Jacob Lurie : Higher topos theory; catégories topologiques et ensembles simpliciaux

J’ai déjà commencé l’étude de ce livre prodigieux, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

Le livre « Higher topos theory » se trouve facilement sur Internet, par exemple ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

À partir de la page 6 du chapitre 1 du livre (page 24 sur 949 du fichier .pdf) Jacob Lurie passe en revue plusieurs cadres possibles pour l’étude des ∞-catégories à commencer par le cadre es catégories enrichies puisqu’une n-catégorie peut être considérée comme enrichie sur la catégorie des (n-1)-catégories, seulement ceci requiert que l’associativité de la composition des flèches soit définie strictement , à une égalité stricte près et non pas à un isomorphisme près, de façon plus « faible » ou « relâchée », comme c’est le cas dans la réalité, ce qui réclamerait de considérer la collection des (n-1)-catégories comme une  n-catégorie, et non pas comme une catégorie, bref la définition des n-catégories fait appel aux n-catégories! Ce qui signifie que cette approche, dite « approche naïve  » , souffre d’un cercle logique.
Jacob Lurie cite cependant deux références utilisant l’approche enrichie et dépassant ses écueils:
1-l’article de Tamsamani sur arxiv:
« On non-strict notions of n-category and n-groupoid via multisimplicial sets »

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006

Et la propre thèse de Lurie  » derived algebraic geometry »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG.pdf

Une autre possibilité, à part l’approche naïve, consiste à définir une ∞-catégorie, comme une catégorie topologique (définition 1.1.1.6 page 7): Jacob Lurie explique les raisons pour cela à la fin de la page 6. Une catégorie topologique est une catégorie enrichie sur la catégorie des espaces topologiques  » faiblement Hausdorff » voir:

http://www3.nd.edu/~mbehren1/18.906spring10/lec02.pdf
Et

https://ncatlab.org/nlab/show/weakly+Hausdorff+topological+space

Rappelons ce qu’est une catégorie enrichie : dans une catégorie ordinaire, la collection des flèches entre deux objets quelconques est un ensemble, c’est à dire un objet de la catégorie Ens. Une catégorie est dite enrichie sur une catégorie C si la collection des flèches entre deux objets est un objet de la catégorie C.
Mais là encore des difficultés apparaissent expliquées par Jacob Lurie au paragraphe 1.1.2 page 7: l’associativité de la composition des morphismes dans le monde des (∞’ 1)-catégories, de la « Higher category theory » est seulement à l’homotopie pres, alors que pour les catégories topologiques on a une associativité qui est une égalité stricte , et non pas à un isomorphisme ou à une homotopie près. On a l’égalité stricte :
(fg)h = f(gh) et non pas :
(fg)h ≊ f(gh),
Le signe ≊ voulant dire  » à un isomorphisme près ».
Vers la fin de la page 7 Jacob Lurie cite différents types de catégories qui sont plus abordables et flexibles que les catégories topologiques comme candidats pour former le cadre da la théorie des (∞,1)-catégories: ainsi par exemple les catégories de Segal, ou les « model categories » pour lesquelles il cite des références.
Mais dans ce livre, Jacob Lurie a choisi comme cadre les quasi-catégories étudiées par André Joyal qui sont identiques aux complexes de Kan (« weak Kan complexes »):

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/12/14/joyal-notes-on-quasi-categories/

Les quasi-categories sont aussi appelées logoi:

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/JOYAL/Joyal.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/logos

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

Une réflexion au sujet de « Jacob Lurie : Higher topos theory; catégories topologiques et ensembles simpliciaux »

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