Dualisation du travail de Pierre Samuel en 1948 et rapide envol vers le pays des chimères

Suite de la lecture annotée de l’article de David Ellerman sur Mac Lane, Bourbaki et l’adjonction:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Venant après l’article précédent sur ce sujet:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/07/la-nouvelle-caracterisation-de-ladjonction-par-bodo-pareigis/

Page 7 de l’article d’Ellerman paragraphe 6 : Pierre Samuel, représentant de Bourbaki, travaillait sur les homomorphismes et les hétéromorphismes (appelés chimères ou morphismes chimériques « chimera morphism » parce qu’ils ont la queue dans un monde c’est à dire une catégorie et la tête dans une autre) dans des catégories d’ensembles structurés : S-ensembles (« S-sets ») et T-ensembles( » T-sets ») S et T étant les structures par exemple si S est la structure de groupe un S-ensemble est tout simplement un groupe, si T est la structure topologique un T-ensemble est un espace topologique :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Les groupes sont organisés en catégorie en prenant comme flèches les homomorphismes entre les ensembles ayant la structure de groupes qui dont les morphismes (applications) respectant la structure de groupe si S est la structure de groupe ce sont des applications que Samuel nomme « S-mappings »
Si T est la structure topologique , ce que Samuel appelle « T-mappings » sont les homomorphismes de ce qui est maintenant appelé « catégorie des espaces topologiques » et ces morphismes sont les fonctions continues entre deux espaces topologiques:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Continuité_(mathématiques)

c’est à dire les applications telles que l’image inverse d’un ouvert ( de la topologie de l’ensemble cible) est un ouvert ( de la topologie de l’ensemble source)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie

Les cas précédents de S-mappings et T-mappings sont des homomorphismes car on reste à l’intérieur d’une même structure (d’une même catégorie)
Par contre dès 1948 Pierre Samuel conçoit ce qui est maintenant appelé (par David Ellerman qui est le Grand Maître de cérémonie de ces sortes d’êtres mathématiques ) : hétéromorphismes ou chimères. Il les appelle S-T mappings ce sont des flèches qui envoient un S-ensemble sur un T-ensemble en étant compatible avec les deux structures S et T.
On connaît en mathématiques des êtres , appelés groupes topologiques ,ayant à la fois les deux structures S et T, avec en plus certaines conditions de compatibilité entre les deux structures, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_topologique

et ces groupes topologiques peuvent bien sûr etre organisés en une catégorie ( sinon ça se saurait) ayant comme flèches les (homo)morphismes respectant la structure de groupe topologique. Quelle est le lien entre ce que Pierre Samuel appelle S-T-mappings et ces (homo)morphismes de la catégorie des groupes topologiques ? Il faut bien voir que ce n’est pas la même chose car les S-T-mappings sont des hétéromorphismes, liant un S-ensemble ( un groupe) à un T-ensemble ( un espace topologique) , alors que les morphismes entre groupes topologiques sont des homomorphismes.
Nous sommes ici au coeur d’un problème philosophique important, celui de ce que David Ellerman appelle hétérophobie, ou « traitement hétérophobique, privilégiant les homomorphismes « , dans la mathématique classique, celle de Mac Lane notamment.
Pierre Samuel avait bien noté en 1948 que la composition d’un hétéromorphisme (« S-T-mapping ») avec un homomorphisme (« T-mapping ») est un hétéromorphisme.
Ici je dois signaler un important problème de notation : dans l’article que nous lisons actuellement Ellerman utilise pour les hétéromorphismes la flèche classique → alors que dans l’autre article il utilise la double flèche :
⇒ Je m’en tiendrai à ce dernier usage pour des raisons de cohérence.
Le problème universel tel que présenté par Pierre Samuel fait appel aux hétéromorphismes (« S-T-mappings »), on part d’un S-ensemble E, et pour tout hétéromorphisme (  » S-T-mapping »dans la terminologie de Samuel) :
φ : E ⇒ F
Vers un T-ensemble F on se pose le problème de définir un procédé canonique ( c’est à dire un foncteur en termes modernes) associant à φ un hétéromorphisme:

φ0 : E ⇒ F0

De manière telle que l’on ait un homomorphisme unique (universalité)de T-ensembles:

F0 → F
Faisant commuter le tout: (page 7)

F*φ0= φ
En notant* la loi de composition des morphismes.

Seulement Samuel ne voit pas le problème dit co-universel, dual du précédent (obtenu en renversant le sens de flèches) voir page 7, c’est pouquoi il passe de peu à côté de l’adjonction.
Aux paragraphes 7 et 8 suivants, pages 8 et 9, David Ellerman analyse l’oubli dit « hétérophobe » des hétéromorphismes dans les stades ultérieurs de la théorie des catégories et distingue semble t’il deux périodes dans la carrière de Mac Lane, que je ne connais pas assez bien pour confirmer ses dires.
Ainsi page 9 il analyse l’instrument des « Universal arrows  » d’un objet vers un foncteur dû à Mac Lane comme  » heterophobic device » , selon une définition ne faisant pas appel à la notion d’hétéromorphisme (« het-free »)
Alors que Mac Lane définissait au début des hétéromorphismes qui sont maintenant appelés cônes et qui apparaissent, en prenant leur « limite » , dans des constructions universelles telles que le produit de deux objets ( cf page 8)

Une réflexion au sujet de « Dualisation du travail de Pierre Samuel en 1948 et rapide envol vers le pays des chimères »

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s