Archives pour la catégorie Higher category theory

Truncations and truncated higher inductive types

Homotopy Type Theory

Truncation is a homotopy-theoretic construction that given a space $latex A$ and an integer n returns an n-truncated space $latex tau_{le{}n}A$ together with a map $latex p:Atotau_{le{}n}A$ in an universal way. More precisely, if i is the inclusion of n-truncated spaces into spaces, then n-truncation is left adjoint to i. ($latex tau_{le{}n}A$ is the free n-truncated space built from $latex A$).

Moreover, the notion of truncated object is something already known in homotopy type theory: a type is n-truncated precisely if it is of h-level n+2.

Truncations are very useful in homotopy theory, and are also useful for foundations of mathematics, especially for n=-1,0:

  • The (-1)-truncation is also known as isinhab: given a type A it returns a proposition isinhab A which is true if and only if A is inhabited (by « proposition » and « set » I will always mean « h-proposition » and…

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Un blog grec consacré aux mathématiques de Badiou

La plupart des articles de ce blog sympathique d’un(e) ami(e) grec(que) inconnu(e) sont en grec moderne (ce qui est bien normal, mais dépasse hélas mes possibilités très limitées d’ancien helléniste au lycée Janson de Sailly) mais il y en a certains en anglais comme par exemple celui ci , de surcroît sur le thème crucial du « forcing » de Paul Cohen dans « L’être et l’événement  »

http://badioumathematics.blogspot.fr/2012/10/forcing-in-being-and-event.html
ou bien celui ci sur les principaux symboles de la théorie des ensembles et des probabilités:

http://badioumathematics.blogspot.fr/2011/01/blog-post_3454.html

Ou bien encore celui ci sur la théorie des faisceaux ( qui jour le rôle que l’on sait dans « Logiques des mondes ») en relation avec la pensée de Deleuze, Laruelle et Badiou:

http://badioumathematics.blogspot.fr/2013/09/laruelle-deleuze-badiou-sheaf-theory.html
  

Homotopy of operads and Grothendieck-Teichmuller groups

Cet article du blog « n-category cafe » :

https://golem.ph.utexas.edu/category/2016/01/homotopy_of_operads_and_grothe.html
donne un lien vers le site de Benoît Fresse:

http://math.univ-lille1.fr/~fresse/OperadHomotopyBook/

Où l’on peut lire les deux volumes de son récent travail sur l’homotopie des opérades.
Et voici un autre article de n-category cafe consacré à l’homotopie envisagée dans le cadre de la théorie des catégories ( categorical homotopy theory) avec un lien vers le livre d’Emily Riehl : « Categorical homotopy theory »:

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf
Voir aussi la page du nLab consacrée à ce sujet:

https://ncatlab.org/nlab/show/Categorical+Homotopy+Theory

qui établit la relation avec les ∞-catégories:

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/scratch.pdf

AZIMUTH le blog de John Carlos Baez

John Baez est un savant contemporain, qui a grandement contribué aux progrès récents de la théorie des catégories,en mathématiques et physique mathématique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/John_Baez
Voir notamment son site « This week’s finds » alimenté depuis 1993 et où l’on trouve des petits trésors de connaissance en physique mathématique, l’accent étant mis sur la mathématique des catégories, topoi et n-catégories (« n-categorical physics »)

http://math.ucr.edu/home/baez/TWF.html

http://math.ucr.edu/home/baez/history.pdf

Il participe et anime la rédaction du blog « n-category cafe »ainsi qu’au nLab:

https://golem.ph.utexas.edu/category/

Il est très impliqué dans l’écologie (scientifique, non idéologique) et son blog Azimuth sur WordPress est consacré au « Projet Azimuth »:

https://johncarlosbaez.wordpress.com/about/

Projet dont la page sur le NLab adopte un ton dramatique (parlant du souci des « sauver la planète) qui de la part de mathématiciens hostiles par définition à l’obsession du « buzz » et au sensationnalisme devrait d’autant plus nous inquiéter (si la guerre civile qui couve en Europe n’était pas déjà si évidente et inquiétante, pour le moins).Voici un article récent du blog Azimuth sur le terrible danger , pour le présent et le futur, que font courir à l’humanité les « civilisations » caractérisées par une expansion agressive. La théorie terrifiante des « Von Neumann probes » est évoquée pour l’avenir de l’exploration de l’espace:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Self-replicating_spacecraft#Von_Neumann_probes
L’Occident (et lui seulement ) est généralement cité comme exemple d’une telle civilisation « agressivement expansionniste » mais l’on oublie de citer l’Islam comme autre exemple (notamment les « antisionistes » comme Noam Chomsky). Or il est possible de conjecturer voire de démontrer que l’oubli au 18ème siècle des « bons aspects » (spirituels) de la science créée au 17 eme siècle au profit des applications militaires de la technoscience a été imposé à l’Europe par le souci de se défendre contre les perpétuelles agressions ottomanes qui jusqu’en 1760 ont menacé l’Europe d’un anéantissement total ( ce qui est la situation d’Israel aujourd’hui et peut être aussi de l’Europe compte tenu de l’islamisation causée par ce que l’on appelle pudiquement « crise des Migrants »)
Qu’est ce que la civilisation comme alternative à la barbarie ? C’est la tentative de combattre l’emprise du « plan vital » sur les consciences, et de sauvegarder la possibilité de l’accès au « plan spirituel »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/05/19/brunschvicgraisonreligion-les-oppositions-fondamentales-moi-vital-ou-moi-spirituel/
On voit donc que la notion de « civilisation agressivement expansionniste » est auto-contradictoire, puisque l’expansionnisme , le fait de conquérir le plus possible de ressources vitales en faisant la guerre aux autres civilisations, est propre au plan vital et aux religions prosélytes qui sont toutes restées prisonnières du plan vital, contrairement à ce qui est leur mission essentielle. Ainsi « prendre les fables de la Bible au mot », ce que l’on reproche généralement aux sionistes et à leurs « supporters », est indubitablement une erreur tragique ou une fraude qui a pour conséquence l’oubli du sens réel de la Bible : représenter symboliquement l’errance humaine qui se libère de l’esclavage du plan vital (symbolisé par l’esclavage en Égypte des hébreux) et qui cherche à travers le désert (symbolisant l’ascèse) l’accès à la Terre promise Israël (symbolisant le plan spirituel, « Royaume des cieux qui n’est pas de ce monde », c’est à dire est radicalement différent et séparé du plan vital). certes! Mais il est bien plus dangereux de prendre le Coran au mot, comme le font en majorité les musulmans même « non radicalisés »
Ainsi prendre au pied de la lettre le verset 110 de la Sourate 3:

« 110. Vous êtes la meilleure communauté qu’on ait fait surgir pour les hommes vous ordonnez le convenable, interdisez le blâmable et croyez à Allah. Si les gens du Livre croyaient, ce serait meilleur pour eux, il y en a qui ont la foi, mais la plupart d’entre eux sont des pervers. »

conduit au fanatisme et à l’expansionnisme agressif de l’Islam, observé au cours des 14 siècles de son histoire (lors des invasions de l’Inde notamment), consistant à imposer aux peuples soumis par la force et le génocide la Sharia, loi prétendûment divine. Et là nous ne parlons pas d’intégrisme ou d’islamisme, mais de l’Islam historique, qui est coupable de guerres incessantes visant l’expansion et la conquête, et cela d’abord pour conquérir des ressources, en imposant aux peuples refusant de devenir musulmans des impôts spéciaux comme le « gay » ou la « dhimmah » (d’où l’appellation de « dhimmis » pour les minorités juives et chrétiennes en « terre d’islam » ). Par contre Israël ou l’Inde ne sont pas expansionnistes et ne font pas de prosélytisme…

Un autre livre de Hans Joachim  Baues disponible sur le web: « Algebraic homotopy »

C’est ici:

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/baues4.pdf

Un livre remarquable de Hans Joachim Baues sur l’homotopie et l’homologie considérées de manière catégorique

« Combinatorial foundations of homology and homotopy « par Hans Joachim Baues:

https://ledocteurfaustus.wordpress.com/baues-combinatorial-foundation-of-homology-and-homotopy/

Pour accéder directement au fichier (c’est plus court):

https://ledocteurfaustus.wordpress.com/baues-combinatrorialfoundation/

Une vision catégorique de l’homotopie, domaine abordé dans l’article récent sur le programme « univalent foundations of mathematics  » qui amène à la vision « catégorique » et « higher categorical » de l’homotopie qui est au fondement des « homotopy types »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/02/05/mathematica-without-apologies-le-programme-univalent-foundations/

Le blog du Professeur John Armstrong : « The unapologetic mathematician »

J’ai déjà précisé que les blogs  » Henosophia Toposophia Mathesis universalis » ne doivent pas être considérés comme des blogs de mathématique ou de science ni meme de philosophie, mais cela n’implique de ma part aucune prise de distance ou attitude hautaine envers ces blogs de professionnels des maths, bien au contraire, je les admire pour leur rigueur de pensée ( les mathématiciens et physiciens mathématiciens je veux dire, pas les philosophes car trop souvent la philosophie de nos jours, surtout sur Internet, se perd dans la brume même pas poétique des jeux de langage ou des termes abscons ( ce qui est aussi le cas des mathématiques, mais là les termes sont clairement et rigoureusement définis). 

L’activité de lecture de ces blogs mathématiques est importante du point de vue de ce blog, car c’est là que se noue un contact irremplaçable avec l’activité mathématique réelle et contemporaine, et d’une autre façon qu’avec les travaux parus sur Arxiv ou dans les livres . Nous en avons déjà recensés trois hier, venant s’ajouter au « n-category cafe » que nous connaissions déjà et en épluchant la rubrique « Blogroll »  ou « links » de ces blogs nous en voyons tout un tas d’autres émerger. Il y a un passage dans l’article du blog de Michael Harris « mathematics without apologies » étudié hier sur lequel je voudrais insister aujourd’hui :

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/13/univalent-foundations-no-comment/

« The same questioner continued: “Is anyone willing to bet against” the prediction that computer-verified proofs will be of “widespread use in mathematics” within 25 years? Lurie immediately replied: “I’ll take that!” to which Richard Taylor added “Yes, me too.” Terry Tao thought that some people, at least, would be using working with computer verification at that point. »

Tous les petits génies des maths questionnés relativisent l’importance de l’intervention des ordinateurs ( assistance pour vérifier les démonstrations par exemple) seul Terence Tao admet que ces techniques pourraient jouer un rôle pour aider à la vérification des preuves ; on enregistre un seul cas où l’aide de l’ordinateur s’est révélée cruciale, jusqu’à aujourd’hui : celui de la démonstration du théorème des quatre couleurs:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_quatre_couleurs

On comprend cette réaction des mathématiciensqui est aussi celle de Roger Penrose: l’unique Sujet à l’œuvre dans la Mathesis, c’est l’Esprit , autrement dit la Raison universelle des esprits, Dieu, qui s’identifie à la liberté et à l’autonomie propre à la conscience humaine et qui est le « plan spirituel » promis au progrès de cette conscience vers la communauté et l’unité des esprits. Or un ordinateur , basé sur le fonctionnement automatique, ne peut être dit libre. En définitive croire comme Marvin Minsky que le  » successeur » à savoir l’ordinateur remplacera un jour l’esprit humain, c’est nier la possibilité de l’autonomie, la possibilité de « devenir l’esprit »: c’est là la racine de tout fascisme , l’islam notamment qui est idolâtrie de la Sharia, de l’hétéronomie.

Toujours dans l’article de « mathematics without apologies »:

« Simon Donaldson made a point (around 30:15) with which most of my colleagues would agree: “One doesn’t read a mathematical paper, what one gets is the idea to reconstruct the argument it’s not that people (generally speaking) would be …checking the logic line by line — they would go and extract the fundamental idea; that’s really the essential thing. »

Là est la différence entre un fonctionnement automatique et le fonctionnement de l’esprit humain, qui saisit directement les idées à l’œuvre dans un texte mathématique. Ce point est très important, et c’est justement pour cette raison qu’il faut lire ces blogs mathématiques, qui se chargent de ce travail d’extraction et de saisie des idées.
Voici un nouveau blog mathématique intéressant dans cette perspective : celui du Professeur John Armstrong « The unapologetic mathematician« :

https://unapologetic.wordpress.com/about/

Un blog important du point de vue de cette saisie des idées ( c’est à dire du plan spirituel) pour « devenir l’Esprit » car il accorde une importance cruciale à la rigueur de la pensée.
Nous avons accordé ici une grande place à l’adjonction, voici quelques articles du blog « Unapologetic mathematician » sur ce thème, qui viennent heureusement compléter ce que nous avons dit ici:

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/16/adjoint-functors/

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/17/the-unit-and-counit-of-an-adjunction/

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/20/limits-are-adjoints/

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/30/transformations-of-adjoints/

Et enfin celui ci qui aborde la notion d’universalité et son lien avec l’adjonction:

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/19/adjoints-and-universality/

Et ce dernier aborde aussi les catégories enrichies dont nous avons vu les rudiments

https://unapologetic.wordpress.com/2007/09/04/enriched-adjunctions/