Mac Lane, Bourbaki et la théorie de l’adjonction

J’ai déjà parlé de cet article de David Ellerman titré  » Mac Lane, Bourbaki and adjoints : à heteromorphic perspective » , un article à vocation historique qui explique pourquoi Pierre Samuel ( membre du collectif Bourbaki) a frôlé en 1948 l’invention de la notion de foncteurs adjoints qui fut réservée à Daniel Kan en 1958. Au total Bourbaki fit le choix à la fin des années 40 ou au début des années 50, de ne pas utiliser pour fonder les mathématiques le formalisme des catégories et foncteurs, issu en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane pour remplacer celui de la théorie des ensembles, ce qui entraîna la démission d’Alexandre Grothendieckdu groupe.

Mais comme d’habitude David Ellerman illustre son propos à l’aide de la théorie des hétéromorphismes, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2016/01/05/david-ellerman-theorie-heteromorphique-de-ladjonction/

En fait l’explication est assez simple : Pierre Samuel(pour Bourbaki) s’est arrêté à mi-chemin parce qu’il n’avait pas à sa disposition le langage catégorique, le probleme de construction universelle qu’il se posait revient, en termes modernes, à étudier un bifoncteur W (cf l’article ci dessus pour l’explication de cette terminologie chez Ellerman):

W: X op × A → Ens

et à chercher un élément universel pour W(x, -) pour tout x.

Ce qui revient à chercher des objets canoniques de la catégorie A, de forme Fx
donc, tels que :

W( x,a) ≅ HomA (Fx, a)
On est ici très proche de la formulation d’un probleme de recherche de foncteur adjoint: trouver des objets formés selon un procédé canonique Fx tels que :

Hom X( x, Ga) ≅ Hom A (Fx,a)

En 1948 Pierre Samuel se pose un « problème universel »( » Universal mapping problem »), notion qui remonte à Wronski voir notre article:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/05/lidee-de-probleme-universel-un-important-promontoire-pour-une-vision-de-lunite-de-la-mathesis/

Ce qui revient (dans le langage des foncteurs représentables inventé ultérieurement, ironie de l’histoire, par Grothendieck) à chercher une représentation à gauche du bifoncteur Het, voir page 4 de cet autre article d’Ellerman:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

En fait l’adjonction équivaut à la représentabilité à gauche et à droite du bifoncteur Het, selon l’équation complète qui décrit une adjonction justement comme représentation à gauche et à droite du bifoncteur Het:

HomA( Fx,a) ≅ Het(x,a) ≅ HomX(x,Ga)

Samuel est resté trop sur sa gauche !!!

Au paragraphe 4 ( page 4 sur 16) de:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

David Ellerman donne une représentation diagrammatique illuminatrice du problème universel(« Universal mapping problem ») qui équivaut à la représentation à gauches uni s’écrit:

Hom A( F(x), a) ≅ Het (x,a)
(Trouver la représentation à gauche revient à trouver pour tout x une solution au problème universel consistant à faire commuter le diagramme au dessus, page 4 du texte d’Ellerman)
Par dualité Ellerman donne ensuite page 4 un autre diagramme , dual du précédent, qu’il appelle « Co-universal mapping problem » et qui équivaut à la représentation à droite du bifoncteur Het.
La solution des deux problèmes (universel et co-universel) , c’est à dire la représentabilité à droite et à gauche du bifoncteur Het, est une adjonction.
Ellerman cite le livre de Pareigis de 1970 qui parlait de « solution universelle au problème universel ».
Le lien de ce livre important de Pareigis « Categories and functors » est ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/

Ellerman consacre à Pareigis le paragraphe 5, page 5 à 7

Une réflexion au sujet de « Mac Lane, Bourbaki et la théorie de l’adjonction »

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