David Ellerman et Saunders Mac Lane : adjonction et universalité en mathématiques, correspondances de Galois

Nous nous intéressons dans cette série d’article aux travaux de David Ellerman en relation avec l’adjonction et  l’universalité telle que traitée dans la théorie des catégories, qui est selon ces travaux la doctrine des universaux concrets, c’est à dire s’appliquant à eux mêmes (« self predicative »), dans le dernier article nous avions passé en revue la théorie des ensembles qui peut être vue comme doctrine des  universaux abstraits :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/

le papier d’Ellerman que nous suivons ici est celui sur les « concrete universals » ou « self predicative universals » :

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.3192.pdf

où il s’étend à partir du bas de la page 9 sur l’importance de la notion de foncteurs adjoints et son omniprésence dans la théorie des catégories , nous avons déjà consacré plusieurs articles à cette notion qui est aussi liée à la notion de monade :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/16/adjonction-1-foncteurs-adjoints/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/08/13/propriete-universelle-et-foncteurs-adjoints/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

mais il existe un autre article de Colin Mac Larty, auteur de l’excellent « Elementary categories, elementary toposes » qui est cependant moins complet que « Toposes, triples and theories » que j’ai recopié en bibliothèque d’un des blogs « Henosophia toposophia » voir :

https://aventuresdidees.wordpress.com/barr-et-wells-toposes-triples-and-theories/

cet article de McLarty porte sur Saunders MacLane, inventeur en 1945 avec Samuel Eilenberg de la théorie des catégories dans la note séminale : « General theory of natural equivalences »:

http://killingbuddha.altervista.org/FILOSOFIA/GToNe.pdf

Le papier de Colin Mc Larty s’appelle « Saunders Mc Lane and the universal in mathematics » le voici :

http://www.jams.or.jp/scm/contents/e-2006-2/2006-12.pdf

il y explique que Mac Lane a passé ses 10 premières années de mathématicien à asseoir de manière philosophique sa convition profonde de l’unité des mathématiques sur l’ouvrage célèbre de 1910 : « Principia mathematica » de Bertrand russell et Alfred North Whitehead .

Ouvage tellement important qu’il figure lui aussi en trois volumes en bibliothèque des blogs « Henosophia »

ce thème de l’unité des mathématiques concerne  aussi le « Graal » recherché par Grothendieck,et, de nos jours, par Olivia Caramello mais il dépasse de loin la mathématique pour fonder selon nous une nouvelle discipline appelée « Henosophia » voir :

https://aventuresdidees.wordpress.com/about/

A la fin de la page 97 de son article sur « MacLane and the universal in mathematics » MacLarty explique que dans le « textbook » de MacLane le concept d’universalité (qui est, comme le rapplle Brunschvicg , lié à l’idée de vérité et donc de Dieu,mais aussi de l’homme si celui ci est , plutôt que « berger de l’Etre », « hérault de la vérité », et d’essence religieuse au vrai sens du terme) se trouve sous un tas de formes équivalentes entre elles et renvoyant les unes aux autres :

limites et colimites, dont l’exemple d’objet terminal, foncteurs adjoints, extensions de Kan ; « ends » et « co-ends » de Yoneda…auxquels il faut ajouter les monades , pierre d’angle d’où leur nom que MacLane a trouvé chez Leinniz

ce « textbook » dont Mc Larty parle est le livre fondateur écrit par McLane :

« categories for the working mathematician »

qui est ici :

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maclanecat.pdf

voir aussi sur la philosophie de MacLane « concepts and categories in perspective « :

http://www.ams.org/samplings/math-history/hmath1-maclane25.pdf

entre les deux lives, celui de Mac Lane « Categories for the working mathematician » et celui de Barr et Wells « Toposes, triples and theories » il est difficile de faire un choix; mais il en existe un qui les dépasse tous deux c’est celui de Mac Lane et Moerdijk « Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory » qui évoque la double origine , géométrique et logique, de la théorie des topoi :

 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/04/08/topoi-de-grothendieck-2-la-double-origine-geometrique-et-logique-de-la-theorie-des-topoi/

Il est plus difficile à télécharger gratuitement sur le web, on le trouve en format .djvu mais je ne sais pas manipuler de tels fichiers aussi ne l’ai je pas mis sur les bibliothèques des blogs « Henosophia  » contrairement aux deux autres.

En voici l’analyse-résumé sur le Nlab , avec liens hypertexte chapitre par chapitre :

http://ncatlab.org/nlab/show/Sheaves+in+Geometry+and+Logic

Mais revenons à l’article de David Ellerman :

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.3192.pdf

L’tude de l’adjonction débute à partir de la page 9 et il se set tout au long de l’article d’une exemple d’adjonction remontant à l’élaboration de la théorie de Galois : celui des correspondances de Galois qui concernent les catégories ordonnées ou structures d’ordre organisées en catégories :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_de_Galois

comme dit au début de cette page Wiki, ce genre de correspondance concerne initialement celle entre les sous corps de l’extension d’un certain corps K (c’esr à dire un corps contenant K) et les sous-groupes de son groupe de Galois :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois

les deux collections (sous-groupes et sous-corps) sont ordonnées selon l’inclusion c’est à dire qu’une certain sous-groupe est « inférieur à « un autre (relation d’ordre <)s’il est contenu dedans .La relation d’ordre( ≤) est alors la relation d’inclusion ( ⊑) , on vérifie facilement quil s’agit bien d’une relation d’ordre c’est à dire réflexive, antisymétrique et transitive :

x ≤ x

si x ≤y et y ≤x alors x≈y

et si x ≤y et y ≤ z alors x ≤ z

 

un ensemble partiellement ordonné, c’est à dire tel que pour deux éléments il existe parfois un ordre entre eux peut alors être vu comme une catégorie : si deux objets x et y sont ordonnés

x ≤ y

alors on dit qu’il y a une flèche unique allant de x vers y : x → y
On a alors une paire de foncteurs adjoints entree deux structures ordonnées considérées comme catégories (P, ≤) et (Q, ≤)

F : P →Q
G : Q → P
si pour tout couple d’objets x,y t q x ∈ P et y∈ Q alors :
x ≤ G(y) si et seulement si y ≤ F(x) (la page Wiki parle alors de correspondance de Galois isotone, mais on peut ramener une correspondance antitone à une correspondanceisotnoe en inversant l’ordre sur l’un des ensembles ordonnés)
dans l’article d’Ellerman (pages 10-11 ) la premièrere structure ordonnée est celle des parties (sous ensembles) d’une certain ensemble U soit P(U)
la seconde est celle des paires de sous ensembles de U soit le produit cartésien P(U) × P(U) ,muni de l’ordre suivant :
(x,y) ≤ (x’, y’) si et seulement si x ≤ x’ et y ≤ y’
on considère alors comme foncteur entre P(U) et P(U) × P(U) le foncteur Δ : P(U) → P(U) × P(U)

qui associe à un sous ensemble x de U la paire (application dite « diagonale »)
et pour le foncteur en sens inverse le foncteur qui consiste à prendre l’intersection de deux partie de U :

⋂(x,y) =x ⋂ y
ce qui est bien une partie de U en tant qu’intersection de deux sous-ensembles x et y de U. On vérifie facilement la fonctorialité de cette application : P(U) × P(U) → P(U) .
L’adjonction entre les foncteurs Δ et ⋂ équivaut alors à

Δ (c ) ⊑ (a,b) ssi c ⊑ ⋂ (a,b)
et ceci pour tous les sous ensembles a,b,c de U
Si l’on fixe a et b , on retrouve la condition d’universalité dans la définition de l’intersection ⋂ :

c ⊑a ⋂ b si et seulement si c ⊑ a et c⊑ b (définition de l’intersection) et comme Δ (c) = (c,c)
c ⊑ a et c⊑ b équivaut à Δ (c) ⊑ (a,b)
De même en fixant c on retrouve la condition d’universalité :
Δ (c) ⊑ (a,b) si et seulement si c ⊑ a ⋂ b
rappel : les conditions d’universalité et d’unicité pour un universel représentant une propriété F et une relation de participation μ sont expliquées page 3

La stratégie d’Ellerman dans la suite est de montrer que les adjonctions consistent à associer deux constructions universelles appelées « semi-adjonctions »
Cela semble spécifique à son approche, on ne rencontre pas ces objets ailleurs

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