Transformation naturelle et catégorie des foncteurs

Introduction à la théorie des Catégories

Je vais essayer de présenter dans ce premier post ce que j’ai compris des catégories de foncteurs.
Par foncteur j’entends ici foncteur covariant, mais on peut adapter sans trop de problème tout ce que je dis aux foncteurs contravariant.

Avant de présenter les catégories de foncteurs, je dois déjà présenter la notion de transformation naturelle :
Soit C et D deux catégories, F et G deux foncteurs de C dans D. On aimerait bien pouvoir transformer C en D de manière à conserver les propriétés essentielles des foncteurs (grosso modo la composition des morphismes). En fait, on cherche juste à définir un morphisme entre foncteur, mais pour éviter toute ambiguïté avec l’ensemble des morphismes d’une catégorie, on appelle plutôt ça une transformation naturelle.
Pour donner une définition précise, on appelle une transformation naturelle $latex eta$ de F dans G l’application qui à chaque objet X de C associe un morphisme…

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