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Dualisation du travail de Pierre Samuel en 1948 et rapide envol vers le pays des chimères

Suite de la lecture annotée de l’article de David Ellerman sur Mac Lane, Bourbaki et l’adjonction:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Venant après l’article précédent sur ce sujet:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/07/la-nouvelle-caracterisation-de-ladjonction-par-bodo-pareigis/

Page 7 de l’article d’Ellerman paragraphe 6 : Pierre Samuel, représentant de Bourbaki, travaillait sur les homomorphismes et les hétéromorphismes (appelés chimères ou morphismes chimériques « chimera morphism » parce qu’ils ont la queue dans un monde c’est à dire une catégorie et la tête dans une autre) dans des catégories d’ensembles structurés : S-ensembles (« S-sets ») et T-ensembles( » T-sets ») S et T étant les structures par exemple si S est la structure de groupe un S-ensemble est tout simplement un groupe, si T est la structure topologique un T-ensemble est un espace topologique :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Les groupes sont organisés en catégorie en prenant comme flèches les homomorphismes entre les ensembles ayant la structure de groupes qui dont les morphismes (applications) respectant la structure de groupe si S est la structure de groupe ce sont des applications que Samuel nomme « S-mappings »
Si T est la structure topologique , ce que Samuel appelle « T-mappings » sont les homomorphismes de ce qui est maintenant appelé « catégorie des espaces topologiques » et ces morphismes sont les fonctions continues entre deux espaces topologiques:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Continuité_(mathématiques)

c’est à dire les applications telles que l’image inverse d’un ouvert ( de la topologie de l’ensemble cible) est un ouvert ( de la topologie de l’ensemble source)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie

Les cas précédents de S-mappings et T-mappings sont des homomorphismes car on reste à l’intérieur d’une même structure (d’une même catégorie)
Par contre dès 1948 Pierre Samuel conçoit ce qui est maintenant appelé (par David Ellerman qui est le Grand Maître de cérémonie de ces sortes d’êtres mathématiques ) : hétéromorphismes ou chimères. Il les appelle S-T mappings ce sont des flèches qui envoient un S-ensemble sur un T-ensemble en étant compatible avec les deux structures S et T.
On connaît en mathématiques des êtres , appelés groupes topologiques ,ayant à la fois les deux structures S et T, avec en plus certaines conditions de compatibilité entre les deux structures, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_topologique

et ces groupes topologiques peuvent bien sûr etre organisés en une catégorie ( sinon ça se saurait) ayant comme flèches les (homo)morphismes respectant la structure de groupe topologique. Quelle est le lien entre ce que Pierre Samuel appelle S-T-mappings et ces (homo)morphismes de la catégorie des groupes topologiques ? Il faut bien voir que ce n’est pas la même chose car les S-T-mappings sont des hétéromorphismes, liant un S-ensemble ( un groupe) à un T-ensemble ( un espace topologique) , alors que les morphismes entre groupes topologiques sont des homomorphismes.
Nous sommes ici au coeur d’un problème philosophique important, celui de ce que David Ellerman appelle hétérophobie, ou « traitement hétérophobique, privilégiant les homomorphismes « , dans la mathématique classique, celle de Mac Lane notamment.
Pierre Samuel avait bien noté en 1948 que la composition d’un hétéromorphisme (« S-T-mapping ») avec un homomorphisme (« T-mapping ») est un hétéromorphisme.
Ici je dois signaler un important problème de notation : dans l’article que nous lisons actuellement Ellerman utilise pour les hétéromorphismes la flèche classique → alors que dans l’autre article il utilise la double flèche :
⇒ Je m’en tiendrai à ce dernier usage pour des raisons de cohérence.
Le problème universel tel que présenté par Pierre Samuel fait appel aux hétéromorphismes (« S-T-mappings »), on part d’un S-ensemble E, et pour tout hétéromorphisme (  » S-T-mapping »dans la terminologie de Samuel) :
φ : E ⇒ F
Vers un T-ensemble F on se pose le problème de définir un procédé canonique ( c’est à dire un foncteur en termes modernes) associant à φ un hétéromorphisme:

φ0 : E ⇒ F0

De manière telle que l’on ait un homomorphisme unique (universalité)de T-ensembles:

F0 → F
Faisant commuter le tout: (page 7)

F*φ0= φ
En notant* la loi de composition des morphismes.

Seulement Samuel ne voit pas le problème dit co-universel, dual du précédent (obtenu en renversant le sens de flèches) voir page 7, c’est pouquoi il passe de peu à côté de l’adjonction.
Aux paragraphes 7 et 8 suivants, pages 8 et 9, David Ellerman analyse l’oubli dit « hétérophobe » des hétéromorphismes dans les stades ultérieurs de la théorie des catégories et distingue semble t’il deux périodes dans la carrière de Mac Lane, que je ne connais pas assez bien pour confirmer ses dires.
Ainsi page 9 il analyse l’instrument des « Universal arrows  » d’un objet vers un foncteur dû à Mac Lane comme  » heterophobic device » , selon une définition ne faisant pas appel à la notion d’hétéromorphisme (« het-free »)
Alors que Mac Lane définissait au début des hétéromorphismes qui sont maintenant appelés cônes et qui apparaissent, en prenant leur « limite » , dans des constructions universelles telles que le produit de deux objets ( cf page 8)

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La nouvelle caractérisation de l’adjonction par Bodo Pareigis

Toujours l’article de David Ellermen (paragraphe 5 page 5 à 7) sur  » Mac Lane, Bourbaki (Pierre Samuel et l’adjonction »:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Le même que nous avons abordé dans l’article précédent de ce blog:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/mac-lane-bourbaki-et-la-theorie-de-ladjonction/

Le livre de Pareigis  » categories ans functors », qui selon Ellerman est le seul
Jusqu’à maintenant à faire appel à la notion de Het-bifoncteur, est lisible ici sur le web:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/
La notation au début du paragraphe 5 d’Ellerman est assez embrouillée, A et B sont des objets de deux catégories C et D , à partir desquelles Pareigis définit une nouvelle catégorie ν(C, D) qui a pour collection d’objets l’union disjointe des collections d’objets de C et D ( c’est à dire l’union ensembliste de ces deux collections m, en comptant deux fois les objets communs aux deux collections:https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Réunion_disjointe )et comme flèches des morphismes de trois sortes: les (homo)morphismes dans les catégories C et D et les hétéromorphismes entre des objets de C et D. Pareigis appelle cette nouvelle catégorie « la catégories directement connectée ν(C,D)avec pour connections l’ensemble des morphismes entre les objets A et B dans la catégorie ν, ensemble noté Morν(A,B). Ellerman fait la liaison avec « Higher topos theory » de Jacob Lurie qui est notre grand chantier sur les blogs de la mouvance Henosophia:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Cette catégorie ν(C,D) serait appelée par Lurie (page 96 du livre ci dessus) cographe d’un bifoncteur H:

H: Cop × D ;rarr; Ens
et notée:

C ⋆H D

Pareigis appelle connection un bifoncteur d’hétéromorphismes ( sans utiliser ce terme »hétéromorphismes »):

W : Xop × A → Ens

Bifoncteurs appelés plus traditionnellement distributeurs, ou profoncteurs, ou correspondances.

Signalons que ce genre de catégories répond à une question que je me pose quant à moi régulièrement : celle des categories ayant plusieurs sorte des morphismes, se composant entre eux à l’intérieur d’une meme classe mais aussi entre deux classes différentes, ici nous avons trois classes les homomorphismes à l’intérieur de l’une des deux catégories C ou D et les hétéromorphismes entre C et D ( à ne pas confondre avec les foncteurs comme nous l’avons déjà vu) c’est la première fois que je trouve un exemple de ce genre de « nouvelles catégories » que je considère comme particulièrement intéressantes car répondant mieux à certains besoins scientifiques ou philosophiques.
L’idée de base de la « nouvelle caractérisation de l’adjonction chez Pareigis » est expliquée par Ellerman page 6 sur 16 de son article : les « situations et problèmes universels » ( » Universal mapping situations ») tournent autour du point suivant: représenter de manière universelle les hétéromorphismes ( entre C et D) à l’intérieur de l’une des deux categories seulement ( ce qui équivaut à la moitié seulement d’une adjonction, moitié à laquelle s’est limité Pierre Samuel le membre de Bourbaki en 1948) ou bien dans les deux catégories C et D ( ce qui équivaut à une adjonction complète). En 1948 la notion de dualité qui est au fondement de la théorie des catégories ( et qui consiste simplement à inverser le sens des flèches)n,était pas encore entrée dans les mœurs, ni surtou dans les têtes, meme les plus fortes têtes de Bourbaki comme celle de Pierre Samuel; 21 ans plus tard en 1969, c’est tout naturellement que Pareigis suivit le flux de pensée décrit par Ellerman page 6 sur 16, en ne se contentant pas comme Pierre Samuel de s’arrêter à mi chemin , c’est à dire au problème universel (« Universal mapping problem ») dont la solution pour tout objet x de X amène à un foncteur F: X → A
donnant un isomorphisme naturel ( c’est à dire canonique, pouvant être étendu par un procédé fixé à toute la catégorie):

HomX[F(x), a] ≅ Het(x,a)
Première partie de l’équation, représentation à gauche du bifoncteur Het à laquelle en est resté Pierre Samuel en 1948,parce qu’il n’a pas eu l’idée d’aborder le problème co-universel, dual du précédent: celui d’une représentation à droite du bifoncteur Het:

Het (x,a) ≅ Hom X(x, G(a))

pour a donné dans A
Pareigis quant à lui en 1969 passe bien au problème dual en inversant ce qu’il appelle la connection, c’est à dire en s’intéressant à un bifoncteur:

Dop × C→ Ens

avec une catégorie directement connectée ν(D,C) qu’il note ν´(C,D) et qu’il appelle en anglais « inversely connected category » mais selon Ellerman cela est orthographié à tort « universely connected category »!!!

David Ellerman : théorie hétéromorphique de l’adjonction

Nous accordons ici une grand emporta ce aux travaux de David Ellerman, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/
Car ce chercheur place l’idée d’adjonction au rang le plus important des inventions dont nous sommes redevables à la théorie des catégories, et il donne une explication singulière,d’une clarté remarquable en utilisant la notion d’hétéromorphisme, de l’adjonction.
Cette théorie hétéromorphique de l’adjonction de foncteurs (ou de morphismes dans une 2-catégorie plus générale) est expliquée dans ces articles :

Adjoint functors and heteromorphisms :
http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Et, dans une perspective plus historique :
Mac Lane, Bourbaki, and adjoints :a heteromorphic perspective:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Auxquels il faut adjoindre  » Adjoint brains and functors » qui fait le lien avec les sciences de la vie:

http://arxiv.org/pdf/1508.04036v1.pdf

Ici, nous commencerons avec le paragraphe 3, page 6 à 14, titré  » Heteromorphic theory of adjoints » du premier de ces articles « Adjoint functors and heteromorphisms »
Un hétéromorphisme associe deux objets appartenant à deux catégories différentes, alors qu’un morphisme dans le sens usuel, appelé « homomorphisme », lie deux objets appartenant à une même catégorie attention à ne pas confondre une heteromorphismehétéromorphisme avec un foncteur qui associe à tout objet de la première catégorie un objet correspondant dans la seconde, et à tout morphisme entre deux objets de la première catégorie un morphisme entre les deux correspondants de ces objets dans la seconde catégorie (en respectant de plus la loi de composition des morphismes):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Un morphisme entre deux objets de la même catégorie est X noté par une flèche simple:
x → y
Alors qu’un hétéromorphisme entre un objet x de X et un objet a de la seconde catégorie A est noté par une flèche double :

x ⇒ a
Nous avons déjà analysé le paragraphe 2 du travail de David Ellerman dans deux articles portant sur la notion de bifoncteurs ou de « distributeur » ou « pro foncteurs » ( quand il s’agit de formaliser les propriétés des homomorphismes). On peut de meme formaliser les propriétés des hétéromorphismes dans le cadre des Het-bifoncteurs, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/
( article hélas en mauvais état à cause de mauvaise utilisation des codes html par moi même) et le dernier faisant le parallèle entre Hom-bifoncteurs et Hat-bifoncteurs:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/

Comme il est rappelé page 6 au début du paragraphe 3.1, la définition la plus « classique » de l’adjonction passe par un isomorphisme « naturel » ( ce qui signifie qu’un tel isomorphisme peut être étendu à toute la catégorie) entre les ensembles d’homomorphismes (« Hom-sets ») et toute l’utilité de l’intervention des hétéromorphismes est expliquée par l’équation page 4:
HomA( Fx,a) ≅ Het(x,a) ≅ HomX(x,Ga)
Sous cette forme il est aisé de déceler la direction de l’adjonction : F est adjoint à gauche, car à gauche dans le premier membre de l’équation et G est adjoint à droite :la direction va aussi de X vers A.
Ceci se note, rappelons le:

F⊣G
L’équation ci dessus se lit aussi : le bifoncteur Het est représentable à gauche et à droite (cf page 4).
Le bifoncteur Het est le suivant:

Het: Xop× A → Ens
et envoie un couple d’objets (x,a) sur l’ensemble des hétéromorphismes liant x à à: x ⇒ a

Foncteurs adjoints et hétéromorphismes : les Het-bifoncteurs

L’article précédent sur le sujet extrêmement important de l’adjonction et des Foncteurs adjoints était celui ci:

 

<a href="https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/">https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

nous suivons l’exposition de David Ellerman parce qu’elle procure une compréhension tout à fait lumineuse de ce qu’est l’adjonction l’article suivi est le suivant :

<a href="http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf">http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

et il explique au début (en anglais) que l’adjonction est sans doute la notion la plus importante parce qu’elle combine la notion d’universalité (dans ce que l’on appelle UMP : »Universal mapping property » ) et naturalité (dans les transformations naturelles) . Or universalité et naturalité sont les deux « verres grossissant conceptuels  » que fournit la théorie des categories pour aider à voir, à repérer ce qui est important en maths et donc en philosophie .sur les propriétés universelles (UMP) vous avez cet article :

<a href="https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/">https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/

et sur les transformations naturelles celui ci :

<a href="https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/">https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Il y a une notion plus générale ,celle de transformation ( pas forcément naturelle ) qui est expliquée ici à partir de l’action d’un Foncteurs sur une transformation l’étude en parallèle de ces deux derniers articles permet de comprendre la notion de naturalité qui distingue les transformations naturelles des transformations en général , vous pouvez aussi accéder à cette compréhension à partir de celle de ce qu’est un isomorphisme naturel (naturalité isomorphisme ) qui est expliqué en détail ( en anglais) dans la page Wikipedia en anglais  » natural transformations ):

<a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation

(lire le troisieme paragraphe  » Unnatural isomorphisme » après les exemples .

cela correspond aussi à la notion de flèche canonique ou structurelle ( canonial m’appelle, structure m’appelle) qui est expliquée ici:

<a href= »https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map »>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map</a>En gros un morphisme entre deux objets est dit « natural » ou « canonique » s’il émerge « naturellement » de la définition de ces objets et peut être étendu à tous les objets de la catégorie pour définir ce qui est appelé une « transformation naturelle « , définie au niveau de toute la catégorie . Si l’on a pu définir un tel morphisme canonique au niveau d’un couple d’objets , on saura le définir au niveau de tous les autres couples . Un morphisme  » non naturel » sera donc « contingent » , inventé pour un couple particulier mais n’émergeait pas « naturellement  » des définitions théoriques . Lire l’exemple  » opposite group » pour comprendre encore mieux ..rien ne vaut les exemples pratiques et je vous signale que le déterminant d’une matrice en algèbre linéaire est un exemple de transformation naturelle lire le livre de Michael Barr et Charles Wells : »Toposes, triples and theories » où c’est expliqué : voir ce lien:

<a href="http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf">http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf

Foncteurs adjoints : hétéromorphismes et homomorphismes

Nous poursuivons l’étude du travail de David Ellerman sur la théorie des foncteurs adjoints et de l’adjonction qui est avec l’universalité l’un des thèmes les plus importants et les plus spécifiques de la théorie des catégories:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Un (homo)morphisme est un morphisme, une flèche, entre deux objets d’une même catégorie, qui est (dans le cas des catégories concrètes) une collection d’entités mathématiques partageant la même structure reliées par des (homo)morphismes conservant la structure : ainsi dans le cas de la catégorie Grp des groupes les (homo)morphismes sont les flèches envoyant l’élément neutre du groupe source sur l’élément neutre du groupe cible, et telles que l’image du produit de deux éléments est le produit des images: f(a*b) = f(a)*f(b)

Un hétéromorphismes est une flèche entre deux objets appartenant à des catégories différentes : on appelle aussi un tel hétéromorphismes un morphisme-chimère (« chimera-morphism ») ou doit on traduire morphisme chimérique ?
On les note avec des flèches à double trait:
Si x est un objet de la catégorie X et a un objet de la catégorie A différente de X on note un hétéromorphisme allant de a vers b:

x ⇒ a

Les hétéromorphismes ne se composent pas entre eux, mais peuvent se composer à droite ou à gauche avec un homomorphisme pour donner un autre hétéromorphisme.
Ainsi dans le cas ci dessus, si y ——> x est un homomorphisme dans la catégorie X, le composé de l’heteromorphisme avec cet homomorphisme est un autre hétéromorphisme:

y ⇒ a

Notons Het(x,a) l’ensemble des hétéromorphismes de x vers a

Het(x,a) = {x ⇒ a}

On obtient alors un bifoncteur Het:

X_op x A —–> Ens

exactement comme pour les bifoncteurs Hom dans le cas des homorphismes dans A:

Hom : A_op x A —–> Ens

Ainsi par exemple le bifoncteur Het envoie un couple particulier d’objets (x,a) sur l’ensemble des hétéromorphismes {x ⇒ a}