Archives du mot-clé Higher topos theory

Jacob Lurie : Higher topos theory; catégories topologiques et ensembles simpliciaux

J’ai déjà commencé l’étude de ce livre prodigieux, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

Le livre « Higher topos theory » se trouve facilement sur Internet, par exemple ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

À partir de la page 6 du chapitre 1 du livre (page 24 sur 949 du fichier .pdf) Jacob Lurie passe en revue plusieurs cadres possibles pour l’étude des ∞-catégories à commencer par le cadre es catégories enrichies puisqu’une n-catégorie peut être considérée comme enrichie sur la catégorie des (n-1)-catégories, seulement ceci requiert que l’associativité de la composition des flèches soit définie strictement , à une égalité stricte près et non pas à un isomorphisme près, de façon plus « faible » ou « relâchée », comme c’est le cas dans la réalité, ce qui réclamerait de considérer la collection des (n-1)-catégories comme une  n-catégorie, et non pas comme une catégorie, bref la définition des n-catégories fait appel aux n-catégories! Ce qui signifie que cette approche, dite « approche naïve  » , souffre d’un cercle logique.
Jacob Lurie cite cependant deux références utilisant l’approche enrichie et dépassant ses écueils:
1-l’article de Tamsamani sur arxiv:
« On non-strict notions of n-category and n-groupoid via multisimplicial sets »

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006

Et la propre thèse de Lurie  » derived algebraic geometry »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG.pdf

Une autre possibilité, à part l’approche naïve, consiste à définir une ∞-catégorie, comme une catégorie topologique (définition 1.1.1.6 page 7): Jacob Lurie explique les raisons pour cela à la fin de la page 6. Une catégorie topologique est une catégorie enrichie sur la catégorie des espaces topologiques  » faiblement Hausdorff » voir:

http://www3.nd.edu/~mbehren1/18.906spring10/lec02.pdf
Et

https://ncatlab.org/nlab/show/weakly+Hausdorff+topological+space

Rappelons ce qu’est une catégorie enrichie : dans une catégorie ordinaire, la collection des flèches entre deux objets quelconques est un ensemble, c’est à dire un objet de la catégorie Ens. Une catégorie est dite enrichie sur une catégorie C si la collection des flèches entre deux objets est un objet de la catégorie C.
Mais là encore des difficultés apparaissent expliquées par Jacob Lurie au paragraphe 1.1.2 page 7: l’associativité de la composition des morphismes dans le monde des (∞’ 1)-catégories, de la « Higher category theory » est seulement à l’homotopie pres, alors que pour les catégories topologiques on a une associativité qui est une égalité stricte , et non pas à un isomorphisme ou à une homotopie près. On a l’égalité stricte :
(fg)h = f(gh) et non pas :
(fg)h ≊ f(gh),
Le signe ≊ voulant dire  » à un isomorphisme près ».
Vers la fin de la page 7 Jacob Lurie cite différents types de catégories qui sont plus abordables et flexibles que les catégories topologiques comme candidats pour former le cadre da la théorie des (∞,1)-catégories: ainsi par exemple les catégories de Segal, ou les « model categories » pour lesquelles il cite des références.
Mais dans ce livre, Jacob Lurie a choisi comme cadre les quasi-catégories étudiées par André Joyal qui sont identiques aux complexes de Kan (« weak Kan complexes »):

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/12/14/joyal-notes-on-quasi-categories/

Les quasi-categories sont aussi appelées logoi:

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/JOYAL/Joyal.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/logos

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

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Cohesive ∞-topoi

J’ai parlé à la fin du dernier article sur les « adjoint triples and quadruples » de cette note d’Urs Schreiber sur n-category cafe:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

La définition rigoureuse de la notion de « gros topos » est donnée ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

En gros (c’est le cas de le dire) il s’agit d’un topos dont chaque objet F a pour correspondant un topos, appelé « petit topos », 

P(F) qui est un espace où l’on peut faire de la géométrie ( se rappeler qu’un topos peut être vu comme la généralisation d’un espace topologique, c’est à dire un ensemble de points muni d’une topologie, qui est une collection de parties (de sous ensembles)appelées « ouverts »,  de cet ensemble, collection obéissant à certaines conditions, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Noter que dans le gros topos le petit topos associé à l’objet terminal 1, soit P(1) est appelé « topos des points » du gros topos (notion à garder en mémoire):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

La note d’Urs Shreiber donne un exemple précis de quadruplet de foncteurs en adjonction (adjoint quadruple) dont nous avons parlé dans l’article récent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

f! ⊣f * ⊣ f * ⊣ f !

Le foncteur principal Γ d’un topos cohésif E est appelé foncteur  » section globale » c’est un morphisme géométrique :

Γ: E → S où S est le topos des ensembles et ce foncteur associeà un objet X du topos E, qui est un espace, l’ensemble Γ(X) des points de cet espace X c’est à dire la pure multiplicité de ses « points ».
Quelques précisions ici sur les notations employées : dans l’article de n-category cafe ou de Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

qui est en anglais on emploie la lettre S pour Set, qui veut dire « ensemble », mais en francais cela risque d’introduire une infusion puisque la lettre qui correspond à  » Ensemble » est justement E, et non plus S. Nous introduirons donc les lettres H (comme Henologie ou Henosophia) à la place de E pour un topos cohésif et O(comme Ontologie) à la place de S et noterons ce foncteur section globale:

Γ : H → O
Où O est le topos Ens des ensembles qui , selon la doctrine de Badiou dans l’Etre et l’événement , correspond à l’ontologie qui traite de la multiplicité pure  » sans Un » , qui est ici la multiplicité pure des points de l’espace, en oubliant la cohésion .
Une première adjonction est :

Disc ⊣ Γ
(Γ est adjoint à droite de Disc)
Où Disc est le foncteur qui envoie un ensemble de points ,pure multiplicité sans cohésion, sur la meme multiplicité mais structurée par la topologie discrète ( dans le cas d’une structure topologique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie_discrète

Rappelons qu’une topologie sur un ensemble X de points consiste en une collection de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions, sous-ensembles appelés « ouverts ». Cette topologie discrète est en même temps la topologie maximale possible : tout sous ensemble est un ouvert.
La topologie minimale, la plus « grossière », est appelée « codiscrete » : seuls l’ensemble vide (sans aucun point) et l’ensemble total sont des ouverts, ce qui est toujours le cas dans toute topologie.
Le foncteur Codisc, envoyant un ensemble de points sur la structure codiscrete définie sur cet ensemble, correspondant est adjoint à droite du foncteur Γ.
Enfin un quatrième foncteur Π vient s’ajouter aux trois précédents:

Π : H → O (voir le rappel sur nos notations plus haut: O comme  » Ontologie »est le topos des ensembles, du multiple pur « sans Un, sans cohésion  » et H comme  » Henosophia » est le topos cohésif.
Ce foncteur est un peu plus compliqué : dans le cas n= 1 il envoie un espace sur ses composantes connexes, et pour les niveaux supérieurs cela se généralise à la « truncation de niveau (n-1) du groupoide fondamental :

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid

Qui a pour objets les points de l’espace de départ (de l’ensemble de points) X et pour morphismes les  » chemins » d’un point à l’autre, définis à une homotopie près.
Le groupoide fondamental est une généralisation du groupe fondamental d’un espace topologique et ces deux notions se généralisent d’un espace topologique à un topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+group+of+a+topos
Ce foncteur Π est adjoint à gauche du foncteur Disc.
Nous avons donc une série de trois adjonctions entre les quatre foncteurs définis , ce qui répond bien à la définition d’un quadruplet (« adjoint quadruple »):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Ce quadruplet est la généralisation cherchée d’un morphisme géométrique, et il est orienté tout comme un morphisme géométrique qui est une paire de foncteurs adjoints. L’orientation va de H (topos cohésif, hénosophique) vers O ( topos des ensembles, ontologique ) et c’est ainsi que Lawvere définit les topoi cohésifs.
La seconde partie de la note d’Urs Schreiber titrée  » A remark on Lawvere’s work » est extrêmement importante, en voici les extraits cruciaux:
« He is really at heart a physicist, in the following sense: he is deeply interested in the mathematical model building of reality He is searching for those structures in abstract category theory that do reflect the world. He is asking: What is a space in which physics can take place? Concretely: What is the abstract context in which one can talk about continuum dynamics? I gather even though he is an extraordinary mind, he did not push beyond continuum mechanics, otherwise he would also be asking: What is the abstract context in which quantum field theory takes place? »

(Lawvere réputé comme un logicien, a d’abord pour préoccupation la physique, en s’arrêtant à la mécanique sans aborder le domaine quantique)

Puis
« As Jacob Lurie says rightly: Higher category theory is not theory for its own sake, but for the sake of other theory. And fundamental theoretical physics is all about scanning the space of theories for those that fit reality (as opposed to the physics that most theoretical physicists do, which is scanning the phenomena of one fixed theory.) »
Et enfin la fin de l’article :

« I wish there were more people like Lawvere around, with his perspective on the general abstract basis of everything and at the same time with the overview over modern derived ∞-topos theory and the understanding that the richer structure people are seeing in these is Lawvere’s observation that reality springs out of topos theory taken to full blossoming: reality springs out of ∞-topos-theory »

Ces deux deux dernieres observations font ressortir l’exceptionnelle importance de la  » higher topoi theory » de Jacob Lurie qui n’est pas du tout une généralisation pour le plaisir de « faire compliqué » mais comme dit Schreiber:
 » a full blossoming of topos theory « d’où jaillit la Rélité » ( « reality springs out of ∞-topos-theory »)
J’ai déjà commencé à étudier le « magnum opus » de Jacob Lurie  » Higher topos theory », voir:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Il s’agit d’un travail énorme ( mais moins énorme que celui accompli par Lurie!) et j’espère avoir montré ici qu’il ne s’agit pas d’un jeu gratuit ayant pour but de fuir la réalité insupportable qui est la nôtre (celle de l’Europe de nouveau en guerre 70 ans apres 1945) dans de creuses et vaines abstractions mais justement d’un souci de la Réalité qui comme le dit Shreiber « jaillit de la théorie des topoi et surtout de sa pleine floraison : la théorie des ∞-topoi »
La Réalité ce n’est pas le « plan vital » de l’actualité et de l’Histoire mais le plan spirituel qui est celui où vivent les « clercs véritables » (tels Jacob Lurie) que Julien Benda appelait en 1927 de ses vœux:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/julien-benda-la-trahison-des-clercs/

« Clercs » véritables qui sont « le sel de la Terre » comme le dit l’Evangile:

http://saintebible.com/matthew/5-13.htm

Préface de « Higher topos theory » : n-champs (« n-stacks »)

image

Sur mathoverflow (un site de dialogues où l’on peut poser des questions, aussi intéressant que mathstackexchange) on trouve des tas de pages passionnantes, dont ces deux sur le sujet des catégories supérieures (« Higher category theory »):

http://mathoverflow.net/questions/185997/why-higher-category-theory

Why Higher category theory? (Pourquoi les catégories superieures?)

Il y a plusieurs réponses mais le premier internaute qui répond lui conseille de lire la préface de « Higher topos theory ».

Un autre (David Corfield) lui signale deux sens du mot « Higher » :
– Au sens des (∞,1)-catégories (qui est celui retenu par Jacob Lurie dans son livre)
– au sens des n-catégories.
Il y a d’ailleurs une discussion portant sur Mathoverflow (où interviennent Jacob Lurie, David Corfield, Urs Schreiber, John Baez et d’autres) ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192

Une autre page de Mathoverflow porte sur Jacob Lurie lui même et sur ses idées-clefs (« key insights »):

http://mathoverflow.net/questions/37825/what-are-jacob-luries-key-insights

L’un des intervenants signale comme source de ces idées la prise au sérieux des travaux de Grothendieck, notamment « A la poursuite des champs » (« Pursuing stacks ») qui est disponible sur Internet mais c’est un fichier tellement énorme que je ne suis pas arrivé à le télécharger sur ma tablette.
Un autre dit qu’il ne croit pas aux « super-héros » en mathématiques, mais aux « super-idées », ce qui est très juste, mais il y a une difficulté pour accéder aux « super-idées » de gens comme Grothendieck ou Lurie : la forme technique souvent extrêmement exigeante qui constitue le « revêtement » de ces idées.

La préface de « Higher topos theory »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

s’étend des pages 7 à 15 (sur un total de 949 pages).

Page 9 Lurie se réfère effectivement à Grothendieck et à une lettre de lui à Quillen où il affirme qu’il devrait exister une théorie des n-champs (« n-stacks ») pour tout n entier positif ou nul.
Cette théorie des n-champs sur un espace X devrait être pensée comme « faisceau de n-types » (« sheaf of n-types ») : dans le cas où X est un point (et si l’on se restreint aux champs de groupoides) cette théorie devrait retrouver la théorie de l’homotopie classiquedes n-types.
Dans le cas n=0, un n-champ sur un espace topologique X est simplement un faisceau d’ensembles sur X, et la collection de ces faisceaux est le topos de Grothendieck paradigmatique:

Sh(X)

Que nous avons déjà expliqué

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Jacob Lurie précise d’ailleurs page 14 que le mot « topos » voudra toujours dire « topos de Grothendieck ».

Lurie se pose trois questions dans la préface:

« Que doit on entendre par « faisceau de n-types? » , la réponse fait l’objet du livre.
Cette réponse permet de répondre aux deux suivantes:
La collection notée :

Sh≦n(X)

de ces faisceaux de n-types sur X possède la structure de ce que Lurie appelle

∞-catégories

et dont il fait la théorie au chapitre 1.

Enfin cette ∞-catégorie

Sh≦n(X)

est un exemple de

(n+1)-topos

c’est à dire une ∞-catégorie qui satisfait des axiomes analogues (pour les catégories supérieures) à ceux de Giraud pour les topoi de Grothendieck (cf chapitre 6).

Jacob Lurie, continuateur de Grothendieck

Les propos tenus au CERN en 1972 par Alexandre Grothendieck, voir:

Allons nous continuer la recherche scientifique?

sont tout à son honneur puisqu’il parle et pense contre lui même, et sont la preuve d’une intégrité morale sans limites, et bien rare en ce monde, que ce soit en 1942, en 1972 ou en 2015, mais nous avons vu qu’on ne doit pas les prendre au pied de la lettre: il est impossible qu’il ait employé son existence, de 1945 où à la sortie de la guerre et des camps d’internement (où il était détenu comme apatride, son père anarchiste juif ayant été assassiné par les nazis) il commence à se « former » en mathématiques (largement tout seul) et 2014 année de sa mort, à une œuvre aussi gigantesque et ardue que celle qu’il laisse, pratiquement impossible à comprendre même pour des professionnels de très haut niveau.
Et pourtant certains mathématiciens y sont arrivés, et ont repris le flambeau, comme Jacob Lurie dont voici la page dans le NLAB:

nLab : Jacob Lurie

La différence est que Jacob Lurie est encore très jeune (mais il est vrai aussi qu’il n’a pas connu les événements tragiques qu’a connues Grothendieck).

A cet âge il a eu le temps d’écrire, entre autres, ces deux livres qui représentent une avancée immense dans le domaine des n-catégories et des n-topoi:

Higher topos theory (près de mille pages, et ce n’est pas de la littérature de gare, mais une matière d’une difficulté extrême):

Jacob Lurie: Higher topos theory

et « Higher algebra » (1178 pages):

Jacob Lurie : Higher algebra

tout cela à disposition gratuitement de n’importe qui sur la planète !!

Encore une fois, et Grothendieck a raison de le dire, il ne faudrait pas croire que par ce qu’ils sont géniaux, ces personnes sortent ces immenses travaux comme en se jouant. Il y faut énormément de travail et de réflexion.

D’autre part nous avons le contre-exemple d’Einstein qui certes était un génie, mais pas en mathématiques où il n’avait aucune facilité. Mais il avait besoin d’apprendre et de connaître sur le bout du doigt l’algèbre tensorielle, pour les besoins de sa physique de la Relativité générale, et il n’a pas eu d’autre solution que de travailler énormément.

S’il n’y avait pas dans la mathématique et la physique mathématique autre chose qu’un jeu formel de signes ou qu’une prouesse intellectuelle, croyez vous que toutes ces personnes auraient eu le courage, l’énergie, d’accomplir un tel travail surhumain ?

Non, comme le dit Badiou, la mathématique est une pensée, mais contrairement à ce qu’affirme Badiou il ne s’agit pas de la pensée de l’Etre en tant qu’être, de l’ontologie.

Il s’agit de la pensée selon l’un qui selon Brunschvicg ramène vers Dieu alors que la pensée selon l’être en éloigne:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/heritage_de_mots_idees/heritage_de_mots.html

« Reconnaissons donc qu’il y a dans l’effort intellectuel du savant, dans la réflexion critique du philosophe, une vertu de désintéressement et de rigueur avec laquelle il est interdit de transiger. Au premier abord rien ne nous paraissait plus simple que de conclure de l’horloge à l’horloger ; mais ce qui aurait dû être prouvé pour conférer quelque solidité à l’argument, c’est que le monde est bien une horloge, une machine dont l’ajustement atteste que l’auteur s’est effectivement proposé un but déterminé. Cela pouvait aller sans trop de difficulté tant que l’orgueil humain demeurait installé au centre des choses et rapportait à l’intérêt de notre espèce les aspects multiples et les phases successives de la création. Il n’en est plus de même aujourd’hui. Plus s’élargit l’horizon qu’atteignent nos lunettes et nos calculs, plus aussi l’univers, théâtre de combinaisons élémentaires aux dimensions formidables, s’enfonce dans ce silence d’âme qui effrayait, sinon Pascal, du moins son interlocuteur supposé. Le Deus faber, le Dieu fabricant, auquel se réfère l’anthropomorphisme de Voltaire, est décidément fabriqué de toutes pièces…..

….Dieu ne naîtra pas d’une intuition tournée vers l’extérieur comme celle qui nous met en présence d’une chose ou d’une personne. Dieu est précisément ce chez qui l’existence ne sera pas différente de l’essence ; et cette essence ne se manifestera que du dedans grâce à l’effort de réflexion qui découvre dans le progrès indéfini dont est capable notre pensée l’éternité de l’intelligence et l’universalité de l’amour. Nous ne doutons pas que Dieu existe puisque nous nous sentons toujours, selon la parole de Malebranche, du mouvement pour aller plus loin jusqu’à cette sphère lumineuse qui apparaît au sommet de la dialectique platonicienne où, passant par dessus l’imagination de l’être, l’unité de l’Un se suffit et se répond à soi-même. Méditer l’Être nous en éloigne ; méditer l’unité y ramène…..

….Aucun spectacle n’est plus émouvant que de voir Dieu se dégager des voiles de l’analogie anthropomorphique, devenir en quelque sorte davantage Dieu, à mesure que l’homme se désapproprie lui-même, qu’il se dépouille de tout attachement pour l’intérêt de sa personne, sacrifiant dans le sacrifice même ce qui trahirait une arrière-pensée de consolation sentimentale, de compensation dans un autre monde et dans une autre vie. Celui-là défend l’honneur de Dieu qui peut se rendre ce témoignage :
​J’ai parfumé mon cœur pour lui faire un séjour.
Sans y laisser rien pénétrer qui ait quelque rapport avec la souffrance, l’erreur ou le péché. Le Dieu auquel les mystiques ne demandent plus rien sinon qu’il soit digne de sa divinité, sub ratione boni, ne saurait avoir de part dans ce qui ne ressort pas de l’esprit ; il est au-dessus de toute responsabilité dans l’ordre, ou dans le désordre, de la matière et de la vie. Il est l’idée pure qui rejette dans l’ombre, non seulement l’idole populaire d’un Deus gloriosus que réjouirait l’encens des offrandes et des prières, dont un blasphème parti de terre provoquerait la douleur et la vengeance, mais encore l’image, « sensible au cœur », d’un Dieu apitoyable, qui permettrait à ses fidèles d’en appeler des arrêts de sa justice et tempérerait pour eux les impulsions de sa colère.
Aucun spectacle n’est plus émouvant que de voir Dieu se dégager des voiles de l’analogie anthropomorphique, devenir en quelque sorte davantage Dieu, à mesure que l’homme se désapproprie lui-même, qu’il se dépouille de tout attachement pour l’intérêt de sa personne, sacrifiant dans le sacrifice même ce qui trahirait une arrière-pensée de consolation sentimentale, de compensation dans un autre monde et dans une autre vie. Celui-là défend l’honneur de Dieu qui peut se rendre ce témoignage :
​J’ai parfumé mon cœur pour lui faire un séjour.
Sans y laisser rien pénétrer qui ait quelque rapport avec la souffrance, l’erreur ou le péché. Le Dieu auquel les mystiques ne demandent plus rien sinon qu’il soit digne de sa divinité, sub ratione boni, ne saurait avoir de part dans ce qui ne ressort pas de l’esprit ; il est au-dessus de toute responsabilité dans l’ordre, ou dans le désordre, de la matière et de la vie. Il est l’idée pure qui rejette dans l’ombre, non seulement l’idole populaire d’un Deus gloriosus que réjouirait l’encens des offrandes et des prières, dont un blasphème parti de terre provoquerait la douleur et la vengeance, mais encore l’image, « sensible au cœur », d’un Dieu apitoyable, qui permettrait à ses fidèles d’en appeler des arrêts de sa justice et tempérerait pour eux les impulsions de sa colère.
 »

Or ce dégagement, cette purification de l’idée de Dieu-un hors des voiles de l’analogie anthropomorphique, est infini, et c’est à cette tâche que se vouent des gens comme Einstein, Grothendieck ou Jacob Lurie.

Dieu des philosophes et des Savants, non le Dieu d’Abraham, Isaac, Jacob…ou Jésus Christ.

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