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Propriété universelle en théorie des catégories

Je vais insister sur la propriété d’universalité, intimement liée à l’idée d’adjonction, ainsi qu’à la théorie des catégories (qui est le royaume, ou ciel platonique, des universaux concrets chers à Hegel) comme je l’ai expliqué hier dans cet article::

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

Commençons par la page Wikipedia en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qui comme souvent est préférable à celle en français (nous avons déjà constaté cela à propos des algèbres de Von Neumann):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

La page en anglais se place dans une plus grande généralité puisqu’elle envisage un foncteur entre deux catégories quelconques, alors que dans la page en français la seconde catégorie est celle des ensembles. La page en français commence abruptement par une définition mais comme elle ne donne pas de figure ceux qui ne sont pas habitués sont largués, et c’est dommage.

Donc donnons nous un foncteur entre deux catégories D et C (qui ne sont pas forcément la catégorie des ensembles) :

U : D ———-> C

et un objet X dans la catégorie C.

On se place dans la catégorie notée

image

qui est un cas particulier de ce que l’on appelle « comma-category », voir:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Comma_category

et qui est appelée « catégorie des morphismes de X vers U » (ce qui est étonnant car X est un objet de C et U est un foncteur de D vers C), elle est définie ainsi: ses objets sont les morphismes dans C de la forme:

X ——–> U(Y) où Y est objet de D, auquel correspond dans C par le foncteur U l’objet U(Y).
Les morphismes entre deux de ces objets, qui sont déjà des flèches X —-> U(Y) et X ——-> U(Z) sont évidemment des morphismes U(Y) —–> U<Z) qui font commuter le diagramme triangulaire qui est représenté dans la page Wiki dans un cas particulier:

image

Ce cas particulier est celui de ce qui est appelé « morphisme initial » de X vers U, qui est un objet initial dans la « comma category » que nous avons deçrite ci dessus : celle des morphismes de x vers U.
Un objet initial est un objet tel qu’il y a un et un seul morphisme allant de cet objet vers tout autre objet de la catégorie, la notion duale (en inversant le sens des flèches) étant celle d’objet terminal:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_object

De manière duale encore, un morphisme terminal de U (foncteur) vers X (objet de C) est un objet terminal dans la comma category:

image

objet terminal terminal obtenu par le diagramme dual du précédent:

image

Les deux morphismes initial et terminal sont des morphismes universels, et les deux propriétés correspondantes (faire commuter un diagramme du type des deux ci. Dessus est une propriété universelle.

Un objet initial ou terminal est un exemple de limite ou de colimite (notions duales) d’un diagramme : si le diagramme est vide (aucun point, aucune arête ) la limite est objet initial, la colimite est objet terminal.

Produit et coproduit sont d’autres cas particulier de limite et de colimite. Par exemple pour le produit de deux objets dans une catégorie:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorical_product

Voici le diagramme correspondant pour définir la propriété universelle et le morphisme universelle, qui est l’unique morphisme (à un isomorphisme près) f faisant commuter le diagramme :

image

A retenir : une limite, donc un morphisme universel , est toujours défini « à un isomorphisme près », cela veut dire que s’il en existe un il en existe tout un tas d’autres qui sont les composés du premier avec un isomorphisme.

Rappel : un isomorphisme f est une flèche inversible, c’est à dire telle qu’il existe g (l’inverse) tel que :

fg = gf = Id (morphisme identité)

Nous nous sommes limités ici à la définition mathématique, mais il y a beaucoup plus dans cette idée d’universalité, et l’intérêt des travaux de David Ellerman est de prolonger vers les pures idées philosophiques (platoniciennes) ces notions (cependant il est important de comprendre et de garder en mémoire le cadre mathématique, cela évite les dérives).
Nous y reviendrons…il y a énormément à creuser là dessous..

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éclaircissements grâce à la toposophie sur la première Sourate du Coran selon l’ordre de la révélation

Nous avons vu ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/09/objet-initial-objet-terminal-et-objet-nul-premiere-application-de-la-toposophie-au-coran/

que le mathème qui permet de comprendre rigoureusement le Dieu de l’Islam est la notion d’objet nul, c’est à dire d’objet à la fois initial et terminal dans une catégorie.

De plus nous avons vu que la présence d’un tel objet nul induit l’existence, pour tout couple d’objets de la catégorie, d’un morphisme « spécial » unique, le morphisme nul ou zéro-morphisme , qui est le morphisme entre ces deux objets passant par l’objet nul, noté 0 :

http://en.wikipedia.org/wiki/Zero_morphism

http://planetmath.org/KernelOfAMorphism.html

http://ncatlab.org/nlab/show/zero+morphism

Ce morphisme « spécial » entre deux objets quelconques X et Y est noté :

0XY : X0Y

on voit facilement qu’il obéit à la commutativité du diagramme suivant :

ZeroMorphism.png
 
Or nous avons vu que ce morphisme « distingué » et déterminé une fois pour toutes est celui des relations « passant par Dieu » , et donc inamovibles entre les êtres: telle est l’origine réelle de l’obscurantisme religieux, islamique notamment.
Or ce morphisme apparaît dès le début du Coran , dès la Sourate 96 Al-Alaq , qui si elle porte le numéro 96 dans l’ordre de la Vulgate est la première selon l’ordre de la Révélation !
c’est à dire que c’est la première à être enseignée à Mahomet par le créateur et le « scribe » principal du Coran, le prêtre nazaréen
 

Waraqa Ibn Nawfal

voir là dessus :
 
 
 
texte et traduction de la Sourate :
 
Le premier verset de cette Sourate introduit d’ailleurs Allah sous la forme de l’objet initial, c’est à dire « Ton Seigneur » qui  » a tout créé » :
 

اقْرَأْ بِاسْمِ رَبِّكَ الَّذِي خَلَقَ

Lis au nom de ton Seigneur qui a tout créé

c’est au verset 2 que Waraqa Ibn Nawafal , l’inquiétant et pervers Gourou qui a créé le Coran :
 
enseigne à Mahomet l’existence du « morphisme nul », c’est à dire de ce que le Coran appelle « Al-‘alaq » et qui donne son titre à la première Sourate révélée, preuve de l’importance cruciale de cette notion:
 

Al-‘Alaq = le lien, l’adhérence

96.2.خَلَقَ الْإِنسَانَ مِنْ عَلَقٍ

96.2. qui a créé l’homme d’une adhérence !

Allah en tant qu’objet terminal n’est introduit qu’au verset 8 seulement :
 

  

96.8.إِنَّ إِلَى رَبِّكَ الرُّجْعَى

 

96.8. comme si tout n’était pas destiné à faire retour à ton Seigneur !

et seulement dans le but de couper court aux vélléités de rébellion et d’autonomie des « élèves » :

96.6. Et pourtant c’est cet homme-là qui devient rebelle

96.7. dès qu’il se sent en mesure de se suffire à lui-même,

aux versets précédents, le Gourou a placé son enseignement sous l’Autorité d’Allah :

96.3. Lis, car la bonté de ton Seigneur est infinie

96.4. C’est Lui qui a fait de la plume un moyen du savoir
 
La deuxième Sourate révélée, qui est la sourate 68, celle du Calame , prendra la suite et « mettra les points sur les i » comme on dit :
 
68.3. En vérité, une récompense sans reproche t’est réservée
 
cette « récompense » qui est réservée à Mahomet, c’est d’être le Prophète ultime d’Allah sur terre !
 
c’est là sa « situation » spéciale, son « morphisme nul » passant par Allah, l’objet nul, le plaçant dans un statut absolument sans égal !
 
voilà pourquoi, bien que l’Islam aille sans cesse répétant que Mahomet est un homme comme les autres (sinon on tomberait dans le paganisme et ses dieux incarnés, ou le christianisme et son Dieu fait Homme) il n’est quand même pas tout à fait pareil, et l’on s’expose à de « gros ennuis », pour dire le moins, à le critiquer, même aujourd’hui !
 
Waraqa n’insiste pas dans la première sourate 96, , ou juste autant qu’il est strictement besoin, sur Allah comme objet terminal, sur le « règne des Fins » : ces tribus encore ingorantes et plongées dans l’idolâtrie (à ses yeux) n’ent ont pas besoin, et seraient de toutes façons incapables de comprendre !
 
 

 

 

objet initial, objet terminal et objet nul : première application de la toposophie…au CORAN !

cet article se situe dans le prolongement du précédent :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/09/la-dualite-de-letre-et-de-lun/

où l’on a abordé les constructions universelles, et la dualité dans la théorie des catégories et des topoi.

Un autre exemple de ce genre de constructions est ce que l’on appelle « objet terminal » dans une catégorie: c’est un objet F  tel qu’il existe une flèche et une seule venant des autres objets de la catégorie vers F (F est défini à un isomorphisme près, comme toujours dans ce genre de constructions, c’est à dire que tout objet relié à F par un isomorphisme sera aussi terminal).

pour tout objet A de la catégorie, il existe une flèche et une seule :

A ———————- > F

File:Terminal and initial object.svg

http://ncatlab.org/nlab/show/terminal+object

la notion duale est celle d’objet initial :

http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

http://ncatlab.org/nlab/show/initial+object

il s’obtient par dualité, en renversant le sens des flèches; c’est donc un objet I tel que pour tout autre objet A il existe une flèche et une seule orientée de I vers A

I ———————–> A

un objet nul, ou objet zéro, est un objet qui est à la fois initial et terminal :

http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object

Quelques exemples :

dans la catégorie des ensembles, tout ensemble à un seul élément est un objet terminal (ces ensembles sont évidemment tous isomorphes, en bijection)

aussi note t’on généralement l’objet terminal  par 1

et l’on note :

!:x→1

l’unique morphisme dirigé de n’importe quel objet x vers l’objet terminal 1

L’objet initial dans cette même catégorie des ensembles est l’ensemble vide , aussi le note t’on généralement : ∅

!:∅→x  ce qui veut dire : il n’existe qu’une seule flèche de l’objet initial vers n’importe quel objet x

dans la catégorie Grp des groupes, le groupe trivial est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul.

http://ncatlab.org/nlab/show/trivial+group

Un ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie :

http://ncatlab.org/nlab/show/partial+order

on met une flèche entre deux objets de cette catégorie, ou deux élément de l’ensemble ordonné x et y si x est inférieur à y :

x —- > y si et seulement si  x ≤ y

l’objet terminal dans une telle catégorie est alors le maximum de l’ensemble ordonné, s’il existe…rappelez vous ceci, nous allons voir ce à quoi cela correspond en théologie

Un objet terminal est un exemple de limite : celle du diagramme vide!

et l’objet initial est la colimite correspondante.

Application au Coran : ALLAH  est NUL

j’ai donné il y a quelques temps  une interprétation de la sourate 112 portant sur le prétendu monothéisme pur (qui serait évidemment l’Islam.. on se croirait dans une publicité électorale américaine, où un candidat a le droit de dénigrer ses concurrents, ceux ci sont évidemment le christianisme et le judaïsme) :

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/la-sourate-112-al-ikhlas-le-monotheisme-pretendument-pur-verset-1/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/sourate-112-al-ikhlass-verset-2-labsolu/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/une-musulmane-fanatique-prise-en-flagrant-delit-dignorance-et-de-confusion/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/21/sourate-112-al-ikhlass-le-monotheisme-pur-versets-3-et-4/

Verset 1 :

112.1.قُلْ هُوَ اللَّهُ أَحَدٌ

112.1. Dis : «C’est Lui, Dieu l’Unique

112.2.اللَّهُ الصَّمَدُ

112.2. Dieu le Suprême Refuge

mais le terme As-Samad peut aussi être traduit par Absolu

Ces deux versets peuvent être traduits en toposophie par la proposition :

Allah est objet terminal

ceci est valide dans toute catégorie correspondant au discours à analyser : une catégorie peut être considérée comme une « fenêtre », un « point de vue » sur la Réalité.

Nous avons donc l’équation coranique :

ALLAH = 1

qui serait en même temps l’UN « réalisé » (ce qui est exclus par la toposophie, qui tient compte de la situation incarnée de l’existence humaine comme effort infini vers l’Unification du réel)

rappelons nous ce que nous avons dit sur l’objet terminal comme maximum dans une catégorie correspondant à un ensemble ordonné : ne retrouvons nous pas ici l’argument de St Anselme sur Dieu comme « tel qu’on ne peut pas penser de plus grand » ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anselme_de_Cantorb%C3%A9ry#.C2.AB_Preuve_ontologique_.C2.BB_de_l.27existence_de_Dieu

« Nous croyons que tu es quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé. Est ce qu’une telle nature n’existe pas, parce que l’insensé a dit en son cœur : Dieu n’existe pas?[6] Mais du moins cet insensé, en entendant ce que je dis : quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, comprend ce qu’il entend ; et ce qu’il comprend est dans son intelligence, même s’il ne comprend pas que cette chose existe. Autre chose est d’être dans l’intelligence, autre chose exister. […] Et certes l’Être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, ne peut être dans la seule intelligence ; même, en effet, s’il est dans la seule intelligence, on peut imaginer un être comme lui qui existe aussi dans la réalité et qui est donc plus grand que lui. Si donc il était dans la seule intelligence, l’être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé serait tel que quelque chose de plus grand pût être pensé. »

— Anselme de Cantorbéry, Proslogion

et, concernant la traduction de As-Samad par « absolu », ne retrouvons nous pas la thèse de Hegel (dans la Phénoménologie de l’Esprit) sur l’Absolu qui est essentiellement résultat ?

http://alain.feler.pagesperso-orange.fr/guy/Preface.html

« 20- Le vrai est le tout. Mais le tout n’est que la nature fondamentale s’accomplissant par son développement. Il faut dire de l’absolu qu’il est fondamentalement résultat, qu’il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité; et là-même est la nature de cet absolu, d’être du réel, d’être sujet, ou un devenir autonome. Aussi contradictoire qu’il peut sembler que l’absolu soit saisi fondamentalement comme résultat, un peu de réflexion redresse pourtant cette apparence de contradiction. Le début, le principe ou l’absolu, comme on l’exprime d’abord et im-médiatement, n’est que le général. Si peu quand je dis: tous les animaux, cela vaut comme zoologie, de même on voit que les mots du divin, de l’absolu, de l’éternel etc. n’expriment pas ce qui y est contenu; – et de tels mots n’expriment en fait que la contemplation comme im-médiat. Ce qui est plus qu’un tel mot, le passage à encore seulement une proposition, est un devenir autre, qu’il faut reprendre, c’est une médiation. Mais celle-ci est ce qu’on repousse, comme si en en faisant plus que de n’être rien d’absolu et pas du tout dans l’absolu, on en abandonnerait la connaissance absolue »

Reste qu’ Allah (Dieu) peut et doit être envisagé comme objet initial aussi, quand il est considéré comme l’Origine, la racine non manifestée, le Créateur , le Maître des mondes, par exemple dans la Sourate Al-Fatiha

1.2.الْحَمْدُ للّهِ رَبِّ الْعَالَمِينَ

1.2. Louange à Dieu, le Maître des Univers

(chaque univers correspond à une catégorie, ou plutôt un topos)

Ceci est encore plus évident dans le nom hébreu de YHVH qui correspond à ALLAH en arabe : on peut le traduire par « ce qui fut, est et sera »

l’origine et la fin

conclusion de la toposophie, c’est à dire de la philosophie absolue qui donne des leçons à YHVH-ALLAH :

ALLAH est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul !

ALLAH = 1 = O

seulement ici nous déduisons de la théorie l’existence d’un moprhisme distingué reliant deux objets quelconques de la catégorie du discours , morphisme unique se factorisant par l’objet nul qui est l’objet zéro :

pour deux objets quelconques x et y , il existe un morphisme spécial unique appelé morphisme nul, ou morphisme zéro, obtenu en factorisant par l’objet nul 0 :

! : x  ———-> 0 ————–> y

l’unicité provient de ce qu’il s’agit du morphisme composé des deux morphismes uniques !

voir http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object et http://ncatlab.org/nlab/show/zero+morphism

Nous avons ici l’explication de l’obscurantisme islamique : cet « unique morphisme », c’est (entre autres) la relation de deux êtres passant par Dieu, c’est à dire la relation déterminée une fois pour toutes par le dogme religieux.

Il est unique et inflexible, donc n’évoluera jamais !

ainsi par exemple, la relation entre un mari et sa femme « passant par Dieu » sera éternellement une relation de soumission de la femme à l’homme, et de sourde violence ..

ou, en d’autres termes moins « polis » :

« L’Islam des Lumières de Malek Chebel, et BHL,  c’est de la daube »

Le Coran corrigé par la toposophie

pour  conclure, voyons quel peut être le sens réel de ces apories.

Nous nous sommes débarrassés des Idoles métaphysiques que sont l’Etre et l’Un pour les troquer contre un mouvement duel de la pensée, vers l’Unification ou vers la multiplicité : montée et descente, procession et récession.

Or ceic trouve une interprétation particulièrement claire en théorie des catégories !

la flèche unique orientée de n’importe quel objet vers l’objet terminal 1 correspond à la montée vers l’Absolu et vers l’Un, montée jamais terminée, car effort infini qui ne supporte aucune relâche (donc pas d’alcool et pas de sexe, sinon on tetombe dans l’orientation vers le multiple… les femmes attirantes sont si nombreuses, une c’est bien, mais deux valent mieux qu’une, trois que deux, etc… etc..nous nommerons cette façon de voir les choses « discours de Salomon, ou de DSK »)

Seulement quelle est la notion duale ?

c’est à dire en considérant les flèches allant de 1 vers n’importe quel objet ?

tout simplement celle d’éléments de l’objet A, ce qui répond à ce qui se passe quand la catégorie est celle des ensembles !

en effet, si 1 est l’objet terminal de la catégorie des ensembles, c’est n’importe quel ensemble à un élément

considérons alors un ensemble A quelconque, ayant trois éléments (pour simplifier) : x , y et z

les morphismes dirigés de 1 vers A sont alors les fonctions (applications) :

1 ——–> A

qui associent à l’unique élément de 1 un et un seul (ce qui est la définition des fonctions) élément de A

il y a trois telles fonctions, et pas plus :

1 ——-> x

1 ——–> y

et 1 ——–> z

elles peuvent être identifées avec les trois éléments de A

CQFD

voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/generalized+element

« 

« In the category Set of sets, for X a set, an element x∈X is equivalently a morphism in Set (namely a function of sets) x:*→X, where ”*” denotes the point – the set with a single element. »

donc, la pensée selon l’un, la montée vers l’Un, consiste à prendre les morphismes dirigés vers 1, l’objet terminal

la pensée duale, vers l’Etre, la descente vers le multiple, consiste à inverser les flèches, à ne retenir que celles orientées de 1 vers un autre objet, ce qui revient à analyser un ensemble en ses éléments (dans le cas de la catégorie des ensembles)

Allah, YHVH, Dieu, c’est une Idée régulatrice, l’Idée de Raison, d’intelligibilité et d’unification portée à son maximum d’incandescence !

Et l’origine , l’objet initial ?

on la jette !

ce n’est qu’à ce prix que Dieu évitera d’être nul !

Si Dieu était « origine », objet initial, Dieu serait !

ce qui est selon Brunschvicg la formule de l’athéisme !

http://www.blogg.org/blog-76490-billet-atheisme__spiritualisme__philosophie_et_sens_commun_selon_brunschvicg-955910.html

« mais si l’idéal est la vérité, il est la vie même de l’esprit. L’idéal, c’est d’être géomètre, et de fournir d’une proposition une démonstration rigoureuse qui enlève tout soupçon d’ erreur; l’idéal c’est d’être juste, et de conformer son action à la pureté de l’amour rationnel qui enlève tout soupçon d’égoïsme et de partialité.

Le géomètre et le juste n’ont rien à désirer que de comprendre plus ou de faire plus, de la même façon qu’ils ont compris ou qu’ils ont agi, et ils vivent leur idéal.

Le philosophe n’est pas autre chose que la conscience du géomètre et du juste; mais il est cela, il a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi; le philosophe ouvre l’esprit de l’homme à la possession et à la conquête de l’idéal, en lui faisant voir que l’idéal est la réalité spirituelle, et que notre raison de vivre est de créer cet idéal.

La création n’est pas derrière nous, elle est devant nous; car l’idée est le principe de l’activité spirituelle… »

« Ou nous nous détachons des idées qui sont en nous pour chercher dans les apparences extérieures de la matière la constitution stable et nécessaire de l’être, nous nous résignons à la destinée inflexible de notre individu, et nous nous consolons avec le rêve dun idéal que nous reléguons dans la sphère de l’imagination ou dans le mystère de l’au delà« 

la destinée inflexible de l’individu, c’est le morphisme nul !

morphisme inéluctable si l’on conisdère dieu comme origine, comme objet à la fois initial et terminal, comme objet nul par lequel on peut « factoriser » les relations entre les êtres !

se détacher des idées qui sont en nous, c’est quitter l’immanence et l’intériorité pour la transcendance du monde, ou des croyances fabuleuses en le surnaturel et l’au delà !

« ou bien nous rendons à nos idées mortes leur vie et leur fécondité, nous comprenons qu’elles se purifient et se développent grâce au labeur perpétuel de l’humanité dans le double progrès de la science et de la moralité, que chaque individu se transforme, à mesure  qu’il participe davantage à ce double progrès. Les idées, qui définissent les conditions du vrai et du juste, font à celui qui les recueille et s’abandonne à elles, une âme de vérité et de justice; la philosophie, qui est la science des idées, doit au monde de telles âmes, et il dépend de nous qu’elle les lui donne »

 http://sedenion.blogg.org/date-2009-01-14-billet-958406.html

« Le danger du réalisme se trouvera donc conjuré du moment que la conscience sensible, que la conscience intellectuelle même considérée dans sa fonction théorique, ne sont que des abstractions de la conscience morale, comme le danger de voir la pureté de la critique s’infléchir dans le sens dialectique, l’immanence du Wissen (savoir) se subordonner à la transcendance du Glauben (croire, foi) »

C’est seulement en tant que je suis un être moral que la certitude est pour moi possible : le criterium de toute vérité théorique n’est pas lui même un criterium théorique, c’est un criterium pratique : un criterium interne, non un criterium externe, objectif, car précisément là où il est considéré comme moral, le moi doit être entièrement autonome et indépendant de tout ce qui se trouve en dehors de lui

il (le philosophe) a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi

« en définitive, les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme, de l’athéisme, sont : le vrai est, le bien est, Dieu est »

Dieu n’est pas : il doit être !

l’Absolu est essentiellement résultat : il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité .

Adorer Dieu en Esprit et en Vérité, c’est cela !

et c’est là le sens de la toposophie !