Lemme de Yoneda

Introduction à la théorie des Catégories

Aujourd’hui, je vais tenter d’expliquer le plus clairement possible (c’est pas une mince affaire) le lemme de Yoneda. Cela nous permettra de parler bientôt des propriétés universelles, pour pouvoir enfin utiliser les catégories en informatique.

Rentrons maintenant dans le vif du sujet : soit $latex mathcal{C}$ une catégorie localement petite (i.e. une catégorie telle que pour tout couple d’objets A,B, Hom(A,B) est un ensemble), A un objet de $latex mathcal{C}$, alors on peut définir le foncteur covariant de $latex mathcal{C}$ dans $latex mathcal{S}et$ : $latex Hom(A,_) : X rightarrow Hom(A,X)$, et qui au morphisme $latex f : X rightarrow Y$ associe le morphisme $latex phi_f : u rightarrow f circ u$.

C’est maintenant que le lemme de Yoneda rentre en jeu : considérons un foncteur covariant $latex F: mathcal{C} rightarrow mathcal{S}et$, alors on peut établir une bijection entre les transformations naturelles de $latex Hom(A,_)$ dans $latex F$ avec les éléments…

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