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#BrunschvicgEtapes les étapes de la philosophie mathématique

Un premier article :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/04/04/brunschvicg-les-etapes-de-la-philosophie-mathematique/

avait été écrit à propos de ce livre « Les étapes de la philosophie mathématique » datant de 1912 et qui est souvent considéré comme le plus caractéristique , sinon le plus important, de Brunschvicg, dont la philosophie souvent dépeinte comme  » idéalisme mathématisant » accorde une place prédominante à la science et à la mathesis ( activité de pensée qui est au fondement des mathématiques) .Qu’il me suffise de citer ces passages de « La querelle de l’athéisme » de 1928 , texte qui peur etre trouvé en appendice à « Vraie et fausse conversion »:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/2012/09/11/la-querelle-de-latheisme-de-brunschvicg/

«  Le drame de la conscience religieuse depuis trois siècles est défini avec précision par les termes du Mémorial du 23 novembre 1654 : entre le Dieu qui est celui d’Abraham, d’Isaac, de Jacob et le Dieu qui est celui des philosophes et des savants, les essais de synthèse, les espérances de compromis, demeurent illusoires. Il est donc important de soumettre à l’examen les moments du processus spéculatif qui explique et qui, selon nous, commande la nécessité de l’alternative. »
Où Brunschvicg « retourne » pour ainsi dire, dans une sorte de judo spirituel, la force de pensée de l’alternative décrétée par Pascal dans le Mémorial du 23 novembre 1654 (lors de la fameuse nuit mystique )entre le Dieu de la Bible et le Dieu des philosophes et des Savants:

http://anecdonet.free.fr/iletaitunefoi/Dieu/M%E9morialdeBlaisePascal.html

« Dieu d’Abraham, Dieu d’Isaac, Dieu de Jacob» non des philosophes et des savants

Certitude. Certitude. Sentiment. Joie. Paix.
Dieu de Jésus-Christ.
 »
Brunschvicg éprouvait pour Pascal une admiration fascinée ( un peu comme Jacques Attali de nos jours) il a consacré une partie importante de sa vie intellectuelle à l’édition critique des « Œuvres complètes » de Pascal (la fameuse « édition Brunschvicg ») , le passage ci dessus est important car il fonde la séparation entre Dieu des croyants et Dieu des philosophes, et ce de la manière la plus claire, ce qui n’est pas toujours le cas chez tout le monde j’ai même lu un jour un texte d’un professeur de philosophie où c’était l’islam qui était crédité de la « paternité » du Dieu des philosophes et des savants ( simplement parce qu’il s’oppose au christianisme et à la Bible, qu’il accuse d’être pleine d’erreurs humaines et de falsifications de la parole divine) . En réalité le Dieu des philosophes est l’Idée de Dieu purifiée et élaguée de toute intrusion de références au plan vital. Or le dieu sanguinaire du Coran et de l’Islam est l’Idole de ceux qui sont incapables de penser qu’il y a autre chose que ce plan vital ( cet autre étant le plan spirituel) c’est pour cette raison que l’Islam a tellement le « vent en poupe » aujourd’hui il est le refuge de tous les vrais athées et nihilistes qui sont légion aujourd’hui en Occident depuis 1945 ou même 1920 et surtout depuis la fin il y a 30 ans des « Grands récits » du communisme, qui était leur seule boussole et est maintenant remplacé par l’Islam, le véritable athéisme n’étant pas de nier Dieu ( car encore faut il pour cela s’accorder sur ce qu’est Dieu) mais de nier qu’il y a un plan spirituel de l’Idée en dehors du plan vital, ordre de la matière et de la vie.
Le second passage que je juge important dans la « querelle de l’athéisme » exposé de Brunschvicg devant la Société française de philosophie le 24 mars 1928 :

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/2012/09/11/la-querelle-de-latheisme-de-brunschvicg/
est le suivant :

« Le fait décisif de l’histoire, ce serait donc, à nos yeux, le déplacement dans l’axe de la vie religieuse au XVIIesiècle, lorsque la physique mathématique, susceptible d’une vérification sans cesse plus scrupuleuse et plus heureuse, a remplacé une physique métaphysique qui était un tissu de dissertations abstraites et chimériques autour des croyances primitives. L’intelligence du spirituel à laquelle la discipline probe et stricte de l’analyse élève la philosophie, ne permet plus, désormais, l’imagination du surnaturel qui soutenait les dogmes formulés à partir d’un réalisme de la matière ou de la vie. L’hypothèse d’une transcendance spirituelle est manifestement contradictoire dans les termes ; le Dieu des êtres raisonnables ne saurait être, quelque part au delà de l’espace terrestre ou visible, quelque chose qui se représente par analogie avec l’artisan humain ou le père de famille. Étranger à toute forme d’extériorité, c’est dans la conscience seulement qu’il se découvre comme la racine des valeurs que toutes les consciences reconnaissent également. À ce principe de communion les propositions successivement mises au jour et démontrées par les générations doivent leur caractère intrinsèque de vérités objectives et éternelles, de même qu’il fonde en chacun de nous cette caritas humani generis, sans qui rien ne s’expliquerait des sentiments et des actes par lesquels l’individu s’arrache à l’égoïsme de la nature. Ce Dieu, il faudra donc l’appeler le Verbe, à la condition que nous sachions entendre par là le Verbum ratio (λόγος ἐνδιάθετος) dont le Verbum oratio (λόγος προφορικὸς) est la négation bien plutôt que le complément, avec tout ce qui, par l’extériorité du langage à la pensée, s’est introduit dans les cultes populaires : mythes de révélations locales et de métamorphoses miraculeuses, symboles de finalité anthropomorphique. »

On peut dire que ce texte de Brunschvicg est le fondement, la raison d’être de tous les blogs de la mouvance « Henosophia toposophia mathesis universalis » dont celui ci est le principal avec aussi:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com

Mais revenons à l’article déjà écrit sur « Les Etapes de la philosophie mathématique » où toutes les références avaient été données pour lire le livre sur le web:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/04/04/brunschvicg-les-etapes-de-la-philosophie-mathematique/

Ce blog n’est pas un blog de mathématiques, ni d’ailleurs de philosophie : pour le décrire j’aimerais dire que c’est un blog de « philosophie mathématique » dans la lignée du livre de 1912 de Brunschvicg..cependant il y a loin de la coupe aux lèvres et je conçois ce qu’une telle affirmation (qui est plutôt un souhait) peut avoir de ridicule . Il reste que c’est là la tâche que je fixe à ma vie, aussi pusillanime soit elle : continuer le travail de pensée des « Etapes » , et notamment y intégrer ce que Brunschvicg n’a pas pu y mettre puisqu’il est mort en 1944, un an avant la naissance de la théorie des catégories..

Signalons qu’en 1962 un colloque a été organisé à Normale sup pour le cinquantenaire de la sortie du livre en 1912, vous trouvez les textes des interventions ici :

Cliquer pour accéder à philosc08_commemoration_brunschvicg_1962.pdf


C’est une première pierre de construction pour édifier ce « palais au Soleil » dont je viens de parler, sur les fondations du livre « les étapes » et de la mathesis universalis cartésienne (plutôt que leibnizienne) avec les matériaux plus modernes de la théorie des catégories et des mathématiques contemporaines ( sans négliger Bourbaki et l’œuvre gigantesque laissée par Grothendieck)

Jean Petitot : refaire le Timée , introduction à la philosophie mathématique d’Albert Lautman

http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1987_num_40_1_4488

Albert Lautman, élève de Léon Brunschvicg comme Jean Cavaillès qui s’engagea et trouva le mort lui aussi dans la Résistance

lire ici « les mathématiques, les idées et le réel physique » :

https://books.google.fr/books?id=-e3TwztfHt8C&pg=PA259&lpg=PA259&dq=albert+lautman+l%C3%A9on+brunschvicg&source=bl&ots=S_XyQ_MxtT&sig=FGLvcKdahKhg3DP4xR0TP9JEPm8&hl=fr&sa=X&ved=0CCsQ6AEwAmoVChMItsKi6e_nyAIVwtUaCh3MKgra#v=onepage&q=albert%20lautman%20l%C3%A9on%20brunschvicg&f=false

ou en anglais :

https://books.google.fr/books?id=EA1zaj89dNIC&pg=PR15&lpg=PR15&dq=albert+lautman+l%C3%A9on+brunschvicg&source=bl&ots=iU7uPMb6e6&sig=I9kL4MgFQtEP-VgpFclh_7x8-ak&hl=fr&sa=X&ved=0CFAQ6AEwCGoVChMItsKi6e_nyAIVwtUaCh3MKgra#v=onepage&q=albert%20lautman%20l%C3%A9on%20brunschvicg&f=false

Sur Cavaillès et Lautman :

http://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1987_num_40_1_4539

Introduction à Lautman :

Cliquer pour accéder à exp08-02-27_Lautman-MB.pdf

et l’on trouvera ici des liens sur la vision de l’unité des mathématiques par Grothendieck et Lautman

Monades et adjonctions en théorie des catégories

La page Wikipedia est ici :
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monade_(théorie_des_catégories)

Et elle établit bien le lien avec la notion fondamentale d’adjonction , se rappeler nos articles passés :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/
Et

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

On peut lire aussi la page du Nlab qui a le mérite de lier la notion de mônade a celle de monofide dont elle est la categorification horizontale

http://ncatlab.org/nlab/show/monad

Rappel: un monoide est un ensemble muni d’une opération ou loi de composition * entre des éléments, opération associative, et muni aussi d’un élément neutre pour cette opération c’est à dire un élément 1 tel que pour tout élément y
Y*1 = 1 * y = y
Un groupe est un monoide tel que tout élément soit inversible pour l’opération c’est à dire tel que pour tout élément u il existe son inverse v défini par :
U* v= v* u = 1
e mônade peut donc être vue (page Wikipedia) comme un endofoncteur d’une catégorie C :
T : C ——–> C
Endofoncteur accompagné de deux transformations naturelles μ et η.
La transformation naturelle μ sera dirigée du foncteur identité sur C vers le foncteur T :
μ : 1———-> T
Et jouera le rôle de l’élément neutre dans le monoide voir ci dessus en considérant que le foncteur identité sur C noté 1 joue le rôle d’élément neutre pour la composition des foncteurs , et quant à la transformation naturelle μ elle jouera le rôle de la multiplication ou loi de composition dans le monoide voir lignes ci dessus, ainsi est comprise l’analogie entre monade et monoide , analogie qui est une categorification dite horizontale .
Dans la page Nlab une monade est expliquée comme un objet dans une bicategorie (une 2-categorie non stricte ) avec deux endomorphismes c’est à dire deux endofoncteurs et les deux transformations naturelles deviennent des 2- morphismes (en anglais « 2-cells »)
Satisfaisant aux équations spécifiée sur le page nlab comme sur le page Wikipedia au moyen de diagrammes car c’est cela un diagramme : l’analogie catégorique d’une équation en algèbre classique
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A toute adjonction de foncteurs corresponde une monade et réciproquement à toute monade corresponde une adjonction, ceci a été démontrée ´ par Kleisli et Moore d’où le nom de deux catégories importantes associées à une monade, celle de
Kleisli et celle d’Eilenberg-Moore :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_de_Kleisli
En notant toutes ces analogies où la pensée à toujours l’impression de « retomber sur ses pattes  » tel un chat faisant des bonds et des acrobaties on se persuadera j’espère que le mathesis est le domaine où est réalisée l’unité de la pensée (humaine) que Grothendieck désignait du mot sanskrit de yoga volant dire « lien, jonction » et il utilisait fréquemment l’expression « yoga des foncteurs »