous les forme d’un endofoncteur T sur une catégorie C :

T: C —–> C

A——> TA

l’objet TA est considéré comme la forme « aléatoire », « floue » de l’objet A qui est vu comme la forme « non floue » (« crisp » comme « crisp set  » opposé à « fuzzy set « ) de TA :

je fais ici allusion à la théoerie des ensembles flous (« fuzzy sets ») comme théorie concurrente de la théorie des probabilités quand il s’agit de traiter mathématiquement de ce qui est vague , indéfini , flou, non certain , aléatoire

ce qui apparait comme un défi de taille puisque la mathématique s’édifie depuis toujours ,ou en tout cas depuis Descertes et les « longues chaînes de raisons » sur le rigooureux et les procédures rigoureusement définies, bien cernées , d’où les vague ,le flou est eliminé soigneusement

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_flou

 

 

 

 

 

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