Systèmes dynamiques en physique catégorique : une notion opérationnelle du temps

Suite de l’article d’hier :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/22/dynamique-monadique-le-temps-comme-propriete-universelle-du-changement/

consacré à l’étude de ce lien sur Arxiv :

http://arxiv.org/pdf/1501.04921.pdf

le paragraphe 2.1 est consacré à l’approche « catégorique » (c’est à dire : selon la théorie des catégories ) placée (page 3) sous le « slogan » Wittgensteinien :

« ne cherchez pas la signification mais interrogez vous sur l’utilisation (des mots et des expressions)  » (« don’t ask for the  meaning , ask for the use » ) ce qui veut dire que les élucidations rencontrées ici sue le problème du temps risquent de décevoir les « pmétaphysiciens angoissés » comme Saint Augustin qui attendent une réponse ferme et claire à la question « qu’est ce au juste que le temps ? »puisque ce dernier dit : « si l’on ne me demande pas ce qu’est le temps, je sais ce que c’est ; mais si quelqu’un me le demande, je ne sais plus  »

ce qui signifie : « nous avons tous une connaissance subjective du temps qui s’écoule comme durée vitale mais cette connaissance est difficile à partager avec les autres au moyen des mots du langage courant »

Quant à Thomas Mann il affirme :

 » Qu’est ce que le temps ? un mystère !  »

La physique catégorique déplace l’attention des systèmes et de leur structure interne vers les façons dont ils se transforment les uns dans les autres, par des morphismes dans la catégorie à laquelle ils appartiennent (s’ils ont la même structure) ou par des foncteurs entre les catégories auxquelles ils appartiennent si celles ci sont différentes .

Les systèmes sont juste des « étiquettes » , des noms d’objets dans des catégories , ce qui est important ce sont les morphismes et foncteurs . Nous appelons A le système physique étudié  et nous lui appliquons un foncteur T qui lui associe TA , un objet « plus gros  » dans la même catégorie. T est donc un endofoncteur . J’ai pris hier comme exemple de A les évènements survenus dans deux chambres d’un même immeuble et pour TA les enregistrements de ces évènements par un système de sécurité (avec caméras et dispositifs donnant l’alerte par SMS ou sonnerie  stridente réveillant les voisins )  comme il en existe maintenant dans beaucoup de domiciles ou de bureaux.

Un autre défaut de cet exemple est qu’il ne prend pas en compte un mot important du texte de l’article (page 3) : »We assume that the concrete dynamics of the physical system A share anouch common structure (i e a notion of « time » ) which can be abstracted and simulated by some bigger physical system TAof our theory » le mot « simulated » renvoie à une modélisation des dynamiques concrétes du système A , par des modèles mathématiques informatisés . Nous choisirons donc plutôt comme exemple de A un système atmosphérique étudié par la météorologie, au moyen de modèles qui ne se contentent pas d’enregistrer des masses des données mais simulent leur évolution pour faire des prévisions, comme on l’attend de la météo.
Signalons aussi que le terme « Subsystem » ou « faisceau de sous -systèmes » défini page 4 equation 2.2 est une flèche par analogie avec la définition d’un sous objet (généralisation d’un sous ensemble) par un monomorphisme, comme classe déquivalence d’un monomorphisme qui le « représente » voir :

https://en.wikipedia.org/wiki/Subobject

donc un sous systèlme en général sera une flèche D → A et lorsque ce sera un monomorphisme on parlera de sous-système fiable , soulignant par là qu’à cause de la nature injective du morphisme la structure de D est incluse de manière fiable dans celle de A :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)

Une dynamique est une flèche TA → A dite épimorphisme (surjective) ce qui est signalé par la double pointe de la flèche (alors qu’un monomorphisme est signalé par une forme en hameçon (hook) à son début
une histoire concrète d’un sous-système D → A est obtenue en composant cette dynamique en tant que morphisme TA → A avec la flèche
freehistd : TD → TA au total on a TD → TA → A ce qui donne une flèche TD → A

 

on trouve ici les codes html pour ces flèches désignant les monomorphismes et les épimorphismes :

http://character-code.com/arrows-html-codes.php

Ainsi la dynamique ci dessus est notée :

TA ↠ A
et un sous-système fiable est un monomorphisme :

D ↣ A
ou
D ↪ A
voire :
D ↬ A
(la première notation est préférable)

Passons à la page 5 où le paragraphe 2.2.3 est assez brouillon, on parle de « lifting » (« élévation ») d’un morphisme en deux sens , à discriminer selon le contexte
soit transformation de f : A→ B par le foncteur T ce qui donne : Tf : TA → TB
soit action dite « pushforward » notée f* : FreeHists [A] → FreeHists[B]
qui transforme une « free history » freehistd définie en 2.3 page 4 comme : Td : TD → TA en :

freehist f.d qui va de TD vers TB : TD → TB et est donc élément de FreeHists[B] (histoires libres de B ) (voir page 4 equation 2.4)

Examinons pour finir l’entrée en scèene des monades . C’est d’abord la transformation naturelle η du triplet (T,η,μ)définissant une monade

https://fr.wikipedia.org/wiki/Monade_(th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories)

qui pointe le bout de son nez :au paragraphe 2.2.4 « canonical initial surface » , transformation naturelle dont la composante en A est :

ηA: A →TA définie comme consistant à prendre l’état initial à l’instant zéro de A :

a → (a,0)
La seconde transformation naturelle μ a comme composante en A : μA qui est donnée par une dynamique sur TA :

μA : TTA → TA
donnée par l’équation 2.12 qui exprime simplement que les accroissements différentiels de temps s’ajoutent les uns aux autres dans leurs effets .
Ensuite nous avons des contraintes de « rigidité structurelle » traduites diagrammatiquement par les carrés commutatifs 2.13 fin de la page qui correspondent en même temps aux définitions des composantes des transformations naturelles η (carré à gauche) et μ (second carré , à droite )
composantes qui sont définies par des contraintes diagrammatiques à forme decarrés commutatifs :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

on peut voir aussi sur ces carrés de la fin de la page 5 les « lifting » à l’oeuvre : dans le premier carré à gauche l’application du foncteur T au morphisme en bas : f : A→ B le « lifte » (l’élève ) au morphisme en haut du carré :
Tf : TA → TB
et dans le second carré à droite c’est ce dernier morphisme qui est « lifté », par une nouvelle application du foncteur T , au niveau du morphisme :

TTf : TTA → TTB
et les carrés commutatifs expriment en même temps les contraintes équationnelles pour les composantes de deux transformations naturelles :
η(surface initiale) : Id → T
et

μ (évolution canonique) : TT → T
comme il est prescrit par la définition d’une monade :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Monade_(th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories)

s’ajoutent à cela page 6 descontraintes pour les dynamiques concrètes sur A :

α : TA → A
La commutativité du triangle 2.16 exprime que ces dynamiques doivent respecter le statut de la surface initiale représentée par η: la composition

α° ηA est égale à l’identité Id A
quant au carré commutatif 2.18 il signifie que la transformation naturelle μ représente (code) les « dynamiques libres » c’est à dire que là encore nous avons exprimé l’aspect abstrait de la compositionnalité des accroissements différentiels de temps .
Tout cela esr résumé an haut de la page 7 par la proposition :
le triplet (T, η,μ) est une monade sur la catégorie des systèmes physiques étudiés et les dynamiques sont les algèbres de cette monade ;
voir la définition des T-algèbres pour une monade issue d’un foncteur T ici :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%A9gorie_de_Kleisli
Ainsi pour la monade dynamique définie dans l’aricle étudié ici :
la catégorie d’Eilenberg-Moore C T de la monade a pour éléments les sytèmes dynamiques, de forme TA → A et pour morphismes entre deux systèmes dynamiques les transformations dynamiques (carré 2.20 page 7 )
D’autre part les systèmes dynamiques libres sont par définition de la forme TTA → TA , ils sont aussi appelés espaces-temps(voir appendice 6.3) et ils forment unse sous catégorie pleine de la catégorie CT des systèmes dynamiques qui est le catégorie d’Eilenberg-Moore ; cette sous catégorie est isomorphe à la catégorie de Kleisli de la monade .

Une réflexion au sujet de « Systèmes dynamiques en physique catégorique : une notion opérationnelle du temps »

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