Cohesive ∞-topoi

J’ai parlé à la fin du dernier article sur les « adjoint triples and quadruples » de cette note d’Urs Schreiber sur n-category cafe:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

La définition rigoureuse de la notion de « gros topos » est donnée ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

En gros (c’est le cas de le dire) il s’agit d’un topos dont chaque objet F a pour correspondant un topos, appelé « petit topos », 

P(F) qui est un espace où l’on peut faire de la géométrie ( se rappeler qu’un topos peut être vu comme la généralisation d’un espace topologique, c’est à dire un ensemble de points muni d’une topologie, qui est une collection de parties (de sous ensembles)appelées « ouverts »,  de cet ensemble, collection obéissant à certaines conditions, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Noter que dans le gros topos le petit topos associé à l’objet terminal 1, soit P(1) est appelé « topos des points » du gros topos (notion à garder en mémoire):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

La note d’Urs Shreiber donne un exemple précis de quadruplet de foncteurs en adjonction (adjoint quadruple) dont nous avons parlé dans l’article récent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

f! ⊣f * ⊣ f * ⊣ f !

Le foncteur principal Γ d’un topos cohésif E est appelé foncteur  » section globale » c’est un morphisme géométrique :

Γ: E → S où S est le topos des ensembles et ce foncteur associeà un objet X du topos E, qui est un espace, l’ensemble Γ(X) des points de cet espace X c’est à dire la pure multiplicité de ses « points ».
Quelques précisions ici sur les notations employées : dans l’article de n-category cafe ou de Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

qui est en anglais on emploie la lettre S pour Set, qui veut dire « ensemble », mais en francais cela risque d’introduire une infusion puisque la lettre qui correspond à  » Ensemble » est justement E, et non plus S. Nous introduirons donc les lettres H (comme Henologie ou Henosophia) à la place de E pour un topos cohésif et O(comme Ontologie) à la place de S et noterons ce foncteur section globale:

Γ : H → O
Où O est le topos Ens des ensembles qui , selon la doctrine de Badiou dans l’Etre et l’événement , correspond à l’ontologie qui traite de la multiplicité pure  » sans Un » , qui est ici la multiplicité pure des points de l’espace, en oubliant la cohésion .
Une première adjonction est :

Disc ⊣ Γ
(Γ est adjoint à droite de Disc)
Où Disc est le foncteur qui envoie un ensemble de points ,pure multiplicité sans cohésion, sur la meme multiplicité mais structurée par la topologie discrète ( dans le cas d’une structure topologique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie_discrète

Rappelons qu’une topologie sur un ensemble X de points consiste en une collection de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions, sous-ensembles appelés « ouverts ». Cette topologie discrète est en même temps la topologie maximale possible : tout sous ensemble est un ouvert.
La topologie minimale, la plus « grossière », est appelée « codiscrete » : seuls l’ensemble vide (sans aucun point) et l’ensemble total sont des ouverts, ce qui est toujours le cas dans toute topologie.
Le foncteur Codisc, envoyant un ensemble de points sur la structure codiscrete définie sur cet ensemble, correspondant est adjoint à droite du foncteur Γ.
Enfin un quatrième foncteur Π vient s’ajouter aux trois précédents:

Π : H → O (voir le rappel sur nos notations plus haut: O comme  » Ontologie »est le topos des ensembles, du multiple pur « sans Un, sans cohésion  » et H comme  » Henosophia » est le topos cohésif.
Ce foncteur est un peu plus compliqué : dans le cas n= 1 il envoie un espace sur ses composantes connexes, et pour les niveaux supérieurs cela se généralise à la « truncation de niveau (n-1) du groupoide fondamental :

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid

Qui a pour objets les points de l’espace de départ (de l’ensemble de points) X et pour morphismes les  » chemins » d’un point à l’autre, définis à une homotopie près.
Le groupoide fondamental est une généralisation du groupe fondamental d’un espace topologique et ces deux notions se généralisent d’un espace topologique à un topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+group+of+a+topos
Ce foncteur Π est adjoint à gauche du foncteur Disc.
Nous avons donc une série de trois adjonctions entre les quatre foncteurs définis , ce qui répond bien à la définition d’un quadruplet (« adjoint quadruple »):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Ce quadruplet est la généralisation cherchée d’un morphisme géométrique, et il est orienté tout comme un morphisme géométrique qui est une paire de foncteurs adjoints. L’orientation va de H (topos cohésif, hénosophique) vers O ( topos des ensembles, ontologique ) et c’est ainsi que Lawvere définit les topoi cohésifs.
La seconde partie de la note d’Urs Schreiber titrée  » A remark on Lawvere’s work » est extrêmement importante, en voici les extraits cruciaux:
« He is really at heart a physicist, in the following sense: he is deeply interested in the mathematical model building of reality He is searching for those structures in abstract category theory that do reflect the world. He is asking: What is a space in which physics can take place? Concretely: What is the abstract context in which one can talk about continuum dynamics? I gather even though he is an extraordinary mind, he did not push beyond continuum mechanics, otherwise he would also be asking: What is the abstract context in which quantum field theory takes place? »

(Lawvere réputé comme un logicien, a d’abord pour préoccupation la physique, en s’arrêtant à la mécanique sans aborder le domaine quantique)

Puis
« As Jacob Lurie says rightly: Higher category theory is not theory for its own sake, but for the sake of other theory. And fundamental theoretical physics is all about scanning the space of theories for those that fit reality (as opposed to the physics that most theoretical physicists do, which is scanning the phenomena of one fixed theory.) »
Et enfin la fin de l’article :

« I wish there were more people like Lawvere around, with his perspective on the general abstract basis of everything and at the same time with the overview over modern derived ∞-topos theory and the understanding that the richer structure people are seeing in these is Lawvere’s observation that reality springs out of topos theory taken to full blossoming: reality springs out of ∞-topos-theory »

Ces deux deux dernieres observations font ressortir l’exceptionnelle importance de la  » higher topoi theory » de Jacob Lurie qui n’est pas du tout une généralisation pour le plaisir de « faire compliqué » mais comme dit Schreiber:
 » a full blossoming of topos theory « d’où jaillit la Rélité » ( « reality springs out of ∞-topos-theory »)
J’ai déjà commencé à étudier le « magnum opus » de Jacob Lurie  » Higher topos theory », voir:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Il s’agit d’un travail énorme ( mais moins énorme que celui accompli par Lurie!) et j’espère avoir montré ici qu’il ne s’agit pas d’un jeu gratuit ayant pour but de fuir la réalité insupportable qui est la nôtre (celle de l’Europe de nouveau en guerre 70 ans apres 1945) dans de creuses et vaines abstractions mais justement d’un souci de la Réalité qui comme le dit Shreiber « jaillit de la théorie des topoi et surtout de sa pleine floraison : la théorie des ∞-topoi »
La Réalité ce n’est pas le « plan vital » de l’actualité et de l’Histoire mais le plan spirituel qui est celui où vivent les « clercs véritables » (tels Jacob Lurie) que Julien Benda appelait en 1927 de ses vœux:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/julien-benda-la-trahison-des-clercs/

« Clercs » véritables qui sont « le sel de la Terre » comme le dit l’Evangile:

http://saintebible.com/matthew/5-13.htm

Une réflexion au sujet de « Cohesive ∞-topoi »

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