n-catégories ( higher category theory)et leurs applications ( en physique notamment)

Le champ de la « Higher category theory » (les n-catégories) :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

est sans doute le plus dynamique de la mathématique aujourd’hui, je l’avais comparé dans un autre article au « Far West » parce que l’espace à étudier est tellement grand que tous les chercheurs intéressés peuvent s’y « établir », snas craindre de se gêner entre eux , ce sont là pour la plupart des « terres encore vierges » qui attendent les explorateurs et autres pionniers .
Témoin cette page du nlab sur les applications à la physique :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory+and+physics

et cette autre sur les applications  en général :

http://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory

Mais c’est sans doute la page suivante qui explique le mieux le « point de vue » de la discipline en établissant clairement la différence avec la « neutralité axiologique » propre à l’esprit encyclopédique (de Wikipedia par exemple) :

http://ncatlab.org/nlab/show/nPOV

« Around the nLab it is believed that category theory and higher category theory provide a point of view onMathematics, Physics and Philosophy which is a valuable unifying point of view for the understanding of the concepts involved. »

le mot important est ici « unifying point of view » , c’est à dire le point de vue de la « hauteur » de l’aigle qui survole la plaine et voit tout d’un seul coup d’œil par ce que Whiteheab appelait  » généralisation imaginative et qu’il comparait au vol d’un avion qui s’oppose au point de vue encyclopédique qui avance pas après pas :

http://mathesis.blogg.org/mathesis-universalis-totalite-et-savoir-absolu-p1002238

Mais si nous revenons à la métaphore précédente du Far West et des immenses terres vierges qui attendant les futurs explorateurs, nous pourrions dire que l’exploration elle meme crée de nouvelles terres. C’est ainsi que l’on peut interpréter ce qui est dit dans cette page:

http://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory
« The tools of category theory and higher category theory serve to organize other structures. There is a plethora of applications that have proven to be much more transparent when employing the nPOV. Higher category theory has helped foster entire new fields of study that would have been difficult to conceive otherwise. This page lists and discusses examples. »

Si l’on traduit  » foster » par  favoriser, alors il est bien affirmé ici que la  « higher category theory » ( étude des « catégories  supérieures ou n-catégories » )a favorisé l’apparition de champs d’études entièrement nouveaux, qu’il aurait été difficile de concevoir autrement.

Ce constat indéniable appelle de nouveaux instruments de pensée mathématique : car si la discipline même de la « higher category theory » sert à organiser les autres structures voire  à les faire apparaître , on ne peut plus se contenter de foncteurs reliant certaines catégories à des structures considérées comme étant déjà là indépendamment de ces catégories .

Pour prendre un exemple :  la théorie des groupes a été créée bien avant, (plus d’un siècle avant ) la théorie des catégories , elle n’a donc pas besoin de cette dernière pour être conçue et comprise, et pourtant il est bien connu qu’un groupe Gpeut être vu comme une catégorie à un seul objet que l’on nommera G comme le groupe et dont les flèches sont les éléments du groupe, et sont toutes des isomorphismes, c’est à dire inversibles (possédant une flèche inverse). la composition de deux flèches s’identifie au produit des deux éléments correspondants du groupe par l’opération de compoition (nommée produit ou multiplication) du groupe et le morphisme identité Id<sub>G</sub> est simplement l’élément neutre 1 du groupe pour le produit.. l’inverse d’une flèche est l’inverse de l’élément correspondant du groupe.

Un groupoide étant défini comme une catégorie dont toutes les flèches sont des isomorphismes (sont inversibles) on voit qu’un groupe est un groupoîde à un seul objet.

Et pourtant les groupoîdes ont été inventés par Brandt en 1926, vingt ans avant l’invention de la théorie des catégories:

http://mathoverflow.net/questions/199849/brandts-definition-of-groupoids-1926

On peut donc penser à un dépassement de la notion de foncteur : alors qu’un foncteur est une flèche entre deux catégories obéissant à certaines règles et conditions

https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

on introduirait, avec ce nouvel intrument, une flèche entre deux champs d’études mathémtiques (qui pourraient être représentés par des n-catégories ou des ∞-catégories ) si le champ A est absolument nécessaire pour poser, parler de et concevoir le champ B :

A ——-> B

sans A on ne peut absolument pas penser B.

On voit bien que l’on a affaire là à tout autre chose qu’un foncteur, mais l’on peut penser à un ch&amp qui serait un objet initial c’est à dire qu’il y aurait une flèche partant de lui et orientée vers tous les autre champs d’étude mais l’inverse ne serait pas vraie .

Question : la théorie des n-catégories ou des catégories ou bien la théorie des ensemblres (c’est à dire des 0-catégories ) n ‘est elle pas ainsi en position d’objet initial vis à vis de toutes les parties des mathématiques , voire de tous les domaines d’études scientifiques et philosophiques ?

Malgré cette position « en surplomb » il y a bien une extériorité qui s’impose à la théorie comme, en chimie, la table périodique des éléments de Mendeleev  , qui permet néanmoins  de prédire la découverte de nouveaux éléments :la tale périodique des n-catégories

http://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

sous la forme d’un tableau à double entrée indexée par n (ligne du haut) et k colonne de gauche)

L’index k prenant des valeurs entières supérieures ou égales à zéro introduit une structure se complexifiant progressivement au fur et à mesure que les valeurs de k augmentent : ainsi pour n=0 on a les 0-catégories qui sont les ensembles et si k= 1 on a une façon unique de multiplier (composer) les éléments de l’ensemble entre eux , ce qui donne un monoîde (ensemble muni d’une opération ou loi de composition associative) , pour n= 1 on obtient un catégorie monoïdale (munie d’un produit tensoriel entre les objets)

http://ncatlab.org/nlab/show/k-tuply+monoidal+n-category

les valeurs n négatives ont un sens  les travaux de Baez l’ont montré : on peut paler de (-1) -catégories, qui sont les valeurs de vérité 0 et 1 (vrai ou faux,  » Est  » et « non » de Descartes dans son rêve lors de la « nuit de songes »

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

pour n = -2 on obtient la valeur 1 « toujours vrai » (nécessairement vrai)

voir:

https://unedemeuresouterraineenformedecaverne.wordpress.com/2014/01/30/les-1-categories-et-2-categories/

Faire croître l’insex n revient à intoduire des n-morphismes entre les (n-1)- morphismes : on obtient donc  progressivement un réseau de plus en plus dense de rapports , de relations, un maillage relationnel de plus en plus serré , ce qui est la tâche d’une unification progressive qui est celle de la mathesis et celle même de l’esprit qui est la « faculté d’inventer des rapports » selon Brunschvicg dans « introduction à la vie de l’esprit » :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/31/brunschvicgintroduction-leon-brunschvicg-introduction-a-la-vie-de-lesprit/

Partant de la vérité nécessaire pour n = -2 et pour n=-1de la méthode scientifique de recherche de la vérité, réclamant un « objet-vérité » dans un topos qui dans le topos classique booléen des ensembles est constitué du vrai  et du faux » pour on s’approche au fur et à mesure que n croît vers l’infini de plus en plus de l’unification totale et complète,  de l’Un se constituant en immanence radicale à la conscience (et non pas de l’Un transcendant des métaphysiciens religieux ) selon le processus de ce que nous appelons ici henosophia ou « pensée selon l’un » (et non pas selon l’Etre) . A noter que si nous suivons la thèse révolutionnaire mais démontrée (au début de son livre l’Etre et l’évènement »)  d’Alain Badiou selon laquelle la mathématique (de la théorie des ensembles) est ce que la philosophie appelle depuis Aristote ontologie, pensée de l’Etre en tant qu’être , alors le trajet que nous venons de décrire croise la pensée de l’Etre, pensée du multiple pur « sans un » , pour n = 0 (les 0-catégories sont les ensembles)

On peut lire « L’Etre et l’évènement » de Badiou mais en anglais, ici :

http://www.sok.bz/web/media/video/BeingBadiou.pdf

On  comprend donc que la  » higher category theory » encore largement en friches  et inexplorée est le coeur de la partie transcendantale de la science : la mathesis. Nous ne l’avons abordée jusqu’ici que par le livre de Jacob Lurie: « Higher topos theory  » qui prend son origine dans « À la poursuite des champs » (  » Pursuing stocks ») de Grothendieck, dont Lurie est le meilleur continuateur :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Pour l’instant il n’y a que deux articles sur le livre « Higher topos theory »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Et 

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

et il y a aussi la page du Nlab sur ce sujet:
http://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory



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