Archives du mot-clé Jacob Lurie

L’évolution de « Higher algebra » en 130 ans

Un livre remarquable datant de 1887:

https://www.forgottenbooks.com/en/download/HigherAlgebra_10021865.pdf

La dernière œuvre de Jacob Lurie en 2017, titrée aussi « Higher algebra »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/HA.pdf

Entre les deux, la révolution de l’algèbre moderne , culminant avec l’émergence de la théorie des catégories en 1945:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/HA.pdf

Un bouleversement traduit par cet article opposant Grothendieck à Lautman (élève de Brunschvicg , mort fusillé pour Résistance par les nazis en 1944) et les mathématiques « modernes », qui privilégient le notion de structure et de domaine sur celle de nombre, aux mathématiques « classiques »:

https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/2010-v37-n1-philoso3706/039718ar/

J’éprouve une grande admiration pour SImone Weil, mais dois reconnaître qu’elle s’est totalement trompée en associant l’algèbre à la pensée machinale, c’est à dire à la non-pensée :

https://www.laurentlafforgue.org/textes/SimoneWeilMathematique.pdf

http://pensees.simoneweil.free.fr/armal.html

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/13/simone-weil-science-et-perception-dans-descartes/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/06/16/simone-weil-et-la-mathematique-suite-la-sphere-et-la-croix/

Une fois encore c’est Léon Brunschvicg ( qui fut son professeur à Normale,et qui ne sut pas reconnaître son génie mais elle non plus ne le tenait pas en Haute considération) qui avait raison !

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Le blog du Professeur John Armstrong : « The unapologetic mathematician »

J’ai déjà précisé que les blogs  » Henosophia Toposophia Mathesis universalis » ne doivent pas être considérés comme des blogs de mathématique ou de science ni meme de philosophie, mais cela n’implique de ma part aucune prise de distance ou attitude hautaine envers ces blogs de professionnels des maths, bien au contraire, je les admire pour leur rigueur de pensée ( les mathématiciens et physiciens mathématiciens je veux dire, pas les philosophes car trop souvent la philosophie de nos jours, surtout sur Internet, se perd dans la brume même pas poétique des jeux de langage ou des termes abscons ( ce qui est aussi le cas des mathématiques, mais là les termes sont clairement et rigoureusement définis). 

L’activité de lecture de ces blogs mathématiques est importante du point de vue de ce blog, car c’est là que se noue un contact irremplaçable avec l’activité mathématique réelle et contemporaine, et d’une autre façon qu’avec les travaux parus sur Arxiv ou dans les livres . Nous en avons déjà recensés trois hier, venant s’ajouter au « n-category cafe » que nous connaissions déjà et en épluchant la rubrique « Blogroll »  ou « links » de ces blogs nous en voyons tout un tas d’autres émerger. Il y a un passage dans l’article du blog de Michael Harris « mathematics without apologies » étudié hier sur lequel je voudrais insister aujourd’hui :

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/13/univalent-foundations-no-comment/

« The same questioner continued: “Is anyone willing to bet against” the prediction that computer-verified proofs will be of “widespread use in mathematics” within 25 years? Lurie immediately replied: “I’ll take that!” to which Richard Taylor added “Yes, me too.” Terry Tao thought that some people, at least, would be using working with computer verification at that point. »

Tous les petits génies des maths questionnés relativisent l’importance de l’intervention des ordinateurs ( assistance pour vérifier les démonstrations par exemple) seul Terence Tao admet que ces techniques pourraient jouer un rôle pour aider à la vérification des preuves ; on enregistre un seul cas où l’aide de l’ordinateur s’est révélée cruciale, jusqu’à aujourd’hui : celui de la démonstration du théorème des quatre couleurs:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_quatre_couleurs

On comprend cette réaction des mathématiciensqui est aussi celle de Roger Penrose: l’unique Sujet à l’œuvre dans la Mathesis, c’est l’Esprit , autrement dit la Raison universelle des esprits, Dieu, qui s’identifie à la liberté et à l’autonomie propre à la conscience humaine et qui est le « plan spirituel » promis au progrès de cette conscience vers la communauté et l’unité des esprits. Or un ordinateur , basé sur le fonctionnement automatique, ne peut être dit libre. En définitive croire comme Marvin Minsky que le  » successeur » à savoir l’ordinateur remplacera un jour l’esprit humain, c’est nier la possibilité de l’autonomie, la possibilité de « devenir l’esprit »: c’est là la racine de tout fascisme , l’islam notamment qui est idolâtrie de la Sharia, de l’hétéronomie.

Toujours dans l’article de « mathematics without apologies »:

« Simon Donaldson made a point (around 30:15) with which most of my colleagues would agree: “One doesn’t read a mathematical paper, what one gets is the idea to reconstruct the argument it’s not that people (generally speaking) would be …checking the logic line by line — they would go and extract the fundamental idea; that’s really the essential thing. »

Là est la différence entre un fonctionnement automatique et le fonctionnement de l’esprit humain, qui saisit directement les idées à l’œuvre dans un texte mathématique. Ce point est très important, et c’est justement pour cette raison qu’il faut lire ces blogs mathématiques, qui se chargent de ce travail d’extraction et de saisie des idées.
Voici un nouveau blog mathématique intéressant dans cette perspective : celui du Professeur John Armstrong « The unapologetic mathematician« :

https://unapologetic.wordpress.com/about/

Un blog important du point de vue de cette saisie des idées ( c’est à dire du plan spirituel) pour « devenir l’Esprit » car il accorde une importance cruciale à la rigueur de la pensée.
Nous avons accordé ici une grande place à l’adjonction, voici quelques articles du blog « Unapologetic mathematician » sur ce thème, qui viennent heureusement compléter ce que nous avons dit ici:

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/16/adjoint-functors/

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/17/the-unit-and-counit-of-an-adjunction/

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/20/limits-are-adjoints/

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/30/transformations-of-adjoints/

Et enfin celui ci qui aborde la notion d’universalité et son lien avec l’adjonction:

https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/19/adjoints-and-universality/

Et ce dernier aborde aussi les catégories enrichies dont nous avons vu les rudiments

https://unapologetic.wordpress.com/2007/09/04/enriched-adjunctions/

Mathematics without apologies : le programme « Univalent foundations »

Qu’il me soit donné ici l’occasion de faire connaître un blog intéressant, créé par Michael Harris, professeur de mathématiques à l’université de Columbia et à Paris-Diderot :

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/about-the-author/
L’article qui a attiré mon attention porte sur le programme des « univalent foundations for mathematics »:

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/13/univalent-foundations-no-comment/

La réaction disons « modérée » des petits génies des maths (dont Jacob Lurie)interrogés sur cette question peut s’interpréter de deux façons, favorable ou défavorable.. Ainsi quand Jacob Lurie répond : » No comment » cela peut signifier qu’il refuse tout « sensationnalisme » et demande de pouvoir creuser la question avant de donner un avis. En d’autres termes, cela peut être une preuve de rigueur intellectuelle et d’honnêteté d’esprit et c’est bien ainsi que je l’interprète…
Même chose pour Terry Tao, dont le blog sur WordPress est ici:

https://terrytao.wordpress.com

On parle ici de ce prodige:

http://www.science-et-vie.com/2015/10/un-prodige-des-maths-resout-une-conjecture-quasi-centenaire-et-bat-lordinateur-a-plate-couture/

mais comme je l’ai déjà dit toute insistance sur le génie individuel va mal avec la philosophie de ce blog, et avec la notion de dés-individuation prônée dans le « Manifeste pour l’autonomie » par André Simha:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/24/brunschvicgintroduction-un-manifeste-pour-lautonomie/
Donc quand je lis ici ces lignes « sensationnalistes » suggérant un « duel au sommet » à propos de la célèbre « conjecture de Goldbach » où intervient aussi Terence Tao le petit prodige qui a paraît il lu (et compris) Grothendieck d’un bout à l’autre:

http://obamaths.blogspot.fr/2013/05/conjecture-de-goldbach-terence-tao.html
J’avoue que je m’inquiète un peu…
Comme le dit très bien André Simha apres Brunschvicg, il n’y a qu’un unique Sujet c’est l’Esprit et la particularité de la Mathesis c’est qu’elle permet de comprendre cela très clairement.et dans le « Manifeste » André Simha, analysant le rôle de la Mathesis dans l’Histoire de l’esprit selon Brunschvicg, comprend le « progrès » comme un progrès de la conscience individuelle vers la « communauté des esprits » dans la recherche rationnelle du vrai et du juste. C’est ainsi aussi que j’interprète les propos de Jésus dans l’évangile selon Thomas (qui malheureusement n’a pas été retenu par l’Eglise, ce qui eut changé l’Histoire):

http://www.naghammadi.org/traductions/textes/evangile_thomas.asp

« Logion 1. Il a dit : Celui qui trouvera l’interprétation de ces paroles ne goûtera pas la mort.

Logion 2. (1) Jésus a dit : 15 Celui qui cherche, qu’il ne cesse de chercher jusqu’à ce qu’il trouve ; (2) quand il aura trouvé, il sera troublé ; (3) troublé, il s’étonnera et il régnera sur le Tout. »

Cela correspond à mon avis à ce que dit Brunschvicg quand il parle de « renoncement à la mort » (à la fin justement de ce livre « Introduction à la vie de l’esprit ») Seul un individu peut mourir mais si je suis parvenu en poussant jusqu’au bout le travail spirituel de la dés-individuation à « devenir l’Esprit », comme nous y appelle Brunschvicg, il ne reste plus d’individu , agrégat de déterminations c’est à dire de négations, qui puisse mourir, disparaître .
Voici en tout cas les archives du blog de Terence Tao (qui exerce ses talents prodigieux en théorie des nombres, l’un des domaines les plus fascinants de la mathématique) sur la conjecture de Goldbach, en passe d’être résolue d’après ce que je sais:

https://terrytao.wordpress.com/tag/goldbach-conjecture/

Venons en maintenant à ce fameux programme de recherche sur les « univalent foundations » inspiré à la fois des travaux de Cantor et Grassman et de ceux de Grothendieck:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Univalent_foundations

Et nous amène à la théorie des « Homotopy types » qui fait l’objet d’un livre:

Homotopy type theory:

The HoTT Book

Et d’un blog:

http://homotopytypetheory.org

et l’on comprend d’après la caractérisation suivante que cela mène directement l’esprit vers les notions d’isomorphisme et d’équivalences en théorie des catégories:

« Homotopy Type Theory refers to a new interpretation of Martin-Löf’s system of intensional, constructive type theory into abstract homotopy theory. Propositional equality is interpreted as homotopy and type isomorphism as homotopy equivalence.  »
L’homotopie est une notion de la topologie,caractérisant une transformation ou  » déformation continue » entre deux fonctions elles mêmes continues reliant deux espaces topologiques ( rappel: une fonction entre deux espaces topologiques est dite continue si l’image inverse d’un ouvert est un ouvert) qui sont dite alors homotopiques:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Homotopy

Voici un exposé Video de Vladimir Voevodsky sur le sujet à l’ Insitute for advanced studios:

https://video.ias.edu/univalent/voevodsky

Qui nous ramène à la « higher category theory »:

« The correspondence between homotopy types and higher categorical analogs of groupoids which was first conjectured by Alexander Grothendieck naturally leads to a view of mathematics where sets are used to parametrize collections of objects without « internal structure » while collections of objects with « internal structure » are parametrized by more general homotopy types. Univalent Foundations are based on the combination of this view with the discovery that it is possible to directly formalize reasoning about homotopy types using Martin-Lof type theories. »
Par un autre raccourci de l’esprit nous voyons apparaître dans la marge de droite le nom de Patricia Crone, récemment décédée, qui a fait avancer l’islamologie moderne dans le même sens que Gallez, c’est à dire vers la compréhension de l’origine humaine du Coran chez les judéo-chrétiens (« Nazaréens »):

https://video.ias.edu/crone-remembrance
on parle de ses travaux dans cet article sur les origines nazaréennes de l’Islam:

http://www.salve-regina.com/salve/Le_mystère_des_origines_de_l’Islam_enfin_éclairci

Il y a bien une cohérence profonde de la Raison  » désintéressée qui aperçoit le Dieu des philosophes et des savants » et de son combat pour l’autonomie donc contre le pseudo -Dieu de l’hétéronomie, de la Sharia ..le travail de la dés-individuation passe aussi par la « dés appropriation parfaite et réciproque de Dieu et de l’homme » que fixe Brunschvicg pour but ultime du travail spirituel et scientifique dans la troisième opposition fondamentale entre le Dieu vraiment divin et le Dieu humain des religions, dans « Raison et religion » , voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/14/brunschvicgraisonreligion-troisieme-opposition-fondamentale-dieu-humain-ou-dieu-divin/

« En essayant d’atteindre Dieu comme cause efficiente du monde, nous nous sommes soumis à l’obligation de proportionner sa divinité à ce que le monde en révèle, avec le risque de dégrader Dieu et de rabaisser en nous son idée. Le Deus artifex sera aussi loin que possible du Deus sapiens qu’on aurait voulu découvrir et vénérer.

Nous touchons le point où un pieux désarroi se manifeste à l’intérieur d’une même tradition ecclésiastique et parfois dans P046 l’œuvre d’un même apologiste. L’effort pour donner un Dieu à la nature en faisant fond sur la causalité se dédouble en explications opposées, qui alternent et mutuellement se ruinent. Tantôt on appuiera sur la ressemblance de l’effet à la cause, et l’on célébrera les merveilles de la nature, signes et reflets d’une gloire divine ; tantôt on mettra en relief le contraste de la cause créatrice et de l’effet créé, on cherchera dans les insuffisances de l’effet, dans sa contingence et sa précarité, la preuve même qu’à la source il y a l’être souverain, nécessaire et absolu.
Cette impuissance dialectique traduit l’angoisse de l’humanité qui consulte l’univers sur Dieu et qui toujours demeure déconcertée et rebutée par l’écart grandissant, à mesure qu’elle observe et réfléchit davantage, entre le monde tel qu’elle l’attendrait d’un Dieu et le monde tel qu’il se manifeste à son regard. L’élan de confiance s’achève en réaction de désespoir lucide.
Nous accorderons donc à la science moderne qu’elle a pu atteindre son but dans le domaine de la nature inanimée, non certes qu’elle ait éliminé le mystère comme on l’a dit imprudemment ; mais elle a résolu, ou plus exactement elle a découvert, assez de problèmes dans des conditions admirablement délicates et imprévues, pour que nous soyons en état de nous donner l’assurance qu’en dehors
de méthodes positives il n’y a pas à entrevoir de salut par la vérité. Il reste cependant certain que l’on compromettrait la portée solide des résultats obtenus par la physique depuis les trois siècles de sa constitution, si on étendait cette conclusion à la biologie. Plus nous devons reconnaître que les diverses opérations de la vie, prises chacune à part, sont régies par les lois chimico-physiques, plus nous devons admirer la coordination qui s’établit entre ces opérations. Elles apparaissent dirigées dans un sens qui, d’une façon générale, coïncide avec la préservation et le développement de l’organisme, présentant dans le choix des moyens une richesse d’invention, une subtilité d’anticipation, faites pour étonner, sinon pour convertir, le sceptique le plus endurci. La finalité rentre ici chez soi, finalité individuelle ou finalité grégaire, comportement tantôt d’apparence simple, tantôt d’une complication réellement invraisemblable, disproportionnée en tout cas aux ressources propres des êtres qui semblent suivre l’impulsion d’un instinct sans avoir la moindre conscience du but auquel tend leur activité. N’est-il donc pas raisonnable de chercher le secret de cette activité hors d’eux et plus haut qu’eux, dans une intelligence transcendante qui soit capable de lire leur avenir en leur passé, d’amener par l’efficacité de sa prévoyance la convergence des mouvements chez chaque unité d’un groupe, leur harmonie dans le sein de l’espèce, la hiérarchie enfin des espèces entre elles ?

…L’ascèse idéaliste permet donc de conclure à l’existence de Dieu comme thèse rigoureusement démontrée si l’on a su retrancher de la notion d’existence tout ce qui tendrait à situer Dieu dans un plan de réalité matérielle où il viendrait, soit s’ajouter, comme chose numériquement différente, à l’ensemble des choses données dans l’expérience du monde, soit se confondre avec lui. Créationisme et panthéisme sont également hors de jeu, parce qu’ils définissent Dieu par rapport à la réalité de la nature. Or il faut, de toute nécessité, que le progrès de la critique ait spiritualisé l’être pour que soit séparé de son image, atteint dans sa pureté, le Dieu qui seul pourra être avoué comme divin.
Cependant il reste un problème capital à trancher. Le Dieu des philosophes, Dieu pauvre, dépouillé, auquel sont refusés tout à la fois la floraison des symboles, l’encens des prières, la majesté des pompes liturgiques, est-il capable de satisfaire l’instinct religieux de l’humanité ? Le mouvement de conversion que nous nous sommes efforcés de suivre, requiert donc, pour s’achever, un élan de désintéressement pratique, capable de renouveler jusque dans sa racine spéculative notre idée de l’âme, d’en assurer l’entière spiritualité….

…Pour nous la leçon est péremptoire. Nous n’attendrons notre salut que de la réflexion rationnelle, portée à ce degré d’immanence et de spiritualité où Dieu et l’âme se rencontrent. Si Dieu est vérité, c’est en nous qu’il se découvre à nous, mais à la condition que Dieu ne soit que vérité. Le péril mortel serait que la profondeur idéaliste souffrît d’être indûment transposée, que l’imagination de l’être réapparût subrepticement qui aurait pour effet inévitable d’assimiler Dieu à un objet quelconque dans le champ de la réalité vulgaire, de transformer dès lors l’intuition d’ordre spirituel en un paralogisme ontologique.
On a beau vouloir mettre la spéculation d’un côté, la pratique de l’autre, tout est compromis du moment que le progrès ne s’accomplit pas à la fois dans l’un et l’autre des deux ordres. A quoi bon répéter la parole qui a traversé les siècles : Dieu est amour, si on allait en altérer immédiatement le sens parce qu’on se représenterait le lien de l’homme et de Dieu sur le modèle du rapport qui s’établit dans notre monde entre personne et personne, entre moi et autrui ? Dieu n’est pas aimant ou aimé à la manière des hommes ; mais il est ce qui aime en nous, à la racine de cette puissance de charité qui nous unit du dedans, de même qu’il est à la racine du processus de vérité qui fonde la réalité des choses extérieures à nous comme il fonde la réalité de notre être propre.
Le service que rend la philosophie à la religion consisterait donc à mettre en évidence que c’est un même progrès de pensée dans le sens du désintéressement et de l’objectivité qui préside à la triple option dont nous nous sommes efforcés de préciser les conditions intellectuelles, qu’il s’agisse de l’homme ou du monde ou de Dieu. L’ennemi sera toujours le mirage de la chose ensevelie dans la matérialité de son expression verbale, qui fait que le moi s’acharne à la vaine poursuite d’une âme dissimulée derrière sa spiritualité, comme d’un Dieu caché par-delà sa divinité. Le réalisme se fait ombre à lui-même.
 »

Et voici le passage le plus important de « Raison et religion »:

« Ce n’est donc pas un hasard, non seulement si le cartésianisme concorde, à l’intérieur même de l’Église, avec le mouvement qui marque la revanche de la théologie augustinienne du Verbe sur la théologie thomiste des intermédiaires, mais si avec le Traité théologico-politique et l’Éthique la voie royale de la spiritualité s’est trouvée définitivement ouverte. Peut-être le souvenir de certains Marranes, chez qui les frontières de culte entre juifs et catholiques tendaient à s’effacer au profit de la communauté de sentiment, avait-il contribué à détacher Spinoza de tout préjugé particulariste. En tout cas, à travers le langage substantialiste et l’appareil euclidien, qui pourraient à chaque instant donner le change sur la tendance profonde du système, s’accomplit la désappropriation réciproque et parfaite de Dieu et de l’homme. Le Dieu infiniment infini n’est pas seulement dégagé de toute image plastique suivant le commandement du Décalogue, mais, ce qui est beaucoup plus important et plus rare, affranchi de toute image psychologique. Dès lors nous ne pouvons plus accepter que nous soyons un autre pour lui, et il cesse d’être un autre pour nous. Il n’est pas la puissance supérieure vers laquelle se tourne l’être qui dure, et qui prie pour être soustrait aux lois de la durée. Il est la vérité éternelle en qui une âme pensante acquiert le sentiment et l’expérience intime de l’éternité de la pensée. Ni le soleil ni la mort ne peuvent se regarder fixement, considérés avec les yeux du corps ; mais l’homme dont on peut affirmer sans mentir qu’il est deux fois né, l’astronome d’après Copernic, le philosophe d’après Spinoza, aura la force de les envisager avec les « yeux de l’esprit que sont les démonstrations ». »

Jacob Lurie : Higher topos theory; catégories topologiques et ensembles simpliciaux

J’ai déjà commencé l’étude de ce livre prodigieux, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

Le livre « Higher topos theory » se trouve facilement sur Internet, par exemple ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

À partir de la page 6 du chapitre 1 du livre (page 24 sur 949 du fichier .pdf) Jacob Lurie passe en revue plusieurs cadres possibles pour l’étude des ∞-catégories à commencer par le cadre es catégories enrichies puisqu’une n-catégorie peut être considérée comme enrichie sur la catégorie des (n-1)-catégories, seulement ceci requiert que l’associativité de la composition des flèches soit définie strictement , à une égalité stricte près et non pas à un isomorphisme près, de façon plus « faible » ou « relâchée », comme c’est le cas dans la réalité, ce qui réclamerait de considérer la collection des (n-1)-catégories comme une  n-catégorie, et non pas comme une catégorie, bref la définition des n-catégories fait appel aux n-catégories! Ce qui signifie que cette approche, dite « approche naïve  » , souffre d’un cercle logique.
Jacob Lurie cite cependant deux références utilisant l’approche enrichie et dépassant ses écueils:
1-l’article de Tamsamani sur arxiv:
« On non-strict notions of n-category and n-groupoid via multisimplicial sets »

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006

Et la propre thèse de Lurie  » derived algebraic geometry »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG.pdf

Une autre possibilité, à part l’approche naïve, consiste à définir une ∞-catégorie, comme une catégorie topologique (définition 1.1.1.6 page 7): Jacob Lurie explique les raisons pour cela à la fin de la page 6. Une catégorie topologique est une catégorie enrichie sur la catégorie des espaces topologiques  » faiblement Hausdorff » voir:

http://www3.nd.edu/~mbehren1/18.906spring10/lec02.pdf
Et

https://ncatlab.org/nlab/show/weakly+Hausdorff+topological+space

Rappelons ce qu’est une catégorie enrichie : dans une catégorie ordinaire, la collection des flèches entre deux objets quelconques est un ensemble, c’est à dire un objet de la catégorie Ens. Une catégorie est dite enrichie sur une catégorie C si la collection des flèches entre deux objets est un objet de la catégorie C.
Mais là encore des difficultés apparaissent expliquées par Jacob Lurie au paragraphe 1.1.2 page 7: l’associativité de la composition des morphismes dans le monde des (∞’ 1)-catégories, de la « Higher category theory » est seulement à l’homotopie pres, alors que pour les catégories topologiques on a une associativité qui est une égalité stricte , et non pas à un isomorphisme ou à une homotopie près. On a l’égalité stricte :
(fg)h = f(gh) et non pas :
(fg)h ≊ f(gh),
Le signe ≊ voulant dire  » à un isomorphisme près ».
Vers la fin de la page 7 Jacob Lurie cite différents types de catégories qui sont plus abordables et flexibles que les catégories topologiques comme candidats pour former le cadre da la théorie des (∞,1)-catégories: ainsi par exemple les catégories de Segal, ou les « model categories » pour lesquelles il cite des références.
Mais dans ce livre, Jacob Lurie a choisi comme cadre les quasi-catégories étudiées par André Joyal qui sont identiques aux complexes de Kan (« weak Kan complexes »):

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/12/14/joyal-notes-on-quasi-categories/

Les quasi-categories sont aussi appelées logoi:

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/JOYAL/Joyal.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/logos

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

Cohesive ∞-topoi

J’ai parlé à la fin du dernier article sur les « adjoint triples and quadruples » de cette note d’Urs Schreiber sur n-category cafe:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

La définition rigoureuse de la notion de « gros topos » est donnée ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

En gros (c’est le cas de le dire) il s’agit d’un topos dont chaque objet F a pour correspondant un topos, appelé « petit topos », 

P(F) qui est un espace où l’on peut faire de la géométrie ( se rappeler qu’un topos peut être vu comme la généralisation d’un espace topologique, c’est à dire un ensemble de points muni d’une topologie, qui est une collection de parties (de sous ensembles)appelées « ouverts »,  de cet ensemble, collection obéissant à certaines conditions, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Noter que dans le gros topos le petit topos associé à l’objet terminal 1, soit P(1) est appelé « topos des points » du gros topos (notion à garder en mémoire):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

La note d’Urs Shreiber donne un exemple précis de quadruplet de foncteurs en adjonction (adjoint quadruple) dont nous avons parlé dans l’article récent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

f! ⊣f * ⊣ f * ⊣ f !

Le foncteur principal Γ d’un topos cohésif E est appelé foncteur  » section globale » c’est un morphisme géométrique :

Γ: E → S où S est le topos des ensembles et ce foncteur associeà un objet X du topos E, qui est un espace, l’ensemble Γ(X) des points de cet espace X c’est à dire la pure multiplicité de ses « points ».
Quelques précisions ici sur les notations employées : dans l’article de n-category cafe ou de Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

qui est en anglais on emploie la lettre S pour Set, qui veut dire « ensemble », mais en francais cela risque d’introduire une infusion puisque la lettre qui correspond à  » Ensemble » est justement E, et non plus S. Nous introduirons donc les lettres H (comme Henologie ou Henosophia) à la place de E pour un topos cohésif et O(comme Ontologie) à la place de S et noterons ce foncteur section globale:

Γ : H → O
Où O est le topos Ens des ensembles qui , selon la doctrine de Badiou dans l’Etre et l’événement , correspond à l’ontologie qui traite de la multiplicité pure  » sans Un » , qui est ici la multiplicité pure des points de l’espace, en oubliant la cohésion .
Une première adjonction est :

Disc ⊣ Γ
(Γ est adjoint à droite de Disc)
Où Disc est le foncteur qui envoie un ensemble de points ,pure multiplicité sans cohésion, sur la meme multiplicité mais structurée par la topologie discrète ( dans le cas d’une structure topologique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie_discrète

Rappelons qu’une topologie sur un ensemble X de points consiste en une collection de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions, sous-ensembles appelés « ouverts ». Cette topologie discrète est en même temps la topologie maximale possible : tout sous ensemble est un ouvert.
La topologie minimale, la plus « grossière », est appelée « codiscrete » : seuls l’ensemble vide (sans aucun point) et l’ensemble total sont des ouverts, ce qui est toujours le cas dans toute topologie.
Le foncteur Codisc, envoyant un ensemble de points sur la structure codiscrete définie sur cet ensemble, correspondant est adjoint à droite du foncteur Γ.
Enfin un quatrième foncteur Π vient s’ajouter aux trois précédents:

Π : H → O (voir le rappel sur nos notations plus haut: O comme  » Ontologie »est le topos des ensembles, du multiple pur « sans Un, sans cohésion  » et H comme  » Henosophia » est le topos cohésif.
Ce foncteur est un peu plus compliqué : dans le cas n= 1 il envoie un espace sur ses composantes connexes, et pour les niveaux supérieurs cela se généralise à la « truncation de niveau (n-1) du groupoide fondamental :

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid

Qui a pour objets les points de l’espace de départ (de l’ensemble de points) X et pour morphismes les  » chemins » d’un point à l’autre, définis à une homotopie près.
Le groupoide fondamental est une généralisation du groupe fondamental d’un espace topologique et ces deux notions se généralisent d’un espace topologique à un topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+group+of+a+topos
Ce foncteur Π est adjoint à gauche du foncteur Disc.
Nous avons donc une série de trois adjonctions entre les quatre foncteurs définis , ce qui répond bien à la définition d’un quadruplet (« adjoint quadruple »):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Ce quadruplet est la généralisation cherchée d’un morphisme géométrique, et il est orienté tout comme un morphisme géométrique qui est une paire de foncteurs adjoints. L’orientation va de H (topos cohésif, hénosophique) vers O ( topos des ensembles, ontologique ) et c’est ainsi que Lawvere définit les topoi cohésifs.
La seconde partie de la note d’Urs Schreiber titrée  » A remark on Lawvere’s work » est extrêmement importante, en voici les extraits cruciaux:
« He is really at heart a physicist, in the following sense: he is deeply interested in the mathematical model building of reality He is searching for those structures in abstract category theory that do reflect the world. He is asking: What is a space in which physics can take place? Concretely: What is the abstract context in which one can talk about continuum dynamics? I gather even though he is an extraordinary mind, he did not push beyond continuum mechanics, otherwise he would also be asking: What is the abstract context in which quantum field theory takes place? »

(Lawvere réputé comme un logicien, a d’abord pour préoccupation la physique, en s’arrêtant à la mécanique sans aborder le domaine quantique)

Puis
« As Jacob Lurie says rightly: Higher category theory is not theory for its own sake, but for the sake of other theory. And fundamental theoretical physics is all about scanning the space of theories for those that fit reality (as opposed to the physics that most theoretical physicists do, which is scanning the phenomena of one fixed theory.) »
Et enfin la fin de l’article :

« I wish there were more people like Lawvere around, with his perspective on the general abstract basis of everything and at the same time with the overview over modern derived ∞-topos theory and the understanding that the richer structure people are seeing in these is Lawvere’s observation that reality springs out of topos theory taken to full blossoming: reality springs out of ∞-topos-theory »

Ces deux deux dernieres observations font ressortir l’exceptionnelle importance de la  » higher topoi theory » de Jacob Lurie qui n’est pas du tout une généralisation pour le plaisir de « faire compliqué » mais comme dit Schreiber:
 » a full blossoming of topos theory « d’où jaillit la Rélité » ( « reality springs out of ∞-topos-theory »)
J’ai déjà commencé à étudier le « magnum opus » de Jacob Lurie  » Higher topos theory », voir:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Il s’agit d’un travail énorme ( mais moins énorme que celui accompli par Lurie!) et j’espère avoir montré ici qu’il ne s’agit pas d’un jeu gratuit ayant pour but de fuir la réalité insupportable qui est la nôtre (celle de l’Europe de nouveau en guerre 70 ans apres 1945) dans de creuses et vaines abstractions mais justement d’un souci de la Réalité qui comme le dit Shreiber « jaillit de la théorie des topoi et surtout de sa pleine floraison : la théorie des ∞-topoi »
La Réalité ce n’est pas le « plan vital » de l’actualité et de l’Histoire mais le plan spirituel qui est celui où vivent les « clercs véritables » (tels Jacob Lurie) que Julien Benda appelait en 1927 de ses vœux:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/julien-benda-la-trahison-des-clercs/

« Clercs » véritables qui sont « le sel de la Terre » comme le dit l’Evangile:

http://saintebible.com/matthew/5-13.htm

n-catégories ( higher category theory)et leurs applications ( en physique notamment)

Le champ de la « Higher category theory » (les n-catégories) :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

est sans doute le plus dynamique de la mathématique aujourd’hui, je l’avais comparé dans un autre article au « Far West » parce que l’espace à étudier est tellement grand que tous les chercheurs intéressés peuvent s’y « établir », snas craindre de se gêner entre eux , ce sont là pour la plupart des « terres encore vierges » qui attendent les explorateurs et autres pionniers .
Témoin cette page du nlab sur les applications à la physique :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory+and+physics

et cette autre sur les applications  en général :

http://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory

Mais c’est sans doute la page suivante qui explique le mieux le « point de vue » de la discipline en établissant clairement la différence avec la « neutralité axiologique » propre à l’esprit encyclopédique (de Wikipedia par exemple) :

http://ncatlab.org/nlab/show/nPOV

« Around the nLab it is believed that category theory and higher category theory provide a point of view onMathematics, Physics and Philosophy which is a valuable unifying point of view for the understanding of the concepts involved. »

le mot important est ici « unifying point of view » , c’est à dire le point de vue de la « hauteur » de l’aigle qui survole la plaine et voit tout d’un seul coup d’œil par ce que Whiteheab appelait  » généralisation imaginative et qu’il comparait au vol d’un avion qui s’oppose au point de vue encyclopédique qui avance pas après pas :

http://mathesis.blogg.org/mathesis-universalis-totalite-et-savoir-absolu-p1002238

Mais si nous revenons à la métaphore précédente du Far West et des immenses terres vierges qui attendant les futurs explorateurs, nous pourrions dire que l’exploration elle meme crée de nouvelles terres. C’est ainsi que l’on peut interpréter ce qui est dit dans cette page:

http://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory
« The tools of category theory and higher category theory serve to organize other structures. There is a plethora of applications that have proven to be much more transparent when employing the nPOV. Higher category theory has helped foster entire new fields of study that would have been difficult to conceive otherwise. This page lists and discusses examples. »

Si l’on traduit  » foster » par  favoriser, alors il est bien affirmé ici que la  « higher category theory » ( étude des « catégories  supérieures ou n-catégories » )a favorisé l’apparition de champs d’études entièrement nouveaux, qu’il aurait été difficile de concevoir autrement.

Ce constat indéniable appelle de nouveaux instruments de pensée mathématique : car si la discipline même de la « higher category theory » sert à organiser les autres structures voire  à les faire apparaître , on ne peut plus se contenter de foncteurs reliant certaines catégories à des structures considérées comme étant déjà là indépendamment de ces catégories .

Pour prendre un exemple :  la théorie des groupes a été créée bien avant, (plus d’un siècle avant ) la théorie des catégories , elle n’a donc pas besoin de cette dernière pour être conçue et comprise, et pourtant il est bien connu qu’un groupe Gpeut être vu comme une catégorie à un seul objet que l’on nommera G comme le groupe et dont les flèches sont les éléments du groupe, et sont toutes des isomorphismes, c’est à dire inversibles (possédant une flèche inverse). la composition de deux flèches s’identifie au produit des deux éléments correspondants du groupe par l’opération de compoition (nommée produit ou multiplication) du groupe et le morphisme identité Id<sub>G</sub> est simplement l’élément neutre 1 du groupe pour le produit.. l’inverse d’une flèche est l’inverse de l’élément correspondant du groupe.

Un groupoide étant défini comme une catégorie dont toutes les flèches sont des isomorphismes (sont inversibles) on voit qu’un groupe est un groupoîde à un seul objet.

Et pourtant les groupoîdes ont été inventés par Brandt en 1926, vingt ans avant l’invention de la théorie des catégories:

http://mathoverflow.net/questions/199849/brandts-definition-of-groupoids-1926

On peut donc penser à un dépassement de la notion de foncteur : alors qu’un foncteur est une flèche entre deux catégories obéissant à certaines règles et conditions

https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

on introduirait, avec ce nouvel intrument, une flèche entre deux champs d’études mathémtiques (qui pourraient être représentés par des n-catégories ou des ∞-catégories ) si le champ A est absolument nécessaire pour poser, parler de et concevoir le champ B :

A ——-> B

sans A on ne peut absolument pas penser B.

On voit bien que l’on a affaire là à tout autre chose qu’un foncteur, mais l’on peut penser à un ch&amp qui serait un objet initial c’est à dire qu’il y aurait une flèche partant de lui et orientée vers tous les autre champs d’étude mais l’inverse ne serait pas vraie .

Question : la théorie des n-catégories ou des catégories ou bien la théorie des ensemblres (c’est à dire des 0-catégories ) n ‘est elle pas ainsi en position d’objet initial vis à vis de toutes les parties des mathématiques , voire de tous les domaines d’études scientifiques et philosophiques ?

Malgré cette position « en surplomb » il y a bien une extériorité qui s’impose à la théorie comme, en chimie, la table périodique des éléments de Mendeleev  , qui permet néanmoins  de prédire la découverte de nouveaux éléments :la tale périodique des n-catégories

http://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

sous la forme d’un tableau à double entrée indexée par n (ligne du haut) et k colonne de gauche)

L’index k prenant des valeurs entières supérieures ou égales à zéro introduit une structure se complexifiant progressivement au fur et à mesure que les valeurs de k augmentent : ainsi pour n=0 on a les 0-catégories qui sont les ensembles et si k= 1 on a une façon unique de multiplier (composer) les éléments de l’ensemble entre eux , ce qui donne un monoîde (ensemble muni d’une opération ou loi de composition associative) , pour n= 1 on obtient un catégorie monoïdale (munie d’un produit tensoriel entre les objets)

http://ncatlab.org/nlab/show/k-tuply+monoidal+n-category

les valeurs n négatives ont un sens  les travaux de Baez l’ont montré : on peut paler de (-1) -catégories, qui sont les valeurs de vérité 0 et 1 (vrai ou faux,  » Est  » et « non » de Descartes dans son rêve lors de la « nuit de songes »

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

pour n = -2 on obtient la valeur 1 « toujours vrai » (nécessairement vrai)

voir:

https://unedemeuresouterraineenformedecaverne.wordpress.com/2014/01/30/les-1-categories-et-2-categories/

Faire croître l’insex n revient à intoduire des n-morphismes entre les (n-1)- morphismes : on obtient donc  progressivement un réseau de plus en plus dense de rapports , de relations, un maillage relationnel de plus en plus serré , ce qui est la tâche d’une unification progressive qui est celle de la mathesis et celle même de l’esprit qui est la « faculté d’inventer des rapports » selon Brunschvicg dans « introduction à la vie de l’esprit » :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/31/brunschvicgintroduction-leon-brunschvicg-introduction-a-la-vie-de-lesprit/

Partant de la vérité nécessaire pour n = -2 et pour n=-1de la méthode scientifique de recherche de la vérité, réclamant un « objet-vérité » dans un topos qui dans le topos classique booléen des ensembles est constitué du vrai  et du faux » pour on s’approche au fur et à mesure que n croît vers l’infini de plus en plus de l’unification totale et complète,  de l’Un se constituant en immanence radicale à la conscience (et non pas de l’Un transcendant des métaphysiciens religieux ) selon le processus de ce que nous appelons ici henosophia ou « pensée selon l’un » (et non pas selon l’Etre) . A noter que si nous suivons la thèse révolutionnaire mais démontrée (au début de son livre l’Etre et l’évènement »)  d’Alain Badiou selon laquelle la mathématique (de la théorie des ensembles) est ce que la philosophie appelle depuis Aristote ontologie, pensée de l’Etre en tant qu’être , alors le trajet que nous venons de décrire croise la pensée de l’Etre, pensée du multiple pur « sans un » , pour n = 0 (les 0-catégories sont les ensembles)

On peut lire « L’Etre et l’évènement » de Badiou mais en anglais, ici :

http://www.sok.bz/web/media/video/BeingBadiou.pdf

On  comprend donc que la  » higher category theory » encore largement en friches  et inexplorée est le coeur de la partie transcendantale de la science : la mathesis. Nous ne l’avons abordée jusqu’ici que par le livre de Jacob Lurie: « Higher topos theory  » qui prend son origine dans « À la poursuite des champs » (  » Pursuing stocks ») de Grothendieck, dont Lurie est le meilleur continuateur :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/06/19/jacob-lurie-continuateur-de-grothendieck/

Pour l’instant il n’y a que deux articles sur le livre « Higher topos theory »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Et 

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

et il y a aussi la page du Nlab sur ce sujet:
http://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory



Préface de « Higher topos theory » : n-champs (« n-stacks »)

image

Sur mathoverflow (un site de dialogues où l’on peut poser des questions, aussi intéressant que mathstackexchange) on trouve des tas de pages passionnantes, dont ces deux sur le sujet des catégories supérieures (« Higher category theory »):

http://mathoverflow.net/questions/185997/why-higher-category-theory

Why Higher category theory? (Pourquoi les catégories superieures?)

Il y a plusieurs réponses mais le premier internaute qui répond lui conseille de lire la préface de « Higher topos theory ».

Un autre (David Corfield) lui signale deux sens du mot « Higher » :
– Au sens des (∞,1)-catégories (qui est celui retenu par Jacob Lurie dans son livre)
– au sens des n-catégories.
Il y a d’ailleurs une discussion portant sur Mathoverflow (où interviennent Jacob Lurie, David Corfield, Urs Schreiber, John Baez et d’autres) ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/math_overflow.html#c033192

Une autre page de Mathoverflow porte sur Jacob Lurie lui même et sur ses idées-clefs (« key insights »):

http://mathoverflow.net/questions/37825/what-are-jacob-luries-key-insights

L’un des intervenants signale comme source de ces idées la prise au sérieux des travaux de Grothendieck, notamment « A la poursuite des champs » (« Pursuing stacks ») qui est disponible sur Internet mais c’est un fichier tellement énorme que je ne suis pas arrivé à le télécharger sur ma tablette.
Un autre dit qu’il ne croit pas aux « super-héros » en mathématiques, mais aux « super-idées », ce qui est très juste, mais il y a une difficulté pour accéder aux « super-idées » de gens comme Grothendieck ou Lurie : la forme technique souvent extrêmement exigeante qui constitue le « revêtement » de ces idées.

La préface de « Higher topos theory »:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

s’étend des pages 7 à 15 (sur un total de 949 pages).

Page 9 Lurie se réfère effectivement à Grothendieck et à une lettre de lui à Quillen où il affirme qu’il devrait exister une théorie des n-champs (« n-stacks ») pour tout n entier positif ou nul.
Cette théorie des n-champs sur un espace X devrait être pensée comme « faisceau de n-types » (« sheaf of n-types ») : dans le cas où X est un point (et si l’on se restreint aux champs de groupoides) cette théorie devrait retrouver la théorie de l’homotopie classiquedes n-types.
Dans le cas n=0, un n-champ sur un espace topologique X est simplement un faisceau d’ensembles sur X, et la collection de ces faisceaux est le topos de Grothendieck paradigmatique:

Sh(X)

Que nous avons déjà expliqué

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/22/grothendiecktopos-4-faisceaux-sur-un-site-topos-de-grothendieck/

Jacob Lurie précise d’ailleurs page 14 que le mot « topos » voudra toujours dire « topos de Grothendieck ».

Lurie se pose trois questions dans la préface:

« Que doit on entendre par « faisceau de n-types? » , la réponse fait l’objet du livre.
Cette réponse permet de répondre aux deux suivantes:
La collection notée :

Sh≦n(X)

de ces faisceaux de n-types sur X possède la structure de ce que Lurie appelle

∞-catégories

et dont il fait la théorie au chapitre 1.

Enfin cette ∞-catégorie

Sh≦n(X)

est un exemple de

(n+1)-topos

c’est à dire une ∞-catégorie qui satisfait des axiomes analogues (pour les catégories supérieures) à ceux de Giraud pour les topoi de Grothendieck (cf chapitre 6).