Archives pour la catégorie Topos physics

#CochetBrunschvicg 4: le dialogue mathématique entre la masse et la lumière 

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/10/14/cochetbrunschvicg-4-le-dialogue-entre-la-masse-et-la-lumiere/

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AZIMUTH le blog de John Carlos Baez

John Baez est un savant contemporain, qui a grandement contribué aux progrès récents de la théorie des catégories,en mathématiques et physique mathématique:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/John_Baez
Voir notamment son site « This week’s finds » alimenté depuis 1993 et où l’on trouve des petits trésors de connaissance en physique mathématique, l’accent étant mis sur la mathématique des catégories, topoi et n-catégories (« n-categorical physics »)

http://math.ucr.edu/home/baez/TWF.html

http://math.ucr.edu/home/baez/history.pdf

Il participe et anime la rédaction du blog « n-category cafe »ainsi qu’au nLab:

https://golem.ph.utexas.edu/category/

Il est très impliqué dans l’écologie (scientifique, non idéologique) et son blog Azimuth sur WordPress est consacré au « Projet Azimuth »:

https://johncarlosbaez.wordpress.com/about/

Projet dont la page sur le NLab adopte un ton dramatique (parlant du souci des « sauver la planète) qui de la part de mathématiciens hostiles par définition à l’obsession du « buzz » et au sensationnalisme devrait d’autant plus nous inquiéter (si la guerre civile qui couve en Europe n’était pas déjà si évidente et inquiétante, pour le moins).Voici un article récent du blog Azimuth sur le terrible danger , pour le présent et le futur, que font courir à l’humanité les « civilisations » caractérisées par une expansion agressive. La théorie terrifiante des « Von Neumann probes » est évoquée pour l’avenir de l’exploration de l’espace:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Self-replicating_spacecraft#Von_Neumann_probes
L’Occident (et lui seulement ) est généralement cité comme exemple d’une telle civilisation « agressivement expansionniste » mais l’on oublie de citer l’Islam comme autre exemple (notamment les « antisionistes » comme Noam Chomsky). Or il est possible de conjecturer voire de démontrer que l’oubli au 18ème siècle des « bons aspects » (spirituels) de la science créée au 17 eme siècle au profit des applications militaires de la technoscience a été imposé à l’Europe par le souci de se défendre contre les perpétuelles agressions ottomanes qui jusqu’en 1760 ont menacé l’Europe d’un anéantissement total ( ce qui est la situation d’Israel aujourd’hui et peut être aussi de l’Europe compte tenu de l’islamisation causée par ce que l’on appelle pudiquement « crise des Migrants »)
Qu’est ce que la civilisation comme alternative à la barbarie ? C’est la tentative de combattre l’emprise du « plan vital » sur les consciences, et de sauvegarder la possibilité de l’accès au « plan spirituel »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/05/19/brunschvicgraisonreligion-les-oppositions-fondamentales-moi-vital-ou-moi-spirituel/
On voit donc que la notion de « civilisation agressivement expansionniste » est auto-contradictoire, puisque l’expansionnisme , le fait de conquérir le plus possible de ressources vitales en faisant la guerre aux autres civilisations, est propre au plan vital et aux religions prosélytes qui sont toutes restées prisonnières du plan vital, contrairement à ce qui est leur mission essentielle. Ainsi « prendre les fables de la Bible au mot », ce que l’on reproche généralement aux sionistes et à leurs « supporters », est indubitablement une erreur tragique ou une fraude qui a pour conséquence l’oubli du sens réel de la Bible : représenter symboliquement l’errance humaine qui se libère de l’esclavage du plan vital (symbolisé par l’esclavage en Égypte des hébreux) et qui cherche à travers le désert (symbolisant l’ascèse) l’accès à la Terre promise Israël (symbolisant le plan spirituel, « Royaume des cieux qui n’est pas de ce monde », c’est à dire est radicalement différent et séparé du plan vital). certes! Mais il est bien plus dangereux de prendre le Coran au mot, comme le font en majorité les musulmans même « non radicalisés »
Ainsi prendre au pied de la lettre le verset 110 de la Sourate 3:

« 110. Vous êtes la meilleure communauté qu’on ait fait surgir pour les hommes vous ordonnez le convenable, interdisez le blâmable et croyez à Allah. Si les gens du Livre croyaient, ce serait meilleur pour eux, il y en a qui ont la foi, mais la plupart d’entre eux sont des pervers. »

conduit au fanatisme et à l’expansionnisme agressif de l’Islam, observé au cours des 14 siècles de son histoire (lors des invasions de l’Inde notamment), consistant à imposer aux peuples soumis par la force et le génocide la Sharia, loi prétendûment divine. Et là nous ne parlons pas d’intégrisme ou d’islamisme, mais de l’Islam historique, qui est coupable de guerres incessantes visant l’expansion et la conquête, et cela d’abord pour conquérir des ressources, en imposant aux peuples refusant de devenir musulmans des impôts spéciaux comme le « gay » ou la « dhimmah » (d’où l’appellation de « dhimmis » pour les minorités juives et chrétiennes en « terre d’islam » ). Par contre Israël ou l’Inde ne sont pas expansionnistes et ne font pas de prosélytisme…

Jacob Lurie : Higher topos theory; catégories topologiques et ensembles simpliciaux

J’ai déjà commencé l’étude de ce livre prodigieux, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

Le livre « Higher topos theory » se trouve facilement sur Internet, par exemple ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

À partir de la page 6 du chapitre 1 du livre (page 24 sur 949 du fichier .pdf) Jacob Lurie passe en revue plusieurs cadres possibles pour l’étude des ∞-catégories à commencer par le cadre es catégories enrichies puisqu’une n-catégorie peut être considérée comme enrichie sur la catégorie des (n-1)-catégories, seulement ceci requiert que l’associativité de la composition des flèches soit définie strictement , à une égalité stricte près et non pas à un isomorphisme près, de façon plus « faible » ou « relâchée », comme c’est le cas dans la réalité, ce qui réclamerait de considérer la collection des (n-1)-catégories comme une  n-catégorie, et non pas comme une catégorie, bref la définition des n-catégories fait appel aux n-catégories! Ce qui signifie que cette approche, dite « approche naïve  » , souffre d’un cercle logique.
Jacob Lurie cite cependant deux références utilisant l’approche enrichie et dépassant ses écueils:
1-l’article de Tamsamani sur arxiv:
« On non-strict notions of n-category and n-groupoid via multisimplicial sets »

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006

Et la propre thèse de Lurie  » derived algebraic geometry »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG.pdf

Une autre possibilité, à part l’approche naïve, consiste à définir une ∞-catégorie, comme une catégorie topologique (définition 1.1.1.6 page 7): Jacob Lurie explique les raisons pour cela à la fin de la page 6. Une catégorie topologique est une catégorie enrichie sur la catégorie des espaces topologiques  » faiblement Hausdorff » voir:

http://www3.nd.edu/~mbehren1/18.906spring10/lec02.pdf
Et

https://ncatlab.org/nlab/show/weakly+Hausdorff+topological+space

Rappelons ce qu’est une catégorie enrichie : dans une catégorie ordinaire, la collection des flèches entre deux objets quelconques est un ensemble, c’est à dire un objet de la catégorie Ens. Une catégorie est dite enrichie sur une catégorie C si la collection des flèches entre deux objets est un objet de la catégorie C.
Mais là encore des difficultés apparaissent expliquées par Jacob Lurie au paragraphe 1.1.2 page 7: l’associativité de la composition des morphismes dans le monde des (∞’ 1)-catégories, de la « Higher category theory » est seulement à l’homotopie pres, alors que pour les catégories topologiques on a une associativité qui est une égalité stricte , et non pas à un isomorphisme ou à une homotopie près. On a l’égalité stricte :
(fg)h = f(gh) et non pas :
(fg)h ≊ f(gh),
Le signe ≊ voulant dire  » à un isomorphisme près ».
Vers la fin de la page 7 Jacob Lurie cite différents types de catégories qui sont plus abordables et flexibles que les catégories topologiques comme candidats pour former le cadre da la théorie des (∞,1)-catégories: ainsi par exemple les catégories de Segal, ou les « model categories » pour lesquelles il cite des références.
Mais dans ce livre, Jacob Lurie a choisi comme cadre les quasi-catégories étudiées par André Joyal qui sont identiques aux complexes de Kan (« weak Kan complexes »):

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/12/14/joyal-notes-on-quasi-categories/

Les quasi-categories sont aussi appelées logoi:

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/JOYAL/Joyal.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/logos

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

La nouvelle caractérisation de l’adjonction par Bodo Pareigis

Toujours l’article de David Ellermen (paragraphe 5 page 5 à 7) sur  » Mac Lane, Bourbaki (Pierre Samuel et l’adjonction »:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Le même que nous avons abordé dans l’article précédent de ce blog:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/mac-lane-bourbaki-et-la-theorie-de-ladjonction/

Le livre de Pareigis  » categories ans functors », qui selon Ellerman est le seul
Jusqu’à maintenant à faire appel à la notion de Het-bifoncteur, est lisible ici sur le web:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/
La notation au début du paragraphe 5 d’Ellerman est assez embrouillée, A et B sont des objets de deux catégories C et D , à partir desquelles Pareigis définit une nouvelle catégorie ν(C, D) qui a pour collection d’objets l’union disjointe des collections d’objets de C et D ( c’est à dire l’union ensembliste de ces deux collections m, en comptant deux fois les objets communs aux deux collections:https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Réunion_disjointe )et comme flèches des morphismes de trois sortes: les (homo)morphismes dans les catégories C et D et les hétéromorphismes entre des objets de C et D. Pareigis appelle cette nouvelle catégorie « la catégories directement connectée ν(C,D)avec pour connections l’ensemble des morphismes entre les objets A et B dans la catégorie ν, ensemble noté Morν(A,B). Ellerman fait la liaison avec « Higher topos theory » de Jacob Lurie qui est notre grand chantier sur les blogs de la mouvance Henosophia:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Cette catégorie ν(C,D) serait appelée par Lurie (page 96 du livre ci dessus) cographe d’un bifoncteur H:

H: Cop × D ;rarr; Ens
et notée:

C ⋆H D

Pareigis appelle connection un bifoncteur d’hétéromorphismes ( sans utiliser ce terme »hétéromorphismes »):

W : Xop × A → Ens

Bifoncteurs appelés plus traditionnellement distributeurs, ou profoncteurs, ou correspondances.

Signalons que ce genre de catégories répond à une question que je me pose quant à moi régulièrement : celle des categories ayant plusieurs sorte des morphismes, se composant entre eux à l’intérieur d’une meme classe mais aussi entre deux classes différentes, ici nous avons trois classes les homomorphismes à l’intérieur de l’une des deux catégories C ou D et les hétéromorphismes entre C et D ( à ne pas confondre avec les foncteurs comme nous l’avons déjà vu) c’est la première fois que je trouve un exemple de ce genre de « nouvelles catégories » que je considère comme particulièrement intéressantes car répondant mieux à certains besoins scientifiques ou philosophiques.
L’idée de base de la « nouvelle caractérisation de l’adjonction chez Pareigis » est expliquée par Ellerman page 6 sur 16 de son article : les « situations et problèmes universels » ( » Universal mapping situations ») tournent autour du point suivant: représenter de manière universelle les hétéromorphismes ( entre C et D) à l’intérieur de l’une des deux categories seulement ( ce qui équivaut à la moitié seulement d’une adjonction, moitié à laquelle s’est limité Pierre Samuel le membre de Bourbaki en 1948) ou bien dans les deux catégories C et D ( ce qui équivaut à une adjonction complète). En 1948 la notion de dualité qui est au fondement de la théorie des catégories ( et qui consiste simplement à inverser le sens des flèches)n,était pas encore entrée dans les mœurs, ni surtou dans les têtes, meme les plus fortes têtes de Bourbaki comme celle de Pierre Samuel; 21 ans plus tard en 1969, c’est tout naturellement que Pareigis suivit le flux de pensée décrit par Ellerman page 6 sur 16, en ne se contentant pas comme Pierre Samuel de s’arrêter à mi chemin , c’est à dire au problème universel (« Universal mapping problem ») dont la solution pour tout objet x de X amène à un foncteur F: X → A
donnant un isomorphisme naturel ( c’est à dire canonique, pouvant être étendu par un procédé fixé à toute la catégorie):

HomX[F(x), a] ≅ Het(x,a)
Première partie de l’équation, représentation à gauche du bifoncteur Het à laquelle en est resté Pierre Samuel en 1948,parce qu’il n’a pas eu l’idée d’aborder le problème co-universel, dual du précédent: celui d’une représentation à droite du bifoncteur Het:

Het (x,a) ≅ Hom X(x, G(a))

pour a donné dans A
Pareigis quant à lui en 1969 passe bien au problème dual en inversant ce qu’il appelle la connection, c’est à dire en s’intéressant à un bifoncteur:

Dop × C→ Ens

avec une catégorie directement connectée ν(D,C) qu’il note ν´(C,D) et qu’il appelle en anglais « inversely connected category » mais selon Ellerman cela est orthographié à tort « universely connected category »!!!

Triplets et quadruplets d’adjonctions (adjoint triples and quadruples)

Dans cet article séminal faisant le lien entre la métaphysique de Wronski et la théorie des catégories et des topoi, nous avions expliqué que pour formaliser ce que Wronski appelle « élément neutre » parmi les trois éléments neutres, nous étions enclins à penser à un foncteur, ou plutôt une paire de foncteurs adjoints, c’est à dire un morphisme (appelé « morphisme géométrique ») dans la 2-catégorie Topos dont les objets sont les topoi et les flèches sont les morphismes géométriques, les 2-morphismes étant une sorte de transformations naturelles appelées « transformations géométriques » et reliant les morphismes géométriques, 2-catégorie qui est notre terrain de travail pour nos travaux hénosophiques et toposophiques: 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Dans l’article séminal, cité au début , nous évoquions l’idée de complexifier un peu la situation:

« Nous pourrions  aussi penser à « complexifier » un peu les choses en utilisant des situations qui se présentent souvent en mathématiques , un foncteur ayant un adjoint à droite et un adjoint à gauche, ou bien une série d’ajonctions , la page Wiki ci dessus en présente deux :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

 

« A functor with a left and a right adjoint. Let G be the functor from topological spaces to sets that associates to every topological space its underlying set (forgetting the topology, that is). G has a left adjoint F, creating the discrete space on a set Y, and a right adjoint H creating the trivial topology on Y


A series of adjunctions. The functor π0 which assigns to a category its sets of connected components is left-adjoint to the functor D which assigns to a set the discrete category on that set. Moreover, D is left-adjoint to the object functor U which assigns to each category its set of objects, and finally U is left-adjoint to A which assigns to each set the antidiscrete category on that set.

de telles situations avec quatre foncteurs en situation d’adjonction à gauche sont souvent utilisées par Bill Lawvere, par exemple :

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/9/tr9.pdf   

Pages 3-4″

Nous avons vu aussi dans l’article de Menni vu précédemment que ces triplets et quadruplets apparaissent en relation avec la notion de cohésion et de topoi cohésifs

Dans cette optique , regardons les pages du Nlab, qui sont comme d’habitude très denses, consacrées aux triplets et quadruplets d’adjoints:

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

et :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Dans la première une précaution terminologique s’impose : le terme anglais « triple » signifie aussi monade, et il faut d’autant plus se garder de confondre « adjoint triple » avec « adjoint monad » qu’il est facile de voir que tout « adjoint triple » (triplet, comprenant deux adjonctions) induit une monade adjointe.

Notons que selon la proposition 1 de la page sur les « adjoint triples » :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

un triplet c’est à dire trois foncteurs d’une catégorie C vers une catégorie D formant une série de deux adjonctions :

F\dashv G. (ce qui se lit : F adjoint à gauche de G) et :

G adjoint à gauche  de H : G ⊣ H

un tel triplet peut se voir comme un adjonction entre deux adjonctions :

(F ⊣G) ⊣ (G ⊣H)

c’est à dire une adjonction (« adjoint pair) dans une certaine 2-catégorie formées ainsi :

nous partons d’une 2 -catégorie initiale dont les foncteurs F,G,H sont les 1-morphismes (avec les transformations naturelles entre foncteurs comme 2-morphismes) et nous formons une nouvelle 2-catégorie dont les morphismes sont les adjonctions (« adjoint pairs ») dans la 2 catégorie initiale (rappelons qu’une adjonction est orientées , puisqu’on parle d’adjoint à gauche et à droite) et l’on peut alors parler d’adjonctiàons entre ces nouveaux 1-morphismes, c’est justement ce que nous faisons ici …

la page nLab sur les « adjoint pairs » est ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjunction

voir surtout dans la seconde moitié le paragraphe « direct definition » sur les adjonctions dans une 2-catégorie.

A noter que dans la page sur les « adjoint triples » :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triple

on trouve à la fin de la proposition 1 un diagramme en forme de carré qui facilite la compréhension (mais c’est en code MathML je ne peux pas le reproduire ici par copier/coller)

les deux adjonctions F ⊣ G et G ⊣ H sont notées en mode horizontal et les adjonctions entre elles en mode vertical comme des 2-morphismes dans une 2- catégorie.

Notons aussi (voir « Properties ») qu’un triplet d’adjoints induit aussi une adjonctions de monades:

un triplet F ⊣ G  ⊣ H : C → D

donne lieu à une monade GF adjointe à gauche à une comonade GH :

GF ⊣ GH : C → C
aussi bien qu’ à une monade FG : D→ D
adjointe à gauche de HG :

FG ⊣ HG : D → D

voir :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+monad

et

https://ncatlab.org/nlab/show/comonad

Un quadruplet (ajoint quadruple) est une séquence de trois adjonctions entre quatre morphismes (dans une 2-catégorie, ce sont en fait des foncteurs) voir la page ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

f! ⊣ f* ⊣ f* ⊣ f !

un quadruplet donne lieu à deux triplets, et comme chaque triplet donne lieu à une adjonction de monades un quadruplet sdonne lieu à quatre paires adjointes de monades : C → C
voir dans « Properties general)
J’ai la conviction que ces quadruplets sont bien la généralisation des morphismes géométriques que nous recherchions dans l’article sur le loi de création de Wronski :
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2012/11/12/loi-de-creation-et-theorie-des-categories/
car ces quadruplets se trouvent au carrefour de plusieurs notions se rapportant aux topoi cohésifs et aux topoi locaux qui sont importants dans la critique du point de vue de Badiou qu’il me reste à commenter et expliquer :

http://arxiv.org/abs/1301.1203

Je m’arrête donc là pour ne pas alourdir trop cet article important , tout en signalant l’article de Schreiber dans le blog excellent « N-category cafe » écrit par la même équipe que le Nlab (John Baez, Urs Schreiber et sans doute d’autres, dont le philosophe Andrew Corfield qui a déclaré qu’il était venu à la philosophie mathématique sous l’influence de Léon Brunschvicg):

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

un articlequi donne un exemple d’un tel quadruplet de foncteurs adjoints en terme de topoi, donc en termes de la science que nous recherchons :

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA

La science de la cohésion selon Lawvere

Voir ce lien et notamment Page 2 la citation tirée de « Axiomatic cohésion » de Lawvere:

http://www.mat.uc.pt/~workCT/slides/Menni.pdf

« axiomatic cohesion » qui est ici:

http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/19/3/19-03.pdf

Notons page 3 du travail de Menni l’intervention des morphismes géométriques entre topoi qui rappelons le sont des paires de foncteurs adjoints (une adjonction est orientée, rappelons le aussi) auxquels nous avons donné ici depuis le début une grande importance voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/23/retour-a-ou-detour-par-la-triade-des-elements-primitifs-de-wronski/

Et surtout:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

Lawvere s’inspire de Hegel, il nous pardonnera donc certainement de lire Wronski !

C’est ma conviction que cette « pensée selon l’Un  » ( et non plus selon l’Etre) dont nous avons trouvé l’idée chez Léon Brunschvicg et que nous nommons Henosophia , pensée révolutionnaire (réellement, cette fois) et censée donner la solution à tous nos douloureux problèmes humains (ainsi que ceux des lecteurs nous accordant éventuellement leur confiance) en nous permettant, selon les mots de Brunschvicg, de « renoncer à la mort » c’est à dire de nous propulser sur le plan spirituel en vivant « comme des Anges », que cette pensée « henosophique » donc à à voir avec la « science de la cohésion » dont parle Lawvere.

Pratique mathématique et lectures de Hegel, de   Cavaillès à Lawvere

Voir:

http://baptiste.meles.free.fr/site/B.Meles-Cavailles_Lawvere_Hegel.pdf

Un article qui (sans négliger l’importance de Cavaillès, élève de Brunschvicg , héros de la Résistance et tout autant philosophe inspiré par Spinoza que mathématicien) peut servir d’introduction à la pensée marquée par Hegel de Lawvere , inventeur avec Grothendieck des topoi , voir:

https://ncatlab.org/nlab/show/intensive+or+extensive+quantity

https://ncatlab.org/nlab/show/objective+and+subjective+logic

In (Lawvere 94b) it is suggested that universal constructions in categorical logic and topos theory, such as adjunctions, should be thought of as the formal incarnation of Hegel’s objective Logic…
« It is my belief that in the next decade and in the next century the technical advances forged by category theorists will be of value to dialectical philosophy, lending precise form with disputable mathematical models to ancient philosophical distinctions such as general vs. particular, objective vs. subjective, being vs. becoming, space vs. quantity, equality vs. difference, quantitative vs. qualitative etc. In turn the explicit attention by mathematicians to such philosophical questions is necessary to achieve the goal of making mathematics (and hence other sciences) more widely learnable and useable. Of course this will require that philosophers learn mathematics and that mathematicians learn philosophy. »

https://ncatlab.org/nlab/show/William+Lawvere