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Cohesive ∞-topoi

J’ai parlé à la fin du dernier article sur les « adjoint triples and quadruples » de cette note d’Urs Schreiber sur n-category cafe:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

La définition rigoureuse de la notion de « gros topos » est donnée ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

En gros (c’est le cas de le dire) il s’agit d’un topos dont chaque objet F a pour correspondant un topos, appelé « petit topos », 

P(F) qui est un espace où l’on peut faire de la géométrie ( se rappeler qu’un topos peut être vu comme la généralisation d’un espace topologique, c’est à dire un ensemble de points muni d’une topologie, qui est une collection de parties (de sous ensembles)appelées « ouverts »,  de cet ensemble, collection obéissant à certaines conditions, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Noter que dans le gros topos le petit topos associé à l’objet terminal 1, soit P(1) est appelé « topos des points » du gros topos (notion à garder en mémoire):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

La note d’Urs Shreiber donne un exemple précis de quadruplet de foncteurs en adjonction (adjoint quadruple) dont nous avons parlé dans l’article récent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

f! ⊣f * ⊣ f * ⊣ f !

Le foncteur principal Γ d’un topos cohésif E est appelé foncteur  » section globale » c’est un morphisme géométrique :

Γ: E → S où S est le topos des ensembles et ce foncteur associeà un objet X du topos E, qui est un espace, l’ensemble Γ(X) des points de cet espace X c’est à dire la pure multiplicité de ses « points ».
Quelques précisions ici sur les notations employées : dans l’article de n-category cafe ou de Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

qui est en anglais on emploie la lettre S pour Set, qui veut dire « ensemble », mais en francais cela risque d’introduire une infusion puisque la lettre qui correspond à  » Ensemble » est justement E, et non plus S. Nous introduirons donc les lettres H (comme Henologie ou Henosophia) à la place de E pour un topos cohésif et O(comme Ontologie) à la place de S et noterons ce foncteur section globale:

Γ : H → O
Où O est le topos Ens des ensembles qui , selon la doctrine de Badiou dans l’Etre et l’événement , correspond à l’ontologie qui traite de la multiplicité pure  » sans Un » , qui est ici la multiplicité pure des points de l’espace, en oubliant la cohésion .
Une première adjonction est :

Disc ⊣ Γ
(Γ est adjoint à droite de Disc)
Où Disc est le foncteur qui envoie un ensemble de points ,pure multiplicité sans cohésion, sur la meme multiplicité mais structurée par la topologie discrète ( dans le cas d’une structure topologique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie_discrète

Rappelons qu’une topologie sur un ensemble X de points consiste en une collection de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions, sous-ensembles appelés « ouverts ». Cette topologie discrète est en même temps la topologie maximale possible : tout sous ensemble est un ouvert.
La topologie minimale, la plus « grossière », est appelée « codiscrete » : seuls l’ensemble vide (sans aucun point) et l’ensemble total sont des ouverts, ce qui est toujours le cas dans toute topologie.
Le foncteur Codisc, envoyant un ensemble de points sur la structure codiscrete définie sur cet ensemble, correspondant est adjoint à droite du foncteur Γ.
Enfin un quatrième foncteur Π vient s’ajouter aux trois précédents:

Π : H → O (voir le rappel sur nos notations plus haut: O comme  » Ontologie »est le topos des ensembles, du multiple pur « sans Un, sans cohésion  » et H comme  » Henosophia » est le topos cohésif.
Ce foncteur est un peu plus compliqué : dans le cas n= 1 il envoie un espace sur ses composantes connexes, et pour les niveaux supérieurs cela se généralise à la « truncation de niveau (n-1) du groupoide fondamental :

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid

Qui a pour objets les points de l’espace de départ (de l’ensemble de points) X et pour morphismes les  » chemins » d’un point à l’autre, définis à une homotopie près.
Le groupoide fondamental est une généralisation du groupe fondamental d’un espace topologique et ces deux notions se généralisent d’un espace topologique à un topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+group+of+a+topos
Ce foncteur Π est adjoint à gauche du foncteur Disc.
Nous avons donc une série de trois adjonctions entre les quatre foncteurs définis , ce qui répond bien à la définition d’un quadruplet (« adjoint quadruple »):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Ce quadruplet est la généralisation cherchée d’un morphisme géométrique, et il est orienté tout comme un morphisme géométrique qui est une paire de foncteurs adjoints. L’orientation va de H (topos cohésif, hénosophique) vers O ( topos des ensembles, ontologique ) et c’est ainsi que Lawvere définit les topoi cohésifs.
La seconde partie de la note d’Urs Schreiber titrée  » A remark on Lawvere’s work » est extrêmement importante, en voici les extraits cruciaux:
« He is really at heart a physicist, in the following sense: he is deeply interested in the mathematical model building of reality He is searching for those structures in abstract category theory that do reflect the world. He is asking: What is a space in which physics can take place? Concretely: What is the abstract context in which one can talk about continuum dynamics? I gather even though he is an extraordinary mind, he did not push beyond continuum mechanics, otherwise he would also be asking: What is the abstract context in which quantum field theory takes place? »

(Lawvere réputé comme un logicien, a d’abord pour préoccupation la physique, en s’arrêtant à la mécanique sans aborder le domaine quantique)

Puis
« As Jacob Lurie says rightly: Higher category theory is not theory for its own sake, but for the sake of other theory. And fundamental theoretical physics is all about scanning the space of theories for those that fit reality (as opposed to the physics that most theoretical physicists do, which is scanning the phenomena of one fixed theory.) »
Et enfin la fin de l’article :

« I wish there were more people like Lawvere around, with his perspective on the general abstract basis of everything and at the same time with the overview over modern derived ∞-topos theory and the understanding that the richer structure people are seeing in these is Lawvere’s observation that reality springs out of topos theory taken to full blossoming: reality springs out of ∞-topos-theory »

Ces deux deux dernieres observations font ressortir l’exceptionnelle importance de la  » higher topoi theory » de Jacob Lurie qui n’est pas du tout une généralisation pour le plaisir de « faire compliqué » mais comme dit Schreiber:
 » a full blossoming of topos theory « d’où jaillit la Rélité » ( « reality springs out of ∞-topos-theory »)
J’ai déjà commencé à étudier le « magnum opus » de Jacob Lurie  » Higher topos theory », voir:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Il s’agit d’un travail énorme ( mais moins énorme que celui accompli par Lurie!) et j’espère avoir montré ici qu’il ne s’agit pas d’un jeu gratuit ayant pour but de fuir la réalité insupportable qui est la nôtre (celle de l’Europe de nouveau en guerre 70 ans apres 1945) dans de creuses et vaines abstractions mais justement d’un souci de la Réalité qui comme le dit Shreiber « jaillit de la théorie des topoi et surtout de sa pleine floraison : la théorie des ∞-topoi »
La Réalité ce n’est pas le « plan vital » de l’actualité et de l’Histoire mais le plan spirituel qui est celui où vivent les « clercs véritables » (tels Jacob Lurie) que Julien Benda appelait en 1927 de ses vœux:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/julien-benda-la-trahison-des-clercs/

« Clercs » véritables qui sont « le sel de la Terre » comme le dit l’Evangile:

http://saintebible.com/matthew/5-13.htm

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n-catégories ( higher category theory)et leurs applications ( en physique notamment)

Le champ de la « Higher category theory » (les n-catégories) :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

est sans doute le plus dynamique de la mathématique aujourd’hui, je l’avais comparé dans un autre article au « Far West » parce que l’espace à étudier est tellement grand que tous les chercheurs intéressés peuvent s’y « établir », snas craindre de se gêner entre eux , ce sont là pour la plupart des « terres encore vierges » qui attendent les explorateurs et autres pionniers .
Témoin cette page du nlab sur les applications à la physique :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory+and+physics

et cette autre sur les applications  en général :

http://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory

Mais c’est sans doute la page suivante qui explique le mieux le « point de vue » de la discipline en établissant clairement la différence avec la « neutralité axiologique » propre à l’esprit encyclopédique (de Wikipedia par exemple) :

http://ncatlab.org/nlab/show/nPOV

« Around the nLab it is believed that category theory and higher category theory provide a point of view onMathematics, Physics and Philosophy which is a valuable unifying point of view for the understanding of the concepts involved. »

le mot important est ici « unifying point of view » , c’est à dire le point de vue de la « hauteur » de l’aigle qui survole la plaine et voit tout d’un seul coup d’œil par ce que Whiteheab appelait  » généralisation imaginative et qu’il comparait au vol d’un avion qui s’oppose au point de vue encyclopédique qui avance pas après pas :

http://mathesis.blogg.org/mathesis-universalis-totalite-et-savoir-absolu-p1002238

Mais si nous revenons à la métaphore précédente du Far West et des immenses terres vierges qui attendant les futurs explorateurs, nous pourrions dire que l’exploration elle meme crée de nouvelles terres. C’est ainsi que l’on peut interpréter ce qui est dit dans cette page:

http://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory
« The tools of category theory and higher category theory serve to organize other structures. There is a plethora of applications that have proven to be much more transparent when employing the nPOV. Higher category theory has helped foster entire new fields of study that would have been difficult to conceive otherwise. This page lists and discusses examples. »

Si l’on traduit  » foster » par  favoriser, alors il est bien affirmé ici que la  « higher category theory » ( étude des « catégories  supérieures ou n-catégories » )a favorisé l’apparition de champs d’études entièrement nouveaux, qu’il aurait été difficile de concevoir autrement.

Ce constat indéniable appelle de nouveaux instruments de pensée mathématique : car si la discipline même de la « higher category theory » sert à organiser les autres structures voire  à les faire apparaître , on ne peut plus se contenter de foncteurs reliant certaines catégories à des structures considérées comme étant déjà là indépendamment de ces catégories .

Pour prendre un exemple :  la théorie des groupes a été créée bien avant, (plus d’un siècle avant ) la théorie des catégories , elle n’a donc pas besoin de cette dernière pour être conçue et comprise, et pourtant il est bien connu qu’un groupe Gpeut être vu comme une catégorie à un seul objet que l’on nommera G comme le groupe et dont les flèches sont les éléments du groupe, et sont toutes des isomorphismes, c’est à dire inversibles (possédant une flèche inverse). la composition de deux flèches s’identifie au produit des deux éléments correspondants du groupe par l’opération de compoition (nommée produit ou multiplication) du groupe et le morphisme identité Id<sub>G</sub> est simplement l’élément neutre 1 du groupe pour le produit.. l’inverse d’une flèche est l’inverse de l’élément correspondant du groupe.

Un groupoide étant défini comme une catégorie dont toutes les flèches sont des isomorphismes (sont inversibles) on voit qu’un groupe est un groupoîde à un seul objet.

Et pourtant les groupoîdes ont été inventés par Brandt en 1926, vingt ans avant l’invention de la théorie des catégories:

http://mathoverflow.net/questions/199849/brandts-definition-of-groupoids-1926

On peut donc penser à un dépassement de la notion de foncteur : alors qu’un foncteur est une flèche entre deux catégories obéissant à certaines règles et conditions

https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

on introduirait, avec ce nouvel intrument, une flèche entre deux champs d’études mathémtiques (qui pourraient être représentés par des n-catégories ou des ∞-catégories ) si le champ A est absolument nécessaire pour poser, parler de et concevoir le champ B :

A ——-> B

sans A on ne peut absolument pas penser B.

On voit bien que l’on a affaire là à tout autre chose qu’un foncteur, mais l’on peut penser à un ch&amp qui serait un objet initial c’est à dire qu’il y aurait une flèche partant de lui et orientée vers tous les autre champs d’étude mais l’inverse ne serait pas vraie .

Question : la théorie des n-catégories ou des catégories ou bien la théorie des ensemblres (c’est à dire des 0-catégories ) n ‘est elle pas ainsi en position d’objet initial vis à vis de toutes les parties des mathématiques , voire de tous les domaines d’études scientifiques et philosophiques ?

Malgré cette position « en surplomb » il y a bien une extériorité qui s’impose à la théorie comme, en chimie, la table périodique des éléments de Mendeleev  , qui permet néanmoins  de prédire la découverte de nouveaux éléments :la tale périodique des n-catégories

http://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

sous la forme d’un tableau à double entrée indexée par n (ligne du haut) et k colonne de gauche)

L’index k prenant des valeurs entières supérieures ou égales à zéro introduit une structure se complexifiant progressivement au fur et à mesure que les valeurs de k augmentent : ainsi pour n=0 on a les 0-catégories qui sont les ensembles et si k= 1 on a une façon unique de multiplier (composer) les éléments de l’ensemble entre eux , ce qui donne un monoîde (ensemble muni d’une opération ou loi de composition associative) , pour n= 1 on obtient un catégorie monoïdale (munie d’un produit tensoriel entre les objets)

http://ncatlab.org/nlab/show/k-tuply+monoidal+n-category

les valeurs n négatives ont un sens  les travaux de Baez l’ont montré : on peut paler de (-1) -catégories, qui sont les valeurs de vérité 0 et 1 (vrai ou faux,  » Est  » et « non » de Descartes dans son rêve lors de la « nuit de songes »

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

pour n = -2 on obtient la valeur 1 « toujours vrai » (nécessairement vrai)

voir:

https://unedemeuresouterraineenformedecaverne.wordpress.com/2014/01/30/les-1-categories-et-2-categories/

Faire croître l’insex n revient à intoduire des n-morphismes entre les (n-1)- morphismes : on obtient donc  progressivement un réseau de plus en plus dense de rapports , de relations, un maillage relationnel de plus en plus serré , ce qui est la tâche d’une unification progressive qui est celle de la mathesis et celle même de l’esprit qui est la « faculté d’inventer des rapports » selon Brunschvicg dans « introduction à la vie de l’esprit » :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/31/brunschvicgintroduction-leon-brunschvicg-introduction-a-la-vie-de-lesprit/

Partant de la vérité nécessaire pour n = -2 et pour n=-1de la méthode scientifique de recherche de la vérité, réclamant un « objet-vérité » dans un topos qui dans le topos classique booléen des ensembles est constitué du vrai  et du faux » pour on s’approche au fur et à mesure que n croît vers l’infini de plus en plus de l’unification totale et complète,  de l’Un se constituant en immanence radicale à la conscience (et non pas de l’Un transcendant des métaphysiciens religieux ) selon le processus de ce que nous appelons ici henosophia ou « pensée selon l’un » (et non pas selon l’Etre) . A noter que si nous suivons la thèse révolutionnaire mais démontrée (au début de son livre l’Etre et l’évènement »)  d’Alain Badiou selon laquelle la mathématique (de la théorie des ensembles) est ce que la philosophie appelle depuis Aristote ontologie, pensée de l’Etre en tant qu’être , alors le trajet que nous venons de décrire croise la pensée de l’Etre, pensée du multiple pur « sans un » , pour n = 0 (les 0-catégories sont les ensembles)

On peut lire « L’Etre et l’évènement » de Badiou mais en anglais, ici :

http://www.sok.bz/web/media/video/BeingBadiou.pdf

On  comprend donc que la  » higher category theory » encore largement en friches  et inexplorée est le coeur de la partie transcendantale de la science : la mathesis. Nous ne l’avons abordée jusqu’ici que par le livre de Jacob Lurie: « Higher topos theory  » qui prend son origine dans « À la poursuite des champs » (  » Pursuing stocks ») de Grothendieck, dont Lurie est le meilleur continuateur :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Pour l’instant il n’y a que deux articles sur le livre « Higher topos theory »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Et 

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

et il y a aussi la page du Nlab sur ce sujet:
http://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory



David Ellerman: théorie  des ensembles et universaux abstraits 

Article venant à la suite de :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/18/david-ellerman-concrete-universals-in-category-theory/

Où nous étudions de près le travail de Divic Ellerman: « Concrete universals in category theory »

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

À partir de la fin de la page 2 de cet article David Ellerman se penche sur la theorie des ensembles dont l’idée originale fondatrice était selon lui de former une théorie générale des universaux , un universel étant accolé à une propriété sous la forme d’une entité telle que tout objet possédant la propriété en question aurait une relation spéciale avec cette entité. La théorie des ensembles propose comme relation la relation d’appartenance de la theorie des ensembles notée par le signe ∊et comme « entité universelle  » accolée à une certaine propriété P l’ensemble de tous les objets ayant la propriété P.

Seulement Bertrand Russell trouva un paradoxe qui met à mal cette théorie , il examina la propriété P des ensembles consistant pour un ensemble à « ne pas être élément de lui même « :

Un ensemble X possède la propriete P s et seulement si (ssi) X ∉ X ( X n’appartient pas à X ), X n’est pas élément de X). Soit alors l’entité universelle Z  accolée à cet propriété P, c’est à dire l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes .

Demandons nous si Z appartient à lui même ou non.Nous nous heurtons à un paradoxe logique le paradoxe de Russell:

Si Z appartient à Z : Z  ∊ Z alors Z appartient à l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes, donc il ne s’appartient pas à lui même. Dons si Z appartient à lui même alors Z ne s’appartient pas à lui mêmes : contradiction !!!

Et dans le cas alternatif si Z n’appartient pas à lui même : Z ∉Z, alors Z n’a pas la propriété P  » être un ensemble qui ne s’appartient pas à lui même) donc il s’appartient à lui même puisqu’il est faus de dire qu’il ne s’appartient pas à lui meme. Don si Z ne s’appartient pas à lui même alors Z s’appartient à lui même. Contradiction encore !!!

Donc dans les deux cas de l’alternative ( soit Z appartient à Z soit Z n’appartient pas à Z c’est soit l’un soit l’autre) nous nous heurtons à une contradiction, cela signifie que la théorie consistant à associer à toute propriete P un universel abstrait : ensemble de tous les éléments ayant cette proprété , que cette theorie donc est fausse parce qu’elle aboutit à un paradoxe . il y a deux manières d’éviter ce paradoxe : soit par la théorie des types :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_types

Soit par la théorie NBG  des classes de Von Neumann-Bernays-Godel :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

Intuitivement parlant les classes sont des multiplicités  » plus grandes » que les ensembles .Une classe ne peut être élément d’un ensemble ou bien d’une autre classe . toute classe correspond à une propriete selon le schémaexpliqué plus haut  de l’entité universelle de tous les objets possédant une propriété P .

À toute propriete P des ensembles ( des étants multiples qui sont des ensembles puisque la theorie des ensembles est l’ontologie, comme l’a démontré’ Alain Badiou dans « L’être et l’événement »)correspond une classe et réciproquement : la classe des ensembles ayant cette propriété P.

La collection de tous les ensembles ne s’appartenznt pas à eux même est intuitivement « trop grande » pour être un ensemble, c’est donc une classe quelque chose de plus grand que tout ensemble . Essayez de former un ensemble qui s’appartient à lui même , vous aurez du mal : on n’en trouve pas dans la vie quotidienne , ainsi l’ensemble de ces cinq pommes dans la corbeille n’est pas élément de lui même quel sens cela aurai il ? Les éléments de cet ensemble ce sont chacune des cinq pommes et rien d’autre..

Pour penser des ensembles qui sont éléments d’eux mêmes il faut faire travailler ses méninges : on y arrive par des tours de passe passe , par exemple en considérant les ensembles qui ont la propriete de pouvoir être caractérisés par une phrase en francais de moins de x lettre, x étant un nombre entier que nous calculerons de manière à retomber sur nos pattes , considérons en effet l’ensemble de tous les ensembles ayant cette propriété, il peut être décrit en francais par la phrase suivante :

Z = « Ensemble de tous les ensembles pouvant  être décrits par une phrase en Français  de moins de x lettres ou chiffres  « 

Cette phrase a 93 ( si j’ai bien compté) lettres  ou chiffres  donc en prenant x = 95 ( car x a deux chiffres donc remplacer x par deux chiffres dans la phrase ci dessus portera le nombre de caractères à 94) nous sommes rendus et pouvons dire que l’ensemble Z appartient à lui même puisque sa définition en langue française nécessité 94 caractères donc moins de 95 caractères , lettres ou chiffres.

On a un peu le sentiment d’assister à un tour du Bateleur


Donc il est très difficile de former des ensembles s’appartenant à eux mêmes ce qui veut dire que « presque tous les ensembles ne s’appartiennent pas à eux mêmes donc la collection de tous les ensembles ne s’appartenant pas à eux mêmes est « trop grande » pour être un ensemble elle est donc une classe. Il en va de même de la collection de « tous les ensembles », ce n’est pas un ensemble mais une classe, la classe de « toutes les multiplicités ayant la propriété d’être un ensemble » n’est pas un ensemble mais une multiplicité plus grande qu’un ensemble ( puiqu’elle contient les ensembles ne s’appartenant pas à eux mêmes vu qu’elle contient tous les ensembles). C’est une classe, la classe de tous les ensembles, « trop grande »pour être un ensemble.

Et la propriete d’être une classe? Quelle multiplicité , celle de toutes les classes, lui correspond? Pas une classe puisqu’aucune classe ne peut appartenir à une autre.

C’est un conglomérat, le conglomérat de toutes les classes.

Une classe ne peut pas être élément d’un ensemble ni d’une autre classe, mais elle peut être élément d’un conglomérat.

Voit là dessus:

http://marvinius.de/math/lv/2014/Proseminar2014_Vortrag01.pdf

Ces theories des différents ordres de multiplicités intéressent au plus haut point les mathematicinens catégoriciens et par eux les philosophes .Il est vrai que la theorie se pose rarement ce genre de questions t butte rarement sur des paradoxes aussi embêtants que la theorie des ensembles : c’est qu’elle a comme intégré ces différentes sortes de multiplicités par l’intermédiaire des collections des objets ou DES morphisme sur d’une catégorie quelconque , sui peuvent être des ensembles ou des classes , voire éventuellement des conglomérats , auxquels cas respectifs la catégorie est dite petite ou grande ( en anglais : , »large »).voir par exemple cette page du Nlab sur les  » large  categories »:

http://ncatlab.org/nlab/show/large+category

Ainsi que cette note où les conglomérats, classes , ensembles sont abordés, ainsi que les univers de Grothendieck qui en sont une alternative ( ce géniedémiurgique à la Orson Welles  fut vraiment un créateur d’Univers et des théories  comme le philosophe selon Deleuze est « créateur de concepts »:

http://therisingsea.org/notes/FoundationsForCategoryTheory.pdf

Apprenez y  aussi ce que c’est en logique qu’une théorie du premier ordre ( « firstt order theory »)

Notion importante pour la suite de ce blog qui s’intéressera de plus en plus la logique à la fois philosophique et mathématique ( fondée largement sur les topos) , nonobstant le mépris que lui témoigne Brunschvicg et dont a hérité Badiou son disciple infidèle et cachottier (il ne nomme jamais Brunschvicg cela lui écorcherait sans doute la langue).

Si l’ontologie théorie de l’Etre envisagé dans sa dimension de multiple pur est la theorie des ensembles ( thèse incontournable de Badiou ) alors les étants sont les ensembles et les propriétés d’étants sont les classes. .les catégories sont situées au carrefour de ces deux dominés ou voies ( étants et leurs propriétés ) qui constituent ce que nous appellerons le plan ontique dont l’accès est facilité voire permis à l’esprit humain par ces verres grossissants que sont la théorie des ensembles ou des classes.

Les lecteurs attentifs au mouvement des idées ne manqueront pas de remarquer dans le texte de David Ellerman l’opposition claire tracée entre la théorie des ensembles qui est celle des universaux abstraits et la theorie des categories qui traite des universaux concrets .Je me suis inspiré de cette double notion d’universalité dans la pègre suivante recopiée sur plusieurs blogs :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Selon Ellerman et je l’approuve entièrement, la theorie des categories est tout simplement une version mathématisée de la théorie platonicienne des Formes (Idées) qui est le coeur et la profondeur spirituelle du platonisme et donc de toute la philosophie s’il est vrai, comme le dit Brunschvicg que  » le platonisme est la vérité de la philosophie » ou, comme le dit Whitehead, que « toute la philosophie occidentale ( c’est à dire, c’est moi qui précise, toute la philosophie) se réduit à des notes en bas de pages des ouvrages de Platon ».
Selon Ellerman (page3 de l’article) la théorie des catégoriesest le cadre mathématique qui permet de reconnaître les « universaux concrets » des mathématiques, c’est à dire les exemples concrets qui exemplifient de manière parfaite une propriété mathématique. Dans le cas où un dieu-démiurge s’inspirerait dune Idée préxistante du Cheval, comme le croient les conceptions naïves du platonisme,alors que l’universel abstrait serait l’en semble de tous les chevaux (mais un tel universel évoluerait avec le temps et l’apparition incessante de nouveaux chevaux ) un tel universel concret associé à l’Idée du Cheval serait un cheval absolument parfait en beauté en force et en vitesse et surtout représentant parfaitement ce qu’est l’essence même du cheval mais comment reconnaître ce genre de perfection ? il faudrait entrer dans l’esprit du Dieu prééxistant au démiurge qui a formé une telle Idée ou de ce qu’il est devenu en mentalité judéo-islamochrétienne, à savoir le Dieu Créateur de l’Universmais comment cela serait il possible à une créature imparfaite telle qu’une être humain ? c’est pourquoi il vaut mieux limiter les Idées au domaine mathématique créé par l’intellect humain , où l’être humain peut reconnaître un telle perfection dans l’exemplification d’une propriété mathématique et donc un universel concret …

Ellerman formalise ainsi la théorie platonicienne des Formes page 4 : à toute propriété F est associée un universel uF

Il ya aussi une relation de participation notée μ (comme μεθεξις = « participation) :
un objet x participe à l’universel est noté en langage formel ; x μ u F
en renversant les choses, etant donné une propriété Fet une relation  μ , une entité uF est dite universelle pour F (relativement à μ) si elle respecte la condition dite d’universalité :
pour tout objet x: x μ uF si et seulement si F(x) (ce qui veut dire x a la propriété F)
Cette condition d’universalité est accompagnée ,pour la définition d’un universel , de la condition d’unicité(à une équivalence près ) voir page 4 de l’article de David Ellerman , condition qui s’énonce ainsi :
Si uFet vF sont deux universels (c’est à dire satisfont à la condition d’universalité ci dessus) pour la même propriété F ils doivent être équivalents : uF ≊ vF
(une th »orie mathématique doit, pour être une théorie des universaux , posséder une relation d’équivalence ≊ et une relation de participation μ telle que ci dessus afin de pouvoir définir les deux conditions cidessus d’universalité et d’unicité à une équivalence près.
Dans la théorie des catégories comme dans la théorie des ensembles la relation d’équivalence sera l’isomorphisme qui est cependant défini plus simplement dans la théorie des catégories où un isomorphisme est défini comme un morphisme inversible c’st à dire un morphisme m muni d’un morphisme inverse i tel que , si ° est l’opération de composition des morphismes et si la flèche m va de l’objet A à l’objet B et i va de B à A:
m : A → B
i : B → A

alors : m°i = IdB : B → B (morphisme identité sur B)
et i°m = IdA : A → A (morphisme identité sur A)
Dans la théorie des ensembles les deux ensembles A et B sontdits isomorphes s’il existe une application bijective (c’est à dire à la fois injective et surjective) de A vers B c’est à dire si, dans le cas où ils ont tous deux un nombre fini d’éléments, s’ils ont le même nombre d’éléments .
voir :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection
on vérifie facilement qu’une application bijective entre deux ensembles est inversible.
Dans le cas de la théorie des ensembles la relation de participation μ est la relation d’appartenance (« elementhood ») d’un élément à l’ensemble dont il est un élément, relation notée ∈. Ce n’est pas une relation symétrique car si A ∈ B ,il n’est pas vrai en général que B ∈ A Elle n’est pas non plus transitive car si A ∈ B et si B ∈ C il n’est pas vrai en général que A ∈ C
Dans la théorie desz catégories la relation de participation μ est la relation de « factorisation unique » c’est à dire que u participe à v s’il existe un morphisme unique f allant de u vers v :

∃! f : u → v
le point d’exclamation accolé au signe logique ∃ qui signifie « il existe » veut dire l’unicité « il existe un unique morphisme f »)

voir nos articles

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/

et

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/15/quest-ce-quune-propriete-universelle-y-a-til-une-reponse-satisfaisante/

Une limite d’un cône en théorie des catégories est l’exemple même d’un universel : la relation de participation se situe dans l’existence d’un morphisme unisque rendant commutatif un diagramme voir :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories)

« Soit C une catégorie. On considère un diagramme (en) dans C, traduit par un foncteur F : D^{\mathrm{op}} \to C1. Dans de nombreux cas, on considère D une petite catégorie, voire finie, et on parle respectivement de petit diagramme ou de diagramme fini.


Un cône (en) dans F est la donnée d’un objet N de C et d’une famille \psi_X: N \to F(X) de morphismes indicés par les objets X de D^{\mathrm{op}}, telle que pour tout morphisme f : X → Y dans D^{\mathrm{op}}, on a F(f) \circ \psi_X = \psi_Y. Une limite du diagramme F : D^{\mathrm{op}} \to C est un cône (L, \phi) dans F tel que, pour tout autre cône (N, \psi) dans F, il existe un unique morphisme médiateur u : N → L vérifiant \phi_X \circ u = \psi_X pour tout X dans D^{\mathrm{op}}. Ainsi, tout cône se factorise par la limite, de manière unique. En d’autres termes, on a le diagramme suivant : »

image

et comme nous l’avons déjà vu, des exemples classiques de limites sont le produit (qui dans le cas de la catégorie des ensembles est le produit cartésien de deux ensembles) , l’exponentiele, le « produit fibré » (en anglais « pullback ») , ou même l’objet initial (qui est limite d’un diagramme vide ) ou leurs notions duales ,en renversant le sens des flèches, appelées colimites : coproduit ou somme, coproduit fibré (en anglais « pushout ») ou objet terminal comme notion duale de celle de l’objet initial.

Voir par exemple cet article de moi qui fait le lien avec les théories de Wronski sur les « algorithmas primitifs  » (addition, multiplication exponentiation ):
https://henosophiamathesis.wordpress.com/2015/08/29/exponentielle-somme-et-produit-comme-limites-de-diagrammes-en-theorie-des-categories/

On compren mieux avec ces exemples ce que veut dire l’affirmation d’Ellerman suivant laquelle la relation de participation à un universel eest en théorie des catégories la relation de factorisation selon un morphisme unique : x participe à u, noté : x μ u si et seulement s’il existe une flèche unique de x vers u (on dite : « factorisation unique de x par u »)

∃! f : x → u
On voit bien alors qu’en théorie des catégories n’importe quel universel participe à lui même car il existe toujours un morphisme identité :
Idu : u → u
Ceci se dit : la relation de participation est réflexive ‘tout universel participe à lui même
et ce morphisme doit être unique parce que la relation de factorisation par u concerne n’importe quelle flèche partant de x vers un autre objet que u , ce qu’Ellerman ne précise pas car ce n’est pas le sujet mais que l’on voir dans les pages Wiki consacrées à la notion de limite en théorie des catégories

une flèche g : x → w se factorise par u signifie qu’elle est la composée de la flèche unique f ci dessus par une autre h allant de u vers w c’est un exemple de diagramme commutatif :

g = h°f : f : x → u suivie de h : u → w
dans le cas où x = u, f ne peut être que Idu
De même comme les morphismes se composent et que les morphismes identité sont « éléments neutres » pour cette loi de composition , on voit que la relation de participation est transitive dans le cas de la théorie des catégories : si x participe à u et u participe à w alors x participe à w (laflèche composée de deux morphismes identité reste un morphisme identité)
Dans le cas de la théorie des ensembles où la relation de participation est la relation d’appartenance ∈ , nous n’avons plus ces propriétés car cette relation n’est ni réflexive ni transitive.
Or Ellerman appelle « abstraits » les universaux qui ne peuvent participer à eux mêmes et concrets ceux qui participent à eux mêmes; on voit donc que la théorie des ensembles est celle des universaux abstraits, et la théorie des catégories celle des universaux concrets .

J’associe, ensuivant l’approche de Badiou selon lequel la théorie des ensembles est l’ontolgie la théorie des ensembles au plan ontique ou « plan d’être » ou « plan de transcendance « .
Et donc la théorie des catégories au plan d’immanence. J’ai bien insisté sur cette dualité ‘dualité de la phénoménalité dit Michel Henry ) dns la page que j’ai tirée de cet article d’Ellerman :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Le paradoxe de Russell a poussé les théoriciens à proscrire l’auto-appartenance pour les ensembles, c’est à dire à interdire la thèse A ∈ A pour tout ensemble A
Badiou le dit dans « l’Etre et l’évènement « dans son style célèbre et si reconnaissable :
« L’ontologie mathématicienne proscrit l’existence d’un ensemble s’appartenant à lui même, c’est à dire de l’évènement  »
L’ontologie mathématicienne c’est selon lui la théorie des ensembles ZF, axiomaisée par Zermelo-Fraenkel, et il identifie le mathème de l’ensemble appartenant à lui même à ce qu’il appelle un « évènement » ainsi soit un évènement comme la « Révolution de 1789 »,il évoque un ensemble appartenant à lui même de par l’autoréférence incessante dont font preuve les révolutionnaires dans leurs discours , où ils font sans arreêt allusion au nom « la Révolution » . On pourrait ire la même chose de l’évènement-Christ , sans cesse nommé dans les écrits chrétiens , ou bien à l’incessante autoréférence coranique qui lui attire qulques ennuis d’ordre logicien de ma part :
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/demonstration-rigoureuse-de-limposture-du-coran/
Il existe un autre intedit formel de la mathématique, catégorique cette fois, concernant les catégories internes à une autre catégorie , notion que nous n’avons pas encore étudiée ici mais qui s’avère très importante , voir ces liens :
https://en.wikipedia.org/wiki/Internal_category
et sur le Nlab :

http://ncatlab.org/nlab/show/internal+category

ainsi que https://www.dmi.unict.it/ojs/index.php/lematematiche/article/viewFile/456/427

Je laisse à Badiou son interprétation d’un ensemnle élément de lui même comme évènement, façon subtile pour un philosophe de lémancipation de reconnaître l’existence d’un interdit tout en le contournant par un tour de passe passe langaier mais je mérite sans doute le même jugement sévère car je décèle le couple immanence/Transcendance dans la catégorie interne à une autre catégorie qui est la « catégorie ambiante » , la catégorie interne étant selon moi immanenteà l’autre qui est ainsi en position de Transcendance par rapport à elle .
Or l’interdit dont je parlais s’énonce (et se démontre) ainsi :
« Il ne peur exister une catégorie interne à elle même »
j’avais fait un article là dessus en recopiant un échange sur le mailing list des catégories :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/01/une-categorie-interne-a-elle-meme/

(en plus c’est de l’anglais et c’est présenté dans le fouillis des échanges sur un forum : si vous ne comprenez pas tout ce n’est pas grave, vous »êtes  pas « Seul(e) sur Mars » mais sachez que l’interdit tient, et qu’il est reconnu par toute la communauté mathématicienne, ce qui possède à mon avis une signification un peu plus importante que l’interdiction du blasphème contre Dieu ou les Prophètes part toute la communauté des vrais croyants .
Peut on tracer cependant un parallèle entre ces deux interdits mathématiciens que nous venons de rencontrer (ensembliste et catégorique ) et d’autres interdits célèbres et universels ?
on le peut à mon avis avec , peut être, l’interdit de l’inceste qui est absolument universel et concerne tous les peuples de toutes religions mais dont on peine à trouver l’origine comme à donner la signification ou la justification (mises à part les justifications d’ordre génétiques ou le fait que « cela nous dégoûte », donc de l’ordre du plan vital ) : ne serait ce pas que l’enfant est d’abord (avant la naissance ) »contenu » dans le ventre de la mère ou bien , comme spermatozoîde » dans l’organisme du père et que le coït avec le père ou la mère (c’est là la sorte d’inceste qui nous horrifie vraiment) serait commeune rupture du couple immanence /transcendance dans le cas d’une catégorie interne à elle même ? vous trouvez certainement que je me hasarde ici dans le « no man’s land » du grand n’importe quoi et vous avez certainement raison mais sachez que je tiens à mon interprétation de l’interdit d’une catégorie interne à elle même comme interdit de la Transcendance car elle sert mes ténébreux desseins d’identifier le « plan d’immancne de Deleuze » au plan de l’Idée ou de la mathesis brunschvicgien ou « plan spirituel » , le plan vital étant le monde comme plan de la Transcendance ce que reconnaît aussi Michel Henry : ainsi se départagent les deux types d’attitude religieuse dont parle Jean Piaget, disciple de Brunschvicg , le premier type étant celui de l’immanence et le second celui de la Transcendance et ainsi les religions du Dieu Transcendant ne seraient pas si « nobles » que clla car elles consisteraient plus ou moins à faire chuter le ciel (plan spirituel ou plan d’immanence) sur la Terre (plan vital)
le second Interdit dont on peut faire le rapprochement concerneen physique le voyage temporel, et spécifiquement celui en direction du passé, objet de grands films comme « La jetée » de Chris Marker ou bien « L’armée de douze singes » de Terry gilliam qui en est adapté.
(je refuse de considérer les « Retour vers le futur » comme de grands films)

Si vous avez lu cet article jusqu’ici, et c’est le cas puisque vous êtes en train de lire cette phrase, vous avez sans nul doute le droit, en récompense de votre héroïsme, à cette petite récréation : le film « La jetée  » de Chris Marker sur Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=zKW8kLGJYXg

Or on sait que Kurt Gödel, dont la folie des derniers temps(il s’est laisé mourir de faim car il craignait un complot consistant à empoisonner sa nourriture ) a été analysée dans un livre très intéressant « Les démons de Gödel« a rendu  folles les équations de la Relativité générale d’ Einstein en leur permettant de donner naissance, par stricte dérivation logico-mathématique, à une « closed timelike curve » (CTC) ce qui est le nom scientifique d’une voyage ver e passé ; Gödel a imaginé un dispositif un peu étrange celui d’une immense roue se mettant à tourner très vite , au moins à la moitié de la vitesse de la lumière et montré par des calculs utilisant les équations de la Relativité générale qu’un homme attaché sur la roue  ( bien attaché espérons le, d’ailleurs personne n’a pu certifier que ce  » voyageur » pourrait survivre à de telles péripéties) remonterait dans le passé et qu’il pourrait s’approcher aussi près que souhaité de lui même dans le passé ou que n’importe lequel de ses ancêtres , lui permettant ainsi, s’il avit une mentalité un peu « révolutionnaire et terroriste » de tuer son double du passé (comme William Wilson dans le conte d’Edgar Poe) ou bien de tuer son papa , ou son grand père, ou bien sûr sa mère ou sa grand mère avec tous les effets paradoxaux que cela entraînerair pour sa propre existence(peut il exister alorsque ses parents sont morts avant d’avoir pu lui donner naissance ?) .
Des théoriciens aussi prestigieux que Hawking ont réfléchi sur ces paradoxes logiques du voyage dans le temps et pensé à une sorte de « conspiration cosmique » : le voageur temporel pourrait certes s’approcher de son père dnas le passé mais au moment de passer à l’acte contre le vénéravle papa des cinrconstances surviendraient qui lui interdiraient de le tuer ou même de le blesser ou d’influer sur sa ligne spatiotemporell : l’arme s’enrayerait comme par hasard, ou bien une tuile tomberait sur le voyageur,comme par hasard, l’empêchant de commettre son terrible acte terroriste, etc..etc..il me semble que Hawking appelle cela « cosmic censorship »
A la fin de « La jetée » ou de « L’armée des douze singes » qui en est tiré on assiste à un tel dispositif d’interdit mais réalis »é parun mystérieuse « Brigade du Temps  » ou bien dans le film de Gilliam par les homme du futur qui ont envoyé Bruce Gillis dans le passé d’avant la catastrophe écologique et technoscientifique qui a exterminé presque toute l’humanité en 1997, mais lui entend rester dans ce passé de son enfance où l’on respire du si bon air (il y a aussi un femme là dessous, bien sûr, comme dans le film de Chris Marker, plan vital quand tu nous tiens !)et les hommes de l’avenir ne veulent pas qu’il se sépare ainsi de son (leur)temps …
bref j’ai un peu dérivé par rapport à cet admirable David Ellerman mais je tiens à dire que nous reviendrons encore un fois (au moins) sur cet article formidable car Ellerman y aborde l’adjonction à la fin à parit de la pge 14 ansi que sur l’inférence logique chère à Kurt Gödel page 12 ….

Christian Kersake : le vertige de la philosophie : Deleuze et l’immanence

Cet article est ici :

http://www.generation-online.org/p/fpdeleuze8.htm

Et ce blog donne les références de plusieurs tels articles:

https://larvalsubjects.wordpress.com/2007/02/11/christian-kerslake-articles-on-deleuze/

Christian Kersake est l’auteur de  » Vertigo of philosophy : From Kant to Deleuze »

je connais mal l’œuvre de Deleuze mis à part le fait qu’il s’agit d’une philosophie de l’imminence radicale comme celle de Brunschvicg qui inspire les blogs sur lesquels j’écris.

Deleuze étant né en 1925, il a sans doute eu l’occasion de lire les dernières œuvres de Brunschvicg l’année de leur parution..je ne sais pas s’ils se sont personnellement connus, en tout cas Deleuze a suivi les cours de Jean Hyppolite , élève reconnaissant de Brunschvicg, dans les années 40. C’est aussi à cette époque qu’il a fait la connaissance de  plusieurs « intellectuels » qui sont devenus importants par la suite, comme Sartre et Georges Bataille ( ce dernier ayant surtout eu de l’influence lors des années 30)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Gilles_Deleuze

 

«  ». Michel Tournier emmène Deleuze aux cours publics des psychiatres Alajouanine et Jean Delay à l’hôpital de la Salpétrière. En 1944, Gilles Deleuze publie un pastiche de Sartre intitulé : « Description de la femme. Pour une philosophie d’autrui sexuée »  »

la pensee de l’immanence deleuzienne constitue une critique radicale de tout pouvoir , s’exerçant toujours au nom d’une Transcendance , aussi est elle importante pour ce blog qui partage cet objectif, tout comme la « non- philosophie » de Laruelle .

Deleuze est aussi influencé par Wronski et Warrain, autre motif pour l’étudier sérieusement .

je me pose aussi des questions sur la notion de « plan d’immanence » : est ce ce que j’appelle ici le « plan spirituel » ou  » plan de l’idée « ?(je me dis quelque fois que je frais mieux de larguer cette expression de « plan spirituel » qui se trouve chez Brunschvicg mais qui est malheureuse parce qu’elle évoque trop les sectes et les milieux « spiritualistes » mais ce serait commettre le péché que je n’ai de cesse de dénoncer parce qu’il est le péché de l’époque où nous vivons : donner la prépondérance aux mot sur les idées, cf la récente polémique sur le mot « race » qui recouvre simplement l’idée de plan vital que j’oppose à plan spirituel) devrais je dire « plan intellectuel  » ou « plan de la mathesis » ?

C.S. Lewis et Joy Gresham épouse de William Lindsay Gresham : « les ombres du coeur »(amour,cancer, whisky, paranormal et vérité)

J’avais rédige il y a quelques semaines un article après avoir vu le très beau film de Richard Attenborough : « Les ombres du coeur »
Voir cet article:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/24/les-ombres-du-coeur-shadowlands-c-s-lewis-et-joy-gresham/
Et voici la page Wikipedia du film:
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Les_Ombres_du_cœur
Notons pour commencer que Clivés Staples Lewis est un auteur très nfluencé par les thèmes chrétiens et par l’anthroposophie (comme Owen Berfield) et d’ailleurs le monde de Narnia n’est il pas une image mythique et romancée de ce que nous appelons ici le « monde ou plan spirituel » et que nous opposons au « plan vital » » , tout en en donnant une image beaucoup plus intellectualiste que Lewis et Steiner dans ce qu’il appelle « monde spirituel » en anthroposophie ( qui a intéressé des mathématiciens comme Ehresmann et Grothendieck) .
Or après avoir revu le film, une chose me paraît évidente : C.S.Lewis s’intéresse à Joy Gresham parce qu’elle lui tient tête et arrive , seule, à le déstabiliser, a le faire tomber de son piédestal de « théoricien intellectualiste » ( sur lequel il est horriblement seul et ne se sent pas du tout à l’aise,d’où son attirance pour les thèmes de la magie dans Narnia ) pour lui faire comprendre combien il a peur de l’expérience réelle . Peur de quoi ? d’être déçu bien sûr, mais aussi de ne pas être à la hauteur ;faire réellement une expérience consiste à se haurter à une altérité irréductible, au réel en tant que « ce qui résiste », à la « forme d’extériorité » dira Brunschvicg et les doctrines idéalistes de l ‘immanence pure comme celle de Brunschvicg courront toujours le risque de se faire accuser de recul ,de timidité, de fuite, voire de lâcheté devant ce qui est irréductiblement autre, et ne se plie donc pas à nos cadres mentaux. Tous les « maîtres spirituels  » (ce qui est certes un bien grand mot) insistent bien là dessus : l’expérience véritablement spirituelle est plus que simplement intellectuelle, c’est même là le principal danger de confusion chez l’élève, confondre l ‘intellect et l’esprit, ou l’intellectuel et le spirituel .
En fait la question doit se poser à plusieurs niveaux : à nous mêmes d’abord, en tant que « lecteurs méditatifs » : toi que voilà, pourquoi choisis tu ou préfères tu les doctrines de sagesse comme celles de Beunschvicg ou Spinoza plutôt que les doctrines de la Transcendance ou de l’Altérité comme celles de Lévinas ? Ensuite au niveau des oeuvres que nous étudions ici : celle de Brunschvicg et celle de C S Lewis . Et enfin, en un troisième temps, il s’agit de nous demander quels sont les arguments et les développements de pensée qui font que ces deux maîtres, Brunschvicg et C S Lewis ont plutôt choisi l’intellectuelisme spiritualiste et l’idéalisme mathématisant (pour ce qui est de Brunschvicg) que le réalisme de la transcendance ? Ici nous devons d’ailleurs plutôt mettre l’accent sur CS Lexis et ce qui est suggéré de lui dans le film ‘Les ombres du coeur », à travers sa rencontre amoureuse avec Joy Grssham qui est d’ailleurs une rencontre « hors normes » (aurait il pu en être autrement à propos de ces deux personnages puisqu’il commence par l’épouser « légalement  » pour lui permettre d’acquérir le droit de réésideren Angleterre quand elle le souhaite, sans avoir de problèmes vec les sevices d’immigraion . Ils se sont connus aupravant ,c’est le film qui nousl’apprend, elle a résidé chez lui avec son petit garçon douglas,et lui a fait part de sa situation conjugale aux USA avec son mari alcoolique, infidèle et violent qui s’avère être William Lindsay Gresham , écrivain lui aussi et auteur de « Nightmare alley  » (« Le charlatan ») adapté au cinéma par Edmund Goulding dans un film absolument effrayant (tout en n’étant pas un film d’horreur ) parce qu’il montre les tenebreux « dessous » de l’âme humaine losqu’elle se laisse aller aux péchés « capitaux de l’ivrognerie et de la tricherie dans les « numéros  » dits occultes suggérant le surnaturel , le parapsychique ou les connaissances « magiques » .
Je ne me souviens plus si j’ai donné dans l’arti cle précédent le lien Youtube pour voir ce film extraordinaire d’Edmund Goulding(un réalisateur hors normes lui aussi, et trop peu connu) avec Tyrone Power (film de 1947) le voici :
https://www.youtube.com/watch?v=UyEkriOXMjE
il existe aussi en une play list de NA 1 à NA 12 qui commence ici :

https://www.youtube.com/watch?v=W0sSCoBXPQM
le livre de William Lindsay Gresham a été publié en 1946 voir :
https://en.wikipedia.org/wiki/Nightmare_Alley

et la première rencontre entre Joy Gresham et C S Lexis a eu lieu à Oxford en 1952 .
Joy a commencé par entretenir une correspondance épistolaire avec Cs Lewis à propos de l’oeuvre de celui ci et elle est venue ensuite à Oxford pour le rencontrer alors qu’elle n’avait pas encore divorcé de Bill Gresham
Joy Gresham était née Helen Joy Davidman en 1915, d’une famille juive laïque originaire d’Europe :

https://en.wikipedia.org/wiki/Joy_Davidman

elle avait eu des sympathies communistes dans les années 30 et était devenue athée convaincue , mais s’était déjà désillusionnée sur le communisme lorsqu’elle avait été se battre, comme Simone Weil( je ne sais pas si elles se connaissaient) , contre les fascistes au cours de la guerre civile espagnole au milieu des années 30 .
Voici la page Wiki consacrée à William Lindsay Gresham qui est devenu son mari en 1942, ils se sont rencontrés par suite de leurs sympathies communistes (Bill Gresham a lui aussi été se battre contre le fascisme espagnol en 1936):
https://en.wikipedia.org/wiki/William_Lindsay_Gresham

Nous avons donc là un noeud de tois destinées humaines d’abord, et philosophico-politico-religieuses (si l’on y inclut C S Lewis) où judaïsme , christianisme, alcoolisme (pour ce qui est de Bill Gresham) et communisme jouent un rôle majeur. Dans le livre et le fim qui en est tiré en 1947 titré en français « Le charlatan » , Bill Gresham a sans doute mis beaucoup de lui même : le personnage principal Stanton Carlisle, joué par Tyrone Power) , sombre dans l’ivrognerie, la luxure et la dépression au fur et à mesure qu’il s’éloigne du souci de la vérité et de l’honnêteté intellectuelle
pour devenir un « charlatan » dans les milieux des numéros de cirque ou de cabarets truqués pour faire croire aux spectateurs que l’artiste accomplissant le numéro truquépossède des dons paranormaux de « magicien » ,le Tarot intervient bien entendu dans ces parages louches,on sait que je m’en inspire ici aussi mais dans une optique rationaliste et philosophique où je privilégie deux Lames, l’Amoureux et le Pendu , je m’en suis expliqué ici :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/05/07/le-tarot-sur-mathesis-universalis/

mais le destin de Bill Gresham avec qui pour des raisons personnelles et privées je me sens des affinités m’évoque bien sûr la lame 1 Le Bateleur qui dans les Tarots américains devient « The Magician »; peut être aussi pourrions nous penser aussi à la Lame XV « Le diable » , tout en nous gardant de toute naïveté « manichéenne » ?

1-bateleur (2)

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Cabbale_Tarot_Le_Diable
donc nous rencontrons ici un noeud de destinées dont la mienne propre (pour des raisons privées sur lesquelles je ne puis m’étendreici ) : Bill Gresham, joy Gresham , C S Lewis, moi même pauvre ombre qui tiens ce blog, auxquelles il faut ajouter l’actirce Helen Welker qui dans « Nightmare alley  » joue le rôle de la psychiatre Lilith qui mérite bien son nom , quelle lame pourrions nous bien lui accoler ? La papesse ou l’impératrice ? ou bien peut être l’une des deux femmes del a lame VI l’Amoureux, celle qui invite le personnagee de l ‘Amoureux à la voie facile qui mène à la perdition, à la luxure ?
l’alcool joue hélas une grand rôle dans sa destinée , pour son malheur :

https://en.wikipedia.org/wiki/Helen_Walker

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le Tarot est un merveilleux outil pour le mise en ordre des pensées dans leur portée symbolique, un outil favorisant la rationalité qui est justement le mise en ordre des pensées donc, par contre je m’élève contre toute utilisation de type « occulte » tendant à faire croire que « tirer les cartes  » permet de prévoir un évènement sur le point de se produire mais puisque j’ai eu l’imprudence d’inclure mon propre personneage parmi les autres du « noeud de destinnées » autour de « Nightmare alley » je précise comme je l’ai déjà fait que j’ai la volonté d’incarner les Lames de l’Amoureux et du Pendu en tant que cette dernière symbolise l’homme qui a réussi à inverser l’attraction du plan vital au plan spirituel enchoisissanrt entre les deux femmes qui se partagent son orientation: celle qui lui propose la voie de la difficulté (qui symbolise pour moi le mathématique sévère) et non pas celle qui lui propose la voie de la facilité , celle du plan vital et de la luxure.
Et voilà que cet articles est devenu une séance de psychanalyse à base de Tarot ….je m’en excuse auprès des lecteurs et des mânes de Lewis, Gresham (Joy et Bill) et Walker . Essayons de terminer sur une note plus philosophique…nous avons d’une pat Bill Gresham et les thèmes de la fraude « occultiste » , de la violence conjugale et de l’ivrognerie ainsi que de la luxure c’est à dire osons nommer les choses, du Mal qui est l’obstacle à la dimension proprement humaine de liberté, de vérité,d’universalité et d’autonomie. « La vérité vous rendra libres » . Certes cela ressemble au discours du PS, mais ce dernier, comme d’ailleurs toute la gauche sont ils fidèles à l’exigence de vérité justement ? là se situe , pour notre époque comme pour notre pays, la ligne de front où l’intelligence frznçzise se trahit elle même selon le diagnostice pessimisteque portait Hoené Wronski vers 1850 dans ses grandes oeuvres de la maturité telles la « Reforme absolue du Savoir humain » ou  » Prolégomènes au Messianisme : le destin de la France de l ‘Allemagne et de la Russie »annonçant ainsi un siècle à l’avance les trois sources majeures des « sinistres troubles révolutionnaires » au 20ème siècle.Plus précis’ment il oppose la grande Réforme philosophique entre prise en Allemagne à la suite de la réforme religieuse du protestantisme nécessitée par l’exigence d’une solution au Problème religieux du Verbe , solution qui consiste en la découverte (dans la science ) de la part de l’autonomie créatrice du savoir humain dans la constitution des réalités physiques, voir pages 159 et suivantes des « Prolégomènes »:

https://books.google.fr/books?id=XQsuAAAAYAAJ&pg=PA153&lpg=PA153&dq=wronski+impossibilit%C3%A9+de+d%C3%A9couvrir+la+v%C3%A9rit%C3%A9+absolue+France&source=bl&ots=-4KHmYMk7g&sig=DZRDwvZAmTDl3_glVtgQ8OeXZN0&hl=fr&sa=X&ved=0CDUQ6AEwBGoVChMI8fH9mKCKyAIVRWkUCh3BYAFN#v=onepage&q=wronski%20impossibilit%C3%A9%20de%20d%C3%A9couvrir%20la%20v%C3%A9rit%C3%A9%20absolue%20France&f=false
Plus précisément Wronski décèle dans l’attitude des intellectuels (y compris savants ) français un scepticisme vis à vis de la notion de « vérité inconditionnelle et Absolue » qui n’est rien d’autre que la tendance inscrite au plus profond de la Raison humaine et qui lui vient du Verbe même qui est selon le Prologue de l’2vengile de jean « auprès de Dieu, en Dieu et qui est Dieu « , scepticisme destructeur qui est la cause profonde des séismes meurtriers du 20ème siècle (communisme, nazisme, islamisme ,mafias, drogues, trafics d’êtres humains etc…car il détruit l’autonomie de la Raison elle même , la plus haute possibilité de l’esprit humain consistant en la Création même de la Vérité absolue par la « spontanéité ou virtuealité créatrice dela Raison) scpeticisme destructeur de l’humain donc annonçant pour un siècle plus tard un véritable effondrement de l’Europe .
Or ce chaos nous y sommes maintenant plongés ….
et il est sensible dans le climat oppressant du film « Nightmare alley  » tiré du roman de Bill Gresham où le protagoniste principal Stanton Carlisle v jusqu’à gruger de riches hommes d’affaires (avec la complicité de la psychiatre « Lilith » jouée par Helen Walker) en leur faisant croire que les personnes mortes qu’ils adoraient reviennent à la vie ( payant des actrices pour jouer ce rôle infâme de femmes décédées revenant à la vie, mais l’une d’elles ne le supportera pas et révèlera le « pot aux roses » à l’homme que Stanton Carlisle voulait berner en lui faisant croire que sa fille adorée est de nouveau vivante et que lui ,Stanton Carlisle, peut la faire apparaître, contre des grosses sommes d’argent bien sûr) .

Qui pourra maintenant douter que ce « noeud de destinées » que j’ai découvert dans le film de Richard Attenborough ‘ »Les ombres du coeur  » ,dépasse, quelle que puisse être leur immense stature individuelle (surtout Bill et Joy Gresham ainsi que C S Lewis) les protagonistes de cette histoire et nous concerne tous, en tant que nous nous impliquons comme c’est notre devoir dans les problème éternels de l’âme humaine en relation avec l’autonomie religieuse et intellectuelle, et en relation avec la Vérité qui ne peut qu’être éternelle inconditionnelle et Absolue, si du moins nous prenons au sérieux l’idée de Verbe telle qu’elle apparaît dans le prologue de l’Evangile de Jean et telle qu’elle est ensuite méditée par Brunschvicg, African Spir et Hoené Wronski:
https://apodictiquemessianique.wordpress.com/spir-wronski-et-brunschvicg/
si donc cette Idée de Verbe qui n’est autre que l’Idée de Dieu n’est pas une illusion, un mensonge vital comme celle du Dieu abrahamique (si tant est que ce soit une Idée,en tout cas plus qu’une fable)…
Que veut dire « nous impliquer » dans ce noeud de destinées , aller un peu plus loin donc que la simple admiration des chefs d’oeuvre comme « les ombres du coeur  » , « Nightmare alley » ou celles de C S Lewis : les chroniques de Narnia (les livres plutôt que les films )et la Trilogie cosmique ?
Cela veut dire lutter de toutes les forces de son âme et de son intellect du côté de la défense de la Vérité absoluereprésentée parmi les protagonistes par Joy Gresham et C S Lewis, contre la pernicieuse tendance au Mensonge telle qu’elle se fait jour actuellement dans le milieu médiatique, artistique , « intellectuel » et politique français et telle que l’avait annoncée Wronski ver le milieu du 19 ème siècle
Je viens d’apprendre que quelques jeunes français, hommes et femmes , anciens militaires en Afghanistan vont aller en Irak se battre contre Daesh et je veux ici rendre hommage à cette initiative courageuse et désintéressée appelée « Task force Lafayette« (leur ancien nom en Afghanistan) :

http://taskforcelafayette.com/
Sans vouloir mettre au même niveau la « guerre d’idées » prônée ici, il me sem ble cependant évident que si nous restons passifs face à la pernicieuse tendance au mensonge décrite ci dessus, tous les s acrifices viteux qui devront être consentis pour relever l’humanité et en particulier l’humanité européenne , resteront vains .
tant il est vrai que « seule la Vérité nous rendra libres » !
Poussé par le Maître intérieur qui dans mon cas ne peut être que le Diable ou le Verbe, je ressens le besoin impérieux, occulte et inexplicable de conclure cet article, très important à mes yeux par la Lame XIII la Mort, mais selon un modèle très différent de celui des Tarots classique (tarot de Marseille ou d’Oswald Wirth ou bien celui d’Arthur Waite qui influence tous les tarots anglo-saxons)
je donne à la suite la même lame XIII dansles versions classiques (tarot de Marseille, puis tarots anglo-saxons comme celui de Waite )

Voici donc cette image atypique de la lame XIII qui est ma favorite :

mort

puis la lame du Tarot de Marseille:

13-mortmarseille

et la lame d’Oswald Wirth

wirth-la-mort

enfin la lame d’Arthur Waite qui est d’un modèle différent :

waite-la-mort
Qu’est ce que sifgnifie l’arcane 13 « La mort » dans le Tarot ? pas la mort physique, ce  » peu profond ruisseau » calomnié qui n’a aucun sens mais la mort initiatique faisant passer du plan vital au plan spirituel et donc le sens est donc la conversion véritable .Latragédie des personnes mortes physiquement est qu’elles ne peuvent plus mourir ‘initiatiquement )
la supériorité del a lame atypique que j’i donnée en premier est qu’elle evite tous les poncifs liés à la mort physique (le squelette notamment, ce que ne font pas les autres) : l’image est nette ment séparée en deux moitiés la moitié supérieure oul’ on voit un soleil rouge et un arbre portant des feuilles représente le plan vital, lamoitié inférieureoù sont les racines de l’arbre représente le plan spirituel , il y a donc une inversion par rapport au premier verset de la bible où « les Cieux  » (« Shamayim ») signifizent le plan spirituel et  » la Terre  » (« Eretz ») signifie le plan vital .On voit aussi un personnage féminin deh aut rang (portant une couronne ) absolument pas décharné mais belle, d’une beauté sévère , vêtue pudiquement d’une robe extérieurement brune mais dont l’envers est rougeâtre de la même couleur que le soleil énorme tel un fruit mûr qui se dresse au dessus de l’horizon , cette femme couronnée touche l’arbre à la jointure entre les deux moiiés del a carte, elle représente donc le lien, la jonction entre le plan spirituel (sous la terre) et le plan vital (au dessus de la terre) elle est donc la mort initiatique et sa couronne signifie donc la noblesse inhérente à sa fonction initiatique de Sagesse .
Lorsque Brunschvicg dit (à la fin du livre de 1900 « Introduction à la vie de l’esprit ») :

« La vraie religion consiste à renoncer à la mort »
il veut parler de la mort physique , il veut dire comme Spinoza qu’il faut penser à rien de moins qu’à la mort physique ,qui est inévitable et n’a aucun sens philosophique et spirituel .
Il ne veut évidemment qu’il faut renoncer à la mort initiatique qui est le but suprême de la philosophie: , en quoi consiste la vraie religion
Ce n’est pas un hasard si dans le Tarot le lame XII de la mort suit immédiatement la lame XII du Pendu qui symbolise l’homme qui a réussi à inverser l’attraction du plan vital (de nature instinctive et égoïste ) en celle du plan spirituel (attraction des idées intellectuelles plutôt que des joissances instinctives promises par le plan vital, jusuà la mortphysique du moins)

le sens n’en est évidemment pas cette vérité triviale que l,homme pendu va mourir à courte échéance (d’ailleurs le personnage de la lame XII est pendu par le pied, comme Oedipe, ou aussi ODIN)

image

Jacob Lurie, continuateur de Grothendieck

Les propos tenus au CERN en 1972 par Alexandre Grothendieck, voir:

Allons nous continuer la recherche scientifique?

sont tout à son honneur puisqu’il parle et pense contre lui même, et sont la preuve d’une intégrité morale sans limites, et bien rare en ce monde, que ce soit en 1942, en 1972 ou en 2015, mais nous avons vu qu’on ne doit pas les prendre au pied de la lettre: il est impossible qu’il ait employé son existence, de 1945 où à la sortie de la guerre et des camps d’internement (où il était détenu comme apatride, son père anarchiste juif ayant été assassiné par les nazis) il commence à se « former » en mathématiques (largement tout seul) et 2014 année de sa mort, à une œuvre aussi gigantesque et ardue que celle qu’il laisse, pratiquement impossible à comprendre même pour des professionnels de très haut niveau.
Et pourtant certains mathématiciens y sont arrivés, et ont repris le flambeau, comme Jacob Lurie dont voici la page dans le NLAB:

nLab : Jacob Lurie

La différence est que Jacob Lurie est encore très jeune (mais il est vrai aussi qu’il n’a pas connu les événements tragiques qu’a connues Grothendieck).

A cet âge il a eu le temps d’écrire, entre autres, ces deux livres qui représentent une avancée immense dans le domaine des n-catégories et des n-topoi:

Higher topos theory (près de mille pages, et ce n’est pas de la littérature de gare, mais une matière d’une difficulté extrême):

Jacob Lurie: Higher topos theory

et « Higher algebra » (1178 pages):

Jacob Lurie : Higher algebra

tout cela à disposition gratuitement de n’importe qui sur la planète !!

Encore une fois, et Grothendieck a raison de le dire, il ne faudrait pas croire que par ce qu’ils sont géniaux, ces personnes sortent ces immenses travaux comme en se jouant. Il y faut énormément de travail et de réflexion.

D’autre part nous avons le contre-exemple d’Einstein qui certes était un génie, mais pas en mathématiques où il n’avait aucune facilité. Mais il avait besoin d’apprendre et de connaître sur le bout du doigt l’algèbre tensorielle, pour les besoins de sa physique de la Relativité générale, et il n’a pas eu d’autre solution que de travailler énormément.

S’il n’y avait pas dans la mathématique et la physique mathématique autre chose qu’un jeu formel de signes ou qu’une prouesse intellectuelle, croyez vous que toutes ces personnes auraient eu le courage, l’énergie, d’accomplir un tel travail surhumain ?

Non, comme le dit Badiou, la mathématique est une pensée, mais contrairement à ce qu’affirme Badiou il ne s’agit pas de la pensée de l’Etre en tant qu’être, de l’ontologie.

Il s’agit de la pensée selon l’un qui selon Brunschvicg ramène vers Dieu alors que la pensée selon l’être en éloigne:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/heritage_de_mots_idees/heritage_de_mots.html

« Reconnaissons donc qu’il y a dans l’effort intellectuel du savant, dans la réflexion critique du philosophe, une vertu de désintéressement et de rigueur avec laquelle il est interdit de transiger. Au premier abord rien ne nous paraissait plus simple que de conclure de l’horloge à l’horloger ; mais ce qui aurait dû être prouvé pour conférer quelque solidité à l’argument, c’est que le monde est bien une horloge, une machine dont l’ajustement atteste que l’auteur s’est effectivement proposé un but déterminé. Cela pouvait aller sans trop de difficulté tant que l’orgueil humain demeurait installé au centre des choses et rapportait à l’intérêt de notre espèce les aspects multiples et les phases successives de la création. Il n’en est plus de même aujourd’hui. Plus s’élargit l’horizon qu’atteignent nos lunettes et nos calculs, plus aussi l’univers, théâtre de combinaisons élémentaires aux dimensions formidables, s’enfonce dans ce silence d’âme qui effrayait, sinon Pascal, du moins son interlocuteur supposé. Le Deus faber, le Dieu fabricant, auquel se réfère l’anthropomorphisme de Voltaire, est décidément fabriqué de toutes pièces…..

….Dieu ne naîtra pas d’une intuition tournée vers l’extérieur comme celle qui nous met en présence d’une chose ou d’une personne. Dieu est précisément ce chez qui l’existence ne sera pas différente de l’essence ; et cette essence ne se manifestera que du dedans grâce à l’effort de réflexion qui découvre dans le progrès indéfini dont est capable notre pensée l’éternité de l’intelligence et l’universalité de l’amour. Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène…..

….Aucun spectacle n’est plus émouvant que de voir Dieu se dégager des voiles de l’analogie anthropomorphique, devenir en quelque sorte davantage Dieu, à mesure que l’homme se désapproprie lui-même, qu’il se dépouille de tout attachement pour l’intérêt de sa personne, sacrifiant dans le sacrifice même ce qui trahirait une arrière-pensée de consolation sentimentale, de compensation dans un autre monde et dans une autre vie. Celui-là défend l’honneur de Dieu qui peut se rendre ce témoignage :
​J’ai parfumé mon cœur pour lui faire un séjour.
Sans y laisser rien pénétrer qui ait quelque rapport avec la souffrance, l’erreur ou le péché. Le Dieu auquel les mystiques ne demandent plus rien sinon qu’il soit digne de sa divinité, sub ratione boni, ne saurait avoir de part dans ce qui ne ressort pas de l’esprit ; il est au-dessus de toute responsabilité dans l’ordre, ou dans le désordre, de la matière et de la vie. Il est l’idée pure qui rejette dans l’ombre, non seulement l’idole populaire d’un Deus gloriosus que réjouirait l’encens des offrandes et des prières, dont un blasphème parti de terre provoquerait la douleur et la vengeance, mais encore l’image, « sensible au cœur », d’un Dieu apitoyable, qui permettrait à ses fidèles d’en appeler des arrêts de sa justice et tempérerait pour eux les impulsions de sa colère.
Aucun spectacle n’est plus émouvant que de voir Dieu se dégager des voiles de l’analogie anthropomorphique, devenir en quelque sorte davantage Dieu, à mesure que l’homme se désapproprie lui-même, qu’il se dépouille de tout attachement pour l’intérêt de sa personne, sacrifiant dans le sacrifice même ce qui trahirait une arrière-pensée de consolation sentimentale, de compensation dans un autre monde et dans une autre vie. Celui-là défend l’honneur de Dieu qui peut se rendre ce témoignage :
​J’ai parfumé mon cœur pour lui faire un séjour.
Sans y laisser rien pénétrer qui ait quelque rapport avec la souffrance, l’erreur ou le péché. Le Dieu auquel les mystiques ne demandent plus rien sinon qu’il soit digne de sa divinité, sub ratione boni, ne saurait avoir de part dans ce qui ne ressort pas de l’esprit ; il est au-dessus de toute responsabilité dans l’ordre, ou dans le désordre, de la matière et de la vie. Il est l’idée pure qui rejette dans l’ombre, non seulement l’idole populaire d’un Deus gloriosus que réjouirait l’encens des offrandes et des prières, dont un blasphème parti de terre provoquerait la douleur et la vengeance, mais encore l’image, « sensible au cœur », d’un Dieu apitoyable, qui permettrait à ses fidèles d’en appeler des arrêts de sa justice et tempérerait pour eux les impulsions de sa colère.
 »

Or ce dégagement, cette purification de l’idée de Dieu-un hors des voiles de l’analogie anthropomorphique, est infini, et c’est à cette tâche que se vouent des gens comme Einstein, Grothendieck ou Jacob Lurie.

Dieu des philosophes et des Savants, non le Dieu d’Abraham, Isaac, Jacob…ou Jésus Christ.

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Des ensembles aux catégories: article 2

Suite du commentaire à propos du cours donné à des philosophes par le mathématicien Stéphane Dugowson:

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/cours-n1–112#TOC-Des-ensembles-aux-cat-gories

et mon article sur les vidéos 1 et 2 de ce cours:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/04/08/des-ensembles-aux-categories-2/

Le titre général « L’un et le multiple » ainsi que celui du cours « Des ensembles aux catégories » est très proche des préoccupations et des thèmes que nous étudions ici, sous le nom générique :

οντοποσοφια

et je rappelle que nous suivons ici Badiou (provisoirement tout au moins) pour identifier ontologie, théorie des ensembles et théorie du multiple pur, et théorie des catégories et n-catégories à la « montée » progressive vers l’Un (pour utiliser une terminologie un peu mystique, Albert Laitman élève de Brunschvicg fusillé par les nazis hélas parlait quant à lui de « montée vers l’Absolu), sous la forme d’unification de plus en plus complexe.

Soulignons cependant ici un problème important dans la pensée de Badiou, à propos des « multiplicités inconsistantes » en amont du compte-pour-un dans un ensemble: ainsi « tous les ensembles » est une multiplicité qui ne peut pas être comptée-pour-une dans un ensemble qui serait l’ensemble de tous les ensembles, dans le cadre de la axiomatique ZF de Zermelo-Fraenkel.

Pourtant dans le cadre de l’axiome tique NBG de Godel, Bernays et Von Neumann, « tous les ensembles » forment une classe:

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

donc peuvent être comptés-pour-un dans une multiplicité « plus grande » que tout ensemble.

Et ainsi comme le dit Stéphane dans la vidéo 4, on peut parler de manière rigoureuse d’une catégorie de tous les ensembles, notée Ens ou Set chez les anglo-saxons.

Simplement les objets et les flèches de cette catégorie forment des classes, non des ensembles.

La vidéo 3 est consacrée à la définition de ce qu’est une catégorie, mais peut être les personnes non familières avec ces notions préfèreront elles cet exposé oral à un texte donnant il faut bien le dire une impression de sécheresse.

D’autant plus que Stéphane se distingue par des qualités pédagogiques évidentes!

Mais au milieu de cette vidéo 3, un peu plus de 5 minutes avant la fin, il aborde des thèmes plus philosophiques : les notions d’égalité, d’identité, de différence « se déploient de façon complexe dans les débats philosophiques et politiques, les débats de société, mais à la racine il existe un lien assez profond avec la manière dont ces questions sont traitées en mathématiques ».

Et, ajouterais je, seules les mathématiques en parlent avec rigueur : on n’a jamais vu de mathématiciens s’écharper devant une caméra de télévision à propos de la notion d’identité en traitant les autres de fascistes.