Archives du mot-clé Alexandre Grothendieck

L’évolution de « Higher algebra » en 130 ans

Un livre remarquable datant de 1887:

https://www.forgottenbooks.com/en/download/HigherAlgebra_10021865.pdf

La dernière œuvre de Jacob Lurie en 2017, titrée aussi « Higher algebra »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/HA.pdf

Entre les deux, la révolution de l’algèbre moderne , culminant avec l’émergence de la théorie des catégories en 1945:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/HA.pdf

Un bouleversement traduit par cet article opposant Grothendieck à Lautman (élève de Brunschvicg , mort fusillé pour Résistance par les nazis en 1944) et les mathématiques « modernes », qui privilégient le notion de structure et de domaine sur celle de nombre, aux mathématiques « classiques »:

https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/2010-v37-n1-philoso3706/039718ar/

J’éprouve une grande admiration pour SImone Weil, mais dois reconnaître qu’elle s’est totalement trompée en associant l’algèbre à la pensée machinale, c’est à dire à la non-pensée :

https://www.laurentlafforgue.org/textes/SimoneWeilMathematique.pdf

http://pensees.simoneweil.free.fr/armal.html

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/13/simone-weil-science-et-perception-dans-descartes/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/16/simone-weil-et-la-mathematique-suite-la-sphere-et-la-croix/

Une fois encore c’est Léon Brunschvicg ( qui fut son professeur à Normale,et qui ne sut pas reconnaître son génie mais elle non plus ne le tenait pas en Haute considération) qui avait raison !

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Mathematics without apologies : le programme « Univalent foundations »

Qu’il me soit donné ici l’occasion de faire connaître un blog intéressant, créé par Michael Harris, professeur de mathématiques à l’université de Columbia et à Paris-Diderot :

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/about-the-author/
L’article qui a attiré mon attention porte sur le programme des « univalent foundations for mathematics »:

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/13/univalent-foundations-no-comment/

La réaction disons « modérée » des petits génies des maths (dont Jacob Lurie)interrogés sur cette question peut s’interpréter de deux façons, favorable ou défavorable.. Ainsi quand Jacob Lurie répond : » No comment » cela peut signifier qu’il refuse tout « sensationnalisme » et demande de pouvoir creuser la question avant de donner un avis. En d’autres termes, cela peut être une preuve de rigueur intellectuelle et d’honnêteté d’esprit et c’est bien ainsi que je l’interprète…
Même chose pour Terry Tao, dont le blog sur WordPress est ici:

https://terrytao.wordpress.com

On parle ici de ce prodige:

http://www.science-et-vie.com/2015/10/un-prodige-des-maths-resout-une-conjecture-quasi-centenaire-et-bat-lordinateur-a-plate-couture/

mais comme je l’ai déjà dit toute insistance sur le génie individuel va mal avec la philosophie de ce blog, et avec la notion de dés-individuation prônée dans le « Manifeste pour l’autonomie » par André Simha:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/24/brunschvicgintroduction-un-manifeste-pour-lautonomie/
Donc quand je lis ici ces lignes « sensationnalistes » suggérant un « duel au sommet » à propos de la célèbre « conjecture de Goldbach » où intervient aussi Terence Tao le petit prodige qui a paraît il lu (et compris) Grothendieck d’un bout à l’autre:

http://obamaths.blogspot.fr/2013/05/conjecture-de-goldbach-terence-tao.html
J’avoue que je m’inquiète un peu…
Comme le dit très bien André Simha apres Brunschvicg, il n’y a qu’un unique Sujet c’est l’Esprit et la particularité de la Mathesis c’est qu’elle permet de comprendre cela très clairement.et dans le « Manifeste » André Simha, analysant le rôle de la Mathesis dans l’Histoire de l’esprit selon Brunschvicg, comprend le « progrès » comme un progrès de la conscience individuelle vers la « communauté des esprits » dans la recherche rationnelle du vrai et du juste. C’est ainsi aussi que j’interprète les propos de Jésus dans l’évangile selon Thomas (qui malheureusement n’a pas été retenu par l’Eglise, ce qui eut changé l’Histoire):

http://www.naghammadi.org/traductions/textes/evangile_thomas.asp

« Logion 1. Il a dit : Celui qui trouvera l’interprétation de ces paroles ne goûtera pas la mort.

Logion 2. (1) Jésus a dit : 15 Celui qui cherche, qu’il ne cesse de chercher jusqu’à ce qu’il trouve ; (2) quand il aura trouvé, il sera troublé ; (3) troublé, il s’étonnera et il régnera sur le Tout. »

Cela correspond à mon avis à ce que dit Brunschvicg quand il parle de « renoncement à la mort » (à la fin justement de ce livre « Introduction à la vie de l’esprit ») Seul un individu peut mourir mais si je suis parvenu en poussant jusqu’au bout le travail spirituel de la dés-individuation à « devenir l’Esprit », comme nous y appelle Brunschvicg, il ne reste plus d’individu , agrégat de déterminations c’est à dire de négations, qui puisse mourir, disparaître .
Voici en tout cas les archives du blog de Terence Tao (qui exerce ses talents prodigieux en théorie des nombres, l’un des domaines les plus fascinants de la mathématique) sur la conjecture de Goldbach, en passe d’être résolue d’après ce que je sais:

https://terrytao.wordpress.com/tag/goldbach-conjecture/

Venons en maintenant à ce fameux programme de recherche sur les « univalent foundations » inspiré à la fois des travaux de Cantor et Grassman et de ceux de Grothendieck:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Univalent_foundations

Et nous amène à la théorie des « Homotopy types » qui fait l’objet d’un livre:

Homotopy type theory:

The HoTT Book

Et d’un blog:

http://homotopytypetheory.org

et l’on comprend d’après la caractérisation suivante que cela mène directement l’esprit vers les notions d’isomorphisme et d’équivalences en théorie des catégories:

« Homotopy Type Theory refers to a new interpretation of Martin-Löf’s system of intensional, constructive type theory into abstract homotopy theory. Propositional equality is interpreted as homotopy and type isomorphism as homotopy equivalence.  »
L’homotopie est une notion de la topologie,caractérisant une transformation ou  » déformation continue » entre deux fonctions elles mêmes continues reliant deux espaces topologiques ( rappel: une fonction entre deux espaces topologiques est dite continue si l’image inverse d’un ouvert est un ouvert) qui sont dite alors homotopiques:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Homotopy

Voici un exposé Video de Vladimir Voevodsky sur le sujet à l’ Insitute for advanced studios:

https://video.ias.edu/univalent/voevodsky

Qui nous ramène à la « higher category theory »:

« The correspondence between homotopy types and higher categorical analogs of groupoids which was first conjectured by Alexander Grothendieck naturally leads to a view of mathematics where sets are used to parametrize collections of objects without « internal structure » while collections of objects with « internal structure » are parametrized by more general homotopy types. Univalent Foundations are based on the combination of this view with the discovery that it is possible to directly formalize reasoning about homotopy types using Martin-Lof type theories. »
Par un autre raccourci de l’esprit nous voyons apparaître dans la marge de droite le nom de Patricia Crone, récemment décédée, qui a fait avancer l’islamologie moderne dans le même sens que Gallez, c’est à dire vers la compréhension de l’origine humaine du Coran chez les judéo-chrétiens (« Nazaréens »):

https://video.ias.edu/crone-remembrance
on parle de ses travaux dans cet article sur les origines nazaréennes de l’Islam:

http://www.salve-regina.com/salve/Le_mystère_des_origines_de_l’Islam_enfin_éclairci

Il y a bien une cohérence profonde de la Raison  » désintéressée qui aperçoit le Dieu des philosophes et des savants » et de son combat pour l’autonomie donc contre le pseudo -Dieu de l’hétéronomie, de la Sharia ..le travail de la dés-individuation passe aussi par la « dés appropriation parfaite et réciproque de Dieu et de l’homme » que fixe Brunschvicg pour but ultime du travail spirituel et scientifique dans la troisième opposition fondamentale entre le Dieu vraiment divin et le Dieu humain des religions, dans « Raison et religion » , voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/14/brunschvicgraisonreligion-troisieme-opposition-fondamentale-dieu-humain-ou-dieu-divin/

« En essayant d’atteindre Dieu comme cause efficiente du monde, nous nous sommes soumis à l’obligation de proportionner sa divinité à ce que le monde en révèle, avec le risque de dégrader Dieu et de rabaisser en nous son idée. Le Deus artifex sera aussi loin que possible du Deus sapiens qu’on aurait voulu découvrir et vénérer.

Nous touchons le point où un pieux désarroi se manifeste à l’intérieur d’une même tradition ecclésiastique et parfois dans P046 l’œuvre d’un même apologiste. L’effort pour donner un Dieu à la nature en faisant fond sur la causalité se dédouble en explications opposées, qui alternent et mutuellement se ruinent. Tantôt on appuiera sur la ressemblance de l’effet à la cause, et l’on célébrera les merveilles de la nature, signes et reflets d’une gloire divine ; tantôt on mettra en relief le contraste de la cause créatrice et de l’effet créé, on cherchera dans les insuffisances de l’effet, dans sa contingence et sa précarité, la preuve même qu’à la source il y a l’être souverain, nécessaire et absolu.
Cette impuissance dialectique traduit l’angoisse de l’humanité qui consulte l’univers sur Dieu et qui toujours demeure déconcertée et rebutée par l’écart grandissant, à mesure qu’elle observe et réfléchit davantage, entre le monde tel qu’elle l’attendrait d’un Dieu et le monde tel qu’il se manifeste à son regard. L’élan de confiance s’achève en réaction de désespoir lucide.
Nous accorderons donc à la science moderne qu’elle a pu atteindre son but dans le domaine de la nature inanimée, non certes qu’elle ait éliminé le mystère comme on l’a dit imprudemment ; mais elle a résolu, ou plus exactement elle a découvert, assez de problèmes dans des conditions admirablement délicates et imprévues, pour que nous soyons en état de nous donner l’assurance qu’en dehors
de méthodes positives il n’y a pas à entrevoir de salut par la vérité. Il reste cependant certain que l’on compromettrait la portée solide des résultats obtenus par la physique depuis les trois siècles de sa constitution, si on étendait cette conclusion à la biologie. Plus nous devons reconnaître que les diverses opérations de la vie, prises chacune à part, sont régies par les lois chimico-physiques, plus nous devons admirer la coordination qui s’établit entre ces opérations. Elles apparaissent dirigées dans un sens qui, d’une façon générale, coïncide avec la préservation et le développement de l’organisme, présentant dans le choix des moyens une richesse d’invention, une subtilité d’anticipation, faites pour étonner, sinon pour convertir, le sceptique le plus endurci. La finalité rentre ici chez soi, finalité individuelle ou finalité grégaire, comportement tantôt d’apparence simple, tantôt d’une complication réellement invraisemblable, disproportionnée en tout cas aux ressources propres des êtres qui semblent suivre l’impulsion d’un instinct sans avoir la moindre conscience du but auquel tend leur activité. N’est-il donc pas raisonnable de chercher le secret de cette activité hors d’eux et plus haut qu’eux, dans une intelligence transcendante qui soit capable de lire leur avenir en leur passé, d’amener par l’efficacité de sa prévoyance la convergence des mouvements chez chaque unité d’un groupe, leur harmonie dans le sein de l’espèce, la hiérarchie enfin des espèces entre elles ?

…L’ascèse idéaliste permet donc de conclure à l’existence de Dieu comme thèse rigoureusement démontrée si l’on a su retrancher de la notion d’existence tout ce qui tendrait à situer Dieu dans un plan de réalité matérielle où il viendrait, soit s’ajouter, comme chose numériquement différente, à l’ensemble des choses données dans l’expérience du monde, soit se confondre avec lui. Créationisme et panthéisme sont également hors de jeu, parce qu’ils définissent Dieu par rapport à la réalité de la nature. Or il faut, de toute nécessité, que le progrès de la critique ait spiritualisé l’être pour que soit séparé de son image, atteint dans sa pureté, le Dieu qui seul pourra être avoué comme divin.
Cependant il reste un problème capital à trancher. Le Dieu des philosophes, Dieu pauvre, dépouillé, auquel sont refusés tout à la fois la floraison des symboles, l’encens des prières, la majesté des pompes liturgiques, est-il capable de satisfaire l’instinct religieux de l’humanité ? Le mouvement de conversion que nous nous sommes efforcés de suivre, requiert donc, pour s’achever, un élan de désintéressement pratique, capable de renouveler jusque dans sa racine spéculative notre idée de l’âme, d’en assurer l’entière spiritualité….

…Pour nous la leçon est péremptoire. Nous n’attendrons notre salut que de la réflexion rationnelle, portée à ce degré d’immanence et de spiritualité où Dieu et l’âme se rencontrent. Si Dieu est vérité, c’est en nous qu’il se découvre à nous, mais à la condition que Dieu ne soit que vérité. Le péril mortel serait que la profondeur idéaliste souffrît d’être indûment transposée, que l’imagination de l’être réapparût subrepticement qui aurait pour effet inévitable d’assimiler Dieu à un objet quelconque dans le champ de la réalité vulgaire, de transformer dès lors l’intuition d’ordre spirituel en un paralogisme ontologique.
On a beau vouloir mettre la spéculation d’un côté, la pratique de l’autre, tout est compromis du moment que le progrès ne s’accomplit pas à la fois dans l’un et l’autre des deux ordres. A quoi bon répéter la parole qui a traversé les siècles : Dieu est amour, si on allait en altérer immédiatement le sens parce qu’on se représenterait le lien de l’homme et de Dieu sur le modèle du rapport qui s’établit dans notre monde entre personne et personne, entre moi et autrui ? Dieu n’est pas aimant ou aimé à la manière des hommes ; mais il est ce qui aime en nous, à la racine de cette puissance de charité qui nous unit du dedans, de même qu’il est à la racine du processus de vérité qui fonde la réalité des choses extérieures à nous comme il fonde la réalité de notre être propre.
Le service que rend la philosophie à la religion consisterait donc à mettre en évidence que c’est un même progrès de pensée dans le sens du désintéressement et de l’objectivité qui préside à la triple option dont nous nous sommes efforcés de préciser les conditions intellectuelles, qu’il s’agisse de l’homme ou du monde ou de Dieu. L’ennemi sera toujours le mirage de la chose ensevelie dans la matérialité de son expression verbale, qui fait que le moi s’acharne à la vaine poursuite d’une âme dissimulée derrière sa spiritualité, comme d’un Dieu caché par-delà sa divinité. Le réalisme se fait ombre à lui-même.
 »

Et voici le passage le plus important de « Raison et religion »:

« Ce n’est donc pas un hasard, non seulement si le cartésianisme concorde, à l’intérieur même de l’Église, avec le mouvement qui marque la revanche de la théologie augustinienne du Verbe sur la théologie thomiste des intermédiaires, mais si avec le Traité théologico-politique et l’Éthique la voie royale de la spiritualité s’est trouvée définitivement ouverte. Peut-être le souvenir de certains Marranes, chez qui les frontières de culte entre juifs et catholiques tendaient à s’effacer au profit de la communauté de sentiment, avait-il contribué à détacher Spinoza de tout préjugé particulariste. En tout cas, à travers le langage substantialiste et l’appareil euclidien, qui pourraient à chaque instant donner le change sur la tendance profonde du système, s’accomplit la désappropriation réciproque et parfaite de Dieu et de l’homme. Le Dieu infiniment infini n’est pas seulement dégagé de toute image plastique suivant le commandement du Décalogue, mais, ce qui est beaucoup plus important et plus rare, affranchi de toute image psychologique. Dès lors nous ne pouvons plus accepter que nous soyons un autre pour lui, et il cesse d’être un autre pour nous. Il n’est pas la puissance supérieure vers laquelle se tourne l’être qui dure, et qui prie pour être soustrait aux lois de la durée. Il est la vérité éternelle en qui une âme pensante acquiert le sentiment et l’expérience intime de l’éternité de la pensée. Ni le soleil ni la mort ne peuvent se regarder fixement, considérés avec les yeux du corps ; mais l’homme dont on peut affirmer sans mentir qu’il est deux fois né, l’astronome d’après Copernic, le philosophe d’après Spinoza, aura la force de les envisager avec les « yeux de l’esprit que sont les démonstrations ». »

Mac Lane, Bourbaki et la théorie de l’adjonction

J’ai déjà parlé de cet article de David Ellerman titré  » Mac Lane, Bourbaki and adjoints : à heteromorphic perspective » , un article à vocation historique qui explique pourquoi Pierre Samuel ( membre du collectif Bourbaki) a frôlé en 1948 l’invention de la notion de foncteurs adjoints qui fut réservée à Daniel Kan en 1958. Au total Bourbaki fit le choix à la fin des années 40 ou au début des années 50, de ne pas utiliser pour fonder les mathématiques le formalisme des catégories et foncteurs, issu en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane pour remplacer celui de la théorie des ensembles, ce qui entraîna la démission d’Alexandre Grothendieckdu groupe.

Mais comme d’habitude David Ellerman illustre son propos à l’aide de la théorie des hétéromorphismes, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2016/01/05/david-ellerman-theorie-heteromorphique-de-ladjonction/

En fait l’explication est assez simple : Pierre Samuel(pour Bourbaki) s’est arrêté à mi-chemin parce qu’il n’avait pas à sa disposition le langage catégorique, le probleme de construction universelle qu’il se posait revient, en termes modernes, à étudier un bifoncteur W (cf l’article ci dessus pour l’explication de cette terminologie chez Ellerman):

W: X op × A → Ens

et à chercher un élément universel pour W(x, -) pour tout x.

Ce qui revient à chercher des objets canoniques de la catégorie A, de forme Fx
donc, tels que :

W( x,a) ≅ HomA (Fx, a)
On est ici très proche de la formulation d’un probleme de recherche de foncteur adjoint: trouver des objets formés selon un procédé canonique Fx tels que :

Hom X( x, Ga) ≅ Hom A (Fx,a)

En 1948 Pierre Samuel se pose un « problème universel »( » Universal mapping problem »), notion qui remonte à Wronski voir notre article:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/05/lidee-de-probleme-universel-un-important-promontoire-pour-une-vision-de-lunite-de-la-mathesis/

Ce qui revient (dans le langage des foncteurs représentables inventé ultérieurement, ironie de l’histoire, par Grothendieck) à chercher une représentation à gauche du bifoncteur Het, voir page 4 de cet autre article d’Ellerman:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

En fait l’adjonction équivaut à la représentabilité à gauche et à droite du bifoncteur Het, selon l’équation complète qui décrit une adjonction justement comme représentation à gauche et à droite du bifoncteur Het:

HomA( Fx,a) ≅ Het(x,a) ≅ HomX(x,Ga)

Samuel est resté trop sur sa gauche !!!

Au paragraphe 4 ( page 4 sur 16) de:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

David Ellerman donne une représentation diagrammatique illuminatrice du problème universel(« Universal mapping problem ») qui équivaut à la représentation à gauches uni s’écrit:

Hom A( F(x), a) ≅ Het (x,a)
(Trouver la représentation à gauche revient à trouver pour tout x une solution au problème universel consistant à faire commuter le diagramme au dessus, page 4 du texte d’Ellerman)
Par dualité Ellerman donne ensuite page 4 un autre diagramme , dual du précédent, qu’il appelle « Co-universal mapping problem » et qui équivaut à la représentation à droite du bifoncteur Het.
La solution des deux problèmes (universel et co-universel) , c’est à dire la représentabilité à droite et à gauche du bifoncteur Het, est une adjonction.
Ellerman cite le livre de Pareigis de 1970 qui parlait de « solution universelle au problème universel ».
Le lien de ce livre important de Pareigis « Categories and functors » est ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/

Ellerman consacre à Pareigis le paragraphe 5, page 5 à 7

L’idée de « problème universel » : un important promontoire pour une vision de l’unité de la mathesis

La notion de « problème universel » apparaît déjà chez Wronski où elle voisine avec celles de « loi suprême » et de « Teleiosis » dans la trinomie ou Sainte Trinité des idées de base du système. Voir ici:

http://www.ams.org/journals/bull/1893-02-08/S0002-9904-1893-00135-3/S0002-9904-1893-00135-3.pdf

l’article  du Professeur Echols « Wronski ´s expansion »où le probleme universel est assimilé à un cas particulier de la  » Loi suprême ».

Ce probleme est très clairement défini et Lagrange (pas le même que celui cité dans l’article précédent)le décrit ici (page 1) avant d’en donner la solution (fichier pdf recopié en bibliotheque de mon blog « mathesisuniversalis2.wordpress.com »):

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/?attachment_id=624

Il existe une page Wikipedia qui explique la notion en termes d’objet initial ou final (notions duales) dans une catégorie :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

« Par suite, demander qu’un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près. En d’autre termes, de telles définitions permettent de se concentrer sur l’essentiel (le comportement de l’objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction.

Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l’existence de l’objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l’objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l’objet.
Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu’il est défini par un problème universel. »

Objet initial et objet final sont deux exemples de limites d’un diagramme ( on les obtient quand on prend la limite ou la colimite du diagramme vide),voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Où l’on signale voir le paragraphe « Définition » que réciproquement toutes les limites peuvent être vues comme des objets terminaux (donc des solutions de problèmes universels)dans une certaine catégorie , celle des cônes dans F, où F est le foncteur correspondant au diagramme dont on cherche la limite.

Wronski est le « cas » de la famille, Echols parle dans l’article cité supra de ses démêlés avec les « savants à brevets » , mais ne nous y trompons pas : c’est un génie absolu , et Balzac ne pouvait pas se tromper dans son admiration fascinée pour ce personnage « l’une des plus fortes têtes de l’Europe » et je ne pense pas que les mathématiciens ( ceux de Bourbaki et après) modernes auraient pu garder ce titre de « problème universel » s’ils n’avaient pas partagé cette admiration, surtout compte tenu de l’importance de l’idée et non plus du mot.Une idée, celle de problème universel, qui semble justement se situer au coeur des débats qui agitèrent le groupe Bourbaki dans les années 50 à propos de la théorie des catégories, qui était apparue en 1945, voire en1942.Cet article de Ralf Kromer porte justement sur ce sujet appartenant à l’histoire des idées: « La machine de Grothendieck se fonde t’elle seulement sur des vocables métamathématiques ? Bourbaki et la théorie des categories dans les années cinquante »

http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/12/pdf/smf_rhm_12_119-162.pdf

On y apprend plusieurs choses importantes :

-Samuel Eilenberg avait fui la Pologne très  tardivement , juste avant l’invasion nazie en 1939. Il s’installa aux USA sans problème, grâce à l’aide de la communauté mathématicienne, et travailla avec Saunders Mac Lane, c’est de leurs travaux en commun qu’est issue la théorie des categories en 1942 d’abord, mais surtout  en 1945 avec leur article séminal  » General  theory of natural équivalences ». Les idées de 1942 sont si l’on veut l’insémination, et l’article de 1945 la naissance, ou le baptême de la théorie. Eilenberg ne fut intégré au groupe Bourbaki que vers la fin des années 40. Il semble que Grothendieck grâce à un exposé qui avait été lu en son absence , alors qu’il se trouvait aux USA, avait gagné en grande partie la société des bourbakistes à la nouvelle théorie, qui entretenait des rapports étroits avec ce que Bourbaki appelait « structures » et qui forme la base du structuralisme si en vogue dans les annees 60, mais il se heurta à l’opposition d’André Weil, le mathématicien frère de Simone Weil (morte en1943, mais qui apparaît en compagnie de son frère sur certaines photos du groupe datant de 1938).Finalement ce fut ce dernier  qui gagna, Bourbaki refusa d’intégrer la théorie des catégories et Grothendieck démissionna du groupe.

Il semble qu’un certain article de Pierre Samuel (membre de Bourbaki) en 1948 intitulé « on universal mappings and free topological groups » ait une grande importance pour le sujet qui nous occupe, j’ai en tout cas trouvé plusieurs liens qui l’évoquent et lui accordent une place centrale, en liaison avec la notion de « problèmes universels » ( et je dois d’ailleurs signaler que d’après  l’article ci dessus de Ralf Kromer un thème récurrent de pensée chez Grothendieck  porte sur la commutativité des problèmes universels »(?)
 Il y a d’abord un article important sur le sujet des liens entre philosophie et mathématiques à travers la relation humaine et professionnelle de Jules Vuillemin et Pierre Samuel:

« Pierre Samuel et Jules Vuillemin: mathématiques et philosophie »

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01082189/document

Il s’agit selon son auteur de « présenter une des modalités actuelles possibles de relations entre mathématiques et philosophie » en prenant pour objet d’étude les contributions et réflexions des deux auteurs(Pierre Samuel pour la mathématique et Jules Vuillemin pour la philosophie) sur le concept général de structure et examinant plus précisément la notion de « problème universel ».

Ajoutons que si Vuillemin est défini comme un philosophe, c’est lui qui a écrit « Mathématiques et métaphysique chez  » un livre auquel l’article fait souvent allusion, ce qui n’est guère une coïncidence puisque Descartes est ce philosophe qui le premier a tenté d’appliquer la méthode mathématique en métaphysique.(voir page 2 notamment)

Un autre article qui s’intéresse à Pierre Samuel et au « probleme universel » est dû à David Ellerman que nous connaissons déjà pour ses travaux tournant toujours autour de l’universalité en relation avec l’adjonction des foncteurs :

« Mac Lane, Bourbaki and adjoints : a heteromorphic perspective « 

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

C’est effectivement Ellerman qui utilise la notion d’hétéromorphisme ( flèche entre deux objets situés dans des categories différentes, alors qu’un (homo)morphisme relie deux objets situés dans une même catégorie), pour clarifier la notion d’adjonction et de propriété universelle . Les articles suivants portent sur ses travaux en ce domaine:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/

Dans l’article mentionné ici, David Ellerman , qui fait une plus grande part à l’histoire des idées que les autres, que nous avions étudiés auparavant, part d’une remarque de Mac Lane suivant laquelle Bourbaki a manqué de peu l’invention de l’adjonction en 1948, invention qui est comme nous l’avons vu la plus importante de la théorie des categories:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

Ellerman poursuit en assurant que là encore l’utilisation de la théorie non orthodoxe ( faisant intervenir les hétéromorphismes) permet de clarifier les choses et de comprendre que Pierre Samuel s’est approché d’encore plus près de l’adjonction que l’on ne pourrait le penser à première vue. Car c’est Pierre Samuel qui a rédigé en 1948, non seulement l’article dont je parlais plus haut sur les  » Universal mapping probleme » mais l’appendice au premier jet du traité « Algèbre » de Bourbaki. Il a trouvé la  » left representation solving to a universal  mapping problem » ce qui constitue une première moitié d’une adjonction, la seconde moitié étant une représentation duale , à droite .

Il faut rappeler ici , comme il est précisé dans les deux pages Wikipedia suivantes :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qu’une adjonction peut être vue comme résolution d’un problème d’optimisation , formulation assez générale pour couvrir tous les problèmes rencontrés en mathématiques et en physique (qu’est d’autre la recherche d’extrema d’un lagrangien en physique qu’un problème d’optimisation ?) .

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

« It can be said that an adjoint functor is a way of giving the most efficient solution to some problem via a method which is formulaic. For example, an elementary problem in ring theory is how to turn a rng (which is like a ring that might not have a multiplicative identity) into a ring. The most efficient way is to adjoin an element ‘1’ to the rng, adjoin all (and only) the elements which are necessary for satisfying the ring axioms (e.g. r+1 for each r in the ring), and impose no relations in the newly formed ring that are not forced by axioms. Moreover, this construction is formulaic in the sense that it works in essentially the same way for any rng….

….This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a construction is most efficient if it satisfies a universal property, and is formulaic if it defines a functor. Universal properties come in two types: initial properties and terminal properties. Since these are dual (opposite) notions, it is only necessary to discuss one of them….

The idea of using an initial property is to set up the problem in terms of some auxiliary category E, and then identify that what we want is to find an initial object of E. This has an advantage that the optimization — the sense that we are finding the most efficient solution — means something rigorous and is recognisable, rather like the attainment of a supremum. The category E is also formulaic in this construction, since it is always the category of elements of the functor to which one is constructing an adjoint. In fact, this latter category is precisely the comma category over the functor in question.

....The two facts that this method of turning rngs into rings is most efficient and formulaic can be expressed simultaneously by saying that it defines an adjoint functor…..

….Continuing this discussion, suppose we started with the functor F, and posed the following (vague) question: is there a problem to which F is the most efficient solution?

The notion that F is the most efficient solution to the problem posed by G is, in a certain rigorous sense, equivalent to the notion that G poses the most difficult problem that F solves.[citation needed]

This has the intuitive meaning that adjoint functors should occur in pairs, and in fact they do, but this is not trivial from the universal morphism definitions. The equivalent symmetric definitions involving adjunctions and the symmetric language of adjoint functors (we can say either F is left adjoint to G or G is right adjoint to F) have the advantage of making this fact explicit. »

Rappelons quand même que l’adjonction est orientée : on écrit :

F\dashv G.

pour signifier que le foncteur  F est adjoint à gauche du foncteur  G et G adjoint à droite de F

ce qui est rappelé par le fait que F figure dans le membre de gauche de la famille de bijections qui explicite l’adjonction :

\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)

Noter que le point historique expliqué par Ellerman est mentionné à la fin de la seconde page Wikipedia : portant sur la notion « universal property » :

« Universal properties of various topological constructions were presented by Pierre Samuel in 1948. They were later used extensively by Bourbaki. The closely related concept of adjoint functors was introduced independently by Daniel Kan in 1958. »

En 1948 Bourbaki (via Pierre Samuel) a effectivement manqué de passer de la notion de « propriété universelle  » à celle de foncteur adjoint , ce qui a été réalisé 10 ans plus tard, en 1958, par Daniel Kan dans son article « Adjoint functors » qui est ici :

http://www.ams.org/journals/tran/1958-087-02/S0002-9947-1958-0131451-0/S0002-9947-1958-0131451-0.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kan

La relation entre propriété universelle et adjonction peut aussi s’exprimer par la notion de foncteur représentable ce qui fait entrer en jeu une troisième page Wikipedia (est ce un hasard si ces trois pages sont excellentes ? ce qui n’est pas toujours le cas sur Wikipedia ? l’importance du sujet l’exige! là se trouve résumée toute la philosophie occidentale celle qui figure en notes de bas de pages de Platon selon Whitehead) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

voir le dernier paragraphe « relation to universal morphisms and adjoints »

L’article est déjà assez lourd, nous étudierons l’article d’Ellerman dans un ou des articles suivants, en revenant aussi sur la forme qu’il utilise, celle  des hétéromorphismes , dans ses deux autres papiers et ensuite nous pourrons passer à l’article de Daniel Kan

 

 

 

 

Préface de « Higher topos theory » : n-champs (« n-stacks »)

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Sur mathoverflow (un site de dialogues où l’on peut poser des questions, aussi intéressant que mathstackexchange) on trouve des tas de pages passionnantes, dont ces deux sur le sujet des catégories supérieures (« Higher category theory »):

http://mathoverflow.net/questions/185997/why-higher-category-theory

Why Higher category theory? (Pourquoi les catégories superieures?)

Il y a plusieurs réponses mais le premier internaute qui répond lui conseille de lire la préface de « Higher topos theory ».

Un autre (David Corfield) lui signale deux sens du mot « Higher » :
– Au sens des (∞,1)-catégories (qui est celui retenu par Jacob Lurie dans son livre)
– au sens des n-catégories.
Il y a d’ailleurs une discussion portant sur Mathoverflow (où interviennent Jacob Lurie, David Corfield, Urs Schreiber, John Baez et d’autres) ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192

Une autre page de Mathoverflow porte sur Jacob Lurie lui même et sur ses idées-clefs (« key insights »):

http://mathoverflow.net/questions/37825/what-are-jacob-luries-key-insights

L’un des intervenants signale comme source de ces idées la prise au sérieux des travaux de Grothendieck, notamment « A la poursuite des champs » (« Pursuing stacks ») qui est disponible sur Internet mais c’est un fichier tellement énorme que je ne suis pas arrivé à le télécharger sur ma tablette.
Un autre dit qu’il ne croit pas aux « super-héros » en mathématiques, mais aux « super-idées », ce qui est très juste, mais il y a une difficulté pour accéder aux « super-idées » de gens comme Grothendieck ou Lurie : la forme technique souvent extrêmement exigeante qui constitue le « revêtement » de ces idées.

La préface de « Higher topos theory »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

s’étend des pages 7 à 15 (sur un total de 949 pages).

Page 9 Lurie se réfère effectivement à Grothendieck et à une lettre de lui à Quillen où il affirme qu’il devrait exister une théorie des n-champs (« n-stacks ») pour tout n entier positif ou nul.
Cette théorie des n-champs sur un espace X devrait être pensée comme « faisceau de n-types » (« sheaf of n-types ») : dans le cas où X est un point (et si l’on se restreint aux champs de groupoides) cette théorie devrait retrouver la théorie de l’homotopie classiquedes n-types.
Dans le cas n=0, un n-champ sur un espace topologique X est simplement un faisceau d’ensembles sur X, et la collection de ces faisceaux est le topos de Grothendieck paradigmatique:

Sh(X)

Que nous avons déjà expliqué

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Jacob Lurie précise d’ailleurs page 14 que le mot « topos » voudra toujours dire « topos de Grothendieck ».

Lurie se pose trois questions dans la préface:

« Que doit on entendre par « faisceau de n-types? » , la réponse fait l’objet du livre.
Cette réponse permet de répondre aux deux suivantes:
La collection notée :

Sh≦n(X)

de ces faisceaux de n-types sur X possède la structure de ce que Lurie appelle

∞-catégories

et dont il fait la théorie au chapitre 1.

Enfin cette ∞-catégorie

Sh≦n(X)

est un exemple de

(n+1)-topos

c’est à dire une ∞-catégorie qui satisfait des axiomes analogues (pour les catégories supérieures) à ceux de Giraud pour les topoi de Grothendieck (cf chapitre 6).

Jacob Lurie, continuateur de Grothendieck

Les propos tenus au CERN en 1972 par Alexandre Grothendieck, voir:

Allons nous continuer la recherche scientifique?

sont tout à son honneur puisqu’il parle et pense contre lui même, et sont la preuve d’une intégrité morale sans limites, et bien rare en ce monde, que ce soit en 1942, en 1972 ou en 2015, mais nous avons vu qu’on ne doit pas les prendre au pied de la lettre: il est impossible qu’il ait employé son existence, de 1945 où à la sortie de la guerre et des camps d’internement (où il était détenu comme apatride, son père anarchiste juif ayant été assassiné par les nazis) il commence à se « former » en mathématiques (largement tout seul) et 2014 année de sa mort, à une œuvre aussi gigantesque et ardue que celle qu’il laisse, pratiquement impossible à comprendre même pour des professionnels de très haut niveau.
Et pourtant certains mathématiciens y sont arrivés, et ont repris le flambeau, comme Jacob Lurie dont voici la page dans le NLAB:

nLab : Jacob Lurie

La différence est que Jacob Lurie est encore très jeune (mais il est vrai aussi qu’il n’a pas connu les événements tragiques qu’a connues Grothendieck).

A cet âge il a eu le temps d’écrire, entre autres, ces deux livres qui représentent une avancée immense dans le domaine des n-catégories et des n-topoi:

Higher topos theory (près de mille pages, et ce n’est pas de la littérature de gare, mais une matière d’une difficulté extrême):

Jacob Lurie: Higher topos theory

et « Higher algebra » (1178 pages):

Jacob Lurie : Higher algebra

tout cela à disposition gratuitement de n’importe qui sur la planète !!

Encore une fois, et Grothendieck a raison de le dire, il ne faudrait pas croire que par ce qu’ils sont géniaux, ces personnes sortent ces immenses travaux comme en se jouant. Il y faut énormément de travail et de réflexion.

D’autre part nous avons le contre-exemple d’Einstein qui certes était un génie, mais pas en mathématiques où il n’avait aucune facilité. Mais il avait besoin d’apprendre et de connaître sur le bout du doigt l’algèbre tensorielle, pour les besoins de sa physique de la Relativité générale, et il n’a pas eu d’autre solution que de travailler énormément.

S’il n’y avait pas dans la mathématique et la physique mathématique autre chose qu’un jeu formel de signes ou qu’une prouesse intellectuelle, croyez vous que toutes ces personnes auraient eu le courage, l’énergie, d’accomplir un tel travail surhumain ?

Non, comme le dit Badiou, la mathématique est une pensée, mais contrairement à ce qu’affirme Badiou il ne s’agit pas de la pensée de l’Etre en tant qu’être, de l’ontologie.

Il s’agit de la pensée selon l’un qui selon Brunschvicg ramène vers Dieu alors que la pensée selon l’être en éloigne:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/heritage_de_mots_idees/heritage_de_mots.html

« Reconnaissons donc qu’il y a dans l’effort intellectuel du savant, dans la réflexion critique du philosophe, une vertu de désintéressement et de rigueur avec laquelle il est interdit de transiger. Au premier abord rien ne nous paraissait plus simple que de conclure de l’horloge à l’horloger ; mais ce qui aurait dû être prouvé pour conférer quelque solidité à l’argument, c’est que le monde est bien une horloge, une machine dont l’ajustement atteste que l’auteur s’est effectivement proposé un but déterminé. Cela pouvait aller sans trop de difficulté tant que l’orgueil humain demeurait installé au centre des choses et rapportait à l’intérêt de notre espèce les aspects multiples et les phases successives de la création. Il n’en est plus de même aujourd’hui. Plus s’élargit l’horizon qu’atteignent nos lunettes et nos calculs, plus aussi l’univers, théâtre de combinaisons élémentaires aux dimensions formidables, s’enfonce dans ce silence d’âme qui effrayait, sinon Pascal, du moins son interlocuteur supposé. Le Deus faber, le Dieu fabricant, auquel se réfère l’anthropomorphisme de Voltaire, est décidément fabriqué de toutes pièces…..

….Dieu ne naîtra pas d’une intuition tournée vers l’extérieur comme celle qui nous met en présence d’une chose ou d’une personne. Dieu est précisément ce chez qui l’existence ne sera pas différente de l’essence ; et cette essence ne se manifestera que du dedans grâce à l’effort de réflexion qui découvre dans le progrès indéfini dont est capable notre pensée l’éternité de l’intelligence et l’universalité de l’amour. Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène…..

….Aucun spectacle n’est plus émouvant que de voir Dieu se dégager des voiles de l’analogie anthropomorphique, devenir en quelque sorte davantage Dieu, à mesure que l’homme se désapproprie lui-même, qu’il se dépouille de tout attachement pour l’intérêt de sa personne, sacrifiant dans le sacrifice même ce qui trahirait une arrière-pensée de consolation sentimentale, de compensation dans un autre monde et dans une autre vie. Celui-là défend l’honneur de Dieu qui peut se rendre ce témoignage :
​J’ai parfumé mon cœur pour lui faire un séjour.
Sans y laisser rien pénétrer qui ait quelque rapport avec la souffrance, l’erreur ou le péché. Le Dieu auquel les mystiques ne demandent plus rien sinon qu’il soit digne de sa divinité, sub ratione boni, ne saurait avoir de part dans ce qui ne ressort pas de l’esprit ; il est au-dessus de toute responsabilité dans l’ordre, ou dans le désordre, de la matière et de la vie. Il est l’idée pure qui rejette dans l’ombre, non seulement l’idole populaire d’un Deus gloriosus que réjouirait l’encens des offrandes et des prières, dont un blasphème parti de terre provoquerait la douleur et la vengeance, mais encore l’image, « sensible au cœur », d’un Dieu apitoyable, qui permettrait à ses fidèles d’en appeler des arrêts de sa justice et tempérerait pour eux les impulsions de sa colère.
Aucun spectacle n’est plus émouvant que de voir Dieu se dégager des voiles de l’analogie anthropomorphique, devenir en quelque sorte davantage Dieu, à mesure que l’homme se désapproprie lui-même, qu’il se dépouille de tout attachement pour l’intérêt de sa personne, sacrifiant dans le sacrifice même ce qui trahirait une arrière-pensée de consolation sentimentale, de compensation dans un autre monde et dans une autre vie. Celui-là défend l’honneur de Dieu qui peut se rendre ce témoignage :
​J’ai parfumé mon cœur pour lui faire un séjour.
Sans y laisser rien pénétrer qui ait quelque rapport avec la souffrance, l’erreur ou le péché. Le Dieu auquel les mystiques ne demandent plus rien sinon qu’il soit digne de sa divinité, sub ratione boni, ne saurait avoir de part dans ce qui ne ressort pas de l’esprit ; il est au-dessus de toute responsabilité dans l’ordre, ou dans le désordre, de la matière et de la vie. Il est l’idée pure qui rejette dans l’ombre, non seulement l’idole populaire d’un Deus gloriosus que réjouirait l’encens des offrandes et des prières, dont un blasphème parti de terre provoquerait la douleur et la vengeance, mais encore l’image, « sensible au cœur », d’un Dieu apitoyable, qui permettrait à ses fidèles d’en appeler des arrêts de sa justice et tempérerait pour eux les impulsions de sa colère.
 »

Or ce dégagement, cette purification de l’idée de Dieu-un hors des voiles de l’analogie anthropomorphique, est infini, et c’est à cette tâche que se vouent des gens comme Einstein, Grothendieck ou Jacob Lurie.

Dieu des philosophes et des Savants, non le Dieu d’Abraham, Isaac, Jacob…ou Jésus Christ.

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