David Ellerman : théorie hétéromorphique de l’adjonction

Nous accordons ici une grand emporta ce aux travaux de David Ellerman, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/
Car ce chercheur place l’idée d’adjonction au rang le plus important des inventions dont nous sommes redevables à la théorie des catégories, et il donne une explication singulière,d’une clarté remarquable en utilisant la notion d’hétéromorphisme, de l’adjonction.
Cette théorie hétéromorphique de l’adjonction de foncteurs (ou de morphismes dans une 2-catégorie plus générale) est expliquée dans ces articles :

Adjoint functors and heteromorphisms :
http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Et, dans une perspective plus historique :
Mac Lane, Bourbaki, and adjoints :a heteromorphic perspective:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Auxquels il faut adjoindre  » Adjoint brains and functors » qui fait le lien avec les sciences de la vie:

http://arxiv.org/pdf/1508.04036v1.pdf

Ici, nous commencerons avec le paragraphe 3, page 6 à 14, titré  » Heteromorphic theory of adjoints » du premier de ces articles « Adjoint functors and heteromorphisms »
Un hétéromorphisme associe deux objets appartenant à deux catégories différentes, alors qu’un morphisme dans le sens usuel, appelé « homomorphisme », lie deux objets appartenant à une même catégorie attention à ne pas confondre une heteromorphismehétéromorphisme avec un foncteur qui associe à tout objet de la première catégorie un objet correspondant dans la seconde, et à tout morphisme entre deux objets de la première catégorie un morphisme entre les deux correspondants de ces objets dans la seconde catégorie (en respectant de plus la loi de composition des morphismes):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Un morphisme entre deux objets de la même catégorie est X noté par une flèche simple:
x → y
Alors qu’un hétéromorphisme entre un objet x de X et un objet a de la seconde catégorie A est noté par une flèche double :

x ⇒ a
Nous avons déjà analysé le paragraphe 2 du travail de David Ellerman dans deux articles portant sur la notion de bifoncteurs ou de « distributeur » ou « pro foncteurs » ( quand il s’agit de formaliser les propriétés des homomorphismes). On peut de meme formaliser les propriétés des hétéromorphismes dans le cadre des Het-bifoncteurs, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/
( article hélas en mauvais état à cause de mauvaise utilisation des codes html par moi même) et le dernier faisant le parallèle entre Hom-bifoncteurs et Hat-bifoncteurs:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/

Comme il est rappelé page 6 au début du paragraphe 3.1, la définition la plus « classique » de l’adjonction passe par un isomorphisme « naturel » ( ce qui signifie qu’un tel isomorphisme peut être étendu à toute la catégorie) entre les ensembles d’homomorphismes (« Hom-sets ») et toute l’utilité de l’intervention des hétéromorphismes est expliquée par l’équation page 4:
HomA( Fx,a) ≅ Het(x,a) ≅ HomX(x,Ga)
Sous cette forme il est aisé de déceler la direction de l’adjonction : F est adjoint à gauche, car à gauche dans le premier membre de l’équation et G est adjoint à droite :la direction va aussi de X vers A.
Ceci se note, rappelons le:

F⊣G
L’équation ci dessus se lit aussi : le bifoncteur Het est représentable à gauche et à droite (cf page 4).
Le bifoncteur Het est le suivant:

Het: Xop× A → Ens
et envoie un couple d’objets (x,a) sur l’ensemble des hétéromorphismes liant x à à: x ⇒ a

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