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Propriété universelle en théorie des catégories

Je vais insister sur la propriété d’universalité, intimement liée à l’idée d’adjonction, ainsi qu’à la théorie des catégories (qui est le royaume, ou ciel platonique, des universaux concrets chers à Hegel) comme je l’ai expliqué hier dans cet article::

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

Commençons par la page Wikipedia en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qui comme souvent est préférable à celle en français (nous avons déjà constaté cela à propos des algèbres de Von Neumann):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

La page en anglais se place dans une plus grande généralité puisqu’elle envisage un foncteur entre deux catégories quelconques, alors que dans la page en français la seconde catégorie est celle des ensembles. La page en français commence abruptement par une définition mais comme elle ne donne pas de figure ceux qui ne sont pas habitués sont largués, et c’est dommage.

Donc donnons nous un foncteur entre deux catégories D et C (qui ne sont pas forcément la catégorie des ensembles) :

U : D ———-> C

et un objet X dans la catégorie C.

On se place dans la catégorie notée

image

qui est un cas particulier de ce que l’on appelle « comma-category », voir:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Comma_category

et qui est appelée « catégorie des morphismes de X vers U » (ce qui est étonnant car X est un objet de C et U est un foncteur de D vers C), elle est définie ainsi: ses objets sont les morphismes dans C de la forme:

X ——–> U(Y) où Y est objet de D, auquel correspond dans C par le foncteur U l’objet U(Y).
Les morphismes entre deux de ces objets, qui sont déjà des flèches X —-> U(Y) et X ——-> U(Z) sont évidemment des morphismes U(Y) —–> U<Z) qui font commuter le diagramme triangulaire qui est représenté dans la page Wiki dans un cas particulier:

image

Ce cas particulier est celui de ce qui est appelé « morphisme initial » de X vers U, qui est un objet initial dans la « comma category » que nous avons deçrite ci dessus : celle des morphismes de x vers U.
Un objet initial est un objet tel qu’il y a un et un seul morphisme allant de cet objet vers tout autre objet de la catégorie, la notion duale (en inversant le sens des flèches) étant celle d’objet terminal:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_object

De manière duale encore, un morphisme terminal de U (foncteur) vers X (objet de C) est un objet terminal dans la comma category:

image

objet terminal terminal obtenu par le diagramme dual du précédent:

image

Les deux morphismes initial et terminal sont des morphismes universels, et les deux propriétés correspondantes (faire commuter un diagramme du type des deux ci. Dessus est une propriété universelle.

Un objet initial ou terminal est un exemple de limite ou de colimite (notions duales) d’un diagramme : si le diagramme est vide (aucun point, aucune arête ) la limite est objet initial, la colimite est objet terminal.

Produit et coproduit sont d’autres cas particulier de limite et de colimite. Par exemple pour le produit de deux objets dans une catégorie:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorical_product

Voici le diagramme correspondant pour définir la propriété universelle et le morphisme universelle, qui est l’unique morphisme (à un isomorphisme près) f faisant commuter le diagramme :

image

A retenir : une limite, donc un morphisme universel , est toujours défini « à un isomorphisme près », cela veut dire que s’il en existe un il en existe tout un tas d’autres qui sont les composés du premier avec un isomorphisme.

Rappel : un isomorphisme f est une flèche inversible, c’est à dire telle qu’il existe g (l’inverse) tel que :

fg = gf = Id (morphisme identité)

Nous nous sommes limités ici à la définition mathématique, mais il y a beaucoup plus dans cette idée d’universalité, et l’intérêt des travaux de David Ellerman est de prolonger vers les pures idées philosophiques (platoniciennes) ces notions (cependant il est important de comprendre et de garder en mémoire le cadre mathématique, cela évite les dérives).
Nous y reviendrons…il y a énormément à creuser là dessous..

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De l’être (multiple pur) à l’Un : le programme de travail de l’ οντοποσοφια

Lorsqu’Alain Badiou dans « L’être et l’évènement » a affirmé (et « démontré ») que l’ontologie, auparavant considérée comme le coeur de la philosophie, portant sur l’être en tant qu’être, était la mathématique, sous les espèces de la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel, il a réalisé une sorte de « révolution » qui a enthousiasmé certains, irrité d’autres…

Nous gardons comme point de départ cette thèse de Badiou, mais seulement comme point de départ : la théorie des ensembles c’est seulement une partie des mathématiques, qui certes a été utilisée comme cadre fondationnel de toute la mathématique.

Aujourd’hui c’est la théorie des catégories, créée en 1945, qui joue ce rôle, et les ensembles ne forment qu’une catégorie particulière: la catégorie ENS des ensembles, qui est aussi un topos.
De plus un ensemble est une catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble), on appelle cela une 0-catégorie, les catégories « normales » sont les 1-catégories.

L’être comme multiple pur, que nous gardons de Badiou, correspond aussi à l’état de complète ignorance : la science consiste à établir des relations de plus en plus complexes entre les phénomènes.

En quoi consiste ce multiple pur ? nous pourrions répondre de manière évasive en disant que c’est « tout ce qu’il y a » ou « tout ce qui est, tous les étants » mais de toutes façons nous n’allons plus perdre de temps avec ces discussions stériles de ce genre car voici le programme de la nouvelle discipline que nous voulons développer ici :

remplacer les thèses métaphysiques ou « mystiques » sur l’Un, l’Etre, le Vrai, le Bien (les quatre transcendantaux de la métaphysique : ens, unum, verum et bonum) par la mathématique et ses théorèmes, sur lesquels par définition tout le monde s’accorde puisqu’ils sont établis à partir de définitions et de principes et axiomes clairs, entièrement transparents à l’intelligence, et démontrés.

Dans notre perspective idéaliste mathématisante nous dirons que le multiple pur, correspondant à l’état d’ignorance et de sauvagerie complète, est celui des « chocs sensibles » réels ou potentiels expérimentés par un être humain, quelqu’il soit.

Ces chocs sensibles, rencontre de l’humain avec la « forme d’extériorité », sont très divers: visuels, auditifs, tactiles, etc…

Prenons un exemple (mythique) célèbre : Newton reçoit une pomme sur la tête, il en sort l’idée de la gravitation.
Par contre tel primitif recevant une noix de coco (ou plutôt une châtaigne, il aura moins mal) n’uara pas l’idée de relier cette occurrence à d’autres évènements similaires dans le passé : il se contentera de se frotter la tête en émettant un grognement de douleur.

Cet état d’ignorance complète n’est jamais observé : nous sommes tous déjà pris dans un réseau de langages, de noms, et de « connaissances ».

Mais avant la ligne de démarcation du 17 ème siècle européen:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/la-ligne-de-partage-des-temps/

ces « savoirs » n’en sont pas réellement, en tout cas en ce qui concerne la physique, et l’homme reste un « grand marché de mots » (ce qu’il redevient d’ailleurs de nos jours) : seuls les relations de la science, les μαθηματα, peuvent l’en libérer, et l’émanciper ainsi des superstitions de sa tribu.

Contentons nous donc d’appeler « Etre » un des pôles du trajet de la conscience, correspondant à la conscience non développée, à l’ignorance, au multiple pur non unifié.

A l’autre bout du parcours nous aurons l’Un, mais là encore il s’agit d’une notions qui jusqu’ici appartenait à la métaphysique ou à la mystique, voir par exemple:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transcendantaux

ou

http://fr.wikipedia.org/wiki/Universaux

ou

http://fr.wikipedia.org/wiki/L%27Un

Nous remplaçons ceci, comme Badiou avec le compte-pour-un qui joint les éléments d’un ensemble en UN ensemble, par l’un comme opération mathématique, et plus largement par l’unification scientifique, qui aboutit à l’explication et à la compréhension.

De par un axiome de la théorie des catégories, toute catégorie est « UNE » en vertu d’un foncteur Identité:

Id : A ——-> A

Ces deux pôles, Etre (multiple, ignorance) et Un (unification et intelligibilité totale, Savoir, Connaissance complète) peuvent être rapprochés des éléments primitifs de Wronski :

EE (élément-être) ——> ES (élément savoir)

dont l’identité primordiale est l’élément neutre (EN).

Quant à nous, nous tâchons de « coller » le plus prés possible à la mathesis, qui seule obéit aux exigences philosophiques de démonstration (les « yeux de l’âme » selon Spinoza), de clarté des définitions et des procédés, et de vérification permanente.

Bien entendu il ne faut pas être maximaliste : nous parlons en langage commun (en français) mais nous gardons conscience qu’il nous faut toujours revenir à la mathématique pour vérifier que nous ne nous perdons pas dans les rêveries qui ne sont autres que le masque de l’instinct prenant la place de la Raison désintéressée, comme dit Brunschvicg:

« si les religions sont nées de l’homme, c’est à chaque instant qu’il lui faut échanger le Dieu de l’homo faber, le Dieu forgé par l’intelligence utilitaire, instrument vital, mensonge vital, tout au moins illusion systématique, pour le Dieu de l’homo sapiens, Dieu des philosophes et des savants, aperçu par la raison désintéressée, et dont aucune ombre ne peut venir qui se projette sur la joie de comprendre et d’aimer, qui menace d’en restreindre l’espérance et d’en limiter l’horizon. »

et cette précaution étant comprise et prise, nous caractériserons ce qui est selon nous le sens de l’existence humaine, de l’homme comme hérault de la Vérité et non comme esclave de l’idole de la tribu ou comme berger de l’Etre:

« Tout l’être doit passer en Savoir par les vérités éternelles, qui sont les théorèmes, organisées selon l’architectonique de la Mathesis qui est l’οντοποσοφια »

ce qui n’est rien d’autre que le parcours complet de la conscience entre les deux pôles, Etre et Un (Unum = Bonum = Bien au delà de l’être, mais ens et unum non convertuntur) que nous avons décrit plus haut, et dont nous pouvons « parler » clairement puisqu’il n’est autre que la mathesis universalis, ou  οντοποσοφια

nul n’entre ici s’il ne se soumet à la discipline fonctorielle

Un foncteur est un morphisme reliant deux catégories, c’est à dire un « passage » de l’une à l’autre respectant la structure.

La notion de « morphisme » est fondamentale en théorie des catégories, du point de vue philosophique aussi bien que mathématique.

Dans une catégorie on a deux sortes d’entités : les objets, et les morphismes reliant les objets entre eux.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories

Une catégorie \mathcal C, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :

  • Une classe dont les éléments sont appelés objets ;
  • Un ensemble \mathrm{Hom}\big(A,B \big), pour chaque paire d’objets \quad A   et  \quad B, dont les éléments \quad f sont appelés morphismes (ou flèches) entre \quad A et \quad B, et sont parfois notés f:A\rightarrow\; B ;
  • Un morphisme \mathrm{id}_A:A\rightarrow\;A, pour chaque objet \quad A, appelé identité sur \quad A ;
  • Un morphisme g\circ f:A\rightarrow\;C pour toute paire de morphismes f:A\rightarrow\;B  et g:B\rightarrow\;C, appelé composée de \quad f et \quad g, tel que :
  • la composition est associative : pour tous morphismes f:c\rightarrow\;d, g:b\rightarrow\;c   et   h:a\rightarrow\;b,
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h) ;
  • les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme f:A\rightarrow\;B,
\mathrm{id}_B\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{A}.

On demande aussi que : \mathrm {Hom} (A, B) \cap \mathrm {Hom} (C, D) = \varnothing   si  \big(A, B\big)\neq \big(C, D\big).

Les catégories peuvent elles mêmes être les « objets » de nouvelles catégories, qui seront des catégories de catégories ; les morphismes, ou flèches, reliant les objets de ces nouvelles catégories, seront alors des foncteurs.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

un foncteur respecte la structure parce qu’il envoie les morphismes identité sur les morphismes identité et conserve la composition des flèches d’une catégorie à l’autre :

« Un foncteur (ou foncteur covariant) F : \mathcal C\to\mathcal D d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est la donnée

  • d’une fonction qui, à tout objet A de \mathcal C, associe un objet \displaystyle F(A) de \mathcal D,
  • d’une fonction qui, à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C, associe un morphisme F(f) : F(A)\rightarrow F(B) de \mathcal D,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet A de \mathcal C,
\displaystyle F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)} ,
  • respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes f : A \to B et g : B \to C de \mathcal C,
F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant G d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est un foncteur covariant de la catégorie opposée \mathcal C^{\mathrm{op}} dans \mathcal D (à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C il associe donc un morphisme G(f) : G(B)\to G(A) de \mathcal D, et on a la « relation de compatibilité » G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)).

On voit immédiatement que l’image d’un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. »

Toute structure mathématique peut être vue comme une catégorie : ainsi un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets; un foncteur entre deux ensembles est alors simplement une fonction.

De même un foncteur entre deux groupes (considérés comme catégories) est en fait un homomorphisme de groupes (conservant l’élément neutre et la composition).

 » La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d’une opération qui satisfait un certain ensemble d’axiomes (associativité, inversibilité, élément neutre). Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de cet ensemble d’axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l’élément identitéd’un groupe est unique.

Au lieu d’étudier simplement l’objet seul (les groupes) qui possède une structure donnée, comme les théories mathématiques l’ont toujours fait, la théorie des catégories met l’accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu’en étudiant ces morphismes l’on est capable d’en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les homomorphismes de groupes. Un homomorphisme de groupe entre deux groupes préserve la structure de groupe d’une manière très précise ; c’est un processus qui à un groupe en associe un autre, tout en préservant toutes les informations sur la structure du premier groupe au sein du second groupe. Ainsi :

  • à chaque élément x du groupe de départ est associé un élément f(x)du groupe d’arrivée ;
  • à chaque opération x \bullet y du groupe de départ est associée une opération f(x \bullet y) = f(x) \star f(y) du groupe d’arrivée.

Une manière équivalente de décrire cette préservation de structure est de dire que toutes les manières d’aller du couple d’éléments quelconques (x, y) à f(x) \star f(y) mènent au même résultat :

  • on peut d’abord aller de (x, y) à x \bullet y par la loi de composition \bullet, puis de x \bullet y à f(x \bullet y) par le morphisme f ;
  • ou bien l’on peut aller d’abord de (x, y) à (f(x), f(y)) par le morphisme f, puis de (f(x), f(y)) à f(x) \star f(y) par la loi de composition \star.

Pour dire que tous ces chemins mènent au même résultat, on peut énoncer que le diagramme qui les représente est commutatif, ou que f(x \bullet y) = f(x) \star f(y).

L’étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes. »

Il y a donc  la catégorie des groupes, ayant pour objets les groupes et pour morphismes les homomorphismes de groupes, mais un groupe particulier G peut être vu comme une catégorie à un seul objet, qui sera confondu avec le groupe et sera donc noté G.

Les éléments du groupe seront les morphismes, qui ne peuvent relier que G à G puisqu’il n’y a que ce seul objet, la composition des morphismes s’identifiera avec la composition des éléments du groupe, et le morphisme identité sera l’élément neutre. On voit alors immédiatement qu’un foncteur entre deux groupes G et H considérés comme catégories est tout simplement la même chose qu’un homomorphisme entre les deux groupes, considérés comme ensembles munis d’une loi de composition et d’un élément neutre.

On traduira et généralisera cela en disant que la notion de foncteur est la catégorification horizontale de celle d’homomorphisme , voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+categorification

La théorie des catégories met l’accent sur les morphismes, les transformations, plutôt que sur les objets, les substances.

A tel point que l’on peut même exposer la théorie en se passant de la notion d’objet, en idnetifiant un objet avec son morphisme identité; une catégorie C quelconque  est alors identitifée avec son foncteur Identité

Id : C ———> C  est identifié à C

comment ne pas voir qu’un foncteur, et plus généralement un morphisme, a à voir avec la notion de transformation, et donc de temps, d’évolution temporelle…

Si je puis parler de l’évolution d’un être vivant, ou d’une chose, ou d’un objet abstrait (une théorie, ou même un autre « objet » plus général) dans le temps, c’est bien que je puis parler de la « même chose » (mais changée, ayant évolué) à deux instants différents du temps; il doit donc y avoir un « foncteur temporel » faisant passer l’objet qui est la chose d’un état correspondant à l’instant 1 à l’état correspondant à l’instant 2.

La théorie des catégories met l’accent sur le temps, la transformation, elle est « héraclitéenne » plutôt que « parménidienne » , parce que le temps, qui correspond aux « objets » de l’esprit, est plus fondamental que l’espace.

Au fond, l’espace n’est qu’une abstraction, une « coupe instantanée » prise sur la devenir, qui seul est réel : quand vous regardez le ciel étoilé nocturne, vous regardez en fait dans le temps, dans le passé.

La notion de « substance », d’entité qui reste « la même » au cours du temps, provient du caractère fonctoriel du temps, qui « conserve » des invariants structurels : ainsi si je suis « le même personnage » qu’il y a un an (tout en étant plus vieux d’un an, et ayant changé donc), c’est que le foncteur du temps a conservé ma structure profonde, et pas seulement le squelette du corps.

Que le temps, l’élément spirituel, soit « conversion vers l’un » n’empêche pas qu’il ne puisse devenir exactement l’inverse pour les damnés de la terre : l’enfer, la damnation ne se situe pas dans un « outre-monde », mais ici, et il consiste en l’inversion du caractère « bon »‘ du Temps !

au lieu d’être conversion à l’un, celui ci est pour les damnés dispersion accélérée dans le multiple des « préoccupations », des désirs, des envies, des ressentiments, des frustrations.

Là encore, Balzac est le peintre de génie de cette réalité sordide et démoniaque : que l’on songe au Baron Hulot (dans « La cousine Bette » ), qui avec l’âge est de plus en plus obsédé par le sexe, et l’envie forcenée de « trousser des jeunes filles »…on en connaît des exemples de nos jours, n’est ce pas ?

tel est l’enfer sur Terre, ou l’une de ses formes, et telel est l’explication rationnelle, philosophique, des mythes chrétiens, dans leur sublimité souvent incompirse des foules qui s’en réclament !

La « conversion vers l’un », la fidélité au caractère « bon » du temps, ce n’est rien d’autre que la sagesse de Brunschvicg qui fait trouver la vie « absolument bonne » :

« la vie est bonne, absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité et de la mort »

seulement si l’ on n’a pas su renoncer à la mort,  si la vieillesse coïncide avec la dispersion dans la multiplicité chaotique des désirs et des pulsions, alors il n’est pas vrai que la vie est bonne : elle est au contraire absolument infernale !

On trouve une application de ces réflexions  sur lees foncteurs et morphismes comme modèles de l’volution temporelle dans cet article de Louis Crane :

http://arxiv.org/pdf/hep-th/9301061v1.pdf

voir page 2 : un « état de l’univers » en gravité quantique est dans ce schéma un foncteur de la catégorie des observations (définie page 2, un observateur est formalisé par une variété différentielle ) dans la catégorie des espaces vectoriels. Un état coîncide alors avec une TQFT (« topological quantum field theory »)

L’évolution temporelle entre deux états, qui sont deux focnteurs, est alors modélisée par un « morphisme de foncteurs », appelée « transformation naturelle »

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

C’est là une notion extrêmement importante, un peu dure à « capter » au début, mais finalement assez simple :

« Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme de D :

\eta_X : F(X) \rightarrow G(X),telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

NaturalTransformation-01.png

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C, \eta_X est un isomorphisme, on dit que \eta est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. »

Ainsi, en faisant le lien avec le texte de Wronski étudié hier :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/23/wronski-introduction-a-la-philosophie-des-mathematiques/

on peut dire que les « objets » d’une catégorie sont liés à la notion d’espace, de « coupe transversale » d’un processus semblant l’immobiliser (que l’on songe à la fameuse scène de « Vertigo » où James Stewart et Kim Novak se promenant en forêt se penchent sur un arbre coupé où l’on « voit spatialement » le déroulement du temps depuis sa naissance jusqu’à sa coupe)

Les morphismes (et foncteurs, et transformations naturelles) sont liés au temps.

https://twitter.com/philotopos/statuses/204650900382425089

le temps est tension, mouvement des étants vers l’Un, conversion ; l’espace est principe de dispersion, de multiplicité, procession.

Un autre lien important avec l’oeuvre mathématique de Wronski concerne les déterminants (de matrices, en algèbre linéaire) , qui sont les fonctions Schin de Wronski.

Or un déterminant peut être vu comme une transformation naturelle entre deux foncteurs :

http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf

(voir page 14-15 du livre, pages 27-28 du document pdf ayant 303 pages)

objet initial, objet terminal et objet nul : première application de la toposophie…au CORAN !

cet article se situe dans le prolongement du précédent :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/09/la-dualite-de-letre-et-de-lun/

où l’on a abordé les constructions universelles, et la dualité dans la théorie des catégories et des topoi.

Un autre exemple de ce genre de constructions est ce que l’on appelle « objet terminal » dans une catégorie: c’est un objet F  tel qu’il existe une flèche et une seule venant des autres objets de la catégorie vers F (F est défini à un isomorphisme près, comme toujours dans ce genre de constructions, c’est à dire que tout objet relié à F par un isomorphisme sera aussi terminal).

pour tout objet A de la catégorie, il existe une flèche et une seule :

A ———————- > F

File:Terminal and initial object.svg

http://ncatlab.org/nlab/show/terminal+object

la notion duale est celle d’objet initial :

http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

http://ncatlab.org/nlab/show/initial+object

il s’obtient par dualité, en renversant le sens des flèches; c’est donc un objet I tel que pour tout autre objet A il existe une flèche et une seule orientée de I vers A

I ———————–> A

un objet nul, ou objet zéro, est un objet qui est à la fois initial et terminal :

http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object

Quelques exemples :

dans la catégorie des ensembles, tout ensemble à un seul élément est un objet terminal (ces ensembles sont évidemment tous isomorphes, en bijection)

aussi note t’on généralement l’objet terminal  par 1

et l’on note :

!:x→1

l’unique morphisme dirigé de n’importe quel objet x vers l’objet terminal 1

L’objet initial dans cette même catégorie des ensembles est l’ensemble vide , aussi le note t’on généralement : ∅

!:∅→x  ce qui veut dire : il n’existe qu’une seule flèche de l’objet initial vers n’importe quel objet x

dans la catégorie Grp des groupes, le groupe trivial est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul.

http://ncatlab.org/nlab/show/trivial+group

Un ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie :

http://ncatlab.org/nlab/show/partial+order

on met une flèche entre deux objets de cette catégorie, ou deux élément de l’ensemble ordonné x et y si x est inférieur à y :

x —- > y si et seulement si  x ≤ y

l’objet terminal dans une telle catégorie est alors le maximum de l’ensemble ordonné, s’il existe…rappelez vous ceci, nous allons voir ce à quoi cela correspond en théologie

Un objet terminal est un exemple de limite : celle du diagramme vide!

et l’objet initial est la colimite correspondante.

Application au Coran : ALLAH  est NUL

j’ai donné il y a quelques temps  une interprétation de la sourate 112 portant sur le prétendu monothéisme pur (qui serait évidemment l’Islam.. on se croirait dans une publicité électorale américaine, où un candidat a le droit de dénigrer ses concurrents, ceux ci sont évidemment le christianisme et le judaïsme) :

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/la-sourate-112-al-ikhlas-le-monotheisme-pretendument-pur-verset-1/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/sourate-112-al-ikhlass-verset-2-labsolu/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/une-musulmane-fanatique-prise-en-flagrant-delit-dignorance-et-de-confusion/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/21/sourate-112-al-ikhlass-le-monotheisme-pur-versets-3-et-4/

Verset 1 :

112.1.قُلْ هُوَ اللَّهُ أَحَدٌ

112.1. Dis : «C’est Lui, Dieu l’Unique

112.2.اللَّهُ الصَّمَدُ

112.2. Dieu le Suprême Refuge

mais le terme As-Samad peut aussi être traduit par Absolu

Ces deux versets peuvent être traduits en toposophie par la proposition :

Allah est objet terminal

ceci est valide dans toute catégorie correspondant au discours à analyser : une catégorie peut être considérée comme une « fenêtre », un « point de vue » sur la Réalité.

Nous avons donc l’équation coranique :

ALLAH = 1

qui serait en même temps l’UN « réalisé » (ce qui est exclus par la toposophie, qui tient compte de la situation incarnée de l’existence humaine comme effort infini vers l’Unification du réel)

rappelons nous ce que nous avons dit sur l’objet terminal comme maximum dans une catégorie correspondant à un ensemble ordonné : ne retrouvons nous pas ici l’argument de St Anselme sur Dieu comme « tel qu’on ne peut pas penser de plus grand » ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anselme_de_Cantorb%C3%A9ry#.C2.AB_Preuve_ontologique_.C2.BB_de_l.27existence_de_Dieu

« Nous croyons que tu es quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé. Est ce qu’une telle nature n’existe pas, parce que l’insensé a dit en son cœur : Dieu n’existe pas?[6] Mais du moins cet insensé, en entendant ce que je dis : quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, comprend ce qu’il entend ; et ce qu’il comprend est dans son intelligence, même s’il ne comprend pas que cette chose existe. Autre chose est d’être dans l’intelligence, autre chose exister. […] Et certes l’Être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, ne peut être dans la seule intelligence ; même, en effet, s’il est dans la seule intelligence, on peut imaginer un être comme lui qui existe aussi dans la réalité et qui est donc plus grand que lui. Si donc il était dans la seule intelligence, l’être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé serait tel que quelque chose de plus grand pût être pensé. »

— Anselme de Cantorbéry, Proslogion

et, concernant la traduction de As-Samad par « absolu », ne retrouvons nous pas la thèse de Hegel (dans la Phénoménologie de l’Esprit) sur l’Absolu qui est essentiellement résultat ?

http://alain.feler.pagesperso-orange.fr/guy/Preface.html

« 20- Le vrai est le tout. Mais le tout n’est que la nature fondamentale s’accomplissant par son développement. Il faut dire de l’absolu qu’il est fondamentalement résultat, qu’il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité; et là-même est la nature de cet absolu, d’être du réel, d’être sujet, ou un devenir autonome. Aussi contradictoire qu’il peut sembler que l’absolu soit saisi fondamentalement comme résultat, un peu de réflexion redresse pourtant cette apparence de contradiction. Le début, le principe ou l’absolu, comme on l’exprime d’abord et im-médiatement, n’est que le général. Si peu quand je dis: tous les animaux, cela vaut comme zoologie, de même on voit que les mots du divin, de l’absolu, de l’éternel etc. n’expriment pas ce qui y est contenu; – et de tels mots n’expriment en fait que la contemplation comme im-médiat. Ce qui est plus qu’un tel mot, le passage à encore seulement une proposition, est un devenir autre, qu’il faut reprendre, c’est une médiation. Mais celle-ci est ce qu’on repousse, comme si en en faisant plus que de n’être rien d’absolu et pas du tout dans l’absolu, on en abandonnerait la connaissance absolue »

Reste qu’ Allah (Dieu) peut et doit être envisagé comme objet initial aussi, quand il est considéré comme l’Origine, la racine non manifestée, le Créateur , le Maître des mondes, par exemple dans la Sourate Al-Fatiha

1.2.الْحَمْدُ للّهِ رَبِّ الْعَالَمِينَ

1.2. Louange à Dieu, le Maître des Univers

(chaque univers correspond à une catégorie, ou plutôt un topos)

Ceci est encore plus évident dans le nom hébreu de YHVH qui correspond à ALLAH en arabe : on peut le traduire par « ce qui fut, est et sera »

l’origine et la fin

conclusion de la toposophie, c’est à dire de la philosophie absolue qui donne des leçons à YHVH-ALLAH :

ALLAH est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul !

ALLAH = 1 = O

seulement ici nous déduisons de la théorie l’existence d’un moprhisme distingué reliant deux objets quelconques de la catégorie du discours , morphisme unique se factorisant par l’objet nul qui est l’objet zéro :

pour deux objets quelconques x et y , il existe un morphisme spécial unique appelé morphisme nul, ou morphisme zéro, obtenu en factorisant par l’objet nul 0 :

! : x  ———-> 0 ————–> y

l’unicité provient de ce qu’il s’agit du morphisme composé des deux morphismes uniques !

voir http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object et http://ncatlab.org/nlab/show/zero+morphism

Nous avons ici l’explication de l’obscurantisme islamique : cet « unique morphisme », c’est (entre autres) la relation de deux êtres passant par Dieu, c’est à dire la relation déterminée une fois pour toutes par le dogme religieux.

Il est unique et inflexible, donc n’évoluera jamais !

ainsi par exemple, la relation entre un mari et sa femme « passant par Dieu » sera éternellement une relation de soumission de la femme à l’homme, et de sourde violence ..

ou, en d’autres termes moins « polis » :

« L’Islam des Lumières de Malek Chebel, et BHL,  c’est de la daube »

Le Coran corrigé par la toposophie

pour  conclure, voyons quel peut être le sens réel de ces apories.

Nous nous sommes débarrassés des Idoles métaphysiques que sont l’Etre et l’Un pour les troquer contre un mouvement duel de la pensée, vers l’Unification ou vers la multiplicité : montée et descente, procession et récession.

Or ceic trouve une interprétation particulièrement claire en théorie des catégories !

la flèche unique orientée de n’importe quel objet vers l’objet terminal 1 correspond à la montée vers l’Absolu et vers l’Un, montée jamais terminée, car effort infini qui ne supporte aucune relâche (donc pas d’alcool et pas de sexe, sinon on tetombe dans l’orientation vers le multiple… les femmes attirantes sont si nombreuses, une c’est bien, mais deux valent mieux qu’une, trois que deux, etc… etc..nous nommerons cette façon de voir les choses « discours de Salomon, ou de DSK »)

Seulement quelle est la notion duale ?

c’est à dire en considérant les flèches allant de 1 vers n’importe quel objet ?

tout simplement celle d’éléments de l’objet A, ce qui répond à ce qui se passe quand la catégorie est celle des ensembles !

en effet, si 1 est l’objet terminal de la catégorie des ensembles, c’est n’importe quel ensemble à un élément

considérons alors un ensemble A quelconque, ayant trois éléments (pour simplifier) : x , y et z

les morphismes dirigés de 1 vers A sont alors les fonctions (applications) :

1 ——–> A

qui associent à l’unique élément de 1 un et un seul (ce qui est la définition des fonctions) élément de A

il y a trois telles fonctions, et pas plus :

1 ——-> x

1 ——–> y

et 1 ——–> z

elles peuvent être identifées avec les trois éléments de A

CQFD

voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/generalized+element

« 

« In the category Set of sets, for X a set, an element x∈X is equivalently a morphism in Set (namely a function of sets) x:*→X, where ”*” denotes the point – the set with a single element. »

donc, la pensée selon l’un, la montée vers l’Un, consiste à prendre les morphismes dirigés vers 1, l’objet terminal

la pensée duale, vers l’Etre, la descente vers le multiple, consiste à inverser les flèches, à ne retenir que celles orientées de 1 vers un autre objet, ce qui revient à analyser un ensemble en ses éléments (dans le cas de la catégorie des ensembles)

Allah, YHVH, Dieu, c’est une Idée régulatrice, l’Idée de Raison, d’intelligibilité et d’unification portée à son maximum d’incandescence !

Et l’origine , l’objet initial ?

on la jette !

ce n’est qu’à ce prix que Dieu évitera d’être nul !

Si Dieu était « origine », objet initial, Dieu serait !

ce qui est selon Brunschvicg la formule de l’athéisme !

http://www.blogg.org/blog-76490-billet-atheisme__spiritualisme__philosophie_et_sens_commun_selon_brunschvicg-955910.html

« mais si l’idéal est la vérité, il est la vie même de l’esprit. L’idéal, c’est d’être géomètre, et de fournir d’une proposition une démonstration rigoureuse qui enlève tout soupçon d’ erreur; l’idéal c’est d’être juste, et de conformer son action à la pureté de l’amour rationnel qui enlève tout soupçon d’égoïsme et de partialité.

Le géomètre et le juste n’ont rien à désirer que de comprendre plus ou de faire plus, de la même façon qu’ils ont compris ou qu’ils ont agi, et ils vivent leur idéal.

Le philosophe n’est pas autre chose que la conscience du géomètre et du juste; mais il est cela, il a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi; le philosophe ouvre l’esprit de l’homme à la possession et à la conquête de l’idéal, en lui faisant voir que l’idéal est la réalité spirituelle, et que notre raison de vivre est de créer cet idéal.

La création n’est pas derrière nous, elle est devant nous; car l’idée est le principe de l’activité spirituelle… »

« Ou nous nous détachons des idées qui sont en nous pour chercher dans les apparences extérieures de la matière la constitution stable et nécessaire de l’être, nous nous résignons à la destinée inflexible de notre individu, et nous nous consolons avec le rêve dun idéal que nous reléguons dans la sphère de l’imagination ou dans le mystère de l’au delà« 

la destinée inflexible de l’individu, c’est le morphisme nul !

morphisme inéluctable si l’on conisdère dieu comme origine, comme objet à la fois initial et terminal, comme objet nul par lequel on peut « factoriser » les relations entre les êtres !

se détacher des idées qui sont en nous, c’est quitter l’immanence et l’intériorité pour la transcendance du monde, ou des croyances fabuleuses en le surnaturel et l’au delà !

« ou bien nous rendons à nos idées mortes leur vie et leur fécondité, nous comprenons qu’elles se purifient et se développent grâce au labeur perpétuel de l’humanité dans le double progrès de la science et de la moralité, que chaque individu se transforme, à mesure  qu’il participe davantage à ce double progrès. Les idées, qui définissent les conditions du vrai et du juste, font à celui qui les recueille et s’abandonne à elles, une âme de vérité et de justice; la philosophie, qui est la science des idées, doit au monde de telles âmes, et il dépend de nous qu’elle les lui donne »

 http://sedenion.blogg.org/date-2009-01-14-billet-958406.html

« Le danger du réalisme se trouvera donc conjuré du moment que la conscience sensible, que la conscience intellectuelle même considérée dans sa fonction théorique, ne sont que des abstractions de la conscience morale, comme le danger de voir la pureté de la critique s’infléchir dans le sens dialectique, l’immanence du Wissen (savoir) se subordonner à la transcendance du Glauben (croire, foi) »

C’est seulement en tant que je suis un être moral que la certitude est pour moi possible : le criterium de toute vérité théorique n’est pas lui même un criterium théorique, c’est un criterium pratique : un criterium interne, non un criterium externe, objectif, car précisément là où il est considéré comme moral, le moi doit être entièrement autonome et indépendant de tout ce qui se trouve en dehors de lui

il (le philosophe) a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi

« en définitive, les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme, de l’athéisme, sont : le vrai est, le bien est, Dieu est »

Dieu n’est pas : il doit être !

l’Absolu est essentiellement résultat : il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité .

Adorer Dieu en Esprit et en Vérité, c’est cela !

et c’est là le sens de la toposophie !

la dualité de l’Etre et de l’Un

le terme « toposophists », ou « toposophers », est en provenance des « working mathematicians » dans la théorie des catégories, il possède sans doute une nuance « humoristique »…

bien entendu je ne suis pas digne de délier le lacet de la chaussure de ces grands Travailleurs, héros de la pensée pure, mais je me risquerai ici à emprunter ce terme pour désigner une nouvelle « discipline », ou plutôt le projet d’une telle innovation, qui est en dehors du strict domaine mathématique (sinon ce blog serait sans aucun intérêt, face aux centaines d’autres qui en restent à ce domaine), et vise à fonder une philosophie enfin entièrement « scientifique » et rigoureuse.

En un mot comme en cent : la toposophie consiste à utiliser la force-de-pensée (terme emprunté à François Laruelle) ou , disons,  la puissance de la pensée « solide » des mathématiques (et principalement de la théorie des topoi et des topoi supérieurs, ou n-topoi), pour fonder cette nouvelle et définitive philosophie, censée réaliser le vieux projet de Mathesis universalis cartésien et leibnizien, ou celui de « messianisme » de Wronski, en une union absolue de la science, de la philosophie et de la religion (appelée « christianisme de philosophes », et devant dépasser les logoi chrétiens et juifs en une fondation péremptoire de la Vérité sur la Terre, en une âme et un corps).

Donnons ici un premier exemple , très simple, dérivé presqu’ immédiatement des indications que j’ai données ici ou là sur l’essence fonctorielle de la loi de création de Wronski.

On sait que j’ai remplacé le vieux fatras métaphysique et « onto-théologique » de l’Etre et de l’Un par l’immanence duelle de deux orientations radicalement opposées de la pensée : selon l’Etre et selon l’Un.

J’ai aussi donné les références des travaux, extrêmement importants à mon sens, de Franck Jedrzejewski sur les diagrammes et les catégories :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/24/en-france-du-nouveau-franck-jedrzejewski-diagrammes-et-categories-these-et-introduction/

travaux de lecture assez « difficile » pour ceux qui ne sont pas habitués à la strict discipline du Mathème, de cette « mathématique sévère » qu’invoquait Lautréamont, mais pour lesquels nous avons heureusement une « introduction » en 6 pages très denses :

http://nessie-philo.com/Files/jedrzejewski_dcintro.pdf

notez la différence des attitudes entre les deux « femmes » qui tentent d’orienter l’Amoureux (aucun rapport avec la future ex-présidente de France et ses chansons niaises) de la Lame VI du Tarot : la femme de gauche est la mathématique sévère et austère, elle ne promet aucun vil plaisir, mais une joie continue et souveraine acquise au prix d’un travail très long et très dur : celle de droite invite l’Amoureux à  « se rendre dans une vile maison suspecte se plonger dans le bourbier des voluptés dangereuses » , pour reprendre les termes balzaciens des « Illusions perdues »…nul doute que si le Tarot était « moderne », il la représenterait seins nus, et la main tripotant l’Amoureux un peu plus bas!

Vénus des carrefours !

mais l’Amoureux (nous tous, et nous toutes, car le sexe perd sa prédominance dans le domaine de l’Esprit) est libre de choisir le sang, la sueur et les larmes, ou bien… d’autres fluides, ceux que le général Jack Ripper appelle « précieux fluides naturels » dans « Dr Strangelove » de Kubrick…

mais revenons aux topoi et aux Saintes catégories !

attachons nous ici aux deux derniers piliers de ce quadrilatère épistémique de Franck  Jedrzejewski, à savoir l’universalité et la dualité.

J’ai déjà indiqué la nature entièrement différente de l’universalisme de la pensée catégorique par rapport à celui, dérivant en matérialisme et communautarisme, de la pensée ensembliste :

http://leserpentvert.wordpress.com/universalisme-abstrait-ou-concret/

aussi me contenterai je ici de souligner la simplification et le clarification conceptuelle (sens auquel aurait dû se limiter l’Aufklärung) qu’apporte la théorie des catégories :

-la dualité consiste à inverser le sens des flèches dans une catégorie

– l’universalité (des constructions appelées « universelles » en théorie des catégories) c’est quand il n’y a qu’une seule flèche possible pour « boucler », ou « faire commuter », un diagramme.

Voir la thèse de Franck Jedrzejewski pour plus de précisions, ou bien ces liens :

http://ncatlab.org/nlab/show/universal+construction

http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

mais donnons dès maintenant un exemple qui servira par la suite à de nombreuses reprises : celle des notions catégoriques généralisant le produit (la multiplication des nombres) et la notion duale de coproduit, généralisant la somme (l’addition des nombres).

http://en.wikipedia.org/wiki/Product_(category_theory)

La figure suivante est un diagramme dont la « limite » donne le produit  :

Universal product of the product
 
et la flèche f  unique (à un isomorphisme près) en pointillé faisant « commuter » le diagramme est le produit des deux morphismes f1 et f2
 
La précision « à un isomorphisme près » est importante , c’est toujours le cas pour une construction universelle; rappelons qu’un isomorphisme est tout simplement une flèche inversible :
 
« Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h,

ce qui prouve en outre l’unicité de l’inverse »

la notion duale de celle du produit est le coproduit, qui appliqué aux nombres donne la somme, l’addition :

http://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct

Coproduct-03.png
 
le produit est un exemple de la limite d’un diagramme, le coproduit un exemple de colimite :
 
signalons dès à présent une aporie entre ces notions modernes et la loi de création de Wronski appliquée aux mathématiques : selon lui, le produit est l’élément neutre, la somme et l’exponientiation sont EE et ES, or on attendrait que la somme soit duale du produit, et donc que l’exponentiation soit l’élément neutre EN
 
à creuser plus tard…
 
remarquons aussi que le terme, catégorique, de « problème universel » appartient à la terminologie de Wronski, où il désigne un objet de la loi de création…à creuser plus tard là aussi !
 

La thèse, cruciale à mon avis, de Franck Jedrzejewski, sur la dualité de l’Etre et de l’Un, prend alors selon le cadre de pensée que nous venons de définir, et qui s’appuie sur la « solidité » et la rigueur de la pensée mathématique tout en sortant du champ strictement mathématique, prend alors un sens très simple.

Nous avons défini les trois éléments primordiaux de Wronski : élément-être, élément-savoir et élément neutre comme une adjonction de foncteurs reliant deux « catégories » jouant le rôle de EE (élément-être) et ES (élément-savoir):

EE   ⇄  ES

Mais ceci n’est qu’une définition-projet, ou proposition hypothétique de définition ; nous pourrions aussi retenir tous les foncteurs entre les deux catégories.

La « pensée selon l’Un », par laquelle nous remplaçons, dans un cadre de stricte immanence, l’hénologie et l’Un « ineffable », cela consiste à retenir les foncteurs orientés de EE vers ES.

La « pensée selon l’Etre » cela consiste à inverser le sens des flèches (des foncteurs) et à ne garder que ceux orientés de ES vers EE.

Ces deux « pensées », qui remplacent pour nous les « ineffables » métaphysiques que sont l’Etre et l’Un, sont alors automatiquement duales au sens de la mathématique !

puisque la dualité, c’est quand on inverse le sens des flèches !

rappelons tout de même (deux précautions valent mieux qu’une) que nous sommes là sortis du champ mathématique : nous serions bien en peine de donner une définition mathématique des deux catégories EE et ES !

puisque ce sont là deux « éléments primitifs » au sens de Wronski, de nature transcendantale donc, et qui ne seront jamais « objets », mathématiques ou non…

mais le sens immanent de ces notions est clair :

penser selon l’Etre, c’est s’orienter de ES vers EE, donc « descendre » des niveaux « plus unifiés » vers le niveau (impensable) de la multiplicité dite « pure », ou « inconsistante ».

penser selon l’UN, c’est, au contraire, et en sens inverse (d’où notre vocabulaire mathématique-catégorique) , « monter » des niveaux « bas », pris dans le multiple, vers les niveaux « plus hauts », « supérieurs », plus unifiés.

Expliquer, donner du sens, de l’intelligibilité, c’est toujours résoudre une multiplicité en une unité (provisoire); analyser, c’est aller en sens inverse, résoudre une « unité » (apparente) en ses composantes, pour progresser en connaissances..

les deux mouvements sont nécessaires !

ceci rappelle évidemment l’interprétation que j’avais donnée, en termes disons plus poétiques (ou plutôt prosaïques) de l’Echelle de Jacob :

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-suave_mari_magno-1121061.html

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-le_second_degre_de_l_echelle_de_jacob___amour_universel-1121364.html

mais je préfère laisser la parole aux vrais poètes, à Lamartine et à cette immense chef d’oeuvre qu’est « La chute d’un ange » :

http://fr.wikisource.org/wiki/La_Chute_d%E2%80%99un_Ange

et à la fin, d’une beauté terrible (15 ème vision) :

A l’immobilité de ce funèbre groupe
Il reconnut la mort ! et, renversant la coupe,
Il regarda couler sa vie avec cette eau,
Comme un désespéré son sang sous le couteau !
Puis, se roulant aux pieds des êtres qu’il adore,
Et frappant de ses poings sa poitrine sonore,
Pour courir autour d’eux bientôt se relevant,
Tel qu’un taureau qui fait de la poussière au vent,
Il ramassait du sable en sa main indignée ;
Et contre un ciel d’airain le lançant à poignée,
Comme l’insulte au front que l’on veut offenser,
Il eût voulu tenir son cœur pour le lancer !

« O terre ! criait-il, ô marâtre de l’homme !
Sois maudite à jamais dans le nom qui te nomme !
Dans tout brin de ton sable, et tout brin de gazon
D’où la vie et l’esprit sortent comme un poison !
Dans la séve de mort qui sous ta peau circule,
Dans l’onde qui t’abreuve et le feu qui te brûle,
Dans l’air empoisonné que tu fais respirer
A l’être, ton jouet, qui naît pour expirer !
Dans ses os, dans sa chair, dans son sang, dans sa fibre,
Où le sens du supplice est le seul sens qui vibre !
Où de tout cœur humain les palpitations
Ne sont de la douleur que les pulsations !
Où l’homme, cet enfant d’outrageante ironie,
Ne mesure son temps que par son agonie !
Où ce souffle animé, qui s’exhale un moment,
Ne se connaît esprit qu’à son gémissement !
Tout être que de toi l’inconnu fait éclore .
Gémit en t’arrivant, en s’en allant t’abhorre !
Nul homme ne se lève un jour de son séant
Que pour frapper du pied et pleurer le néant !
Que maudite à jamais, qu’à jamais effacée,
Soit l’heure lamentable où je t’ai traversée !
Que ta fange m’oublie et ne conserve pas
Une heure seulement la trace de mes pas !
Que le vent, qui te touche à regret de ses ailes,
De nos corps consumés disperse les parcelles !
Que sur ta face, ô terre ! il ne reste de moi
Que l’imprécation que je jette sur toi ! »

Pour unique réponse à son mortel délire,
L’air muet retentit d’un long éclat de rire.
Derrière un monticule il vit de près surgir
Les fronts de cinq géants et du traître Stagyr.
« Meurs, lui crièrent-ils, vile brute aux traits d’ange !
Ta force nous vainquit, mais la fourbe nous venge.
Laissons cette pâture aux chacals des déserts ;
Sa mort nous laisse dieux, et l’homme attend nos fers ! »
Ils dirent ; et tournant le dos, ils disparurent,
Et leurs voix par degrés sur le désert moururent.

Cédar, dont leur mépris fut le dernier adieu,
A cet excès d’horreur se dressa contre Dieu.
Tout l’univers tourna dans sa tête insensée ;
Il n’eut plus qu’une soif, un but, une pensée :
Anéantir son cœur et le jeter au vent.
Comme un gladiateur blessé se relevant,
Il cueillit sur les flancs arides des collines
Une immense moisson de ronces et d’épines
Autour du groupe mort où son pied les roula,
En bûcher circulaire il les accumula ;
Puis, prenant dans ses bras ses enfants et sa femme,
Ces trois morts sur le cœur, il attendit la flamme.

La flamme, en serpentant dans l’énorme foyer
Que le vent du désert fit bientôt ondoyer,
Comme une mer qui monte au naufrage animée,
L’ensevelit vivant sous des flots de fumée.
L’édifice de feu par degrés s’affaissa.
Du ciel sur cette flamme un esprit s’abaissa,
Et d’une aile irritée éparpillant la cendre :
« Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
Et ton crime d’amour ne peut être expié.
Qu’après que cette cendre aux quatre vents semée,
Par le temps réunie et par Dieu ranimée,
Pour faire à ton esprit de nouveaux vêtements
Aura repris ton corps à tous les éléments,
Et, prêtant à ton âme une enveloppe neuve,
Renouvelé neuf fois ta vie et ton épreuve ;
A moins que le pardon, justice de l’amour.
Ne descende vivant dans ce mortel séjour ! »

L’ouragan, à ces mots se levant sur la plaine,
Souffla sur le bûcher de toute son haleine,
Et dispersa la cendre en pâles tourbillons,
Comme un semeur, l’hiver, la semence aux sillons.
L’immobile désert sentit frémir sa poudre,
L’occident se couvrit de menace et de foudre ;
Des nuages pesants, pleins de tonnerre et d’eau,
Posèrent sur les monts comme un sombre fardeau ;
L’homme, le front levé vers la céleste voûte,
Du déluge sentit une première goutte.

 
voici le double mouvement :
Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
 
l’épilogue qui vient juste après, et clôture le livre, a l’apparence et la nature d’une retombée :
« Et le vieillard finit en disant : « Gloire à Dieu !
Dieu, seul commencement, seule fin, seul milieu,
Seule explication du ciel et de la terre,
Seule clef de l’esprit pour ouvrir tout mystère ! »
Il étendit la main pour l’invoquer sur nous !
Nous pliâmes, contrits, nos fronts et nos genoux ;
Comme un homme qui craint de renverser un vase,
Nous sortîmes muets de l’antre de l’extase.
Le navire aux mâts nus, endormi sur les flots,
A l’ombre du Liban berçait nos matelots.
Sous la vergue où le câble avait roulé les voiles,
L’hirondelle du bord en becquetait les toiles.
Le sifflet réveilla le pilote dormant,
Et le vaisseau reprit son sillage écumant »
 
 
 

 

La loi de création de Wronski et la théorie des catégories

(je ne comprends pas ce qui se passe avec WordPress, le texte complet de l’article refuse de  s’afficher, voir ces liens pour l’article complet :

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/106/106

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories-104092362.html

et par la même occasion voir ceux ci pour la poursuite des recherches sur ce sujet :

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/107/107

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/109/109

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-topoi-cohesifs-104391835.html

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-trois-elements-primitifs-de-wronski-et-les-topoi-104317024.html

 

La loi de création a déjà été abordée sur le blog « Recherche de l’Absolu » :

http://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/11/diagrammes-de-la-loi-de-creation-de-wronski/

ce qui va être dit ici est purement spéculatif et « formel » , disons un programme de travail qui donnera ou pas quelque chose … je me base sur les ligens suivantes de Francis Warrain dans « Quantité, infini, continu » page 17 :

« toute réalité comporte , outre les deux éléments hétérogènes et primordiaux : élément-être (EE) et élément-savoir (ES) , un élément à double fonction que Wronski appelle : élément fondamental ou neutre (EN).

Cet élément est d’ordre fonctionnel, pragmatique, dynamique, tandis que les deux autres forment une polarité et sont en quelque sorte d’ordre statique et spéculatif.

Cette polarité et l’élément pragmatique se partagent la primauté à des titres différents: du jeu de leur prédominance alternative se tireront les fonctions essentielles qui développent un système quelconque de réalités »

élément pragmatique , fonctionnel , dynamique … ne dirait on pas un morphisme, ou un foncteur ?

en même temps on sait que dans la théorie des catégories, l’ élément fondamental (terme même employé par Wronski pour nommer l’élément neutre EN) consiste en les morphismes, flèches, foncteurs, et non pas en les objets qui sont d’ordre abstrait, facilitant le discours, et sont carrément éliminés par idnetification au morphisme identité dont ils sont pourvus dans certaines présentations de la théorie (celle de Peter Freyd par exemple) .

Donc suivant mon idée , qui pour l’instant  est d’ordre spéculatif, je commence à écrire le haut du diagramme de la loi de Wronski sous forme de foncteur entre deux catégories EE (être) et  ES  (savoir) :

                                 EE   ——————————>  ES

la flèche étant un foncteur appelé EN.

Attention, je répète l’avertissement : il s’agit là d’un essai à titre purement formel, je ne prétends pas que ces termes (catégories, foncteurs, etc..) recouvrent des réalités mathématiques… ce n’est qu’ à la fin, éventuellement, après la progression du travail, que nous pourrons donner un sens exact à ces notions, qui pour l’instant sont proposées à titre d’essai.

Pour des considérations de symétrie, il nous faut aussi un foncteur dans l’autre sens :

              EE   < ————————————   ES

prenons un exemple concret très simple : celui d’un objet naturel, comme ce chien qui pourrait être mon chien si j’en avais un.

C’est un corps vivant, un objet vivant du monde, il court, aboie, gambade, mange… si je ne le nourris pas il meurt … ou bien il se met en colère et me saute dessus pour me manger !

mais en même temps « ce chien ci », qui est supposé être « mon chien », pourrait il exister (s’il existait, ce qui n’est pas le cas) sans que j’intervienne, sans que j’en forme une idée, un concept ?

réponse : NON !

car si je n’existais pas il ne serait pas « mon chien » !

Nous avons donc forcément : le chien en tant qu’objet du monde, « transcendant » comme on dit, et mon idée de ce chien.

Ce sont deux choses différentes, car comme dit Spinoza malicieusement (si tant est que l’on puisse attribuer à Spinoza de la malice ) :

l’idée de chien n’aboie pas !

et elle ne mange pas non plus !

Le chien « objet du monde » est EE, l’idée du chien est ES, et l’élément EN qui les relie est l’opération de connaissance, de correspondance qui fait que « mon idée de mon chien » s’applique à ce chien ci qui est mon chien, et non pas  à , mettons, cette bouteille de vodka !

sinon c’est que j’ai bu la bouteille, et je m’expose à de gros problèmes avec les petits hommes en bleu ou en blancs, qui arrivent dans des voitures qui ont une sirène retentissante…

s’il n’y avait pas EN, sous la forme de deux foncteurs qui assurent la correspondance adéquate entre le monde « là dehors » et le monde « des idées, en moi », alors ce monde serait complètement fouuuu, comme dit le sympathique Jean-Pierre Foucault…

et il serait surtout invivable !

et donc nous n’y vivrions pas , et ne serions pas là pour écrire ou lire ce blog !

EN est donc bien fondamental !

mais revenons à nos catégories et à la loi de création de Wronski :

Nous aurons donc, dans le cas le plus basique, deux « foncteurs » en sens inverse  entre deux « catégories » : on ne peut pas alors ne pas penser à l’adjonction de foncteurs, qui est le concept le plus important de la théorie des catégories !

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

nous aurions donc pour EN une paire de foncteurs adjoints entre EE et ES  :

  F :  EE  ————————->  ES

 G :  EE  < ———————–     ES

F étant adjoint à gauche de G :

 F\dashv G

Nous porrions aussi penser à « complexifier » un peu les choses en utilisant des situations qui se présentent souvent en mathématiques , un foncteur ayant un adjoint à droite et un adjoint à gauche, ou bien une série d’ajonctions , la page Wiki ci dessus en présente deux :

A functor with a left and a right adjoint. Let G be the functor from topological spaces to sets that associates to every topological space its underlying set (forgetting the topology, that is). G has a left adjoint F, creating the discrete space on a set Y, and a right adjoint H creating the trivial topology on Y

A series of adjunctions. The functor π0 which assigns to a category its sets of connected components is left-adjoint to the functor D which assigns to a set the discrete category on that set. Moreover, D is left-adjoint to the object functor U which assigns to each category its set of objects, and finally U is left-adjoint to A which assigns to each set the antidiscrete category on that set.

de telles situations avec quatre foncteurs en situation d’ajonction à gauche sont souvent utilisées par Bill Lawvere, par exemple :

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/9/tr9.pdf

pages 3 – 4

mais ne soyons pas plus précis pour l’instant et continuons sur la loi de Création de Wronski :

nous nous occupons de la branche de gauche, celle de la théorie ou autothésie

le premier élément « dérivé immédiat ou universel », après le ternaire des éléments primitifs EE, EN et ES, est :

US universel-savoir comme combinaison de EN et ES

 Ce ne peut être que le schéma ci dessus pour les trois éléments primitifs , où l’on ne retient que le foncteur G  allant de ES à EE (parmi les deux foncteurs adjoints) :

G :               EE  <—————————–  ES

sera US

de même UE combinaison de EE et EN sera l’autre foncteur :

UE = F :           EE —————————–> ES

si nous avons choisi des séries d’ajonction plus complexes, US regroupera tous les foncteurs allant de ES vers EE, et UE tous les foncteurs allant en sens inverse, de EE vers ES

passons aux éléments dérivés médiats, qui résultent de transitions de US vers UE ou de UE vers US en se basant sur le fait que US et UE ont en commun EN, qui participe à leurs combinaisons.

Que peut être une transition entre des foncteurs ? ici la théorie des catégories répond « naturellement » sous la forme des « transformations naturelles » ou « morphismes entre foncteurs » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

la situation d’adjonction a été choisie, ou du moins suggérée, par moi parce qu’elle arrive en quelque sorte « enceinte » de tout un tas de notions mathématiques toutes plus prégnantes les unes que les autres..

ainsi ne se peut il pas que les deux éléments transitifs, qui relient deux foncteurs adjoints, soient les deux transformations naturelles appelées « unit » et « co-unit » , notées ε  et  η , qui existent dans toute adjonction ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#Ubiquity_of_adjoint_functors

A counit-unit adjunction between two categories C and D consists of two functors F : C ← D and G : C → D and two natural transformations

\begin{align}<br />
\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\<br />
\eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}

respectively called the counit and the unit of the adjunction (terminology from universal algebra), such that the compositions

F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F
G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G

are the identity transformations 1F and 1G on F and G respectively

ce qui est noté par :

 (\varepsilon,\eta):F\dashv G

et signifie :

\begin{align}<br />
1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\<br />
1_G &= G\varepsilon \circ \eta G<br />
\end{align}

which mean that for each X in C and each Y in D,

\begin{align}<br />
1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\<br />
1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}<br />
\end{align}.

où bien sûr les catégories C et D de la page Wiki sont nos « catégories » EE et ES respectivement (mais je rappelle que pour l’instant ceci est purement formel, et nous ne saurions donner un sens mathématique à ces notions-projets).

ce qui vient d’être dit concerne la situation la plus simple, où nous nous sommes limités à deux foncteurs adjoints entre EE et ES

passons maintenant à ce que Wronski appelle les quatre « classes systématiques »  : influence partielle de E en S, influence partielle de S en E, influence réciproque (appelée par lui « Concours final »  CF) et enfin ce qu’il appelle Parité coronale PC.

On sait que PC , identité complète du système , unité de ce système sur un plan supérieur, est en fait identique au système de départ, qui est EN , EE et ES :

EN = (F , G) :   EE   ——————> ES

                             EE < —————-   ES

je proposerais bien, sans être définitivement affirmatif, pour l’influence partielle de E en S, le foncteur non plus entre EE et ES mais entre EE et sa catégorie image, qui est une sous-catégorie de ES :

EE —————————> F(EE)  incluse dans ES

de même pour l’influence partielle de S en E :

ES ————————–> G(ES )  incluse dans EE

et pour l’influence réciproque les deux foncteurs restreints aux deux sous-catégories G(ES) et F(EE) .

 

l’UN et la pensée ensembliste

commençons notre « examen »de la pensée mathématicienne, à propos de l’Un et de l’Etre, de la manière la plus « simple » possible , qui est aussi celle suivie par Badiou dans « L’Etre et l’évènement » : la théorie des ensembles.

Nous pouvons adopter la même attitude que Badiou au début de « L’être et l’évènement »  pour éviter le supplice pervers de « tourner indéfiniment » dans le tourniquet des hypothèses du « Parménide » :

L’UN n’est pas

seulement en traduisant ceci, selon ce dont nosu avons convenu dans l’article précédent, en :

la pensée selon l’Un n’est pas la pensée selon l’être

méditer la question de l’être mène irrémédialbement au multiple, à l’autre que l’UN, à travers les étants, qui se disent de plusieurs façons, comme au début de l’Introduction à la métaphysique de Heidegger.

Un oiseau, un animal, un être vivant, ou bien une chose fabriquée, ou une pierre, ou un signe, ou un symbole, tout cela EST : l’Etre est l’autre que l’UN, l’ontologie est donc forcément la science du multiple pur, en cela Badiou a raison.

Dans la théorie des ensembles, le multiple, ce sont les éléments d’un ensemble :

x ∈ A

y ∈ A

etc.. : x et y sont éléments de l’ensemble A

dans la théorie pure, axiomatique , des ensembles, x et y sont à leur tour des ensembles, il n’y a pas d’éléments de base, de niveau zéro, puisqu’il n’y a qu’une seule notion, celel d’ensemble

http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory

Badiou enchaîne, comme on le sait , par :

l’UN n’est pas, mais il y a de l’un, ou encore : l’ un est le « compte-pour-un » qui enchaîne les éléments d’un ensemble à former une collection, un tout : cet ensemble justement

Un autre multiple qui apparaît est ce que Badiou appelle la représentation,à  savoir l’ensemble des parties d’un ensemble A, noté :

P(A)

un ensemble X est une partie de A, ou un sous-ensemble de A :

⊆  A

si tout élément de X est élément de A :

x ∈ X  implique  x ∈ A

le multiple  est donc dans la présentation (les éléments) ou la représentation (les parties, les sous-ensembles) d’un ensemble : penser selon l’être dans la théorie, ou la catégorie, des ensembles, c’est penser la présentation des éléments et la représentation des parties.

penser selon l’un, c’est penser le compte-pour-un qui fait que l’ensemble A est un ensemble « regroupant », ou « contenant » ses éléments, et ses parties.

Mais bien entendu, l’UN ne pourra être un ensemble, même l’ensemble de tout, c’est à dire en théorie des ensembles l’ensemble de tous les ensembles : car il est possible de démontrer facilement , à partir des paradoxes comme celui de Russell , qu’un tel ensemble est une notion inconsistante.

Formons en effet le concept des « ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes, qui ne sont pas élément d’eux mêmes ».

C’est une notion apparemment évidente, et il faudrait ramer beaucoup pour trouver un ensemble qui est élément de lui même, et ce genre de notion est proscrit par toutes les théories « normales ».

Mais pouvons nous former la notion d’ensemble de tous ces ensembles qui ne sont pas éléments d’eux mêmes ?

appelons X cet hypothétique ensemble , de deux choses l’une :

-soit il ne s’appartient pas à lui même, mais alors il est un ensemble qui ne s’appartient pas à lui même, il est donc un élément de l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes, donc il est élément de l’ensemble de ces ensembles, qui est justement lui même, X , c’est à dire pour résumer :

si X n’est pas élément de X, alors X est élément de X

– soit il s’appartient à lui même, X est élément de X, mais alors il n’est pas un ensemble qui ne s’appartient pas à lui même, donc il n’est pas élément de l’ensemble de tels ensembles, qui est X, ou encore :

si X est élément de X, alors X n’est pas élément de X

dans les deux cas, nous aboutissons à une contradiction !

Nous pourrions dire que cette démonstration « formalise justement mathématiquement » la proposition philosophique que l’UN n’est pas.

L’Etre, ou les êtres, ce sont les éléments, qui sont toujours des ensembles.

La pensée selon l’un, c’est le compte-pour-un qui fait « tenir ensemble » les éléments d’un ensemble.

L’UN, ce serait , si l’UN était, un ensemble, l’ensemble de tous les ensembles, seulement c’est une notion incosistante, conclusion :

l’UN n’est pas.

Seulement cette démonstration s’appuie sur le fait, propre aux universels abstraits, qu’un ensemble, regroupant des objets ayant une propriété, n’a pas lui même cette propriété. Si l’universel est l’ensemble qui fait tenir ensemble ses éléments, alors cet universel est transcendant à ses « singuliers », les éléments, et à ses « particuliers », ses parties.

Or il existe une autre notion d’universel que celui de la notion ensembliste : c’est la pensée de l’universel concret, obtenue à partir de la théorie des catégories, comme on le voit dans les travaux de David Ellerman que j’ai commenté ici :

http://apodictiquemessianique.wordpress.com/universalisme-abstrait-et-concret/

http://mathesis.blogg.org/page-universalisme_abstrait_ensembliste_et_universalisme_concret_fonctoriel-747.html

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

« Dans la théorie platonicienne des Idées  ou formes (Eidê), toute propriété F donne lieu, est associée à un universel uF qui la représente de manière unique.

Un objet x a la propriété F si et seulement s’il « participe » à l’universel uF F(x) ↔ x μ uF  ( μ comme « metexis » est le signe de « participer ») (condition d’universalité)

Une théorie mathématique des universaux doit, en plus de cette relation binaire μ être munie d’une relation d’équivalence (cad réflexive , symmétrique et transitive) ≈ telle que l’on ait la condition d’unicité, ou plutôt d’isomorphisme :

si uF et u’F sont deux universaux associés à la même propriété F alors on doit avoir : uF ≈ u’(condition d’unicité)

Un universel est dit abstrait s’il ne participe pas à lui même : ¬ ( uF μ uF )

Il est dit concret s’il participe à lui même :  uF μ uF

On trouve dans la philosophie, et notamment chez Platon, des universaux des deux espèces, abstraits et concrets. Nous travaillerons ici à faire descendre Platon du Ciel en Terre, dans le même mouvement selon lequel Copernic avait projeté la Terre dans le Ciel : ce qui veut dire ne se soucier que des universaux concrets, à portée d’expérience et de pensée humaine, et « oublier » les formes existant « séparément », dans un monde Intelligible qui ne veut rien dire pour nous. Telle est la leçon que nous retenons de Brunschvicg et de sa réinterprétation de l’idéalisme platonicien (à la suite de Kant) et du pythagorisme (voir là dessus les deux articles à propos de « Spiritualisme et sens commun »).

Or deux théories très générales se présentent à nous en mathématiques, très différentes de par la « relation de participation » qu’elles proposent :

– la théorie des ensembles, où la relation de participation μ est la relation d’appartenance à un ensemble : ∈ ; x participe à B si et seulement si x appartient, ou est un élément, de l’ensemble B : x ∈ B

– et la théorie des catégories, où la relation de participation proposée par ellerman est celle de « factorisation unique par un morphisme », intervenant fréquemment pour définir une « construction universelle » (exemple : le produit tensoriel classique d’espaces vectoriels) :

     x participe à y si x,y sont objets d’une catégorie C et s’il existe un morphisme unique μ dirigé de x vers y : 

                                     μ :  x → y

Or les universaux ensemblistes sont abstraits, car le paradoxe de Russell a encouragé les mathématiciens à éliminer les ensembles qui s’appartiennent à eux mêmes (Badiou les retient dans l’Etre et l’évènement pour formaliser l’évènement justement, soit ce qui n’appartient pas à l’ontologie mathématique « normale » : l’évènement est une rupture du « normal »). »

Nous venons de voir plus haut, à partir du paradoxe de Russell, que dans la pensée ensembliste, qui est un « modèle mathématique » de la pensée selon l’être, de ce qui correspond à l’ontologie dans notre shcéma idéaliste, les universels, les ensembles, ne peuvent être qu’abstraits.

Mais dans la théorie des catégories, qui est un modèle, LE modèle mathématique de ce que nous appelons pensée selon l’un, les universels sont tous concrets, puisqu’un des seuls axiomes de cette théorie est que pour tout objet Y d’une caégorie, il existe toujours un morphisme identité :

« Dans la théorie des catégories, la forme même de la condition d’universalité de la participation μ :  x → y

fait que tout universel y est toujours concret. Ceci est garanti parun des axiomes de la théorie, qui est l’existence d’un morphisme identité Id pour tout objet u :

                                     Idy :  y → y« 

conclusion : dans ce type de pensée, qui est supérieure à la pensée ensembliste, comme en conviennent les mathématiciens modernes qui ont remplacé la théorie des ensembles (encore retenue par Bourbaki) par la théorie des catégories pour fonder les mathématiques , les thèses de Badiou , opposant un « évènement » modélisé par un ensemble anormal, s’appartenant à lui même, et donc proscrit par l’ontologie, à l’être des ensembles normaux, ces thèses s’effondrent.

Car dans la théorie des catégories, tous les universels sont concrets , il n’y a, en somme, que des évènements !

Ce n’est guère étonnant, puisque la pensée catégorie part des morphismes, c’est à dire des transformations, de ce qui forme la substance du changement.

Un évènement est quelque chose qui arrive, un changement : dans la pensée selon l’un, il n’y a que des changements, des évènements, qui arrivent…