Archives du mot-clé category theory

Une notion fondamentale : l’adjonction

dans un précédent article:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

nous avons vu, à titre d’hypothèse bien sûr, comme c’est le caractère (spéculatif) de tout ce qui est développé ici, que le schéma fondamental de ce que nous appelons μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια pourrait être représenté par ce que l’on appelle un morphisme géométrique entre deux topoi, c’est à dire une paire de foncteurs adjoints entre deux topoi:

U. : E —————-> S

où le topos E , généralement la catégorie Ens des ensembles, jouerait le rôle de ce que Wronski appelle dans sa philosophie élément-être, le topos S correspondrait à l’élément-savoir, le plan de l’idée, et le morphisme à l’élément-neutre qui « unifie » être et savoir.
Nous voyons donc que pour poursuivre, il faut étudier à fond la notion d’adjonction, qui est cruciale en mathématiques et en théorie des catégories.

Or cela demande une compréhension plus que formelle, comme c’est souvent le cas en mathématiques, pour ne pas parler de la « philosophie mathématique » que nous désirons développer ici.

Sur cette page qui permet de poser des questions à la communauté des mathématiciens :

http://mathoverflow.net/questions/6551/what-is-an-intuitive-view-of-adjoints-version-1-category-theory

un « topologiste » qui connaît le sens de la notion de « foncteurs adjoints » se demande comment il pourrait expliquer la notion à respectivement un enfant de 5 ans, le « passager ordinaire du bus de Clapham » ou même à un « undergraduate » …

Il obtient des tas de réponses intéressantes, souvent tirées de liens ou de blogs connus, à part la première qui fait l’analogie avec les problèmes d’approximation la meilleure d’un nombre rationnel ou réel par un entier…quant à savoir si un enfant de 5 ans comprendrait c’est une autre paire de manches.

Quoiqu’il en soit, nous voyons quel est le défi à relever, puisque la compréhension que nous visons dépasse largement celle désirée par ce topologiste.

Mais ici se dresse devant nous un Interdit, édicté par nulle déesse ou dieu, mais par notre simple promesse faite à nous même de ne pas nous contredire, ou, si nous le faisons et nous en aperçevons, au moins de ne pas nous en féliciter et glorifier (comme c’était l’habitude d’Hitler paraît il).

Nous ne prétendons pas que des morphismes géométriques, ou nulle autre construction mathématique, puisse représenter l’UN, et certainement pas non plus le « compte-pour-un » ensembliste de Badiou.

On ne peut et ne doit pas « parler de l’Un » puisque ce serait « prendre l’Un pour objet de notre discours », or l’Un ne peut certainement jamais être objet, même d’un discours.

Ou encore :

« on ne peut parler que de ce dont on parle » (Alexandre Kojève)

ou

« ce dont on ne peut pas parler, il faut le taire » (Wittgenstein)

Et pourtant nous entendons bâtir ici une « cathédrale au soleil » que nous appelons :

« 

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια ενοσοφια

 »

en tant que « Voie de l’homme rusé » (sinon de « l’homme aux mille tours πολυτροπος ») qui en quelque sorte transgresserait l’Interdit et parlerait de ce dont on ne peut parler : de l’UN.

https://en.wikisource.org/wiki/Kubla_Khan

« In Xanadu did Kubla Khan
A stately pleasure-dome decree:
Where Alph, the sacred river, ran
Through caverns measureless to man
Down to a sunless sea.
 »

Tâchons d’expliquer pourquoi nous nous disposons à une telle entreprise sans avoir sombré dans la folie (espérons le du moins, et sans « raconter des histoires » à la façon du Bateleur (qui sévit en ce moment à la table des négociations de Bruxelles)

1-bateleur (2)

Einstein s’étonnait (et faisait plus que s’étonner, puisqu’il parlait de cela à propos de la question de Dieu) du fait que l’univers soit intelligible par la physique.

Or l’univers c’est l’élément-être EE de Wronski, la physique c’est l’élément-savoir ES, nous voyons donc que si nous voulons un jour « faire entrer de la lumière intelligible » dans la « sunless sea » (qui est le monde), il nous faudra certainement passer par l’élément-neutre EN « identité de l’être et du savoir » dont nous ne savons pas vraiment si elle est primitive ou finale (messianique).

EN en quoi nous voyons une image de l’UN, sous la forme d’unification et à la fin des Temps d’identification de l’être et du savoir.

« ce jour où tout l’être sera passé en savoir »

Et nous avons expliqué que nous cherchons cette « compréhension » dans un schéma qui est pour nous le point de départ :
un topos E (être) , un topos S (savoir) et un morphisme géométrique (paire de foncteurs adjoints) les reliant : U (un)

Dans le néant de ces formes pures nous espérons trouver ce qui pour nous sera le Tout…

Nous espérons : cela signifie que nous ne proclamons certainement pas « déternir » une compréhension, puisque nous la cherchons….

http://medecinealgerie.actifforum.com/t1089-samuel-taylor-coleridge-kubla-khan

« La Demoiselle au Tympanon
Dans une vision m’apparut :
C’était une fille d’Abyssinie,
Et sur mon Tympanon elle jouait,
En chantant le mont Abora.
Si je pouvais revivre en moi
Sa symphonie et sa chanson,
Je serais ravi en des délices si profondes,
Qu’avec musique grave et longue,
Je bâtirais ce palais dans l’air :
Ce palais de soleil ! ces abîmes de glace !
Et tous ceux qui entendraient les verraient là,
Et tous crieraient : Arrière ! arrière !
Ses yeux étincelants, ses cheveux flottants !
Tissez un cercle autour de lui trois fois ;
Fermez vos yeux frappés d’une terreur sacrée :
Il s’est nourri de miellée ;
Il a bu le lait de Paradis.
 »

Publicités

La table périodique des n-catégories

J’ai déjà cité ce cours de John Baez, un des plus grands experts mondiaux en théorie des catégories et leur application à la physique:

Lectures on n-categories and cohomology

Il n’est pas question ici de faire le tour, même sommairement, de ce qui apparaît comme un véritable festival d’idées nouvelles, il peut être complété par cet autre de Baez:

An introduction to n-categories

qui explique sommairement au début ce qu’est une n-catégorie.

La table périodique des n-catégories est ici sur le NLAB avec les liens utiles:

http://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

Elle figure aussi dans le premier papier cité plus haut « Lectures on n-categories and cohomology » aux pages:
10 et 11
Elle se présente comme un tableau à double entrée indexée horizontalement par n et verticalement par k
Prenons la première ligne du tableau page 10, pour k=0 et n variant de zéro à l’infini: ce sont les n-catégories « normales » , pour n=0 ce sont les ensembles, n=1 donne les catégories, etc…
A partir de k=1 on obtient des n-catégories dites « dégénérées », la définition générale donnée page 10 est la suivante pour la case (n,k):
les (n,k)-catégories sont des (n+k)-catégories telles qu’il n’y a qu’un seul j-morphisme pour j<k (j strictement inférieur à k)

Ainsi pour n = 0 et k= 1 : j< k veut dire j< 1 donc j=0
Or les 0-morphismes sont les objets, donc il n’y a qu’un seul objet.
C’est la définition catégorique d’un monoïde.

La définition traditionnelle en algèbre moderne d’une structure de monoïde est un peu différente, il est utile de s’attarder un peu sur ce point.

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monoïde

Cette définition est comme on le voit de type ensembliste, un monoïde est un ensemble muni d’une loi de composition entre les éléments avec un élément neutre pour cette loi.

Dans la définition catégorique les éléments du monoïde de la définition ensembliste deviennent les morphismes, et l’unique objet correspond à l’élément neutre de la définition ensembliste.

Un groupe, structure fondamentale de l’algèbre moderne et de la physique, est un monoïde pour lequel chaque élément possède un inverse pour la loi de composition; dans la définition catégorique cela signifie que tous les morphismes sont des isomorphismes (c.-à-d. Possèdent un inverse).

Une catégorie est un monoïde avec plusieurs objets, on dit aussi que c’est la catégorification de la notion de monoïde.

La catégorification de la structure de groupe est ce que l’on nomme un groupoïde, c’est une catégorie où tous les morphismes sont des isomorphismes.

Il est possible de définir un groupoïde sans faire appel aux catégories, cela a été fait par Brandt en 1926, voir:

http://mathoverflow.net/questions/199849/brandts-definition-of-groupoids-1926

La définition est nettement plus compliquée, mais surtout elle ne permet pas de faire le lien entre les morphismes du groupe considéré catégoriquement et les éléments du groupe considéré de manière ensembliste : c’est une perte absolue d’intelligibilité.

Nous voyons déjà avec cette table périodique et la notion de « catégorification » l’œuvre d’unification en train de fonctionner, nous poursuivrons cette étude dans d’autres articles, en passant aux structures catégoriques supérieures (« higher algèbre ») mais soulignons que cela n’aurait pas été possible si l’on en était resté aux définitions de type ensembliste.

Il arrive, et c’est le cas ici, que la définition crée ou facilite grandement l’intuition et la découverte de nouvelles structures.

Des ensembles aux catégories

Stéphane Dugowson est un mathématicien qui s’intéresse aussi à la philosophie, voici le lien vers une série de cours (enregistrés sur vidéos) qu’il a donnés à l’université de Paris 7 à des étudiants de philosophie:

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/2013-unite-et-multiplicite

sur le problème, que l’on pourrait caractériser comme se situant à l’intersection (qui est non vide) de la philosophie et de la mathesis, de l’un et du multiple.

Le cours du 4 novembre 2013 se nomme : 1 + 1 = 2

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/cours-n1–112

Il n’y a aucune provocation de sa part dans ce titre et il s’en explique en indiquant qu’il se méfiait auparavant des évidences, mathematiques ou autres, mais que dans ce cas particulier il s’est rendu compte que l’on pouvait tirer des réflexions nouvelles de ce qui peut sembler archiconnu, faire sortir le vin nouveau des vieilles outres en somme..il faut pour cela considérer la somme sous son aspect dans la théorie des catégories, qu’il explique aux étudiants philosophes, je n’ai encore visionné que les deux premières videos, je les commenterai au fur et à mesure que je les verrai.

Dans la première vidéo il se situe par rapport à Badiou, et je dois dire que je l’approuve : la théorie des catégories, « mathématique du 21 eme siècle », englobe la théorie des ensembles, qui forment d’ailleurs une catégorie particulière qui est aussi un topos. Et il est incompréhensible que Badiou en reste aux ensembles pour son « ontologie comme théorie du multiple pur »

Il y a dux pôles,l’être et l’un , et l’on ne peut parler de l’un sans parler de l’autre : des ensembles qui sont les 0-catégories sans parler des catégories superieures.

La seconde vidéo aborde les rudiments des catégories en précisant les notions de classe, expliquées ici:

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

nul n’entre ici s’il ne se soumet à la discipline fonctorielle

Un foncteur est un morphisme reliant deux catégories, c’est à dire un « passage » de l’une à l’autre respectant la structure.

La notion de « morphisme » est fondamentale en théorie des catégories, du point de vue philosophique aussi bien que mathématique.

Dans une catégorie on a deux sortes d’entités : les objets, et les morphismes reliant les objets entre eux.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories

Une catégorie \mathcal C, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :

  • Une classe dont les éléments sont appelés objets ;
  • Un ensemble \mathrm{Hom}\big(A,B \big), pour chaque paire d’objets \quad A   et  \quad B, dont les éléments \quad f sont appelés morphismes (ou flèches) entre \quad A et \quad B, et sont parfois notés f:A\rightarrow\; B ;
  • Un morphisme \mathrm{id}_A:A\rightarrow\;A, pour chaque objet \quad A, appelé identité sur \quad A ;
  • Un morphisme g\circ f:A\rightarrow\;C pour toute paire de morphismes f:A\rightarrow\;B  et g:B\rightarrow\;C, appelé composée de \quad f et \quad g, tel que :
  • la composition est associative : pour tous morphismes f:c\rightarrow\;d, g:b\rightarrow\;c   et   h:a\rightarrow\;b,
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h) ;
  • les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme f:A\rightarrow\;B,
\mathrm{id}_B\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{A}.

On demande aussi que : \mathrm {Hom} (A, B) \cap \mathrm {Hom} (C, D) = \varnothing   si  \big(A, B\big)\neq \big(C, D\big).

Les catégories peuvent elles mêmes être les « objets » de nouvelles catégories, qui seront des catégories de catégories ; les morphismes, ou flèches, reliant les objets de ces nouvelles catégories, seront alors des foncteurs.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

un foncteur respecte la structure parce qu’il envoie les morphismes identité sur les morphismes identité et conserve la composition des flèches d’une catégorie à l’autre :

« Un foncteur (ou foncteur covariant) F : \mathcal C\to\mathcal D d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est la donnée

  • d’une fonction qui, à tout objet A de \mathcal C, associe un objet \displaystyle F(A) de \mathcal D,
  • d’une fonction qui, à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C, associe un morphisme F(f) : F(A)\rightarrow F(B) de \mathcal D,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet A de \mathcal C,
\displaystyle F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)} ,
  • respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes f : A \to B et g : B \to C de \mathcal C,
F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant G d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est un foncteur covariant de la catégorie opposée \mathcal C^{\mathrm{op}} dans \mathcal D (à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C il associe donc un morphisme G(f) : G(B)\to G(A) de \mathcal D, et on a la « relation de compatibilité » G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)).

On voit immédiatement que l’image d’un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. »

Toute structure mathématique peut être vue comme une catégorie : ainsi un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets; un foncteur entre deux ensembles est alors simplement une fonction.

De même un foncteur entre deux groupes (considérés comme catégories) est en fait un homomorphisme de groupes (conservant l’élément neutre et la composition).

 » La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d’une opération qui satisfait un certain ensemble d’axiomes (associativité, inversibilité, élément neutre). Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de cet ensemble d’axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l’élément identitéd’un groupe est unique.

Au lieu d’étudier simplement l’objet seul (les groupes) qui possède une structure donnée, comme les théories mathématiques l’ont toujours fait, la théorie des catégories met l’accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu’en étudiant ces morphismes l’on est capable d’en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les homomorphismes de groupes. Un homomorphisme de groupe entre deux groupes préserve la structure de groupe d’une manière très précise ; c’est un processus qui à un groupe en associe un autre, tout en préservant toutes les informations sur la structure du premier groupe au sein du second groupe. Ainsi :

  • à chaque élément x du groupe de départ est associé un élément f(x)du groupe d’arrivée ;
  • à chaque opération x \bullet y du groupe de départ est associée une opération f(x \bullet y) = f(x) \star f(y) du groupe d’arrivée.

Une manière équivalente de décrire cette préservation de structure est de dire que toutes les manières d’aller du couple d’éléments quelconques (x, y) à f(x) \star f(y) mènent au même résultat :

  • on peut d’abord aller de (x, y) à x \bullet y par la loi de composition \bullet, puis de x \bullet y à f(x \bullet y) par le morphisme f ;
  • ou bien l’on peut aller d’abord de (x, y) à (f(x), f(y)) par le morphisme f, puis de (f(x), f(y)) à f(x) \star f(y) par la loi de composition \star.

Pour dire que tous ces chemins mènent au même résultat, on peut énoncer que le diagramme qui les représente est commutatif, ou que f(x \bullet y) = f(x) \star f(y).

L’étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes. »

Il y a donc  la catégorie des groupes, ayant pour objets les groupes et pour morphismes les homomorphismes de groupes, mais un groupe particulier G peut être vu comme une catégorie à un seul objet, qui sera confondu avec le groupe et sera donc noté G.

Les éléments du groupe seront les morphismes, qui ne peuvent relier que G à G puisqu’il n’y a que ce seul objet, la composition des morphismes s’identifiera avec la composition des éléments du groupe, et le morphisme identité sera l’élément neutre. On voit alors immédiatement qu’un foncteur entre deux groupes G et H considérés comme catégories est tout simplement la même chose qu’un homomorphisme entre les deux groupes, considérés comme ensembles munis d’une loi de composition et d’un élément neutre.

On traduira et généralisera cela en disant que la notion de foncteur est la catégorification horizontale de celle d’homomorphisme , voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+categorification

La théorie des catégories met l’accent sur les morphismes, les transformations, plutôt que sur les objets, les substances.

A tel point que l’on peut même exposer la théorie en se passant de la notion d’objet, en idnetifiant un objet avec son morphisme identité; une catégorie C quelconque  est alors identitifée avec son foncteur Identité

Id : C ———> C  est identifié à C

comment ne pas voir qu’un foncteur, et plus généralement un morphisme, a à voir avec la notion de transformation, et donc de temps, d’évolution temporelle…

Si je puis parler de l’évolution d’un être vivant, ou d’une chose, ou d’un objet abstrait (une théorie, ou même un autre « objet » plus général) dans le temps, c’est bien que je puis parler de la « même chose » (mais changée, ayant évolué) à deux instants différents du temps; il doit donc y avoir un « foncteur temporel » faisant passer l’objet qui est la chose d’un état correspondant à l’instant 1 à l’état correspondant à l’instant 2.

La théorie des catégories met l’accent sur le temps, la transformation, elle est « héraclitéenne » plutôt que « parménidienne » , parce que le temps, qui correspond aux « objets » de l’esprit, est plus fondamental que l’espace.

Au fond, l’espace n’est qu’une abstraction, une « coupe instantanée » prise sur la devenir, qui seul est réel : quand vous regardez le ciel étoilé nocturne, vous regardez en fait dans le temps, dans le passé.

La notion de « substance », d’entité qui reste « la même » au cours du temps, provient du caractère fonctoriel du temps, qui « conserve » des invariants structurels : ainsi si je suis « le même personnage » qu’il y a un an (tout en étant plus vieux d’un an, et ayant changé donc), c’est que le foncteur du temps a conservé ma structure profonde, et pas seulement le squelette du corps.

Que le temps, l’élément spirituel, soit « conversion vers l’un » n’empêche pas qu’il ne puisse devenir exactement l’inverse pour les damnés de la terre : l’enfer, la damnation ne se situe pas dans un « outre-monde », mais ici, et il consiste en l’inversion du caractère « bon »‘ du Temps !

au lieu d’être conversion à l’un, celui ci est pour les damnés dispersion accélérée dans le multiple des « préoccupations », des désirs, des envies, des ressentiments, des frustrations.

Là encore, Balzac est le peintre de génie de cette réalité sordide et démoniaque : que l’on songe au Baron Hulot (dans « La cousine Bette » ), qui avec l’âge est de plus en plus obsédé par le sexe, et l’envie forcenée de « trousser des jeunes filles »…on en connaît des exemples de nos jours, n’est ce pas ?

tel est l’enfer sur Terre, ou l’une de ses formes, et telel est l’explication rationnelle, philosophique, des mythes chrétiens, dans leur sublimité souvent incompirse des foules qui s’en réclament !

La « conversion vers l’un », la fidélité au caractère « bon » du temps, ce n’est rien d’autre que la sagesse de Brunschvicg qui fait trouver la vie « absolument bonne » :

« la vie est bonne, absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité et de la mort »

seulement si l’ on n’a pas su renoncer à la mort,  si la vieillesse coïncide avec la dispersion dans la multiplicité chaotique des désirs et des pulsions, alors il n’est pas vrai que la vie est bonne : elle est au contraire absolument infernale !

On trouve une application de ces réflexions  sur lees foncteurs et morphismes comme modèles de l’volution temporelle dans cet article de Louis Crane :

http://arxiv.org/pdf/hep-th/9301061v1.pdf

voir page 2 : un « état de l’univers » en gravité quantique est dans ce schéma un foncteur de la catégorie des observations (définie page 2, un observateur est formalisé par une variété différentielle ) dans la catégorie des espaces vectoriels. Un état coîncide alors avec une TQFT (« topological quantum field theory »)

L’évolution temporelle entre deux états, qui sont deux focnteurs, est alors modélisée par un « morphisme de foncteurs », appelée « transformation naturelle »

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

C’est là une notion extrêmement importante, un peu dure à « capter » au début, mais finalement assez simple :

« Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme de D :

\eta_X : F(X) \rightarrow G(X),telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

NaturalTransformation-01.png

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C, \eta_X est un isomorphisme, on dit que \eta est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. »

Ainsi, en faisant le lien avec le texte de Wronski étudié hier :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/23/wronski-introduction-a-la-philosophie-des-mathematiques/

on peut dire que les « objets » d’une catégorie sont liés à la notion d’espace, de « coupe transversale » d’un processus semblant l’immobiliser (que l’on songe à la fameuse scène de « Vertigo » où James Stewart et Kim Novak se promenant en forêt se penchent sur un arbre coupé où l’on « voit spatialement » le déroulement du temps depuis sa naissance jusqu’à sa coupe)

Les morphismes (et foncteurs, et transformations naturelles) sont liés au temps.

https://twitter.com/philotopos/statuses/204650900382425089

le temps est tension, mouvement des étants vers l’Un, conversion ; l’espace est principe de dispersion, de multiplicité, procession.

Un autre lien important avec l’oeuvre mathématique de Wronski concerne les déterminants (de matrices, en algèbre linéaire) , qui sont les fonctions Schin de Wronski.

Or un déterminant peut être vu comme une transformation naturelle entre deux foncteurs :

http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf

(voir page 14-15 du livre, pages 27-28 du document pdf ayant 303 pages)

les cours de mathématiques des CATSTERS sur Youtube

http://www.youtube.com/watch?v=k-RehY4tLdI&feature=relmfu

cours sur les 2-catégories par Eugenia Cheng , l’une des pionnières de la recherche sur les « higher categories »

Rien n’est plus beau que les mains d’une femme dans la farine , disait Nougaro ?

moi je trouve que rien n’est plus émouvant que de voir cette femme géniale se fatiguer à manier la craie blanche au tableau noir !

à l’heure des PC et des tablettes tactiles !

c’est grave docteur ?

voir la suite de ce cours, et celui sur les « double categories »

http://www.youtube.com/watch?v=DRGh-HESyag&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=kiCZiSA2W3Q&feature=relmfu

mais le point le plus important pour la théorie des catégories est sans contestation l’adjonction, car si on n’a pas vraiment et totalement compris on ne va nulle part, et Eugenia donne là dessus des aperçus merveilleux :

http://www.youtube.com/watch?v=loOJxIOmShE&feature=relmfu

(il y en a 7 comme ça, rien que sur l’adjonction, voir les liens dans la marge de droite)

la catégorie des ensembles : premier exemple d’un topos

La théorie des topoi (pour les hellénistes, dont je me piquais de faire partie du temps de mes études) , qui est maintenant le nouveau cadre fondationnel pour les mathématiques (après la théorie des ensembles qui jouait ce rôle dans les années 60) est le plus souvent présentée comme une généralisation ou une « abstraction » de la théorie des ensembles, et la notion de topos est résumée comme :

une catégorie qui se comporte « comme » la catégorie des ensembles

seulement il existe des manières de présenter les choses qui rendent un peu plus justice à la réalité : les topoi n’ont pas été inventés, ou « découverts », par Grothendieck et Lawvere dans le but de généraliser la théorie des ensembles !

Je dirais plutôt quant à moi que si le premier exemple de topos rencontré par l’homo mathematicus est  effectivement celui des ensembles, c’est à cause du fait que le « devenir-esprit » de l’humanité est orienté dans le sens d’un progrès de la conscience, de la nature, caractérisée par la multiplicité, vers l’esprit, caractérisé par l’unité.

Il n’est donc guère étonnant que la théorie des ensembles, qui est la théorie des multiplicités pures, sans structure ni ordre, soit trouvée en premier.

Cette « découverte » se situe d’ailleurs bien tardivement dans l’histoire de la mathématique, elle vient après celle des nombres entiers, puis des autres nombres, et leur manipulation dans les équations et systèmes d’équations, notions indiscutablement plus « concrètes ».

La notion de topos a à voir avec celle de vérité, à travers l’existence dans tout topos d’un objet-vérité (truth -object) Ω.

Agrémentée de ce que l’on appelle un « natural number object » (généralisant les nombres entiers) elle constitue un cadre de formalisation et de théorisation pour l’évolution moderne (toute récente) de la physique, voir :

http://www.blogg.org/blog-69347-billet-physique_et_theorie_des_topoi__physics__topos_and_category_theory_-716975.html

http://mathesis.blogg.org/date-2006-06-09-billet-368403.html

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/quantum-topos/

après ces éclaircissement partons donc de la catégorie des ensembles, notée le plus souvent Ens (dans les ouvrages français) ou Set (dans les livres en anglais).

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol9/jeanyves.pdf

Un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de morphismes entre les objets, qui sont les éléments de l’ensemble (en fait, il y a toujours un morphisme, le morphisme identité, souvent identifié avec l’objet).

Prenons un exemple simple : j’ai avec moi une sacoche où il y a, mettons, trois livres; je peux toujours former le concept de l’ensemble de ces trois livres, même s’ils n’ont rien à voir entre eux, même si je ne lis que l’un d’entre eux et que les deux autres appartiennent à quelqu’un d’autre, qui les a oubliés chez moi.

Cet ensemble est donc la collection :

{ A , B , C } où l’on note A, B ,et C les trois livres en question.

si je veux considérer cet ensemble comme une catégorie, je pourrai introduire des morphismes identité sur chacun des trois objets, ou éléments, de cet ensemble:

Id_A : A —-> A   etc…

mais il n’y aura pas de morphismes reliant deux objets différents entre eux.

Maintenant la catégorie des ensembles possède comme objets les ensembles et comme morphismes reliant deux objets, deux ensembles X et Y, les fonctions, ou applications, entre ces ensembles .

Rappelons qu’une fonction f entre deux ensembles X et Y :

f : X ————–> Y

est un procédé qui à tout élément x appartenant à X associe un et un seul  élément  y = f (x) appartenant à l’ensemble Y

Il ne peut pas y avoir deux correspondants, sinon on n’a plus une fonction mais une correspondance (théorie très intéressante elle aussi).

Comme tout ensemble peut être considéré comme une catégorie, la catégorie des ensembles pourra être considérée comme une 2-catégorie. Une fonction entre ensembles sera alors un foncteur entre ces deux ensembles considérés comme catégories.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Là encore, il y a deux manières de comprendre l’évolution : soit les foncteurs seront considérés comme des « généralisations » de la notion de fonction, soit les fonctions seront considérées comme la première « rencontre » de nos mathématiques en train de se développer avec une notion bien plus englobante, et qui contient les fonctions comme un cas particulier simple.

L’intérêt de la catégorie des ensembles est que l’on y  rencontre ainsi tous, ou beaucoup  des concepts les plus usuels de la théorie des catégories.

ainsi une application, ou fonction, entre les ensembles X et Y  est dite injective si un élément de Y n’a qu’un seul « prédecesseur » (quand il en a un).

Il ne peut arriver que deux éléments de X soient envoyés sur le même élément de Y.

une application est dite surjective lorsque tout élément de Y a un (ou plusieurs) prédecesseurs.

Une application est dite bijective quand elle est à la fois injective et surjective.

Ces notions sont présentes en théorie des catégories : les fonctions injectives deviennent les monomorphismes, les applications surjectives sont les épimorphismes, et les applications bijectives les isomorphismes.

Mais la nouveauté radicale, qui est la principale caractéristique de la nouvelle théorie, est que ces notions n’ont plus besoin d’être expliquées en recourant aux éléments, mais seulement à des diagrammes.

Attardons nous un peu là dessus, car cela permet de comprendre pas mal de choses.

Un monomorphisme est un morphisme qui est « simplifiable à gauche » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Monomorphisme

Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé mono) est un morphisme simplifiable à gauche, c’est-à-dire une application f\colon X \to Y telle que

f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2 pour tout morphisme g_1, g_2 \colon Z \to X.
Monomorphism-01.png

La notion duale est celle d’épimorphisme , qui sont la version catégorique des applications surjectives ensemblistes.

Ici s’introduit la notion de dualité, extrêmement importante : la catégorie duale d’une catégorie C est obtenue en reversant le sens des flèches (morphismes).

À partir d’une catégorie \mathcal C, on peut définir une autre catégorie \mathcal C^{op} (ou \mathcal C ^ o), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément : Hom_{\mathcal C^{op}}(A,B)=Hom_{\mathcal C}(B,A), et la composition de deux flèches opposées est l’opposée de leur composition :

f^{op}\circ g^{op}=(g\circ f)^{op}

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : (\mathcal C^{op})^{op}=\mathcal C.

Un isomorphisme , version catégorique des bijections ensemblistes, est simplement un morphisme qui possède un inverse :

Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).

Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h

racisme et communautarisme ethno-religieux

tout ce dont les membres, exempts de pathologies mentales graves,  d’une communauté linguistique peuvent parler en se faisant comprendre  « existe », il n’y aurait aucun sens à le nier.

Ainsi cette table, devant moi, cet arbre au loin, ils « existent ».

Et pourtant, peut on dire qu’il « existent absolument » ?

la table a été construite par des hommes, pour des usages humains, elle ne peut ‘exister » indépendamment des savoirs faire industriels humains, acquis au cours de l’Histoire.

De même l’arbre, ou tout autre objet naturel, est une « abstraction » si on le conçoit isolé du monde qui l’entoure : il a besoin pour continuer à « être là » des minéraux que ses racines puisent dans le sol, de l’atmosphère (si elle est trop polluée il meurt).

A la limite il n’existe « dans l’Absolu » rien d’autre que le Tout : et ce Tout est bien plus que ce que nous appelons « le monde ».

Car il est le « Tout » dont on parle, dont je parle actuellement : en en parlant je me situe en quelque sorte « en dehors » du Tout, ce qui m’amène à penser que la notion de « Tout dont on parle » est autocontradictoire.

Hamlet dit à Horatio:

 «  il y a plus de choses sur terre et dans le ciel que dans toute votre philosophie »

seulement, comme le note Brunschvicg,  il parle de la philosophie de son époque, la philosophie scolastique, sorte de mixte entre la philosophie aristotélicienne et les mythologies chrétienne, juive ou musulmane.

La science véritable, et donc la philosophie véritable, ayant affaire à la Vérité pure et non pas aux mensonges de la physique « aristotélicienne » esclave des illusions de la perception, font leur entrée en scène avec Copernic, Galilée, et surtout Descartes.

Et la philosophie « remonte au ciel » selon la belle expression de Guéroult à propos du malebranchisme.

Qu’est ce que la terre ? qu’est ce que le ciel ?

la science montre enfin que les « cieux » , l’espace immense des planètes, des astres et des galaxies, ne sont pas d’une nature différente de celle de notre planète.

La « terre », c’est donc pour nous le monde sensible, celui des perceptions, sensations, …des êtres vivants (et donc mortels) que nous sommes.

Le « ciel » c’est l’espace « intérieur » , ou « internel » selon ce mot que je trouve si beau, et que j’avais trouvé je ne sais plus où…

C’est l’intériorité pure où seulement nous pouvons nous acheminer vers « Dieu » qui est, comme je l’ai démontré, l’Absolu en tant que Raison immanente.

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/une-demonstration-irrefutable-de-lexistence-de-dieu/

Seulement ici attention à ne pas tomber dans un piège terrible !

 cette intériorité est l’universalité véritable, si justement elle dépasse ce qui constitue la prison de la « fausse intériorité » celle des fantasmes et obsessions égocentriques , celle qui me constitue comme « cette personne unique », avec mes goûts, mes pulsions, mes illusions.

Or il n’y a rien là d’unique, parce que tout le monde se prend pour le centre du monde et croit que sa petite personne est l’aboutissement de l’Histoire universelle… tout au moins à notre époque dite « individualiste », celle de la « télé réalité » où tout le monde adore parler de « soi », des ses obsessions médiocres (en général sexuelles », etc…

Seulement l’universalité de la Raison, c’est à dire de l’intériorité vraie, ne commence qu’une fois franchie cette barrière du singulier (mes caractéristiques individuelles quantifiables ou « ineffables », qui disparaîront dans la tombe avec moi), et du niveau « particulier » de ma personnalité, liée à ma « culture » nationale ou tribale , à ma religion éventuelle, et qui en aucun cas n’est universel ni universalisable, sauf fanatisme barbare, celui que nous connaissons trop de nos jours).

A partir de la ligne de partage des temps, à partir de Descartes :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/03/06/la-ligne-de-partage-des-temps/

on peut et on doit donc inverser l’appréciation d’Hamlet :

« il y a plus de choses dans la vraie philosophie qui est « itinerarum mentis in Deum », acheminement de l’âme dans le ciel internel vers la Raison Absolue, que sur la terre des êtres sensibles, soumis au vieillissement, à l’entropie et à la mort »

certes, Descartes et Malebranche restent chrétiens, et Descartes dit fort justement, en universalisant pour une fois son comportement particulier, qu’il « est toujours resté fidèle à la religion de sa nourrice », et, implicitement, que c’est ce que tout le monde devrait faire !

eh oui ! c’était le temps où il y avait encore des nourrices, et encore des religions dignes de ce nom (quoique…après la Saint Barthélémy, il nous soit peut être impossible de dire ça) !

ils restent chrétiens, mais leur philosophie, même si elle trouve sa condition de possibilité dans le christianisme, en dépasse les aspects purement religieux, c’est à dire particuliers… et ce même pour Malebranche qui déclare :

« la foi passera mais l’intelligence subsistera éternellement »

ce long préambule pour en venir au terrible problème du racisme et du communautarisme, qui menacent maintenant directement notre république !

de même que cette table, cet arbre, cette maison, « existent », puisque nous pouvons en parler en nous faisant comprendre, de même les « races » existent!

certes elles n’existent pas pour la science, mais pour celle ci, pour la physique mathématique née au 17 ème siècle, naissance en laquelle  Brunschvicg voit le fait capital de l’évolution humaine, cette table, cet arbre n’existent pas non plus !

je dirais même que les « races » existent encore plus qu’il y a 40 ans, en France, et dans la tête des gens : chacun sait, avec certitude, qu’il est « blanc », « noir » « asiatique », « arabe » etc.. cela ne rime à rien de prétendre le contraire !

si l’on se limite aux aspects physicalistes, alors toute pensée raciste est propre à des attardés qui restent prisonnier du plan de la perception vitale, alors que depuis le commencement de la civilisation il y a 4 siècles, la science moderne affranchit les hommes de cette prison matérialiste… mais combien sont ils, ceux qui acceptent de faire usage de cette clé et de se libérer de leur prison mentale ?

seulement dans le choses humaines le « culturel » prime le « naturel » et le « physique » : et c’est ici que s’introduisent les « communautés », religieuses entre autres..

le racisme purement « physicaliste » et « biologique » est intenable, on le voit bien : seulement s’ il évolue et se pare des « plumes » du communautarisme , alors il est bien plus difficile d’en venir à bout, et je dirais même que le racisme, sous sa forme communautariste, n’a fait, en France, que croître et embellir depuis qu’il existe des organisations « antiracistes » !

pourquoi ? à cause de ce phénomène propre aux hommes non encore affranchis de leur être « naturel » par la science et la philosophie.

Chacun croit être le centre du monde, au niveau singulier, mais cette illusion s’étend au plan « particulier », celui des cultures et des religions : chacun croit que sa communauté, sa religion, est « supérieure » aux autres !

sinon il en changerait !

certes, à cause du « politiquement correct » ambiant en Occident, la plupart enterrent cette croyance en leur coeur, et la taisent…

mais ce n’est pas le cas de tous, et pas avec la même intensité : il est facile de se rendre compte, par exemple, que la plupart des musulmans sont persuadés que l’Islam est la seule religion agrée par Dieu… c’est même dit dans le Coran !

alors comment sortir de cette barbarie, de cette illusion propre aux peuples non émancipés par la Raison, qui menace de ruiner toute civilisation ?

certainement pas par le métissage et le mélange chaotique de toutes les « cultures » et « religions » sur un même sol !

Un Alain Finkielkraut l’a bien compris.

En Yougoslavie, les mariages entre personnes de « religion » et « communauté »différentes étaient fort nombreux, cela n’a aucunement empêché une guerre atroce dans les années 90.

Les cultures européennes et les cultures islamiques, ou africaines, ou asiatiques, sont absolument incompatibles.

Certes il n’est pas question d’interdire les mariages « métissés », tout retour en arrière est impossible.

Mais il est fou de placer un quelconque espoir dans le métissage généralisé, bien au contraire : si les histoire d’ amour finissent mal en général, c’est le cas toujours , ou pratiquement, pour les amours « transculturelles », ou « transreligieuses ».

Les cas où cela se passe bien sont TOUJOURS ceux où l’un des deux partenaires accepte de « céder » et d’abandonner certains traits de sa « culture »… ne fût ce qu’au moment où les enfants naissent  car dans quelle religion vont ils être élevés ? vont ils preier à l’église avec maman et manger du jambon, ou bien suivre papa à la mosquée ?

l’Islam a là dessus une réponse simple, voire simpliste, et inacceptable : l’Islam est la Vérité, donc les enfants d’un couple mixte seront musulmans , que cela plaise ou non au conjoint non musulman !

Un chrétienne ou une juive épousant un musulman est fortement « encouragé » à devenir musulmane, quoique non obligée… par contre, et toujours selon le Coran, qui est pour les musulmans parole  de Dieu, un non musulman que désire épouser une musulmane DOIT se convertir à l’Islam !

or si l’on trouve cela bien, on reconnaît que certaines « communautés », certains « particularismes », sont supérieurs à d’autres !

c’est le droit de chacun de penser cela : mais pourquoi tombe t » on à bras raccourcis sur les européens qui veulent que les autres « cultures » installées sur le sol européen fassent un effort d’assimilation, alors que l’on ne dit rien contre les musulmans qui refusent que leur fille épouse un chrétien ou un juif ?

Non, la voie de sortie hors du racisme, hors du communautarisme, est ailleurs que dans le mélange et le métissage généralisés !

paradoxalement, je ne peux me rapprocher de l’Autre que si je « plonge » en moi même, franchissant définitivement la « barrière » de la fausse intériorité dont je parlais plus haut, et accédant à l’universalité de la Raison où nous sommes tous « en chemin vers l’Unité ».

La religion véritable, religion de la Raison, est forcément affranchissement des barrières du groupe social, ethnique ou « racial » , comme le dit Lachelier cité par Brunschvicg :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/raison_et_religion/raison_et_religion.html

« Par religion (disait Jules Lachelier au cours d’un dialogue mémorable où il se confrontait à Émile Durkheim) je n’entends pas les pratiques religieuses ou les croyances particulières, qui trop évidemment varient d’un état social à un autre. Mais la vraie religion est bien incapable de naître d’aucun rapprochement social ; car il y a en elle une négation fondamentale de tout donné extérieur et par là un arrachement au groupe, autant qu’à la nature. L’âme religieuse se cherche et se trouve hors du groupe social, loin de lui et souvent contre lui… . L’état de conscience qui seul peut, selon moi, être proprement appelé religieux, c’est l’état d’un esprit qui se veut et se sent supérieur à toute réalité sensible, qui s’efforce librement vers un idéal de pureté et de spiritualité absolues, radicalement hétérogène à tout ce qui, en lui, vient de la nature et constitue sa nature »

l’état d’un esprit qui « se veut et se sent supérieur à toute réalité sensible », c’est celui d’une âme humaine qui se libère du carcan de la pensée « matérialiste », soumise à la perception vitale et à ce que nous appelons ici le « selon l’être », soumise aux illusions du multiple donc, et qui adopte la « pensée selon l’un ».

Si Badiou déclare que l’ontologie ne peut être que celle du multiple pure, il a raison ; mais quand il identifie mathématique (sous forme de théorie des ensembles) et ontologie, alors il ferme tout simplement la porte de la prison et empêche l’évolution dont parle Lachelier.

Et après il vient vitupérer le « racialisme » dont il est, inconsciemment, le promoteur et le garde-chiourme !

non, la mathématique  ne s’identifie pas avec l’ontologie ni avec la théorie des ensembles et des multiplicités pures !

sous sa forme catégorique moderne, elle dépasse la théorie des ensembles qui ne forment qu’une catégorie parmi les autres en nombre indéfini.

Ce qui veut dire que la Mathesis universalis, la philosophie fondée sur la mathématique, constitue, et elle seule,  la voie de sortie hors de la prison du sensible, et donc, la libération vis à vis de tout racisme et de tout communautarisme !