La nouvelle caractérisation de l’adjonction par Bodo Pareigis

Toujours l’article de David Ellermen (paragraphe 5 page 5 à 7) sur  » Mac Lane, Bourbaki (Pierre Samuel et l’adjonction »:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Le même que nous avons abordé dans l’article précédent de ce blog:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/mac-lane-bourbaki-et-la-theorie-de-ladjonction/

Le livre de Pareigis  » categories ans functors », qui selon Ellerman est le seul
Jusqu’à maintenant à faire appel à la notion de Het-bifoncteur, est lisible ici sur le web:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/
La notation au début du paragraphe 5 d’Ellerman est assez embrouillée, A et B sont des objets de deux catégories C et D , à partir desquelles Pareigis définit une nouvelle catégorie ν(C, D) qui a pour collection d’objets l’union disjointe des collections d’objets de C et D ( c’est à dire l’union ensembliste de ces deux collections m, en comptant deux fois les objets communs aux deux collections:https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Réunion_disjointe )et comme flèches des morphismes de trois sortes: les (homo)morphismes dans les catégories C et D et les hétéromorphismes entre des objets de C et D. Pareigis appelle cette nouvelle catégorie « la catégories directement connectée ν(C,D)avec pour connections l’ensemble des morphismes entre les objets A et B dans la catégorie ν, ensemble noté Morν(A,B). Ellerman fait la liaison avec « Higher topos theory » de Jacob Lurie qui est notre grand chantier sur les blogs de la mouvance Henosophia:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Cette catégorie ν(C,D) serait appelée par Lurie (page 96 du livre ci dessus) cographe d’un bifoncteur H:

H: Cop × D ;rarr; Ens
et notée:

C ⋆H D

Pareigis appelle connection un bifoncteur d’hétéromorphismes ( sans utiliser ce terme »hétéromorphismes »):

W : Xop × A → Ens

Bifoncteurs appelés plus traditionnellement distributeurs, ou profoncteurs, ou correspondances.

Signalons que ce genre de catégories répond à une question que je me pose quant à moi régulièrement : celle des categories ayant plusieurs sorte des morphismes, se composant entre eux à l’intérieur d’une meme classe mais aussi entre deux classes différentes, ici nous avons trois classes les homomorphismes à l’intérieur de l’une des deux catégories C ou D et les hétéromorphismes entre C et D ( à ne pas confondre avec les foncteurs comme nous l’avons déjà vu) c’est la première fois que je trouve un exemple de ce genre de « nouvelles catégories » que je considère comme particulièrement intéressantes car répondant mieux à certains besoins scientifiques ou philosophiques.
L’idée de base de la « nouvelle caractérisation de l’adjonction chez Pareigis » est expliquée par Ellerman page 6 sur 16 de son article : les « situations et problèmes universels » ( » Universal mapping situations ») tournent autour du point suivant: représenter de manière universelle les hétéromorphismes ( entre C et D) à l’intérieur de l’une des deux categories seulement ( ce qui équivaut à la moitié seulement d’une adjonction, moitié à laquelle s’est limité Pierre Samuel le membre de Bourbaki en 1948) ou bien dans les deux catégories C et D ( ce qui équivaut à une adjonction complète). En 1948 la notion de dualité qui est au fondement de la théorie des catégories ( et qui consiste simplement à inverser le sens des flèches)n,était pas encore entrée dans les mœurs, ni surtou dans les têtes, meme les plus fortes têtes de Bourbaki comme celle de Pierre Samuel; 21 ans plus tard en 1969, c’est tout naturellement que Pareigis suivit le flux de pensée décrit par Ellerman page 6 sur 16, en ne se contentant pas comme Pierre Samuel de s’arrêter à mi chemin , c’est à dire au problème universel (« Universal mapping problem ») dont la solution pour tout objet x de X amène à un foncteur F: X → A
donnant un isomorphisme naturel ( c’est à dire canonique, pouvant être étendu par un procédé fixé à toute la catégorie):

HomX[F(x), a] ≅ Het(x,a)
Première partie de l’équation, représentation à gauche du bifoncteur Het à laquelle en est resté Pierre Samuel en 1948,parce qu’il n’a pas eu l’idée d’aborder le problème co-universel, dual du précédent: celui d’une représentation à droite du bifoncteur Het:

Het (x,a) ≅ Hom X(x, G(a))

pour a donné dans A
Pareigis quant à lui en 1969 passe bien au problème dual en inversant ce qu’il appelle la connection, c’est à dire en s’intéressant à un bifoncteur:

Dop × C→ Ens

avec une catégorie directement connectée ν(D,C) qu’il note ν´(C,D) et qu’il appelle en anglais « inversely connected category » mais selon Ellerman cela est orthographié à tort « universely connected category »!!!

Une réflexion au sujet de « La nouvelle caractérisation de l’adjonction par Bodo Pareigis »

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