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Wronski : introduction à la philosophie des mathématiques

http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015067101579

début de l’ouvrage page 1 :

http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015067101579;page=root;view=image;size=100;seq=19;num=1;orient=0
« LE monde physique présente, dans la causalite non intelligente,
dans la nature, deux objets distincts : l’un, qui est la forme et la
manière d’être ; l’autre, qui est le contenu, l’essence même de
l’action physique.
La déduction de cette dualité de la nature, appartient à la Philo-
sophie : nous, nous contenterons ici d’en indiquer l’origine trans-
cendantale.–Elle consiste dans la dualité des lois de notre savoir,
et nommément dans la diversité qui se trouve entre les lois trans-
cendantales de la sensibilité (de la réceptivité de notre savoir), et
les lois transcendantales de l’entendement ( de la spontanéité ou de
l’activité de notre savoir). C’est, en effet, dans la diversité qui ré-
sulte de l’application de ces lois aux phénomènes donnés à pos-
teriori , que consiste la dualité de l’aspect sous lequel se présente
la nature; dualité que nous rangeons, conduits de nouveau par des
lois transcendantales, sous les conceptions de forme et de contenu
du monde physique.
Or la forme, la manière d’être de la nature ou du monde phy-
sique, est l’objet général des MATHÉMATIQUES; et son contenu, son
essence même, est l’objet général de la PHYSIQUE. — Mais, laissons
cette dernière, pour ne nous occuper ici que des Mathématiques.
La forme du monde physique, qui résulte de l’application des
lois transcendantales de la sensibilité aux phénomènes donnés à
posteriori, est le temps, pour tous les objets physiques eu général,
et l’ espace, pour les objets physiques extérieurs. — Ce sont donc
les lois du temps et de l’espace, en considérant ces derniers comme

appartenant au monde physique donné à posteriori, qui font le véri-
table objet des Mathematiques (*).
Telle est d’abord la détermination de l’objet en question, donnée
par la Philosophie en général, et nommément par l’Architectonique
du savoir humain. — La détermination ultérieure de cet objet,
appartient à la Philosophie des Mathématiques.
Cette dernière Philosophie a pour but l’application des lois pures
du savoir, transcendantales et logiques, à l’objet général des sciences
dont il s’agit, à l’objet général tel que nous venons de le déter-
miner ; et elle doit ainsi, suivant cette idée, déduire, par une voie
subjective, les lois premières des Mathématiques, ou leurs principes
philosophiques. — Les Mathématiques elles-mêmes partent de ces
principes, et en déduisent, par une voie purement objective , sans
remonter jusqu’aux lois intellectuelles, les propositions dont l’en-
semble fait l’objet de ces sciences.
Pour mieux approfondir la nature de la Philosophie des Mathé-
matiques, il faut savoir qu’il existe, pour les fonctions intellectuelles
de l’homme, des lois déterminées. Ces lois, transcendantales et
logiques , caractérisent l’intelligence humaine, ou plutôt constituent
la nature même du savoir de l’homme. Or, en appliquant ces lois,
prises dans leur pureté subjective, à l’objet général des Mathé-
matiques^ la forme du monde physique, il en résulte, dans le
domaine de notre savoir, un système de lois particulières, qui ré-
gissent les fonctions intellectuelles spéciales portant sur l’objet de
cette application, sur le temps et l’espace. — Ce sont ces lois par-
ticulières qui constituent les principes philosophiques des Mathé-
matiques, principes que nous avons nommés. — Il faut encore re-
marquer que, suivant cette exposition de la Philosophie des Mathé-
matiques , cette Philosophie donne, en même temps, l’explication

des phenomènes intellectuels que présentent les sciences mathéma-
tiques : en effet, l’ensemble de ces sciences forme un certain ordre
de fonctions intellectuelles, et ces fonctions sont de véritables phé-
nomènes; de manière que les lois de ces fonctions, qui sont, en
même temps, les lois de ces phénomènes, contiennent la condi-
tion de la possibilité de ces derniers, et donnent, par là, leur expli-
cation philosophique. »

à quoi Wronski ajoute en note page 2 :

« (*) Nous devons observer ici, pour les Philosophes, que nous dirons expressé-
ment que les Mathématiques ont pour objet les lois du temps et de l’espace, en
considérant ces derniers objectivement, c’est-à-dire, comme appartenant au monde
physique, donné à posteriori, et non subjectivement, comme lois transcendantales
de notre savoir, données à priori. — Les intuitions du temps et de l’espace , con-
sidérées sous ce dernier point de vue , font l’ objet de la Philosophie elle-même , et
spécialement de l’Esthétique transcendantale »

Cette « Introduction à la philosophie des mathématiques » date de 1811, elle est idsponible aussi sur Google :

http://books.google.fr/books?id=GeBJAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false

c’est un livre de jeunesse donc, se situant dans la veine du premier ouvrage de Wrsonki, en 1803, sur la « Philosophie critique découverte par Kant » :

http://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/06/wronski-philosophie-critique-decouverte-par-kant/

On raconte que Wronski, vers les années 1820, voulut un jour se rendre à Londres, il déposa donc une demande auprès de la préfecture de Police , et le fonctioonaire zélé qui s’acquitta de l’enquête à son propos nota uniquement ceci :

« ce n’est pas un fou dangereux »

et permission lui fut accordée de voyager !

eh bien oui ! je persiste et signe !

Wronski est selon moi l’un des philosophes ET mathématiciens les plus importants, et il est symptomatiques des temps de la Restauration (qui sont ceux des « Illusions perdues » de Balzac, voir :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/07/un-fameux-passage-des-illusions-perdues/  )

que la pensée de ce génie, sans doute aussi élevé que celui de Grothendieck, soit tournée en dérision par un bureaucrate aux ordres !

certes on doit convenir que la lourdeur de son expression, les redites, les longueurs, le style ampoulé, rendent  la plupart de ses ouvrages  presqu’ illisibles , et c’est bien dommage !

Il a totalement manqué , en mathématiques, le virage galoisien (pourtant il était contemporain de Galois) vers la théorie des groupes et des structures, et la mathématique a totalement changé de visage depuis son époque, aussi ses « lois absolues » sont elles devenues complètement…caduques!

Au fond, quel peut être un usage valide de Wronski et de son « messianisme » ?

à peu près le même que celui de l’Evangile pour le « christianisme des philosophes » : élaguer, élaguer, élaguer, et séparer le bon grain (spirituel) de l’ivraie (des fables et des « histoires »).

Il suffit d’envever du messianisme de Wronski tout ce qui est par trop … messianique : je veux dire par là que le messianisme ne se situe pas dans le futur imminent ou pas; le messianisme est « internel », ce qui veut dire qu’il arrive, par définition !

L’élément messianique, c’est ce qui est toujours « en instance d’arriver », de façon transcendantale !

ou encore : « il n’y aura pas d’épiphanie de la vérité » déclare Badiou ?

certes car la Vérité, c’est l’épiphanie !

la note en page 2 de Wronski est importante, car elle départage la philosophie de la mathématique.

La « loi de création » de Wronski est merveilleuse, mais elle n’a qu’un seul défaut : son bouclage , son statut « définitif » !

Nous refusons de parler de « transcendance », mais le transcendement, le « mouvement pour aller plus loin » de Malebranche, comme l’ignorer ?

 

La « voie » est pour nous l’acheminement de la conscience du multiple à l’un : la multiplicité pure est la matière, la « Materie » de l’Esthétique transcendantale de Kant, pure diversité, multiplicité « inconsistante » de Cantor et Badiou « en amont » du compte-pour-un ensembliste.

Nous retrouvons là la conception scolastique de la matière première comme principe d’individuation.

La philosophie commence avec les lois transcendantales des formes de l’espace et du temps considérés comme « a priori ».

elle passe ensuite le relais à la mathématique comme science des formes de l’espace et du temps mais considérés « a posteriori », phénoménalement.

Le problème du partage entre physique et mathématique est évidemment plus complexe que la simple séparation entre forme et contenu dont parle Wronski : la physique moderne traite de notre action (par le biais d’appareils fort complexes, comme des accélérateurs de particules) sur « la matière », et non pas sur « la matière » brute (qui est la multiplicité inconsistante), c’est pour cela qu’elle peut être mathématisée, notamment par la théorie des groupes de symétrie, qui se branche directement sur les « symétries » de nos actes et expériences.

Mais ce qui est important dans cette histoire, c’est que la mathématisation , une fois lancée, opère toute seule par la montée vers l’Absolu des « structures » de plus en plus complexes : ensembles, catégories, 2-catégories, etc..

Il suffit à la philosophie de suivre et de … réfléchir ce processus intellectuel qui semble marcher tout seul. 

Nous décrivons cela par un modèle fonctoriel entre « élément-être » et « élément-savoir » à la Wronski.

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/25/la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories/

Il nous faut maintenant entrer dans la « jungle » où se trouve « la chose même » , qui est le paradis que non pas Cantor, mais Eilenberg et Mac Lane ont créé pour nous en 1945 :

http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Samuel_Eilenberg

http://en.wikipedia.org/wiki/Saunders_Mac_Lane

Oui, il nous faut « descendre » et nous mouiller : nous ne pouvons pas nous contenter, pour un tel travail, de rester des « aviateurs » et de survoler ces « terres » … nous laissons cela à MBK et ses nouveaux amis.

Certes nous ne renions pas ce que nous avons dit ici :

http://sedenion.blogg.org/date-2009-03-11-billet-990890.html

La mathesis universalis est « vol de l’aigle » , elle est de nature unitive et non pas encyclopédique; elle est semblable à ce « vol d’un avion » dont parle Whitehead au début de « Process and reality » … seulement pour décoller, l’avion doit atterrir, et réciproquement…

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la stratégie de Badiou pour démontrer l’inexistence du Tout

Dans « Logiques des mondes » (LDM) , page 119, section 1, Badiou commence sa présentation du « concept de transcendantal » (qui sera pour nous attaché à la notion de topos, comme ce que l’on appelle « objet-vérité » Ω) en démontrant l’inexistence du Tout.

Seulement, fidèle à sa thèse de la théorie des ensembles (pas n’importe laquelle, celle axiomatisée par Zermelo-Fraenkel) comme ontologie, ou doctrine de l’être en tant qu’être, le Tout doit être pour lui la totalité de « ce qu’il y a » , et comme tout ce qu’il y a ce sont les multiples purs, les ensembles, le Tout doit être la totalité des ensembles.

Mais si le Tout doit être, comme ce qui est, ce sont les multiples, le Tout doit être un multiple, un ensemble.

Conclusion : le Tout doit être un ensemble, et il doit être la totalité des ensembles.

Il ne peut donc être que l’ensemble de tous les ensembles, et à ce titre il doit être élément de lui même.

De tels ensembles, qui sont éléments d’eux mêmes, sont appelés par Badiou « multiples réflexifs », et ils ont été considérés de longue date par les mathématiciens comme assez « problématiques », voire dangereux, à tel point que la théorie a jugé bon de créer un axiome, l’axiome de fondation, pour les écarter comme possibilité de pensée.

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/378117-ensemble-se-contenant-lui-meme.html

http://utilisateur-ianop.blogspot.fr/2008/01/lensemble-vide-est-lment-de-lui-mme.html

d’ailleurs, même en théorie « intuitive » ou « naïve », on a du mal à en trouver : je ne puis proposer que des formulations négatives, comme par exemple l’ensemble des ensembles dont la cardinalité est non bornée, ou supérieure à un nombre entier fini quelconque n.

Mais revenons à l’enchaînement de pensées de Badiou : supposons que le Tout soit, et qu’il soit donc ensemble de tous les ensembles (comme nous y sonnes forcés si nous suivons les thèses de Badiou sur l’ontologie du multiple) alors il y a au moins un ensemble élément de lui même, et il est consistant de dire que de tels ensembles (dits réfelxifs) existent.

Mais il est aussi consistant de dire que des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux mêmes existent, et là on en trouve à foison.

Badiou cite comme exemple ces 5 poires qui sont là sur la table devant lui : on peut en former un ensemble, mais il n’a aucune chance d’être une poire, et donc il ne peut être élément de lui même, puisque tous ces éléments sont par construction…des poires !

Badiou poursuit : il est logiquement possible de séparer « tout ce qu’il y a », c’est à dire tous les multiples, en deux catégories : les réflexifs, et les non réflexifs.

Il est donc consistant de former l’idée du multiple de « tous les multiples non réflexifs », que Badiou appelle la Chimère.

Or cette Chimère, est elle réflexive ? elle est un ensemble, l’ensemble de tous les ensembles non réflexifs, mais peut elle être élément d’elle même ?

si elle l’était, cela voudrait dire qu’elle serait un ensemble non réflexif, puisque c’est la définition des éléments de la Chimère !

Conclusion : si la Chimère était réflexive, elle serait non réflexive !

Nous arrivons à une contradiction, une absurdité, donc la chimère ne peut être réflexive…

seulement nous arrivons au même genre de problèmes si nous la supposons non réflexive: car si elle est non réflexive, cela veut dire qu’elle est un ensemble qui n’est pas élément de lui même.

Donc elle appartient à l’ensemble des ensembles non réflexifs.

Or cet ensemble c’est elle même.

Donc elle appartient à elle même, elle est élément d’elle même.

Donc si nous supposons que la chimère est non réflexive, nous aboutissons à la conclusion qu’elle doit être réflexive !

Conclusion :

la Chimère est bien…chimérique, elle n’a pas d’être, elle ne peut être un

ensemble.

Et comme elle suivait de l’hypothèse de l’être du Tout, cette hypothèse, menant à des absurdités, doit être écartée.

Le Tout n’a pas d’être.

Seulement ceci n’est valable que dans le cadre des thèses ensemblistes de Badiou, et même dans ce cadre les mathématiciens ont depuis longtemps eu l’idée d’un axiome d’antifondation et d’ensembles dits « non well-founded », qui passent allègrement par dessus les prétendus interdits de « pensée philosophique » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d’anti-fondation

http://plato.stanford.edu/entries/nonwellfounded-set-theory/

mais selon moi le vrai problème est que Badiou ne part pas du véritable point de départ, qui est la dualité entre « élément-être » et « élément-savoir ».

Il parle seulement de l’idée du Tout, non pas du Tout lui même !

un ensemble n’est qu’une idée, et Badiou le reconnaît lui même avec son exemple de l’ensemble des 5 poires : c’est l’idée que nous nous formons de la collection des 5 poires, mais pas les 5 poires elles mêmes en leut être « massif », comme dirait Sartre, là devant nous, sur la table.

Si je suis sur le point de mourir de faim et de soif, ce n’est pas l’ensemble des 5 poires qui va me sauver : ce sont les 5 poires, et tout le monde le sait bien, qu’il soit idéaliste ou pas !

ou encore : c’est le chien qui aboie et qui mord, pas l’idée du chien !

Dans nos conditions d’existence incarnée, il est complètement absurde de vouloir « séparer » être et savoir, matière et esprit.

Mais, ce qui est la vérité éternelle de l’idéalisme, l’esprit possède  une prédominance évidente quand il s’agit de l’âme humaine et de son salut : sans les idées, et leur aboutissement la science, je pourrai cueillir les poires sur l’arbre, comme les anciennes tribus de sauvages , mais il me sera difficile de les faire venir sur ma table, sauf utilisation d’esclaves. Et encore devrai je savoir les faire pousser !

Qu’est ce que le Tout  : tous les étants « du monde extérieur » dont je puis former l’idée, moi ou n’importe qui d’autre, plus toutes les idées d’un étant quelconque ; cela fait du monde , car il y a en plus les idées d’idées (idées d’évènements par exemple).

Bref on comprend qu’il est insensé de vouloir avoir même l’idée d’en former un ensemble, ou une collection.

Le Tout serait en somme l’identité primitive de l’être et du savoir, dont nous avons constaté que la route est « barrée » à la pensée, sauf introduction du mysticisme dans la philosophie.

Le Tout est donc une idée mal formée, inconsistante : pas besoin de Zermelo-Fraenkel ni du paradoxe de Russell pour le comprendre !

Par contre si comme le dit Hegel « seul le vrai est le Tout », et que nous assignons à la philosophie , renommée par nous toposophie , la recherche et l’acheminement de l’âme vers la vérité, alors il devient licite d’envisager le Tout, comme l’Un ou l’Etre, comme limites : c’est là le schéma de pensée « fonctorielle » par lequel nous remplaçons les « arcanes du badiolisme » (pour reprendre ce néologisme, désignant l’école de pensée de Badiou, à son créateur François Laruelle).

la dualité de l’Etre et de l’Un

le terme « toposophists », ou « toposophers », est en provenance des « working mathematicians » dans la théorie des catégories, il possède sans doute une nuance « humoristique »…

bien entendu je ne suis pas digne de délier le lacet de la chaussure de ces grands Travailleurs, héros de la pensée pure, mais je me risquerai ici à emprunter ce terme pour désigner une nouvelle « discipline », ou plutôt le projet d’une telle innovation, qui est en dehors du strict domaine mathématique (sinon ce blog serait sans aucun intérêt, face aux centaines d’autres qui en restent à ce domaine), et vise à fonder une philosophie enfin entièrement « scientifique » et rigoureuse.

En un mot comme en cent : la toposophie consiste à utiliser la force-de-pensée (terme emprunté à François Laruelle) ou , disons,  la puissance de la pensée « solide » des mathématiques (et principalement de la théorie des topoi et des topoi supérieurs, ou n-topoi), pour fonder cette nouvelle et définitive philosophie, censée réaliser le vieux projet de Mathesis universalis cartésien et leibnizien, ou celui de « messianisme » de Wronski, en une union absolue de la science, de la philosophie et de la religion (appelée « christianisme de philosophes », et devant dépasser les logoi chrétiens et juifs en une fondation péremptoire de la Vérité sur la Terre, en une âme et un corps).

Donnons ici un premier exemple , très simple, dérivé presqu’ immédiatement des indications que j’ai données ici ou là sur l’essence fonctorielle de la loi de création de Wronski.

On sait que j’ai remplacé le vieux fatras métaphysique et « onto-théologique » de l’Etre et de l’Un par l’immanence duelle de deux orientations radicalement opposées de la pensée : selon l’Etre et selon l’Un.

J’ai aussi donné les références des travaux, extrêmement importants à mon sens, de Franck Jedrzejewski sur les diagrammes et les catégories :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/24/en-france-du-nouveau-franck-jedrzejewski-diagrammes-et-categories-these-et-introduction/

travaux de lecture assez « difficile » pour ceux qui ne sont pas habitués à la strict discipline du Mathème, de cette « mathématique sévère » qu’invoquait Lautréamont, mais pour lesquels nous avons heureusement une « introduction » en 6 pages très denses :

http://nessie-philo.com/Files/jedrzejewski_dcintro.pdf

notez la différence des attitudes entre les deux « femmes » qui tentent d’orienter l’Amoureux (aucun rapport avec la future ex-présidente de France et ses chansons niaises) de la Lame VI du Tarot : la femme de gauche est la mathématique sévère et austère, elle ne promet aucun vil plaisir, mais une joie continue et souveraine acquise au prix d’un travail très long et très dur : celle de droite invite l’Amoureux à  « se rendre dans une vile maison suspecte se plonger dans le bourbier des voluptés dangereuses » , pour reprendre les termes balzaciens des « Illusions perdues »…nul doute que si le Tarot était « moderne », il la représenterait seins nus, et la main tripotant l’Amoureux un peu plus bas!

Vénus des carrefours !

mais l’Amoureux (nous tous, et nous toutes, car le sexe perd sa prédominance dans le domaine de l’Esprit) est libre de choisir le sang, la sueur et les larmes, ou bien… d’autres fluides, ceux que le général Jack Ripper appelle « précieux fluides naturels » dans « Dr Strangelove » de Kubrick…

mais revenons aux topoi et aux Saintes catégories !

attachons nous ici aux deux derniers piliers de ce quadrilatère épistémique de Franck  Jedrzejewski, à savoir l’universalité et la dualité.

J’ai déjà indiqué la nature entièrement différente de l’universalisme de la pensée catégorique par rapport à celui, dérivant en matérialisme et communautarisme, de la pensée ensembliste :

http://leserpentvert.wordpress.com/universalisme-abstrait-ou-concret/

aussi me contenterai je ici de souligner la simplification et le clarification conceptuelle (sens auquel aurait dû se limiter l’Aufklärung) qu’apporte la théorie des catégories :

-la dualité consiste à inverser le sens des flèches dans une catégorie

– l’universalité (des constructions appelées « universelles » en théorie des catégories) c’est quand il n’y a qu’une seule flèche possible pour « boucler », ou « faire commuter », un diagramme.

Voir la thèse de Franck Jedrzejewski pour plus de précisions, ou bien ces liens :

http://ncatlab.org/nlab/show/universal+construction

http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

mais donnons dès maintenant un exemple qui servira par la suite à de nombreuses reprises : celle des notions catégoriques généralisant le produit (la multiplication des nombres) et la notion duale de coproduit, généralisant la somme (l’addition des nombres).

http://en.wikipedia.org/wiki/Product_(category_theory)

La figure suivante est un diagramme dont la « limite » donne le produit  :

Universal product of the product
 
et la flèche f  unique (à un isomorphisme près) en pointillé faisant « commuter » le diagramme est le produit des deux morphismes f1 et f2
 
La précision « à un isomorphisme près » est importante , c’est toujours le cas pour une construction universelle; rappelons qu’un isomorphisme est tout simplement une flèche inversible :
 
« Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h,

ce qui prouve en outre l’unicité de l’inverse »

la notion duale de celle du produit est le coproduit, qui appliqué aux nombres donne la somme, l’addition :

http://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct

Coproduct-03.png
 
le produit est un exemple de la limite d’un diagramme, le coproduit un exemple de colimite :
 
signalons dès à présent une aporie entre ces notions modernes et la loi de création de Wronski appliquée aux mathématiques : selon lui, le produit est l’élément neutre, la somme et l’exponientiation sont EE et ES, or on attendrait que la somme soit duale du produit, et donc que l’exponentiation soit l’élément neutre EN
 
à creuser plus tard…
 
remarquons aussi que le terme, catégorique, de « problème universel » appartient à la terminologie de Wronski, où il désigne un objet de la loi de création…à creuser plus tard là aussi !
 

La thèse, cruciale à mon avis, de Franck Jedrzejewski, sur la dualité de l’Etre et de l’Un, prend alors selon le cadre de pensée que nous venons de définir, et qui s’appuie sur la « solidité » et la rigueur de la pensée mathématique tout en sortant du champ strictement mathématique, prend alors un sens très simple.

Nous avons défini les trois éléments primordiaux de Wronski : élément-être, élément-savoir et élément neutre comme une adjonction de foncteurs reliant deux « catégories » jouant le rôle de EE (élément-être) et ES (élément-savoir):

EE   ⇄  ES

Mais ceci n’est qu’une définition-projet, ou proposition hypothétique de définition ; nous pourrions aussi retenir tous les foncteurs entre les deux catégories.

La « pensée selon l’Un », par laquelle nous remplaçons, dans un cadre de stricte immanence, l’hénologie et l’Un « ineffable », cela consiste à retenir les foncteurs orientés de EE vers ES.

La « pensée selon l’Etre » cela consiste à inverser le sens des flèches (des foncteurs) et à ne garder que ceux orientés de ES vers EE.

Ces deux « pensées », qui remplacent pour nous les « ineffables » métaphysiques que sont l’Etre et l’Un, sont alors automatiquement duales au sens de la mathématique !

puisque la dualité, c’est quand on inverse le sens des flèches !

rappelons tout de même (deux précautions valent mieux qu’une) que nous sommes là sortis du champ mathématique : nous serions bien en peine de donner une définition mathématique des deux catégories EE et ES !

puisque ce sont là deux « éléments primitifs » au sens de Wronski, de nature transcendantale donc, et qui ne seront jamais « objets », mathématiques ou non…

mais le sens immanent de ces notions est clair :

penser selon l’Etre, c’est s’orienter de ES vers EE, donc « descendre » des niveaux « plus unifiés » vers le niveau (impensable) de la multiplicité dite « pure », ou « inconsistante ».

penser selon l’UN, c’est, au contraire, et en sens inverse (d’où notre vocabulaire mathématique-catégorique) , « monter » des niveaux « bas », pris dans le multiple, vers les niveaux « plus hauts », « supérieurs », plus unifiés.

Expliquer, donner du sens, de l’intelligibilité, c’est toujours résoudre une multiplicité en une unité (provisoire); analyser, c’est aller en sens inverse, résoudre une « unité » (apparente) en ses composantes, pour progresser en connaissances..

les deux mouvements sont nécessaires !

ceci rappelle évidemment l’interprétation que j’avais donnée, en termes disons plus poétiques (ou plutôt prosaïques) de l’Echelle de Jacob :

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-suave_mari_magno-1121061.html

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-le_second_degre_de_l_echelle_de_jacob___amour_universel-1121364.html

mais je préfère laisser la parole aux vrais poètes, à Lamartine et à cette immense chef d’oeuvre qu’est « La chute d’un ange » :

http://fr.wikisource.org/wiki/La_Chute_d%E2%80%99un_Ange

et à la fin, d’une beauté terrible (15 ème vision) :

A l’immobilité de ce funèbre groupe
Il reconnut la mort ! et, renversant la coupe,
Il regarda couler sa vie avec cette eau,
Comme un désespéré son sang sous le couteau !
Puis, se roulant aux pieds des êtres qu’il adore,
Et frappant de ses poings sa poitrine sonore,
Pour courir autour d’eux bientôt se relevant,
Tel qu’un taureau qui fait de la poussière au vent,
Il ramassait du sable en sa main indignée ;
Et contre un ciel d’airain le lançant à poignée,
Comme l’insulte au front que l’on veut offenser,
Il eût voulu tenir son cœur pour le lancer !

« O terre ! criait-il, ô marâtre de l’homme !
Sois maudite à jamais dans le nom qui te nomme !
Dans tout brin de ton sable, et tout brin de gazon
D’où la vie et l’esprit sortent comme un poison !
Dans la séve de mort qui sous ta peau circule,
Dans l’onde qui t’abreuve et le feu qui te brûle,
Dans l’air empoisonné que tu fais respirer
A l’être, ton jouet, qui naît pour expirer !
Dans ses os, dans sa chair, dans son sang, dans sa fibre,
Où le sens du supplice est le seul sens qui vibre !
Où de tout cœur humain les palpitations
Ne sont de la douleur que les pulsations !
Où l’homme, cet enfant d’outrageante ironie,
Ne mesure son temps que par son agonie !
Où ce souffle animé, qui s’exhale un moment,
Ne se connaît esprit qu’à son gémissement !
Tout être que de toi l’inconnu fait éclore .
Gémit en t’arrivant, en s’en allant t’abhorre !
Nul homme ne se lève un jour de son séant
Que pour frapper du pied et pleurer le néant !
Que maudite à jamais, qu’à jamais effacée,
Soit l’heure lamentable où je t’ai traversée !
Que ta fange m’oublie et ne conserve pas
Une heure seulement la trace de mes pas !
Que le vent, qui te touche à regret de ses ailes,
De nos corps consumés disperse les parcelles !
Que sur ta face, ô terre ! il ne reste de moi
Que l’imprécation que je jette sur toi ! »

Pour unique réponse à son mortel délire,
L’air muet retentit d’un long éclat de rire.
Derrière un monticule il vit de près surgir
Les fronts de cinq géants et du traître Stagyr.
« Meurs, lui crièrent-ils, vile brute aux traits d’ange !
Ta force nous vainquit, mais la fourbe nous venge.
Laissons cette pâture aux chacals des déserts ;
Sa mort nous laisse dieux, et l’homme attend nos fers ! »
Ils dirent ; et tournant le dos, ils disparurent,
Et leurs voix par degrés sur le désert moururent.

Cédar, dont leur mépris fut le dernier adieu,
A cet excès d’horreur se dressa contre Dieu.
Tout l’univers tourna dans sa tête insensée ;
Il n’eut plus qu’une soif, un but, une pensée :
Anéantir son cœur et le jeter au vent.
Comme un gladiateur blessé se relevant,
Il cueillit sur les flancs arides des collines
Une immense moisson de ronces et d’épines
Autour du groupe mort où son pied les roula,
En bûcher circulaire il les accumula ;
Puis, prenant dans ses bras ses enfants et sa femme,
Ces trois morts sur le cœur, il attendit la flamme.

La flamme, en serpentant dans l’énorme foyer
Que le vent du désert fit bientôt ondoyer,
Comme une mer qui monte au naufrage animée,
L’ensevelit vivant sous des flots de fumée.
L’édifice de feu par degrés s’affaissa.
Du ciel sur cette flamme un esprit s’abaissa,
Et d’une aile irritée éparpillant la cendre :
« Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
Et ton crime d’amour ne peut être expié.
Qu’après que cette cendre aux quatre vents semée,
Par le temps réunie et par Dieu ranimée,
Pour faire à ton esprit de nouveaux vêtements
Aura repris ton corps à tous les éléments,
Et, prêtant à ton âme une enveloppe neuve,
Renouvelé neuf fois ta vie et ton épreuve ;
A moins que le pardon, justice de l’amour.
Ne descende vivant dans ce mortel séjour ! »

L’ouragan, à ces mots se levant sur la plaine,
Souffla sur le bûcher de toute son haleine,
Et dispersa la cendre en pâles tourbillons,
Comme un semeur, l’hiver, la semence aux sillons.
L’immobile désert sentit frémir sa poudre,
L’occident se couvrit de menace et de foudre ;
Des nuages pesants, pleins de tonnerre et d’eau,
Posèrent sur les monts comme un sombre fardeau ;
L’homme, le front levé vers la céleste voûte,
Du déluge sentit une première goutte.

 
voici le double mouvement :
Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
 
l’épilogue qui vient juste après, et clôture le livre, a l’apparence et la nature d’une retombée :
« Et le vieillard finit en disant : « Gloire à Dieu !
Dieu, seul commencement, seule fin, seul milieu,
Seule explication du ciel et de la terre,
Seule clef de l’esprit pour ouvrir tout mystère ! »
Il étendit la main pour l’invoquer sur nous !
Nous pliâmes, contrits, nos fronts et nos genoux ;
Comme un homme qui craint de renverser un vase,
Nous sortîmes muets de l’antre de l’extase.
Le navire aux mâts nus, endormi sur les flots,
A l’ombre du Liban berçait nos matelots.
Sous la vergue où le câble avait roulé les voiles,
L’hirondelle du bord en becquetait les toiles.
Le sifflet réveilla le pilote dormant,
Et le vaisseau reprit son sillage écumant »
 
 
 

 

La loi de création de Wronski et la théorie des catégories

(je ne comprends pas ce qui se passe avec WordPress, le texte complet de l’article refuse de  s’afficher, voir ces liens pour l’article complet :

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/106/106

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories-104092362.html

et par la même occasion voir ceux ci pour la poursuite des recherches sur ce sujet :

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/107/107

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/109/109

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-topoi-cohesifs-104391835.html

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-trois-elements-primitifs-de-wronski-et-les-topoi-104317024.html

 

La loi de création a déjà été abordée sur le blog « Recherche de l’Absolu » :

http://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/11/diagrammes-de-la-loi-de-creation-de-wronski/

ce qui va être dit ici est purement spéculatif et « formel » , disons un programme de travail qui donnera ou pas quelque chose … je me base sur les ligens suivantes de Francis Warrain dans « Quantité, infini, continu » page 17 :

« toute réalité comporte , outre les deux éléments hétérogènes et primordiaux : élément-être (EE) et élément-savoir (ES) , un élément à double fonction que Wronski appelle : élément fondamental ou neutre (EN).

Cet élément est d’ordre fonctionnel, pragmatique, dynamique, tandis que les deux autres forment une polarité et sont en quelque sorte d’ordre statique et spéculatif.

Cette polarité et l’élément pragmatique se partagent la primauté à des titres différents: du jeu de leur prédominance alternative se tireront les fonctions essentielles qui développent un système quelconque de réalités »

élément pragmatique , fonctionnel , dynamique … ne dirait on pas un morphisme, ou un foncteur ?

en même temps on sait que dans la théorie des catégories, l’ élément fondamental (terme même employé par Wronski pour nommer l’élément neutre EN) consiste en les morphismes, flèches, foncteurs, et non pas en les objets qui sont d’ordre abstrait, facilitant le discours, et sont carrément éliminés par idnetification au morphisme identité dont ils sont pourvus dans certaines présentations de la théorie (celle de Peter Freyd par exemple) .

Donc suivant mon idée , qui pour l’instant  est d’ordre spéculatif, je commence à écrire le haut du diagramme de la loi de Wronski sous forme de foncteur entre deux catégories EE (être) et  ES  (savoir) :

                                 EE   ——————————>  ES

la flèche étant un foncteur appelé EN.

Attention, je répète l’avertissement : il s’agit là d’un essai à titre purement formel, je ne prétends pas que ces termes (catégories, foncteurs, etc..) recouvrent des réalités mathématiques… ce n’est qu’ à la fin, éventuellement, après la progression du travail, que nous pourrons donner un sens exact à ces notions, qui pour l’instant sont proposées à titre d’essai.

Pour des considérations de symétrie, il nous faut aussi un foncteur dans l’autre sens :

              EE   < ————————————   ES

prenons un exemple concret très simple : celui d’un objet naturel, comme ce chien qui pourrait être mon chien si j’en avais un.

C’est un corps vivant, un objet vivant du monde, il court, aboie, gambade, mange… si je ne le nourris pas il meurt … ou bien il se met en colère et me saute dessus pour me manger !

mais en même temps « ce chien ci », qui est supposé être « mon chien », pourrait il exister (s’il existait, ce qui n’est pas le cas) sans que j’intervienne, sans que j’en forme une idée, un concept ?

réponse : NON !

car si je n’existais pas il ne serait pas « mon chien » !

Nous avons donc forcément : le chien en tant qu’objet du monde, « transcendant » comme on dit, et mon idée de ce chien.

Ce sont deux choses différentes, car comme dit Spinoza malicieusement (si tant est que l’on puisse attribuer à Spinoza de la malice ) :

l’idée de chien n’aboie pas !

et elle ne mange pas non plus !

Le chien « objet du monde » est EE, l’idée du chien est ES, et l’élément EN qui les relie est l’opération de connaissance, de correspondance qui fait que « mon idée de mon chien » s’applique à ce chien ci qui est mon chien, et non pas  à , mettons, cette bouteille de vodka !

sinon c’est que j’ai bu la bouteille, et je m’expose à de gros problèmes avec les petits hommes en bleu ou en blancs, qui arrivent dans des voitures qui ont une sirène retentissante…

s’il n’y avait pas EN, sous la forme de deux foncteurs qui assurent la correspondance adéquate entre le monde « là dehors » et le monde « des idées, en moi », alors ce monde serait complètement fouuuu, comme dit le sympathique Jean-Pierre Foucault…

et il serait surtout invivable !

et donc nous n’y vivrions pas , et ne serions pas là pour écrire ou lire ce blog !

EN est donc bien fondamental !

mais revenons à nos catégories et à la loi de création de Wronski :

Nous aurons donc, dans le cas le plus basique, deux « foncteurs » en sens inverse  entre deux « catégories » : on ne peut pas alors ne pas penser à l’adjonction de foncteurs, qui est le concept le plus important de la théorie des catégories !

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

nous aurions donc pour EN une paire de foncteurs adjoints entre EE et ES  :

  F :  EE  ————————->  ES

 G :  EE  < ———————–     ES

F étant adjoint à gauche de G :

 F\dashv G

Nous porrions aussi penser à « complexifier » un peu les choses en utilisant des situations qui se présentent souvent en mathématiques , un foncteur ayant un adjoint à droite et un adjoint à gauche, ou bien une série d’ajonctions , la page Wiki ci dessus en présente deux :

A functor with a left and a right adjoint. Let G be the functor from topological spaces to sets that associates to every topological space its underlying set (forgetting the topology, that is). G has a left adjoint F, creating the discrete space on a set Y, and a right adjoint H creating the trivial topology on Y

A series of adjunctions. The functor π0 which assigns to a category its sets of connected components is left-adjoint to the functor D which assigns to a set the discrete category on that set. Moreover, D is left-adjoint to the object functor U which assigns to each category its set of objects, and finally U is left-adjoint to A which assigns to each set the antidiscrete category on that set.

de telles situations avec quatre foncteurs en situation d’ajonction à gauche sont souvent utilisées par Bill Lawvere, par exemple :

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/9/tr9.pdf

pages 3 – 4

mais ne soyons pas plus précis pour l’instant et continuons sur la loi de Création de Wronski :

nous nous occupons de la branche de gauche, celle de la théorie ou autothésie

le premier élément « dérivé immédiat ou universel », après le ternaire des éléments primitifs EE, EN et ES, est :

US universel-savoir comme combinaison de EN et ES

 Ce ne peut être que le schéma ci dessus pour les trois éléments primitifs , où l’on ne retient que le foncteur G  allant de ES à EE (parmi les deux foncteurs adjoints) :

G :               EE  <—————————–  ES

sera US

de même UE combinaison de EE et EN sera l’autre foncteur :

UE = F :           EE —————————–> ES

si nous avons choisi des séries d’ajonction plus complexes, US regroupera tous les foncteurs allant de ES vers EE, et UE tous les foncteurs allant en sens inverse, de EE vers ES

passons aux éléments dérivés médiats, qui résultent de transitions de US vers UE ou de UE vers US en se basant sur le fait que US et UE ont en commun EN, qui participe à leurs combinaisons.

Que peut être une transition entre des foncteurs ? ici la théorie des catégories répond « naturellement » sous la forme des « transformations naturelles » ou « morphismes entre foncteurs » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

la situation d’adjonction a été choisie, ou du moins suggérée, par moi parce qu’elle arrive en quelque sorte « enceinte » de tout un tas de notions mathématiques toutes plus prégnantes les unes que les autres..

ainsi ne se peut il pas que les deux éléments transitifs, qui relient deux foncteurs adjoints, soient les deux transformations naturelles appelées « unit » et « co-unit » , notées ε  et  η , qui existent dans toute adjonction ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#Ubiquity_of_adjoint_functors

A counit-unit adjunction between two categories C and D consists of two functors F : C ← D and G : C → D and two natural transformations

\begin{align}<br />
\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\<br />
\eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}

respectively called the counit and the unit of the adjunction (terminology from universal algebra), such that the compositions

F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F
G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G

are the identity transformations 1F and 1G on F and G respectively

ce qui est noté par :

 (\varepsilon,\eta):F\dashv G

et signifie :

\begin{align}<br />
1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\<br />
1_G &= G\varepsilon \circ \eta G<br />
\end{align}

which mean that for each X in C and each Y in D,

\begin{align}<br />
1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\<br />
1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}<br />
\end{align}.

où bien sûr les catégories C et D de la page Wiki sont nos « catégories » EE et ES respectivement (mais je rappelle que pour l’instant ceci est purement formel, et nous ne saurions donner un sens mathématique à ces notions-projets).

ce qui vient d’être dit concerne la situation la plus simple, où nous nous sommes limités à deux foncteurs adjoints entre EE et ES

passons maintenant à ce que Wronski appelle les quatre « classes systématiques »  : influence partielle de E en S, influence partielle de S en E, influence réciproque (appelée par lui « Concours final »  CF) et enfin ce qu’il appelle Parité coronale PC.

On sait que PC , identité complète du système , unité de ce système sur un plan supérieur, est en fait identique au système de départ, qui est EN , EE et ES :

EN = (F , G) :   EE   ——————> ES

                             EE < —————-   ES

je proposerais bien, sans être définitivement affirmatif, pour l’influence partielle de E en S, le foncteur non plus entre EE et ES mais entre EE et sa catégorie image, qui est une sous-catégorie de ES :

EE —————————> F(EE)  incluse dans ES

de même pour l’influence partielle de S en E :

ES ————————–> G(ES )  incluse dans EE

et pour l’influence réciproque les deux foncteurs restreints aux deux sous-catégories G(ES) et F(EE) .