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Physique catégorique : dynamique des monades , temps et changement

L’orde des sujets dans ces blogs « Henosophia mathesis universalis » n’est pas prédéterminé d’avance sinon cela voudrait dire que ce n’est plus de la pure recherche spéculative mais un peu comme le logique descendante de la synthèse que Brunxschvicg opposait aux mathématique qui montent vers l’Absolu , que les choses exposées ici traduiraient une doctrine connue à l’avance et connue comment ? Par l’instinct du plan vital bien sûr, pas par la raison spirituelle pure et désintéressée qui « aperçoit » le « Dieu des philosophes » .
Cela voudrait Die que le « renard est logé au cœur du poulailler » ( le renard de l’instinct vital et sexuel intéressé ) et donc que les poules auront bientôt des dents..
Cela dit il y a un ordre le blog ne se développe pas au hasard ou au petit bonheur la chance .
Ainsi j’ai abordé dans l’article précédent l’idée de « monade »:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/09/12/monades-en-theorie-des-categories

parce qu’elle est liée à celle d’adjonction comme j’ai essayé de le montrer, idée d’adjonction qui est sans doute la plus importante de la théorie des catégories, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction
et aussi parce que j’ai découvert récemment un article de physique qui fai appel à la théorie des catégories pour éclairer les difficiles problèmes conceptuels et philosophiques que pose le temps, comme l’avouait Saint Augustin ( » si l’on ne me demande pas ce qu’est le temps, je le sais..mais si l’on me demande de l’expliquer je ne sais plus ») et Aristote quant à lui disait que nous avons besoin de la notion de temps pour expliquer ce qu’est le changement et réciproquement que l’on ne peu expliquer ce qu’est le tempsqu’en faisant appel à la notion de changement..tout ceci ressemble fort à une adjonction !
En tout cas voici cet article de physique :

http://arxiv.org/pdf/1501.04921.pdf

Je rappelle que la dynamique l’étude scientifique du mouvement ,est le dernier acquis , réalié au 17 ème siècle ,de la connaissance qui fonde la science moderne sur la physique mathématique, « déplacement d’axe de la vie religieuse », voir :

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/mecanique-statique-dynamique-et-geometrie/

alors que la statique, étude de l’équilibre des corps, immobiles donc , était déjà connue pour l’essentiel des Grecs (cf théorème d’Archimède) ..
C’est un fait : l’humanité peine à comprendre le changement, comme on le voit en observent ce que l’on appelle les « crises » qui bouleversent nos sociétés actuelles, comme le « crise des migrants » qui est en cours. La dynamique, étude des corps en mouvement, mais cela a des points communs, comme on le voit dans le film de J C Chandor « Margin call »:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Margin_Call
où c’est un mathématiciens specialiste de la théorie des fusées employé comme trader « parce que c’est mieux payé »qui gère la crise des « actifs toxiques », la fameuse crise de 2007-2008 qui a plongé le mondedansle chaos (et continue de le faire actuellement) .
Penser aussi au film « A beautiful mind » sur la vie de john Nassh qui puise sesi dées sur l’évolution des économies dans la dynamique
Je reviendrai prochainement sur l’article ‘Monadic dynamics » pour en expliciter si possile les ides mathématiques maisilfaut au paravant approfondir la théorie des monades et leur rapport avec le non -déterminisme donc l’évolution etl et le temps , qui peut être conçu comme une propriété universelle (« a universal, free notion of change »)du changement, au sens que nous avons défini ici d’après la mathesis des catégories et foncteur, voir :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/15/quest-ce-quune-propriete-universelle-y-a-til-une-reponse-satisfaisante/

et

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/08/13/propriete-universelle-et-foncteurs-adjoints/

Monades et adjonctions en théorie des catégories

La page Wikipedia est ici :
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monade_(théorie_des_catégories)

Et elle établit bien le lien avec la notion fondamentale d’adjonction , se rappeler nos articles passés :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/17/adjonction-3-dans-le-cadre-des-2-categories/
Et

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

On peut lire aussi la page du Nlab qui a le mérite de lier la notion de mônade a celle de monofide dont elle est la categorification horizontale

http://ncatlab.org/nlab/show/monad

Rappel: un monoide est un ensemble muni d’une opération ou loi de composition * entre des éléments, opération associative, et muni aussi d’un élément neutre pour cette opération c’est à dire un élément 1 tel que pour tout élément y
Y*1 = 1 * y = y
Un groupe est un monoide tel que tout élément soit inversible pour l’opération c’est à dire tel que pour tout élément u il existe son inverse v défini par :
U* v= v* u = 1
e mônade peut donc être vue (page Wikipedia) comme un endofoncteur d’une catégorie C :
T : C ——–> C
Endofoncteur accompagné de deux transformations naturelles μ et η.
La transformation naturelle μ sera dirigée du foncteur identité sur C vers le foncteur T :
μ : 1———-> T
Et jouera le rôle de l’élément neutre dans le monoide voir ci dessus en considérant que le foncteur identité sur C noté 1 joue le rôle d’élément neutre pour la composition des foncteurs , et quant à la transformation naturelle μ elle jouera le rôle de la multiplication ou loi de composition dans le monoide voir lignes ci dessus, ainsi est comprise l’analogie entre monade et monoide , analogie qui est une categorification dite horizontale .
Dans la page Nlab une monade est expliquée comme un objet dans une bicategorie (une 2-categorie non stricte ) avec deux endomorphismes c’est à dire deux endofoncteurs et les deux transformations naturelles deviennent des 2- morphismes (en anglais « 2-cells »)
Satisfaisant aux équations spécifiée sur le page nlab comme sur le page Wikipedia au moyen de diagrammes car c’est cela un diagramme : l’analogie catégorique d’une équation en algèbre classique
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A toute adjonction de foncteurs corresponde une monade et réciproquement à toute monade corresponde une adjonction, ceci a été démontrée ´ par Kleisli et Moore d’où le nom de deux catégories importantes associées à une monade, celle de
Kleisli et celle d’Eilenberg-Moore :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_de_Kleisli
En notant toutes ces analogies où la pensée à toujours l’impression de « retomber sur ses pattes  » tel un chat faisant des bonds et des acrobaties on se persuadera j’espère que le mathesis est le domaine où est réalisée l’unité de la pensée (humaine) que Grothendieck désignait du mot sanskrit de yoga volant dire « lien, jonction » et il utilisait fréquemment l’expression « yoga des foncteurs »