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L’idée de « problème universel » : un important promontoire pour une vision de l’unité de la mathesis

La notion de « problème universel » apparaît déjà chez Wronski où elle voisine avec celles de « loi suprême » et de « Teleiosis » dans la trinomie ou Sainte Trinité des idées de base du système. Voir ici:

Cliquer pour accéder à S0002-9904-1893-00135-3.pdf

l’article  du Professeur Echols « Wronski ´s expansion »où le probleme universel est assimilé à un cas particulier de la  » Loi suprême ».

Ce probleme est très clairement défini et Lagrange (pas le même que celui cité dans l’article précédent)le décrit ici (page 1) avant d’en donner la solution (fichier pdf recopié en bibliotheque de mon blog « mathesisuniversalis2.wordpress.com »):

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/?attachment_id=624

Il existe une page Wikipedia qui explique la notion en termes d’objet initial ou final (notions duales) dans une catégorie :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

« Par suite, demander qu’un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près. En d’autre termes, de telles définitions permettent de se concentrer sur l’essentiel (le comportement de l’objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction.

Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l’existence de l’objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l’objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l’objet.
Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu’il est défini par un problème universel. »

Objet initial et objet final sont deux exemples de limites d’un diagramme ( on les obtient quand on prend la limite ou la colimite du diagramme vide),voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Où l’on signale voir le paragraphe « Définition » que réciproquement toutes les limites peuvent être vues comme des objets terminaux (donc des solutions de problèmes universels)dans une certaine catégorie , celle des cônes dans F, où F est le foncteur correspondant au diagramme dont on cherche la limite.

Wronski est le « cas » de la famille, Echols parle dans l’article cité supra de ses démêlés avec les « savants à brevets » , mais ne nous y trompons pas : c’est un génie absolu , et Balzac ne pouvait pas se tromper dans son admiration fascinée pour ce personnage « l’une des plus fortes têtes de l’Europe » et je ne pense pas que les mathématiciens ( ceux de Bourbaki et après) modernes auraient pu garder ce titre de « problème universel » s’ils n’avaient pas partagé cette admiration, surtout compte tenu de l’importance de l’idée et non plus du mot.Une idée, celle de problème universel, qui semble justement se situer au coeur des débats qui agitèrent le groupe Bourbaki dans les années 50 à propos de la théorie des catégories, qui était apparue en 1945, voire en1942.Cet article de Ralf Kromer porte justement sur ce sujet appartenant à l’histoire des idées: « La machine de Grothendieck se fonde t’elle seulement sur des vocables métamathématiques ? Bourbaki et la théorie des categories dans les années cinquante »

Cliquer pour accéder à smf_rhm_12_119-162.pdf

On y apprend plusieurs choses importantes :

-Samuel Eilenberg avait fui la Pologne très  tardivement , juste avant l’invasion nazie en 1939. Il s’installa aux USA sans problème, grâce à l’aide de la communauté mathématicienne, et travailla avec Saunders Mac Lane, c’est de leurs travaux en commun qu’est issue la théorie des categories en 1942 d’abord, mais surtout  en 1945 avec leur article séminal  » General  theory of natural équivalences ». Les idées de 1942 sont si l’on veut l’insémination, et l’article de 1945 la naissance, ou le baptême de la théorie. Eilenberg ne fut intégré au groupe Bourbaki que vers la fin des années 40. Il semble que Grothendieck grâce à un exposé qui avait été lu en son absence , alors qu’il se trouvait aux USA, avait gagné en grande partie la société des bourbakistes à la nouvelle théorie, qui entretenait des rapports étroits avec ce que Bourbaki appelait « structures » et qui forme la base du structuralisme si en vogue dans les annees 60, mais il se heurta à l’opposition d’André Weil, le mathématicien frère de Simone Weil (morte en1943, mais qui apparaît en compagnie de son frère sur certaines photos du groupe datant de 1938).Finalement ce fut ce dernier  qui gagna, Bourbaki refusa d’intégrer la théorie des catégories et Grothendieck démissionna du groupe.

Il semble qu’un certain article de Pierre Samuel (membre de Bourbaki) en 1948 intitulé « on universal mappings and free topological groups » ait une grande importance pour le sujet qui nous occupe, j’ai en tout cas trouvé plusieurs liens qui l’évoquent et lui accordent une place centrale, en liaison avec la notion de « problèmes universels » ( et je dois d’ailleurs signaler que d’après  l’article ci dessus de Ralf Kromer un thème récurrent de pensée chez Grothendieck  porte sur la commutativité des problèmes universels »(?)
 Il y a d’abord un article important sur le sujet des liens entre philosophie et mathématiques à travers la relation humaine et professionnelle de Jules Vuillemin et Pierre Samuel:

« Pierre Samuel et Jules Vuillemin: mathématiques et philosophie »

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01082189/document

Il s’agit selon son auteur de « présenter une des modalités actuelles possibles de relations entre mathématiques et philosophie » en prenant pour objet d’étude les contributions et réflexions des deux auteurs(Pierre Samuel pour la mathématique et Jules Vuillemin pour la philosophie) sur le concept général de structure et examinant plus précisément la notion de « problème universel ».

Ajoutons que si Vuillemin est défini comme un philosophe, c’est lui qui a écrit « Mathématiques et métaphysique chez  » un livre auquel l’article fait souvent allusion, ce qui n’est guère une coïncidence puisque Descartes est ce philosophe qui le premier a tenté d’appliquer la méthode mathématique en métaphysique.(voir page 2 notamment)

Un autre article qui s’intéresse à Pierre Samuel et au « probleme universel » est dû à David Ellerman que nous connaissons déjà pour ses travaux tournant toujours autour de l’universalité en relation avec l’adjonction des foncteurs :

« Mac Lane, Bourbaki and adjoints : a heteromorphic perspective « 

Cliquer pour accéder à Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

C’est effectivement Ellerman qui utilise la notion d’hétéromorphisme ( flèche entre deux objets situés dans des categories différentes, alors qu’un (homo)morphisme relie deux objets situés dans une même catégorie), pour clarifier la notion d’adjonction et de propriété universelle . Les articles suivants portent sur ses travaux en ce domaine:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/

Dans l’article mentionné ici, David Ellerman , qui fait une plus grande part à l’histoire des idées que les autres, que nous avions étudiés auparavant, part d’une remarque de Mac Lane suivant laquelle Bourbaki a manqué de peu l’invention de l’adjonction en 1948, invention qui est comme nous l’avons vu la plus importante de la théorie des categories:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

Ellerman poursuit en assurant que là encore l’utilisation de la théorie non orthodoxe ( faisant intervenir les hétéromorphismes) permet de clarifier les choses et de comprendre que Pierre Samuel s’est approché d’encore plus près de l’adjonction que l’on ne pourrait le penser à première vue. Car c’est Pierre Samuel qui a rédigé en 1948, non seulement l’article dont je parlais plus haut sur les  » Universal mapping probleme » mais l’appendice au premier jet du traité « Algèbre » de Bourbaki. Il a trouvé la  » left representation solving to a universal  mapping problem » ce qui constitue une première moitié d’une adjonction, la seconde moitié étant une représentation duale , à droite .

Il faut rappeler ici , comme il est précisé dans les deux pages Wikipedia suivantes :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qu’une adjonction peut être vue comme résolution d’un problème d’optimisation , formulation assez générale pour couvrir tous les problèmes rencontrés en mathématiques et en physique (qu’est d’autre la recherche d’extrema d’un lagrangien en physique qu’un problème d’optimisation ?) .

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

« It can be said that an adjoint functor is a way of giving the most efficient solution to some problem via a method which is formulaic. For example, an elementary problem in ring theory is how to turn a rng (which is like a ring that might not have a multiplicative identity) into a ring. The most efficient way is to adjoin an element ‘1’ to the rng, adjoin all (and only) the elements which are necessary for satisfying the ring axioms (e.g. r+1 for each r in the ring), and impose no relations in the newly formed ring that are not forced by axioms. Moreover, this construction is formulaic in the sense that it works in essentially the same way for any rng….

….This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a construction is most efficient if it satisfies a universal property, and is formulaic if it defines a functor. Universal properties come in two types: initial properties and terminal properties. Since these are dual (opposite) notions, it is only necessary to discuss one of them….

The idea of using an initial property is to set up the problem in terms of some auxiliary category E, and then identify that what we want is to find an initial object of E. This has an advantage that the optimization — the sense that we are finding the most efficient solution — means something rigorous and is recognisable, rather like the attainment of a supremum. The category E is also formulaic in this construction, since it is always the category of elements of the functor to which one is constructing an adjoint. In fact, this latter category is precisely the comma category over the functor in question.

....The two facts that this method of turning rngs into rings is most efficient and formulaic can be expressed simultaneously by saying that it defines an adjoint functor…..

….Continuing this discussion, suppose we started with the functor F, and posed the following (vague) question: is there a problem to which F is the most efficient solution?

The notion that F is the most efficient solution to the problem posed by G is, in a certain rigorous sense, equivalent to the notion that G poses the most difficult problem that F solves.[citation needed]

This has the intuitive meaning that adjoint functors should occur in pairs, and in fact they do, but this is not trivial from the universal morphism definitions. The equivalent symmetric definitions involving adjunctions and the symmetric language of adjoint functors (we can say either F is left adjoint to G or G is right adjoint to F) have the advantage of making this fact explicit. »

Rappelons quand même que l’adjonction est orientée : on écrit :

F\dashv G.

pour signifier que le foncteur  F est adjoint à gauche du foncteur  G et G adjoint à droite de F

ce qui est rappelé par le fait que F figure dans le membre de gauche de la famille de bijections qui explicite l’adjonction :

\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)

Noter que le point historique expliqué par Ellerman est mentionné à la fin de la seconde page Wikipedia : portant sur la notion « universal property » :

« Universal properties of various topological constructions were presented by Pierre Samuel in 1948. They were later used extensively by Bourbaki. The closely related concept of adjoint functors was introduced independently by Daniel Kan in 1958. »

En 1948 Bourbaki (via Pierre Samuel) a effectivement manqué de passer de la notion de « propriété universelle  » à celle de foncteur adjoint , ce qui a été réalisé 10 ans plus tard, en 1958, par Daniel Kan dans son article « Adjoint functors » qui est ici :

Cliquer pour accéder à S0002-9947-1958-0131451-0.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kan

La relation entre propriété universelle et adjonction peut aussi s’exprimer par la notion de foncteur représentable ce qui fait entrer en jeu une troisième page Wikipedia (est ce un hasard si ces trois pages sont excellentes ? ce qui n’est pas toujours le cas sur Wikipedia ? l’importance du sujet l’exige! là se trouve résumée toute la philosophie occidentale celle qui figure en notes de bas de pages de Platon selon Whitehead) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

voir le dernier paragraphe « relation to universal morphisms and adjoints »

L’article est déjà assez lourd, nous étudierons l’article d’Ellerman dans un ou des articles suivants, en revenant aussi sur la forme qu’il utilise, celle  des hétéromorphismes , dans ses deux autres papiers et ensuite nous pourrons passer à l’article de Daniel Kan

 

 

 

 

#BrunschvicgRaisonReligion exemples de l’opposition fondamentale plan vital-plan spirituel : La montagne magique de Thomas Mann

Plus j’y pense plus je me rends compte que l’opposition fondamentale expliquée par Brunschvicg au premier chapitre de « Raison et religion », voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/05/19/brunschvicgraisonreligion-les-oppositions-fondamentales-moi-vital-ou-moi-spirituel/

se retrouve un peu partout dans la littérature.

Les deux volumes de « La montagne magique » sont lisibles gratuitement ici:

Tome 1

http://www.ebooksgratuits.com/pdf/mann_la_montagne_magique_1.pdf

Tome 2:

http://www.ebooksgratuits.com/pdf/mann_la_montagne_magique_2.pdf

« La montagne magique » est beaucoup plus que de la « littérature » ou un simple « roman ». Comme le dit Thomas Mann lui même « c’est une œuvre hermétique ».

Je n’hésite pas à le dire: c’est l’oeuvre dont la lecture a changé le sens de mon existence, lui a donné une orientation entièrement différente, par rapport à la petite vie bourgeoise d’ingénieur ou de financier à laquelle me préparait mon éducation scientifique. Or ceci est exactement le cas du « héros » Hans Castorp, fils de famille bourgeoise qui se prépare à devenir ingénieur mais avant de commencer sa carrière vient visiter son cousin Joachim traité en sanatorium à Davos.
En un mot : ce n’est pas une simple lecture, mais une véritable

aventure de l’esprit

, et il est réservé à ceux qui sont disposés à se CONVERTIR et à entrer dans l’aventure.
Or ce n’est pas le cas de tout le monde et j’ai été souvent surpris par la réaction négative de beaucoup de mes « connaissances » à qui j’ai parlé de ma passion pour cette œuvre qui n’ont pas pu dépasser les premières pages. Des ami(e)s travaillant souvent dans le domaine scientifique bien sûr, mais pas seulement, je ne donne les deux liens suivants que pour montrer l’incompréhension qui est le destin de cette œuvre « scellée hermétiquement par sept sceaux »:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/La_Montagne_magique

et

http://antony64.free.fr/mann.html

J’avais moi même écrit deux articles il y a 6 ans:

http://zauberberg.blogg.org

Non, « La montagne magique » n’est pas une simple « histoire d’amour », c’est une histoire initiatique, or l’initiation n’est pas une sorte de « culte » à base de cérémonies mystérieuses : c’est le changement d’orientation, de polarité dont témoigne l’arcane XII du PENDU dans le Tarot : du plan vital vers le plan spirituel.

La polarité entre la « plaine » et la « montagne » que tout lecteur attentif saisira dans les premiers chapitres, entre le HAUT et le BAS, elle est entre le « plan vital » de ceux qui travaillent, fondent une famille dans la plaine, et le plan spirituel que trouvera Hans Castorp tout au long des sept ans qu’il passera au sanatorium alors qu’il y était venu seulement trois semaines en visite.

C’est qu’il avait, comme le dit plaisamment le médecin-chef le docteur Behrens, des « prédispositions à la maladie », alors que son cousin Joachim, qui rêve de retourner dans la « plaine » pour y devenir officier, n’en a pas du tout.
D’ailleurs c’est le cas de la plupart des malades du sanatorium, riches oisifs rentiers d’avant 1914 qui se trouvent être tuberculeux et peuvent mener là une existence de philistins, entièrement dévolue aux plaisirs de la table et peut être à d’autres, qui dégoûtent le très puritain Hans Castorp.
Mais il y a la belle et piquante Russe Clawdia Chauchat, qui trouve « plus moral de se perdre soi même que de vouloir se conserver », ce qui marque un dégoût certain de la vie bourgeoise et du plan vital, mais qui ne suffit pas à désirer l’orientation vers le plan spirituel.
Clawdia et Hans seront amants une seule « nuit de Walpurgis », elle repartira le lendemain pour quelques mois, et reviendra, mais accompagnée d’un milliardaire fascinant plus âgé : Mynheer Peperkorn.
Celui ci, qui symbolise évidemment le plan vital pleinement assumé, se suicidera lorsqu’il se rendra compte que son corps vieillissant ne lui permet plus de mener cette existence dévolue à tous les plaisirs, qu’ils soient sensuels ou « culturels ». Pour rester fidèles à la mémoire de cet homme de tant de poids, Hans et Clawdia prendront la décision du « grand renoncement », et elle repartira définitivement, tzndis que lui devra attendre Août 1914 et la guerre pour être libéré de la « montagne des péchés », pour aller sans doute mourir sous le feu des canons ennemis « dans la plaine ».
Comme je l’ai déjà dit l’opposition entre vital et spirituel n’EST PAS un dualisme, il faut donc un troisième élément pour neutraliser l’opposition si elle est de type dualiste : c’est ce qui arrive avec la polarité entre Léon Naphta le jésuite juif converti au christianisme Léon Naphta, contempteur de la modernité au nom de l’En Haut du Moyen Âge, et le « révolutionnaire » italien Settembrini, l’homme des Lumières.
Les deux ne cessent de se disputer l’âme de Hans, Settembrini le met en garde contre Clawdia « qui est l’ASIE », danger terrible pour l’homme européen qui est l’homme des droits donnés par l’Aufklarung du 18 eme siècle, et voudrait le voir repartir dans la plaine mener une vie d’ingénieur au service de la collectivité et du progrès.
Mais cette opposition est stérile et se terminera par un duel où Sttembrini tire en l’air et Naphta se suicide en le traitant de « lâche ».
L’élément neutre c’est Hans Castorp qui parviendra dans les songes « qu’il gouvernait » à trouver la voie médiane entre le luciférien Naphta et l’ahrimanien Settembrini.
Je fais là allusion à la polarité entre Lucifer et Ahriman (Satan) thématisée par Rudolf Steiner, reprise par Abellio, et qui est tout à fait valable à condition qu’on n’y voit pas, comme Steiner quand il tombe dans le délire anthroposophique, des « entités » spirituelles : ce sont simplement des tendances présentes en tout homme.

Ahriman c’est l’athéisme véritable c’est à dire considérer comme s’il n’y avait que le plan vital.
Lucifer c’est le mépris du plan vital mais au service d’une spiritualité illusoire : toutes les religions positives y tombent, ainsi que les sectes, deux autres luciférismes sont le nazisme et le communisme.

La voie médiane cherchée ici, « HENOSOPHIA τοποσοφια μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια« , est différente de la voie hermétique décrite par Thomas Mann, réservée à de rares élus dont on peut se demander s’ils peuvent exister en notre monde contemporain où la plaine a rejoint la montagne des péchés, puisque Davos est devenu le lieu annuel du rendez vous des « décideurs économiques et politiques » qui mettent en œuvre la mondialisation, c’est à dire l’ahrimanisation et l’extension sans limite du plan vital.

Je suis sérieux en affirmant que la Mathesis est la véritable pensée démocratique (aucun rapport avec la démocratie des élections tous les 5 ans, dénoncée à juste titre par Alain Badiou), à la portée de tout le monde mais sous la condition impérative d’un travail énorme et d’une ascèse vitale et intellectuelle-spirituelle : la « pauvreté en esprit » comme l’appelle Brunschvicg après l’Evangile.
Et je commence à être persuadé que cette pauvreté en esprit doit être accompagnée d’une relative pauvreté matérielle…