Triplets et quadruplets d’adjonctions (adjoint triples and quadruples)

Dans cet article séminal faisant le lien entre la métaphysique de Wronski et la théorie des catégories et des topoi, nous avions expliqué que pour formaliser ce que Wronski appelle « élément neutre » parmi les trois éléments neutres, nous étions enclins à penser à un foncteur, ou plutôt une paire de foncteurs adjoints, c’est à dire un morphisme (appelé « morphisme géométrique ») dans la 2-catégorie Topos dont les objets sont les topoi et les flèches sont les morphismes géométriques, les 2-morphismes étant une sorte de transformations naturelles appelées « transformations géométriques » et reliant les morphismes géométriques, 2-catégorie qui est notre terrain de travail pour nos travaux hénosophiques et toposophiques: 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Dans l’article séminal, cité au début , nous évoquions l’idée de complexifier un peu la situation:

« Nous pourrions  aussi penser à « complexifier » un peu les choses en utilisant des situations qui se présentent souvent en mathématiques , un foncteur ayant un adjoint à droite et un adjoint à gauche, ou bien une série d’ajonctions , la page Wiki ci dessus en présente deux :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

 

« A functor with a left and a right adjoint. Let G be the functor from topological spaces to sets that associates to every topological space its underlying set (forgetting the topology, that is). G has a left adjoint F, creating the discrete space on a set Y, and a right adjoint H creating the trivial topology on Y


A series of adjunctions. The functor π0 which assigns to a category its sets of connected components is left-adjoint to the functor D which assigns to a set the discrete category on that set. Moreover, D is left-adjoint to the object functor U which assigns to each category its set of objects, and finally U is left-adjoint to A which assigns to each set the antidiscrete category on that set.

de telles situations avec quatre foncteurs en situation d’adjonction à gauche sont souvent utilisées par Bill Lawvere, par exemple :

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/9/tr9.pdf   

Pages 3-4″

Nous avons vu aussi dans l’article de Menni vu précédemment que ces triplets et quadruplets apparaissent en relation avec la notion de cohésion et de topoi cohésifs

Dans cette optique , regardons les pages du Nlab, qui sont comme d’habitude très denses, consacrées aux triplets et quadruplets d’adjoints:

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

et :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Dans la première une précaution terminologique s’impose : le terme anglais « triple » signifie aussi monade, et il faut d’autant plus se garder de confondre « adjoint triple » avec « adjoint monad » qu’il est facile de voir que tout « adjoint triple » (triplet, comprenant deux adjonctions) induit une monade adjointe.

Notons que selon la proposition 1 de la page sur les « adjoint triples » :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

un triplet c’est à dire trois foncteurs d’une catégorie C vers une catégorie D formant une série de deux adjonctions :

F\dashv G. (ce qui se lit : F adjoint à gauche de G) et :

G adjoint à gauche  de H : G ⊣ H

un tel triplet peut se voir comme un adjonction entre deux adjonctions :

(F ⊣G) ⊣ (G ⊣H)

c’est à dire une adjonction (« adjoint pair) dans une certaine 2-catégorie formées ainsi :

nous partons d’une 2 -catégorie initiale dont les foncteurs F,G,H sont les 1-morphismes (avec les transformations naturelles entre foncteurs comme 2-morphismes) et nous formons une nouvelle 2-catégorie dont les morphismes sont les adjonctions (« adjoint pairs ») dans la 2 catégorie initiale (rappelons qu’une adjonction est orientées , puisqu’on parle d’adjoint à gauche et à droite) et l’on peut alors parler d’adjonctiàons entre ces nouveaux 1-morphismes, c’est justement ce que nous faisons ici …

la page nLab sur les « adjoint pairs » est ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjunction

voir surtout dans la seconde moitié le paragraphe « direct definition » sur les adjonctions dans une 2-catégorie.

A noter que dans la page sur les « adjoint triples » :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

on trouve à la fin de la proposition 1 un diagramme en forme de carré qui facilite la compréhension (mais c’est en code MathML je ne peux pas le reproduire ici par copier/coller)

les deux adjonctions F ⊣ G et G ⊣ H sont notées en mode horizontal et les adjonctions entre elles en mode vertical comme des 2-morphismes dans une 2- catégorie.

Notons aussi (voir « Properties ») qu’un triplet d’adjoints induit aussi une adjonctions de monades:

un triplet F ⊣ G  ⊣ H : C → D

donne lieu à une monade GF adjointe à gauche à une comonade GH :

GF ⊣ GH : C → C
aussi bien qu’ à une monade FG : D→ D
adjointe à gauche de HG :

FG ⊣ HG : D → D

voir :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+monad

et

https://ncatlab.org/nlab/show/comonad

Un quadruplet (ajoint quadruple) est une séquence de trois adjonctions entre quatre morphismes (dans une 2-catégorie, ce sont en fait des foncteurs) voir la page ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

f! ⊣ f* ⊣ f* ⊣ f !

un quadruplet donne lieu à deux triplets, et comme chaque triplet donne lieu à une adjonction de monades un quadruplet sdonne lieu à quatre paires adjointes de monades : C → C
voir dans « Properties general)
J’ai la conviction que ces quadruplets sont bien la généralisation des morphismes géométriques que nous recherchions dans l’article sur le loi de création de Wronski :
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2012/11/12/loi-de-creation-et-theorie-des-categories/
car ces quadruplets se trouvent au carrefour de plusieurs notions se rapportant aux topoi cohésifs et aux topoi locaux qui sont importants dans la critique du point de vue de Badiou qu’il me reste à commenter et expliquer :

http://arxiv.org/abs/1301.1203

Je m’arrête donc là pour ne pas alourdir trop cet article important , tout en signalant l’article de Schreiber dans le blog excellent « N-category cafe » écrit par la même équipe que le Nlab (John Baez, Urs Schreiber et sans doute d’autres, dont le philosophe Andrew Corfield qui a déclaré qu’il était venu à la philosophie mathématique sous l’influence de Léon Brunschvicg):

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

un articlequi donne un exemple d’un tel quadruplet de foncteurs adjoints en terme de topoi, donc en termes de la science que nous recherchons :

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA

Une réflexion au sujet de « Triplets et quadruplets d’adjonctions (adjoint triples and quadruples) »

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