Adjonction : Het-bifoncteurs et Hom-bifoncteurs

suite de :
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/

qui est dans un état assez peu satisfaisant, je n’arrive plus à suivre les changements sur WordPress au fur et à mesure des nouvelles versions IOS qui apparaissent toutes les semainesà peu près …
bref nous suivons ce travail de David Ellerman :
http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

paragraphe 2 (« Overview of the theory of adjoints »)

Un étéromorphisme est une flèche entre deux objets appartenant à des catégories différentes , alors qu’un homomorphisme est une flèche entre deux objets appartenant à la même catégorie.
on note une hétéromorphisme avec une flèche à double trait, ce qui équivaut au signe de l’implication en logique:

en html ce signe s’écrit avec « rArr » (mais il ne faut pas mettre de guillemets), placée comme d’habitude entre les signes & et ; et pour obtenir une flèehce simple → on écrit la suite « rarr » (comme « right arrow ») entre les signes & et ;
Pour toute catégorie Z on peut définir un foncteur Hom, voir cette page:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur_Hom

qui est en fait un bifoncteur associant à tout couple d’objets (A,B) de la catégorie Z un ensemble , c’est à dire un objet de la catégorie Ens, qui sera l’ensemble des homomorphismes reliant les objets A et B dans la catégorie Z: {homZ(A,B)} c’est donc un bifoncteur :
Hom : Z op × Z → Ens
(A,B) → {Hom (A,B)}
on a en première position Zop et no pas Z parce qu(un morphisme allant de A vers B se compose avec un morphisme venant vers A et non pas partant de A et un tel morphisme aboutissant à A est dans le catégorie Zop
De même le bifoncteur Het envoyant le couple (x,a) de deux ojets des catégorie X et A sur l’ensemble {het(x,a)} des hétéromorphismes allant de x vers a sera noté :
Het : X op × A → Ens
(x,a) → {Het(x,a)}
(dans l’article en anglais de David Ellerman ce que nous appelons la catégorie Ens est noté Set en utilisant le mot anglais « set » qui signifie « ensemble)
David Ellerman passe ensuite (en milieu de page 4) à la notion extrêmement importante de foncteur représentable : un bifoncteur D en général:

D: X op × A → Ens

sera dit représentable sur la gauche si pour tout objet x dans X il existe un objet Fx dans la catégorie A tel que l’on ait un isomorphisme :

HomA(Fx, a) ≏ D(x,a)
(le signe ≏ signifie « isomorphique à « )et si cet isomorphisme est naturel en a
j’ai donné dans l’aricle précédent d’hier soir les explications sur lea notion de « naturalité » qui est présente dans celle de « transformation naturelle » :
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/
en gros cela veut dire « non contingent » ni « individuel » , donc « essentiel »,pouvant être étendu à toute la catégorie à partir des seules définitions ou « essences » des objets de la catégorie donc ici si nous disons que cet isomorphisme est nzaturel en a cela signifie que a ne joue pas de rôle spécial dans cet isomorphisme ,que celui ci pourra être étendu à toute la catégorie via des morphismes , que cette situation n’est pas limitée aux seuls objets x et a , mais s’étend en général à toute le catégorie .
on vérifie facilement que la correspondance x → Fx est fonctorielle ,on a donc un foncteur F défini ainsi
Et nous voyons immédiatement (page 4 de l’article de David Ellerman) que si le bifoncteur Het est représentable à droite et à gauche cela nous donne deux fonceurs F et G :
F: X → A
G: A & rarr; X
tels que :
HomA(Fx,a) ≏Het(x,a)≏HomX(x,Ga)
Il suffit alors d’oublier le terme intermédiaire Het(x,a) pour avoir l’équation constituée d’ isomorphismes qui définit une paire de foncteurs adjoints F et G, F étant adjoint à gauche de G :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur_adjoint
Do nc , au total, tout Het-bifoncteur représentable à droite et à gauche donne lieux à une pire de foncteurs adjoints ; mais la réciproque est elle vraie ?
la réponse est OUI et David Ellerman le démontre en page 5 : toute paire de foncteurs adjoints permet de d »finit un bifoncteur Het entre deux cétégories .
Ces bifoncteurs Het ont donc une grande importance en mathématiques ils sont appelées distributeurs par les mathématiciens français (terme hérité de Grothendieck) « profunctors  » en anglais et Laxvere les appelle des bimodules, voir les liens suivants :


https://fr.wikipedia.org/wiki/Distributeur_(th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories)

https://en.wikipedia.org/wiki/Profunctor

http://ncatlab.org/nlab/show/profunctor
Il s’agit d’une généralisation catégorique de la notion de relation en théorie des ensembles

Une réflexion au sujet de « Adjonction : Het-bifoncteurs et Hom-bifoncteurs »

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