Foncteurs adjoints et hétéromorphismes : les Het-bifoncteurs

L’article précédent sur le sujet extrêmement important de l’adjonction et des Foncteurs adjoints était celui ci:

 

<a href="https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/">https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

nous suivons l’exposition de David Ellerman parce qu’elle procure une compréhension tout à fait lumineuse de ce qu’est l’adjonction l’article suivi est le suivant :

<a href="http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf">http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

et il explique au début (en anglais) que l’adjonction est sans doute la notion la plus importante parce qu’elle combine la notion d’universalité (dans ce que l’on appelle UMP : »Universal mapping property » ) et naturalité (dans les transformations naturelles) . Or universalité et naturalité sont les deux « verres grossissant conceptuels  » que fournit la théorie des categories pour aider à voir, à repérer ce qui est important en maths et donc en philosophie .sur les propriétés universelles (UMP) vous avez cet article :

<a href="https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/">https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/

et sur les transformations naturelles celui ci :

<a href="https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/">https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Il y a une notion plus générale ,celle de transformation ( pas forcément naturelle ) qui est expliquée ici à partir de l’action d’un Foncteurs sur une transformation l’étude en parallèle de ces deux derniers articles permet de comprendre la notion de naturalité qui distingue les transformations naturelles des transformations en général , vous pouvez aussi accéder à cette compréhension à partir de celle de ce qu’est un isomorphisme naturel (naturalité isomorphisme ) qui est expliqué en détail ( en anglais) dans la page Wikipedia en anglais  » natural transformations ):

<a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation

(lire le troisieme paragraphe  » Unnatural isomorphisme » après les exemples .

cela correspond aussi à la notion de flèche canonique ou structurelle ( canonial m’appelle, structure m’appelle) qui est expliquée ici:

<a href= »https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map »>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map</a>En gros un morphisme entre deux objets est dit « natural » ou « canonique » s’il émerge « naturellement » de la définition de ces objets et peut être étendu à tous les objets de la catégorie pour définir ce qui est appelé une « transformation naturelle « , définie au niveau de toute la catégorie . Si l’on a pu définir un tel morphisme canonique au niveau d’un couple d’objets , on saura le définir au niveau de tous les autres couples . Un morphisme  » non naturel » sera donc « contingent » , inventé pour un couple particulier mais n’émergeait pas « naturellement  » des définitions théoriques . Lire l’exemple  » opposite group » pour comprendre encore mieux ..rien ne vaut les exemples pratiques et je vous signale que le déterminant d’une matrice en algèbre linéaire est un exemple de transformation naturelle lire le livre de Michael Barr et Charles Wells : »Toposes, triples and theories » où c’est expliqué : voir ce lien:

<a href="http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf">http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s