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Cohesive ∞-topoi

J’ai parlé à la fin du dernier article sur les « adjoint triples and quadruples » de cette note d’Urs Schreiber sur n-category cafe:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

La définition rigoureuse de la notion de « gros topos » est donnée ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

En gros (c’est le cas de le dire) il s’agit d’un topos dont chaque objet F a pour correspondant un topos, appelé « petit topos », 

P(F) qui est un espace où l’on peut faire de la géométrie ( se rappeler qu’un topos peut être vu comme la généralisation d’un espace topologique, c’est à dire un ensemble de points muni d’une topologie, qui est une collection de parties (de sous ensembles)appelées « ouverts »,  de cet ensemble, collection obéissant à certaines conditions, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Noter que dans le gros topos le petit topos associé à l’objet terminal 1, soit P(1) est appelé « topos des points » du gros topos (notion à garder en mémoire):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

La note d’Urs Shreiber donne un exemple précis de quadruplet de foncteurs en adjonction (adjoint quadruple) dont nous avons parlé dans l’article récent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

f! ⊣f * ⊣ f * ⊣ f !

Le foncteur principal Γ d’un topos cohésif E est appelé foncteur  » section globale » c’est un morphisme géométrique :

Γ: E → S où S est le topos des ensembles et ce foncteur associeà un objet X du topos E, qui est un espace, l’ensemble Γ(X) des points de cet espace X c’est à dire la pure multiplicité de ses « points ».
Quelques précisions ici sur les notations employées : dans l’article de n-category cafe ou de Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

qui est en anglais on emploie la lettre S pour Set, qui veut dire « ensemble », mais en francais cela risque d’introduire une infusion puisque la lettre qui correspond à  » Ensemble » est justement E, et non plus S. Nous introduirons donc les lettres H (comme Henologie ou Henosophia) à la place de E pour un topos cohésif et O(comme Ontologie) à la place de S et noterons ce foncteur section globale:

Γ : H → O
Où O est le topos Ens des ensembles qui , selon la doctrine de Badiou dans l’Etre et l’événement , correspond à l’ontologie qui traite de la multiplicité pure  » sans Un » , qui est ici la multiplicité pure des points de l’espace, en oubliant la cohésion .
Une première adjonction est :

Disc ⊣ Γ
(Γ est adjoint à droite de Disc)
Où Disc est le foncteur qui envoie un ensemble de points ,pure multiplicité sans cohésion, sur la meme multiplicité mais structurée par la topologie discrète ( dans le cas d’une structure topologique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie_discrète

Rappelons qu’une topologie sur un ensemble X de points consiste en une collection de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions, sous-ensembles appelés « ouverts ». Cette topologie discrète est en même temps la topologie maximale possible : tout sous ensemble est un ouvert.
La topologie minimale, la plus « grossière », est appelée « codiscrete » : seuls l’ensemble vide (sans aucun point) et l’ensemble total sont des ouverts, ce qui est toujours le cas dans toute topologie.
Le foncteur Codisc, envoyant un ensemble de points sur la structure codiscrete définie sur cet ensemble, correspondant est adjoint à droite du foncteur Γ.
Enfin un quatrième foncteur Π vient s’ajouter aux trois précédents:

Π : H → O (voir le rappel sur nos notations plus haut: O comme  » Ontologie »est le topos des ensembles, du multiple pur « sans Un, sans cohésion  » et H comme  » Henosophia » est le topos cohésif.
Ce foncteur est un peu plus compliqué : dans le cas n= 1 il envoie un espace sur ses composantes connexes, et pour les niveaux supérieurs cela se généralise à la « truncation de niveau (n-1) du groupoide fondamental :

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid

Qui a pour objets les points de l’espace de départ (de l’ensemble de points) X et pour morphismes les  » chemins » d’un point à l’autre, définis à une homotopie près.
Le groupoide fondamental est une généralisation du groupe fondamental d’un espace topologique et ces deux notions se généralisent d’un espace topologique à un topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+group+of+a+topos
Ce foncteur Π est adjoint à gauche du foncteur Disc.
Nous avons donc une série de trois adjonctions entre les quatre foncteurs définis , ce qui répond bien à la définition d’un quadruplet (« adjoint quadruple »):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Ce quadruplet est la généralisation cherchée d’un morphisme géométrique, et il est orienté tout comme un morphisme géométrique qui est une paire de foncteurs adjoints. L’orientation va de H (topos cohésif, hénosophique) vers O ( topos des ensembles, ontologique ) et c’est ainsi que Lawvere définit les topoi cohésifs.
La seconde partie de la note d’Urs Schreiber titrée  » A remark on Lawvere’s work » est extrêmement importante, en voici les extraits cruciaux:
« He is really at heart a physicist, in the following sense: he is deeply interested in the mathematical model building of reality He is searching for those structures in abstract category theory that do reflect the world. He is asking: What is a space in which physics can take place? Concretely: What is the abstract context in which one can talk about continuum dynamics? I gather even though he is an extraordinary mind, he did not push beyond continuum mechanics, otherwise he would also be asking: What is the abstract context in which quantum field theory takes place? »

(Lawvere réputé comme un logicien, a d’abord pour préoccupation la physique, en s’arrêtant à la mécanique sans aborder le domaine quantique)

Puis
« As Jacob Lurie says rightly: Higher category theory is not theory for its own sake, but for the sake of other theory. And fundamental theoretical physics is all about scanning the space of theories for those that fit reality (as opposed to the physics that most theoretical physicists do, which is scanning the phenomena of one fixed theory.) »
Et enfin la fin de l’article :

« I wish there were more people like Lawvere around, with his perspective on the general abstract basis of everything and at the same time with the overview over modern derived ∞-topos theory and the understanding that the richer structure people are seeing in these is Lawvere’s observation that reality springs out of topos theory taken to full blossoming: reality springs out of ∞-topos-theory »

Ces deux deux dernieres observations font ressortir l’exceptionnelle importance de la  » higher topoi theory » de Jacob Lurie qui n’est pas du tout une généralisation pour le plaisir de « faire compliqué » mais comme dit Schreiber:
 » a full blossoming of topos theory « d’où jaillit la Rélité » ( « reality springs out of ∞-topos-theory »)
J’ai déjà commencé à étudier le « magnum opus » de Jacob Lurie  » Higher topos theory », voir:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Il s’agit d’un travail énorme ( mais moins énorme que celui accompli par Lurie!) et j’espère avoir montré ici qu’il ne s’agit pas d’un jeu gratuit ayant pour but de fuir la réalité insupportable qui est la nôtre (celle de l’Europe de nouveau en guerre 70 ans apres 1945) dans de creuses et vaines abstractions mais justement d’un souci de la Réalité qui comme le dit Shreiber « jaillit de la théorie des topoi et surtout de sa pleine floraison : la théorie des ∞-topoi »
La Réalité ce n’est pas le « plan vital » de l’actualité et de l’Histoire mais le plan spirituel qui est celui où vivent les « clercs véritables » (tels Jacob Lurie) que Julien Benda appelait en 1927 de ses vœux:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/julien-benda-la-trahison-des-clercs/

« Clercs » véritables qui sont « le sel de la Terre » comme le dit l’Evangile:

http://saintebible.com/matthew/5-13.htm

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Le platonisme est la vérité de la philosophie

Il faut tenir bon, non pas avec Badiou, mais avec Brunschvicg, pour affirmer que le platonisme est la vérité de la philosophie.

Lire notamment la page 70 des « Etapes de la philosophie mathématique » :

http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAN8827.0001.001?view=toc

http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/aan8827.0001.001/81?view=image

« Que la fonction de la pensée soit une fonction de résolution, qu’ elle s’exerce à l’aide de la science des nombres et des figures, et que de degré en degré elle parvienne à découvrir dans le tissu enchevêtré des phénomènes l’ordre des relations mathématiques, cette conception est, en un sens, le platonisme lui-mênme; et puisqu’elle est destinée à réapparaître dès le lendemain de la Renaissance pour devenir avec les Galilée, les Descartes et les Newton, la substance de la civilisation moderne, il est permis de croire que le platonisme est la vérité même de la philosophie.

Mlais certe vérité i! a fallu vingt siècles de réflexion pour parvenir à la dégager dans la pureté de sa lumière; il a fallu que, la psychologie se substituant à a théologie et la critique au dogmatisme, la méthode d’analyse régressive que Platon avait introduite dans le domaine de la réflexion spéculative devînt la rmesure directe du progrès scientifique, et qu’elle se constituât ainsi comme une méthode indépendante, suffisante pour l’appropriation de la nature à l’esprit. »

Whitehead voyait en la totalité de la philosophie occidentale une suite de « notes en bas de page de Platon », et il avait raison ; seulement de quel platonisme parle t’on ?

Charles Singevin a tout autant raison de signaler que l’on retombe sur Aristote dès que l’on donne congé à Platon, et que la philosophie occidentale a perdu Platon !

Ce qui fut selon Brunschvicg vrai pour 20 siècles à peu près :

« L’oeuvre positive de résolution, entrevue par Platon à un moment déterminé du processus dialectique, est donc loin de définir la forme sous laquelle la doctrine s’est effectivement constituée et s’est offerte à la discussion des premiers auditeurs de Platon. L’analyse idéaliste n’est qu’une démarche préparatoire à la connaissance supérieure qui atteint les principes de l’être et du savoir, et déduit de ces principes les hypothèses nécessaires aux combinaisons du calcul et aux relations métriques. Le platonisme suspend la partie technique de: la mathématique, le domaine positif de la science, à une dialectique qui les dépasse et qui leur est étrangère. Par là, non seulement son échec immédiat devenait inévitable; mais encore il était inevitable que cet échec fût tout autre chose que la ruine d’un système particulier, qu’il entraînat une éclipse séculaire de la philosophie à base mathématique. L’intellectualisme scientifique de Platon devra s’effacer devant l’intuitionisme grammatical; le sujet de la proposition, devenu l’être en tant qu’être, sera l’objet par excellence du savoir, au préjudice de l’idée eni tant que nombre.  »

Sinon, nous n’aurions pas besoin de tenter de retrouver, ou redéfinir, un « Platon pour notre temps », ce que Badiou tente de faire dans ses derniers séminaires à juste raison.

Or il est sans doute symptômatique que Badiou se situe face aux détracteurs en tous genres comme Platon face à Aristote, ou comme Saint Thomas d’Aquin face à Averroès.

Et que MBK ne caricature cette attitude en appelant Badiou, imitant des noms lacaniens :

Le sinthomme à quinquin

Il ne faut pas céder sur le caractère primordial de la mathesis parce que justement nous avons besoin de la mathématique universelle et de ses démonstrations, qui sont les « yeux de l’âme » comme dit Spinoza, si nous voulons ne pas décoller (pour un « good » ou « bad trip ») de l’immanence radicale des idées et ne pas repartir pour un tour pour « la Transcendance de l’Idée », soit ce qu’il faut bien appeler le dogmatisme de Badiou et d’autres. Sans la boussole de la raison et les yeux de l’âme que sont les démonstrations, nous ressemblons à ce paralytique porté par un aveugle, dont le destin est de tomber dans une fosse…fosse de Babel ou fosse des camps de concentration.

« Il y a une mesure du vrai, et elle est en nous, dans cette puissance universelle de juger qui est, selon la maxime du cartésianisme, la chose du monde la mieux partagée. Mais c’est aussi que l’être lui même, que l’univers l’y a mise, en ce qu’il vise l’un, que l’ un est valeur, et que ce qui juge de la valeur, c’est nous »

(fin du livre de Singevin : « Essai sur l’ Un« )

la stratégie de Badiou pour démontrer l’inexistence du Tout

Dans « Logiques des mondes » (LDM) , page 119, section 1, Badiou commence sa présentation du « concept de transcendantal » (qui sera pour nous attaché à la notion de topos, comme ce que l’on appelle « objet-vérité » Ω) en démontrant l’inexistence du Tout.

Seulement, fidèle à sa thèse de la théorie des ensembles (pas n’importe laquelle, celle axiomatisée par Zermelo-Fraenkel) comme ontologie, ou doctrine de l’être en tant qu’être, le Tout doit être pour lui la totalité de « ce qu’il y a » , et comme tout ce qu’il y a ce sont les multiples purs, les ensembles, le Tout doit être la totalité des ensembles.

Mais si le Tout doit être, comme ce qui est, ce sont les multiples, le Tout doit être un multiple, un ensemble.

Conclusion : le Tout doit être un ensemble, et il doit être la totalité des ensembles.

Il ne peut donc être que l’ensemble de tous les ensembles, et à ce titre il doit être élément de lui même.

De tels ensembles, qui sont éléments d’eux mêmes, sont appelés par Badiou « multiples réflexifs », et ils ont été considérés de longue date par les mathématiciens comme assez « problématiques », voire dangereux, à tel point que la théorie a jugé bon de créer un axiome, l’axiome de fondation, pour les écarter comme possibilité de pensée.

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/378117-ensemble-se-contenant-lui-meme.html

http://utilisateur-ianop.blogspot.fr/2008/01/lensemble-vide-est-lment-de-lui-mme.html

d’ailleurs, même en théorie « intuitive » ou « naïve », on a du mal à en trouver : je ne puis proposer que des formulations négatives, comme par exemple l’ensemble des ensembles dont la cardinalité est non bornée, ou supérieure à un nombre entier fini quelconque n.

Mais revenons à l’enchaînement de pensées de Badiou : supposons que le Tout soit, et qu’il soit donc ensemble de tous les ensembles (comme nous y sonnes forcés si nous suivons les thèses de Badiou sur l’ontologie du multiple) alors il y a au moins un ensemble élément de lui même, et il est consistant de dire que de tels ensembles (dits réfelxifs) existent.

Mais il est aussi consistant de dire que des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux mêmes existent, et là on en trouve à foison.

Badiou cite comme exemple ces 5 poires qui sont là sur la table devant lui : on peut en former un ensemble, mais il n’a aucune chance d’être une poire, et donc il ne peut être élément de lui même, puisque tous ces éléments sont par construction…des poires !

Badiou poursuit : il est logiquement possible de séparer « tout ce qu’il y a », c’est à dire tous les multiples, en deux catégories : les réflexifs, et les non réflexifs.

Il est donc consistant de former l’idée du multiple de « tous les multiples non réflexifs », que Badiou appelle la Chimère.

Or cette Chimère, est elle réflexive ? elle est un ensemble, l’ensemble de tous les ensembles non réflexifs, mais peut elle être élément d’elle même ?

si elle l’était, cela voudrait dire qu’elle serait un ensemble non réflexif, puisque c’est la définition des éléments de la Chimère !

Conclusion : si la Chimère était réflexive, elle serait non réflexive !

Nous arrivons à une contradiction, une absurdité, donc la chimère ne peut être réflexive…

seulement nous arrivons au même genre de problèmes si nous la supposons non réflexive: car si elle est non réflexive, cela veut dire qu’elle est un ensemble qui n’est pas élément de lui même.

Donc elle appartient à l’ensemble des ensembles non réflexifs.

Or cet ensemble c’est elle même.

Donc elle appartient à elle même, elle est élément d’elle même.

Donc si nous supposons que la chimère est non réflexive, nous aboutissons à la conclusion qu’elle doit être réflexive !

Conclusion :

la Chimère est bien…chimérique, elle n’a pas d’être, elle ne peut être un

ensemble.

Et comme elle suivait de l’hypothèse de l’être du Tout, cette hypothèse, menant à des absurdités, doit être écartée.

Le Tout n’a pas d’être.

Seulement ceci n’est valable que dans le cadre des thèses ensemblistes de Badiou, et même dans ce cadre les mathématiciens ont depuis longtemps eu l’idée d’un axiome d’antifondation et d’ensembles dits « non well-founded », qui passent allègrement par dessus les prétendus interdits de « pensée philosophique » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d’anti-fondation

http://plato.stanford.edu/entries/nonwellfounded-set-theory/

mais selon moi le vrai problème est que Badiou ne part pas du véritable point de départ, qui est la dualité entre « élément-être » et « élément-savoir ».

Il parle seulement de l’idée du Tout, non pas du Tout lui même !

un ensemble n’est qu’une idée, et Badiou le reconnaît lui même avec son exemple de l’ensemble des 5 poires : c’est l’idée que nous nous formons de la collection des 5 poires, mais pas les 5 poires elles mêmes en leut être « massif », comme dirait Sartre, là devant nous, sur la table.

Si je suis sur le point de mourir de faim et de soif, ce n’est pas l’ensemble des 5 poires qui va me sauver : ce sont les 5 poires, et tout le monde le sait bien, qu’il soit idéaliste ou pas !

ou encore : c’est le chien qui aboie et qui mord, pas l’idée du chien !

Dans nos conditions d’existence incarnée, il est complètement absurde de vouloir « séparer » être et savoir, matière et esprit.

Mais, ce qui est la vérité éternelle de l’idéalisme, l’esprit possède  une prédominance évidente quand il s’agit de l’âme humaine et de son salut : sans les idées, et leur aboutissement la science, je pourrai cueillir les poires sur l’arbre, comme les anciennes tribus de sauvages , mais il me sera difficile de les faire venir sur ma table, sauf utilisation d’esclaves. Et encore devrai je savoir les faire pousser !

Qu’est ce que le Tout  : tous les étants « du monde extérieur » dont je puis former l’idée, moi ou n’importe qui d’autre, plus toutes les idées d’un étant quelconque ; cela fait du monde , car il y a en plus les idées d’idées (idées d’évènements par exemple).

Bref on comprend qu’il est insensé de vouloir avoir même l’idée d’en former un ensemble, ou une collection.

Le Tout serait en somme l’identité primitive de l’être et du savoir, dont nous avons constaté que la route est « barrée » à la pensée, sauf introduction du mysticisme dans la philosophie.

Le Tout est donc une idée mal formée, inconsistante : pas besoin de Zermelo-Fraenkel ni du paradoxe de Russell pour le comprendre !

Par contre si comme le dit Hegel « seul le vrai est le Tout », et que nous assignons à la philosophie , renommée par nous toposophie , la recherche et l’acheminement de l’âme vers la vérité, alors il devient licite d’envisager le Tout, comme l’Un ou l’Etre, comme limites : c’est là le schéma de pensée « fonctorielle » par lequel nous remplaçons les « arcanes du badiolisme » (pour reprendre ce néologisme, désignant l’école de pensée de Badiou, à son créateur François Laruelle).

objet initial, objet terminal et objet nul : première application de la toposophie…au CORAN !

cet article se situe dans le prolongement du précédent :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/09/la-dualite-de-letre-et-de-lun/

où l’on a abordé les constructions universelles, et la dualité dans la théorie des catégories et des topoi.

Un autre exemple de ce genre de constructions est ce que l’on appelle « objet terminal » dans une catégorie: c’est un objet F  tel qu’il existe une flèche et une seule venant des autres objets de la catégorie vers F (F est défini à un isomorphisme près, comme toujours dans ce genre de constructions, c’est à dire que tout objet relié à F par un isomorphisme sera aussi terminal).

pour tout objet A de la catégorie, il existe une flèche et une seule :

A ———————- > F

File:Terminal and initial object.svg

http://ncatlab.org/nlab/show/terminal+object

la notion duale est celle d’objet initial :

http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

http://ncatlab.org/nlab/show/initial+object

il s’obtient par dualité, en renversant le sens des flèches; c’est donc un objet I tel que pour tout autre objet A il existe une flèche et une seule orientée de I vers A

I ———————–> A

un objet nul, ou objet zéro, est un objet qui est à la fois initial et terminal :

http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object

Quelques exemples :

dans la catégorie des ensembles, tout ensemble à un seul élément est un objet terminal (ces ensembles sont évidemment tous isomorphes, en bijection)

aussi note t’on généralement l’objet terminal  par 1

et l’on note :

!:x→1

l’unique morphisme dirigé de n’importe quel objet x vers l’objet terminal 1

L’objet initial dans cette même catégorie des ensembles est l’ensemble vide , aussi le note t’on généralement : ∅

!:∅→x  ce qui veut dire : il n’existe qu’une seule flèche de l’objet initial vers n’importe quel objet x

dans la catégorie Grp des groupes, le groupe trivial est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul.

http://ncatlab.org/nlab/show/trivial+group

Un ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie :

http://ncatlab.org/nlab/show/partial+order

on met une flèche entre deux objets de cette catégorie, ou deux élément de l’ensemble ordonné x et y si x est inférieur à y :

x —- > y si et seulement si  x ≤ y

l’objet terminal dans une telle catégorie est alors le maximum de l’ensemble ordonné, s’il existe…rappelez vous ceci, nous allons voir ce à quoi cela correspond en théologie

Un objet terminal est un exemple de limite : celle du diagramme vide!

et l’objet initial est la colimite correspondante.

Application au Coran : ALLAH  est NUL

j’ai donné il y a quelques temps  une interprétation de la sourate 112 portant sur le prétendu monothéisme pur (qui serait évidemment l’Islam.. on se croirait dans une publicité électorale américaine, où un candidat a le droit de dénigrer ses concurrents, ceux ci sont évidemment le christianisme et le judaïsme) :

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/la-sourate-112-al-ikhlas-le-monotheisme-pretendument-pur-verset-1/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/sourate-112-al-ikhlass-verset-2-labsolu/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/une-musulmane-fanatique-prise-en-flagrant-delit-dignorance-et-de-confusion/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/21/sourate-112-al-ikhlass-le-monotheisme-pur-versets-3-et-4/

Verset 1 :

112.1.قُلْ هُوَ اللَّهُ أَحَدٌ

112.1. Dis : «C’est Lui, Dieu l’Unique

112.2.اللَّهُ الصَّمَدُ

112.2. Dieu le Suprême Refuge

mais le terme As-Samad peut aussi être traduit par Absolu

Ces deux versets peuvent être traduits en toposophie par la proposition :

Allah est objet terminal

ceci est valide dans toute catégorie correspondant au discours à analyser : une catégorie peut être considérée comme une « fenêtre », un « point de vue » sur la Réalité.

Nous avons donc l’équation coranique :

ALLAH = 1

qui serait en même temps l’UN « réalisé » (ce qui est exclus par la toposophie, qui tient compte de la situation incarnée de l’existence humaine comme effort infini vers l’Unification du réel)

rappelons nous ce que nous avons dit sur l’objet terminal comme maximum dans une catégorie correspondant à un ensemble ordonné : ne retrouvons nous pas ici l’argument de St Anselme sur Dieu comme « tel qu’on ne peut pas penser de plus grand » ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anselme_de_Cantorb%C3%A9ry#.C2.AB_Preuve_ontologique_.C2.BB_de_l.27existence_de_Dieu

« Nous croyons que tu es quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé. Est ce qu’une telle nature n’existe pas, parce que l’insensé a dit en son cœur : Dieu n’existe pas?[6] Mais du moins cet insensé, en entendant ce que je dis : quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, comprend ce qu’il entend ; et ce qu’il comprend est dans son intelligence, même s’il ne comprend pas que cette chose existe. Autre chose est d’être dans l’intelligence, autre chose exister. […] Et certes l’Être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, ne peut être dans la seule intelligence ; même, en effet, s’il est dans la seule intelligence, on peut imaginer un être comme lui qui existe aussi dans la réalité et qui est donc plus grand que lui. Si donc il était dans la seule intelligence, l’être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé serait tel que quelque chose de plus grand pût être pensé. »

— Anselme de Cantorbéry, Proslogion

et, concernant la traduction de As-Samad par « absolu », ne retrouvons nous pas la thèse de Hegel (dans la Phénoménologie de l’Esprit) sur l’Absolu qui est essentiellement résultat ?

http://alain.feler.pagesperso-orange.fr/guy/Preface.html

« 20- Le vrai est le tout. Mais le tout n’est que la nature fondamentale s’accomplissant par son développement. Il faut dire de l’absolu qu’il est fondamentalement résultat, qu’il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité; et là-même est la nature de cet absolu, d’être du réel, d’être sujet, ou un devenir autonome. Aussi contradictoire qu’il peut sembler que l’absolu soit saisi fondamentalement comme résultat, un peu de réflexion redresse pourtant cette apparence de contradiction. Le début, le principe ou l’absolu, comme on l’exprime d’abord et im-médiatement, n’est que le général. Si peu quand je dis: tous les animaux, cela vaut comme zoologie, de même on voit que les mots du divin, de l’absolu, de l’éternel etc. n’expriment pas ce qui y est contenu; – et de tels mots n’expriment en fait que la contemplation comme im-médiat. Ce qui est plus qu’un tel mot, le passage à encore seulement une proposition, est un devenir autre, qu’il faut reprendre, c’est une médiation. Mais celle-ci est ce qu’on repousse, comme si en en faisant plus que de n’être rien d’absolu et pas du tout dans l’absolu, on en abandonnerait la connaissance absolue »

Reste qu’ Allah (Dieu) peut et doit être envisagé comme objet initial aussi, quand il est considéré comme l’Origine, la racine non manifestée, le Créateur , le Maître des mondes, par exemple dans la Sourate Al-Fatiha

1.2.الْحَمْدُ للّهِ رَبِّ الْعَالَمِينَ

1.2. Louange à Dieu, le Maître des Univers

(chaque univers correspond à une catégorie, ou plutôt un topos)

Ceci est encore plus évident dans le nom hébreu de YHVH qui correspond à ALLAH en arabe : on peut le traduire par « ce qui fut, est et sera »

l’origine et la fin

conclusion de la toposophie, c’est à dire de la philosophie absolue qui donne des leçons à YHVH-ALLAH :

ALLAH est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul !

ALLAH = 1 = O

seulement ici nous déduisons de la théorie l’existence d’un moprhisme distingué reliant deux objets quelconques de la catégorie du discours , morphisme unique se factorisant par l’objet nul qui est l’objet zéro :

pour deux objets quelconques x et y , il existe un morphisme spécial unique appelé morphisme nul, ou morphisme zéro, obtenu en factorisant par l’objet nul 0 :

! : x  ———-> 0 ————–> y

l’unicité provient de ce qu’il s’agit du morphisme composé des deux morphismes uniques !

voir http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object et http://ncatlab.org/nlab/show/zero+morphism

Nous avons ici l’explication de l’obscurantisme islamique : cet « unique morphisme », c’est (entre autres) la relation de deux êtres passant par Dieu, c’est à dire la relation déterminée une fois pour toutes par le dogme religieux.

Il est unique et inflexible, donc n’évoluera jamais !

ainsi par exemple, la relation entre un mari et sa femme « passant par Dieu » sera éternellement une relation de soumission de la femme à l’homme, et de sourde violence ..

ou, en d’autres termes moins « polis » :

« L’Islam des Lumières de Malek Chebel, et BHL,  c’est de la daube »

Le Coran corrigé par la toposophie

pour  conclure, voyons quel peut être le sens réel de ces apories.

Nous nous sommes débarrassés des Idoles métaphysiques que sont l’Etre et l’Un pour les troquer contre un mouvement duel de la pensée, vers l’Unification ou vers la multiplicité : montée et descente, procession et récession.

Or ceic trouve une interprétation particulièrement claire en théorie des catégories !

la flèche unique orientée de n’importe quel objet vers l’objet terminal 1 correspond à la montée vers l’Absolu et vers l’Un, montée jamais terminée, car effort infini qui ne supporte aucune relâche (donc pas d’alcool et pas de sexe, sinon on tetombe dans l’orientation vers le multiple… les femmes attirantes sont si nombreuses, une c’est bien, mais deux valent mieux qu’une, trois que deux, etc… etc..nous nommerons cette façon de voir les choses « discours de Salomon, ou de DSK »)

Seulement quelle est la notion duale ?

c’est à dire en considérant les flèches allant de 1 vers n’importe quel objet ?

tout simplement celle d’éléments de l’objet A, ce qui répond à ce qui se passe quand la catégorie est celle des ensembles !

en effet, si 1 est l’objet terminal de la catégorie des ensembles, c’est n’importe quel ensemble à un élément

considérons alors un ensemble A quelconque, ayant trois éléments (pour simplifier) : x , y et z

les morphismes dirigés de 1 vers A sont alors les fonctions (applications) :

1 ——–> A

qui associent à l’unique élément de 1 un et un seul (ce qui est la définition des fonctions) élément de A

il y a trois telles fonctions, et pas plus :

1 ——-> x

1 ——–> y

et 1 ——–> z

elles peuvent être identifées avec les trois éléments de A

CQFD

voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/generalized+element

« 

« In the category Set of sets, for X a set, an element x∈X is equivalently a morphism in Set (namely a function of sets) x:*→X, where ”*” denotes the point – the set with a single element. »

donc, la pensée selon l’un, la montée vers l’Un, consiste à prendre les morphismes dirigés vers 1, l’objet terminal

la pensée duale, vers l’Etre, la descente vers le multiple, consiste à inverser les flèches, à ne retenir que celles orientées de 1 vers un autre objet, ce qui revient à analyser un ensemble en ses éléments (dans le cas de la catégorie des ensembles)

Allah, YHVH, Dieu, c’est une Idée régulatrice, l’Idée de Raison, d’intelligibilité et d’unification portée à son maximum d’incandescence !

Et l’origine , l’objet initial ?

on la jette !

ce n’est qu’à ce prix que Dieu évitera d’être nul !

Si Dieu était « origine », objet initial, Dieu serait !

ce qui est selon Brunschvicg la formule de l’athéisme !

http://www.blogg.org/blog-76490-billet-atheisme__spiritualisme__philosophie_et_sens_commun_selon_brunschvicg-955910.html

« mais si l’idéal est la vérité, il est la vie même de l’esprit. L’idéal, c’est d’être géomètre, et de fournir d’une proposition une démonstration rigoureuse qui enlève tout soupçon d’ erreur; l’idéal c’est d’être juste, et de conformer son action à la pureté de l’amour rationnel qui enlève tout soupçon d’égoïsme et de partialité.

Le géomètre et le juste n’ont rien à désirer que de comprendre plus ou de faire plus, de la même façon qu’ils ont compris ou qu’ils ont agi, et ils vivent leur idéal.

Le philosophe n’est pas autre chose que la conscience du géomètre et du juste; mais il est cela, il a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi; le philosophe ouvre l’esprit de l’homme à la possession et à la conquête de l’idéal, en lui faisant voir que l’idéal est la réalité spirituelle, et que notre raison de vivre est de créer cet idéal.

La création n’est pas derrière nous, elle est devant nous; car l’idée est le principe de l’activité spirituelle… »

« Ou nous nous détachons des idées qui sont en nous pour chercher dans les apparences extérieures de la matière la constitution stable et nécessaire de l’être, nous nous résignons à la destinée inflexible de notre individu, et nous nous consolons avec le rêve dun idéal que nous reléguons dans la sphère de l’imagination ou dans le mystère de l’au delà« 

la destinée inflexible de l’individu, c’est le morphisme nul !

morphisme inéluctable si l’on conisdère dieu comme origine, comme objet à la fois initial et terminal, comme objet nul par lequel on peut « factoriser » les relations entre les êtres !

se détacher des idées qui sont en nous, c’est quitter l’immanence et l’intériorité pour la transcendance du monde, ou des croyances fabuleuses en le surnaturel et l’au delà !

« ou bien nous rendons à nos idées mortes leur vie et leur fécondité, nous comprenons qu’elles se purifient et se développent grâce au labeur perpétuel de l’humanité dans le double progrès de la science et de la moralité, que chaque individu se transforme, à mesure  qu’il participe davantage à ce double progrès. Les idées, qui définissent les conditions du vrai et du juste, font à celui qui les recueille et s’abandonne à elles, une âme de vérité et de justice; la philosophie, qui est la science des idées, doit au monde de telles âmes, et il dépend de nous qu’elle les lui donne »

 http://sedenion.blogg.org/date-2009-01-14-billet-958406.html

« Le danger du réalisme se trouvera donc conjuré du moment que la conscience sensible, que la conscience intellectuelle même considérée dans sa fonction théorique, ne sont que des abstractions de la conscience morale, comme le danger de voir la pureté de la critique s’infléchir dans le sens dialectique, l’immanence du Wissen (savoir) se subordonner à la transcendance du Glauben (croire, foi) »

C’est seulement en tant que je suis un être moral que la certitude est pour moi possible : le criterium de toute vérité théorique n’est pas lui même un criterium théorique, c’est un criterium pratique : un criterium interne, non un criterium externe, objectif, car précisément là où il est considéré comme moral, le moi doit être entièrement autonome et indépendant de tout ce qui se trouve en dehors de lui

il (le philosophe) a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi

« en définitive, les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme, de l’athéisme, sont : le vrai est, le bien est, Dieu est »

Dieu n’est pas : il doit être !

l’Absolu est essentiellement résultat : il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité .

Adorer Dieu en Esprit et en Vérité, c’est cela !

et c’est là le sens de la toposophie !

la dualité de l’Etre et de l’Un

le terme « toposophists », ou « toposophers », est en provenance des « working mathematicians » dans la théorie des catégories, il possède sans doute une nuance « humoristique »…

bien entendu je ne suis pas digne de délier le lacet de la chaussure de ces grands Travailleurs, héros de la pensée pure, mais je me risquerai ici à emprunter ce terme pour désigner une nouvelle « discipline », ou plutôt le projet d’une telle innovation, qui est en dehors du strict domaine mathématique (sinon ce blog serait sans aucun intérêt, face aux centaines d’autres qui en restent à ce domaine), et vise à fonder une philosophie enfin entièrement « scientifique » et rigoureuse.

En un mot comme en cent : la toposophie consiste à utiliser la force-de-pensée (terme emprunté à François Laruelle) ou , disons,  la puissance de la pensée « solide » des mathématiques (et principalement de la théorie des topoi et des topoi supérieurs, ou n-topoi), pour fonder cette nouvelle et définitive philosophie, censée réaliser le vieux projet de Mathesis universalis cartésien et leibnizien, ou celui de « messianisme » de Wronski, en une union absolue de la science, de la philosophie et de la religion (appelée « christianisme de philosophes », et devant dépasser les logoi chrétiens et juifs en une fondation péremptoire de la Vérité sur la Terre, en une âme et un corps).

Donnons ici un premier exemple , très simple, dérivé presqu’ immédiatement des indications que j’ai données ici ou là sur l’essence fonctorielle de la loi de création de Wronski.

On sait que j’ai remplacé le vieux fatras métaphysique et « onto-théologique » de l’Etre et de l’Un par l’immanence duelle de deux orientations radicalement opposées de la pensée : selon l’Etre et selon l’Un.

J’ai aussi donné les références des travaux, extrêmement importants à mon sens, de Franck Jedrzejewski sur les diagrammes et les catégories :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/24/en-france-du-nouveau-franck-jedrzejewski-diagrammes-et-categories-these-et-introduction/

travaux de lecture assez « difficile » pour ceux qui ne sont pas habitués à la strict discipline du Mathème, de cette « mathématique sévère » qu’invoquait Lautréamont, mais pour lesquels nous avons heureusement une « introduction » en 6 pages très denses :

http://nessie-philo.com/Files/jedrzejewski_dcintro.pdf

notez la différence des attitudes entre les deux « femmes » qui tentent d’orienter l’Amoureux (aucun rapport avec la future ex-présidente de France et ses chansons niaises) de la Lame VI du Tarot : la femme de gauche est la mathématique sévère et austère, elle ne promet aucun vil plaisir, mais une joie continue et souveraine acquise au prix d’un travail très long et très dur : celle de droite invite l’Amoureux à  « se rendre dans une vile maison suspecte se plonger dans le bourbier des voluptés dangereuses » , pour reprendre les termes balzaciens des « Illusions perdues »…nul doute que si le Tarot était « moderne », il la représenterait seins nus, et la main tripotant l’Amoureux un peu plus bas!

Vénus des carrefours !

mais l’Amoureux (nous tous, et nous toutes, car le sexe perd sa prédominance dans le domaine de l’Esprit) est libre de choisir le sang, la sueur et les larmes, ou bien… d’autres fluides, ceux que le général Jack Ripper appelle « précieux fluides naturels » dans « Dr Strangelove » de Kubrick…

mais revenons aux topoi et aux Saintes catégories !

attachons nous ici aux deux derniers piliers de ce quadrilatère épistémique de Franck  Jedrzejewski, à savoir l’universalité et la dualité.

J’ai déjà indiqué la nature entièrement différente de l’universalisme de la pensée catégorique par rapport à celui, dérivant en matérialisme et communautarisme, de la pensée ensembliste :

http://leserpentvert.wordpress.com/universalisme-abstrait-ou-concret/

aussi me contenterai je ici de souligner la simplification et le clarification conceptuelle (sens auquel aurait dû se limiter l’Aufklärung) qu’apporte la théorie des catégories :

-la dualité consiste à inverser le sens des flèches dans une catégorie

– l’universalité (des constructions appelées « universelles » en théorie des catégories) c’est quand il n’y a qu’une seule flèche possible pour « boucler », ou « faire commuter », un diagramme.

Voir la thèse de Franck Jedrzejewski pour plus de précisions, ou bien ces liens :

http://ncatlab.org/nlab/show/universal+construction

http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

mais donnons dès maintenant un exemple qui servira par la suite à de nombreuses reprises : celle des notions catégoriques généralisant le produit (la multiplication des nombres) et la notion duale de coproduit, généralisant la somme (l’addition des nombres).

http://en.wikipedia.org/wiki/Product_(category_theory)

La figure suivante est un diagramme dont la « limite » donne le produit  :

Universal product of the product
 
et la flèche f  unique (à un isomorphisme près) en pointillé faisant « commuter » le diagramme est le produit des deux morphismes f1 et f2
 
La précision « à un isomorphisme près » est importante , c’est toujours le cas pour une construction universelle; rappelons qu’un isomorphisme est tout simplement une flèche inversible :
 
« Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h,

ce qui prouve en outre l’unicité de l’inverse »

la notion duale de celle du produit est le coproduit, qui appliqué aux nombres donne la somme, l’addition :

http://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct

Coproduct-03.png
 
le produit est un exemple de la limite d’un diagramme, le coproduit un exemple de colimite :
 
signalons dès à présent une aporie entre ces notions modernes et la loi de création de Wronski appliquée aux mathématiques : selon lui, le produit est l’élément neutre, la somme et l’exponientiation sont EE et ES, or on attendrait que la somme soit duale du produit, et donc que l’exponentiation soit l’élément neutre EN
 
à creuser plus tard…
 
remarquons aussi que le terme, catégorique, de « problème universel » appartient à la terminologie de Wronski, où il désigne un objet de la loi de création…à creuser plus tard là aussi !
 

La thèse, cruciale à mon avis, de Franck Jedrzejewski, sur la dualité de l’Etre et de l’Un, prend alors selon le cadre de pensée que nous venons de définir, et qui s’appuie sur la « solidité » et la rigueur de la pensée mathématique tout en sortant du champ strictement mathématique, prend alors un sens très simple.

Nous avons défini les trois éléments primordiaux de Wronski : élément-être, élément-savoir et élément neutre comme une adjonction de foncteurs reliant deux « catégories » jouant le rôle de EE (élément-être) et ES (élément-savoir):

EE   ⇄  ES

Mais ceci n’est qu’une définition-projet, ou proposition hypothétique de définition ; nous pourrions aussi retenir tous les foncteurs entre les deux catégories.

La « pensée selon l’Un », par laquelle nous remplaçons, dans un cadre de stricte immanence, l’hénologie et l’Un « ineffable », cela consiste à retenir les foncteurs orientés de EE vers ES.

La « pensée selon l’Etre » cela consiste à inverser le sens des flèches (des foncteurs) et à ne garder que ceux orientés de ES vers EE.

Ces deux « pensées », qui remplacent pour nous les « ineffables » métaphysiques que sont l’Etre et l’Un, sont alors automatiquement duales au sens de la mathématique !

puisque la dualité, c’est quand on inverse le sens des flèches !

rappelons tout de même (deux précautions valent mieux qu’une) que nous sommes là sortis du champ mathématique : nous serions bien en peine de donner une définition mathématique des deux catégories EE et ES !

puisque ce sont là deux « éléments primitifs » au sens de Wronski, de nature transcendantale donc, et qui ne seront jamais « objets », mathématiques ou non…

mais le sens immanent de ces notions est clair :

penser selon l’Etre, c’est s’orienter de ES vers EE, donc « descendre » des niveaux « plus unifiés » vers le niveau (impensable) de la multiplicité dite « pure », ou « inconsistante ».

penser selon l’UN, c’est, au contraire, et en sens inverse (d’où notre vocabulaire mathématique-catégorique) , « monter » des niveaux « bas », pris dans le multiple, vers les niveaux « plus hauts », « supérieurs », plus unifiés.

Expliquer, donner du sens, de l’intelligibilité, c’est toujours résoudre une multiplicité en une unité (provisoire); analyser, c’est aller en sens inverse, résoudre une « unité » (apparente) en ses composantes, pour progresser en connaissances..

les deux mouvements sont nécessaires !

ceci rappelle évidemment l’interprétation que j’avais donnée, en termes disons plus poétiques (ou plutôt prosaïques) de l’Echelle de Jacob :

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-suave_mari_magno-1121061.html

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-le_second_degre_de_l_echelle_de_jacob___amour_universel-1121364.html

mais je préfère laisser la parole aux vrais poètes, à Lamartine et à cette immense chef d’oeuvre qu’est « La chute d’un ange » :

http://fr.wikisource.org/wiki/La_Chute_d%E2%80%99un_Ange

et à la fin, d’une beauté terrible (15 ème vision) :

A l’immobilité de ce funèbre groupe
Il reconnut la mort ! et, renversant la coupe,
Il regarda couler sa vie avec cette eau,
Comme un désespéré son sang sous le couteau !
Puis, se roulant aux pieds des êtres qu’il adore,
Et frappant de ses poings sa poitrine sonore,
Pour courir autour d’eux bientôt se relevant,
Tel qu’un taureau qui fait de la poussière au vent,
Il ramassait du sable en sa main indignée ;
Et contre un ciel d’airain le lançant à poignée,
Comme l’insulte au front que l’on veut offenser,
Il eût voulu tenir son cœur pour le lancer !

« O terre ! criait-il, ô marâtre de l’homme !
Sois maudite à jamais dans le nom qui te nomme !
Dans tout brin de ton sable, et tout brin de gazon
D’où la vie et l’esprit sortent comme un poison !
Dans la séve de mort qui sous ta peau circule,
Dans l’onde qui t’abreuve et le feu qui te brûle,
Dans l’air empoisonné que tu fais respirer
A l’être, ton jouet, qui naît pour expirer !
Dans ses os, dans sa chair, dans son sang, dans sa fibre,
Où le sens du supplice est le seul sens qui vibre !
Où de tout cœur humain les palpitations
Ne sont de la douleur que les pulsations !
Où l’homme, cet enfant d’outrageante ironie,
Ne mesure son temps que par son agonie !
Où ce souffle animé, qui s’exhale un moment,
Ne se connaît esprit qu’à son gémissement !
Tout être que de toi l’inconnu fait éclore .
Gémit en t’arrivant, en s’en allant t’abhorre !
Nul homme ne se lève un jour de son séant
Que pour frapper du pied et pleurer le néant !
Que maudite à jamais, qu’à jamais effacée,
Soit l’heure lamentable où je t’ai traversée !
Que ta fange m’oublie et ne conserve pas
Une heure seulement la trace de mes pas !
Que le vent, qui te touche à regret de ses ailes,
De nos corps consumés disperse les parcelles !
Que sur ta face, ô terre ! il ne reste de moi
Que l’imprécation que je jette sur toi ! »

Pour unique réponse à son mortel délire,
L’air muet retentit d’un long éclat de rire.
Derrière un monticule il vit de près surgir
Les fronts de cinq géants et du traître Stagyr.
« Meurs, lui crièrent-ils, vile brute aux traits d’ange !
Ta force nous vainquit, mais la fourbe nous venge.
Laissons cette pâture aux chacals des déserts ;
Sa mort nous laisse dieux, et l’homme attend nos fers ! »
Ils dirent ; et tournant le dos, ils disparurent,
Et leurs voix par degrés sur le désert moururent.

Cédar, dont leur mépris fut le dernier adieu,
A cet excès d’horreur se dressa contre Dieu.
Tout l’univers tourna dans sa tête insensée ;
Il n’eut plus qu’une soif, un but, une pensée :
Anéantir son cœur et le jeter au vent.
Comme un gladiateur blessé se relevant,
Il cueillit sur les flancs arides des collines
Une immense moisson de ronces et d’épines
Autour du groupe mort où son pied les roula,
En bûcher circulaire il les accumula ;
Puis, prenant dans ses bras ses enfants et sa femme,
Ces trois morts sur le cœur, il attendit la flamme.

La flamme, en serpentant dans l’énorme foyer
Que le vent du désert fit bientôt ondoyer,
Comme une mer qui monte au naufrage animée,
L’ensevelit vivant sous des flots de fumée.
L’édifice de feu par degrés s’affaissa.
Du ciel sur cette flamme un esprit s’abaissa,
Et d’une aile irritée éparpillant la cendre :
« Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
Et ton crime d’amour ne peut être expié.
Qu’après que cette cendre aux quatre vents semée,
Par le temps réunie et par Dieu ranimée,
Pour faire à ton esprit de nouveaux vêtements
Aura repris ton corps à tous les éléments,
Et, prêtant à ton âme une enveloppe neuve,
Renouvelé neuf fois ta vie et ton épreuve ;
A moins que le pardon, justice de l’amour.
Ne descende vivant dans ce mortel séjour ! »

L’ouragan, à ces mots se levant sur la plaine,
Souffla sur le bûcher de toute son haleine,
Et dispersa la cendre en pâles tourbillons,
Comme un semeur, l’hiver, la semence aux sillons.
L’immobile désert sentit frémir sa poudre,
L’occident se couvrit de menace et de foudre ;
Des nuages pesants, pleins de tonnerre et d’eau,
Posèrent sur les monts comme un sombre fardeau ;
L’homme, le front levé vers la céleste voûte,
Du déluge sentit une première goutte.

 
voici le double mouvement :
Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
 
l’épilogue qui vient juste après, et clôture le livre, a l’apparence et la nature d’une retombée :
« Et le vieillard finit en disant : « Gloire à Dieu !
Dieu, seul commencement, seule fin, seul milieu,
Seule explication du ciel et de la terre,
Seule clef de l’esprit pour ouvrir tout mystère ! »
Il étendit la main pour l’invoquer sur nous !
Nous pliâmes, contrits, nos fronts et nos genoux ;
Comme un homme qui craint de renverser un vase,
Nous sortîmes muets de l’antre de l’extase.
Le navire aux mâts nus, endormi sur les flots,
A l’ombre du Liban berçait nos matelots.
Sous la vergue où le câble avait roulé les voiles,
L’hirondelle du bord en becquetait les toiles.
Le sifflet réveilla le pilote dormant,
Et le vaisseau reprit son sillage écumant »
 
 
 

 

Badiou : ensembles, actuel, topoi, virtuel, ontologie et logique

Dans mon ancien blog je m’étais livré à une violente critique de la pensée politique  de Badiou, je ne le regrette pas mais il vaut mieux entrer dans ce gouffre sans fond par la porte principale : la philosophie mathématique…or je n’avais pas encore à ma disposition les séminaires qui sont ici :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/seminaire.htm

la plupart disponibles en notes, résumées certes mais très claires selon mes premières impressions.

(re) commençons donc le travail de Sisyphe de l’antibadiousisme primaire à partir du séminaire de 93-94 sur les catégories :

« Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse.

Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.[1]

La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation.

La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers.

La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur.

On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure.

En continuant la métaphore, on pourrait dire que la théorie des topos est une investigation du concept d’univers, donc une théorie des univers, tandis que la théorie des ensembles est une création d’univers, ce n’est pas une théorie d’univers -on peut même dire qu’elle n’a pas de concept d’univers -, mais une effectuation d’univers.

Ce point donne lieu à une confusion parce qu’il donne lieu à deux débats, en réalité différents, mais souvent confondus :

1) Est-ce que la mathématique est une théorie des possibles, ou est-ce qu’elle est une création d’univers ? Est-elle une investigation formelle des possibles, ou l’investigation d’un univers constitué ?

Vision logique et formaliste d’un côté, vision réaliste et intuitive de l’autre.

2) La théorie des ensembles est-elle le meilleur univers possible, au sens où Leibniz dit que le monde existant est le meilleur possible. Quelle est la proximité de la mathématique et de la logique ?

Dans les controverses, ces deux questions sont souvent mélangées. La thèse dans laquelle nous sommes est la suivante : il n’y a pas d’unité de plans. Elle se donne dans un critère très simple : la théorie des catégories est une pensée définitionnelle ; elle décrit, par définitions, les traits constitutifs de ce que c’est qu’un univers possible. Une définition ne décide rien, c’est un opérateur d’identification, qui ne décide rien quant à l’existence. La théorie des ensembles repose toute entière sur des axiomes qui, eux, décident quant à des existences.

Quels sont, dans une tentative pour penser l’être en tant qu’être, les rapports entre le possible et l’effectif ? Aussi bien le virtuel et l’actuel. C’est une question essentielle de toute l’histoire de la philosophie. Une des caractéristiques de la théorie des ensembles est qu’elle est entièrement dans l’actuel ; il n’y a pas de virtuel en elle.

La théorie platonicienne des Idées est une doctrine de l’actuel. La pensée est sous condition de l’existence en acte des Idées.

Dans le dispositif aristotélicien, ce qui est, la substance, est dans un rapport de la puissance et de l’acte. Il finit par y avoir un acte pur qui est dieu. Mais ce qu’il y a, c’est la réalisation de son acte immanent existant en puissance.

Deleuze est la plus forte pensée contemporaine de l’être comme actualisation. L’essence de l’être est le virtuel et pas l’actuel, pour Deleuze. Le cahot est la virtualité anarchique pure. Donc, tout est actualisation.

Dans ma pensée, il n’y a pas de virtuel. Le possible est lui-même une projection de l’actuel »

ce « factuellement » m’ennuie fortement : la théorie des topoi n’est certes pas une alternative, mais un dépassement, tout autant qu’une perfection de la théorie des ensembles; il n’y a certes plus concurrence entre les deux, et là je préfère m’adresser au « working mathematician » qu’au philosophe !

La théorie des catégories est à la théorie des ensembles dans la même situation, ou relation, que la philosophie idéaliste de Platon relativement au réalisme de la substance  d’Aristote .

« La théorie des ensembles est une création d’univers » : cette proposition délirante illustre bien la différence entre une pensée athée, qui veut se débarrasser de Dieu en attribuant ses « propriétés » les plus irrationnelles (celle de Créateur) à la pensée humaine, et une pensée « religieuse » (celle proposée ici) qui fait simplement descendre la sphère divine jusqu’à la sphère humaine : appelons « évènement » le contact et nous sommes badiousiens !

d’ailleurs il est à remarquer que le « progrès de la pensée » se fait par sauts et discontinuités !

Il est visible, voire évident, que la « pensée » de Badiou n’est pas véritablement scientifique, mais « contrainte » par sa haine implicite contre le christianisme , qui le pousse aussi à donner le change avec son « Saint Paul » (lui aussi « avance masqué » !)  ainsi qu’à prendre fait et cause pour l’islamisme en hurlant avec tous les autres « matons de Panurge » à l’islamophobie (il serait intéressant de savoir ce qu’il pense de Mohammed Merah !).

Cela l’entraîne dans les grosses bourdes comme celle ci :

« La théorie des ensembles est une option ontologique. Cette option ontologique, en dépit du fait qu’elle soit souvent appelée platonicienne, est en réalité une option d’un matérialisme absolu, démocritéen, ou lucrétien, ou épicurien. Quels en sont les traits ?

– L’un n’existe pas. Donc, il n’y a pas de principe, pas de transcendance. Il y a un étalement multiple qui n’est jamais subsumable sous une figure canonique de l’un. Le multiple est toujours multiple de multiples. Donc le il y a pur est simplement dans la forme de la multiplicité. C’est un dispositif radicalement soustrait à l’univers appelé l’onto-théologie par Heidegger, dispositif historial de la métaphysique. »

seulement l’ontologie ne se libèrera jamais du dispositif onto-théologique, théorie des ensembles ou pas, et surtout, l’Un n’est pas un « principe de transcendance » mais d’immanence radicale !

C’est l’ Etre qui est « principe de transcendance » !

la non-philosophie de Laruelle s’expose depuis une pensée de l’immanence de « l’ un-en-tant-qu’un » , mais c’est évidemment Brunschvicg, le « dernier » philosophe français universel, qu’il faut lire pour comprendre la véritable nature du spiritualisme et de l’idéalisme, consistant à remplacer la Transcendance pour l’intériorité et l’immanence de l’esprit.

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/vraie_et_fausse_conversion.html

« Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. En dépit de l’adage, ens et unum non convertuntur. Il est manifeste, en effet, que le, type des « jugements de relation, » : l’Un est un, est orienté à l’inverse exactement du type des « jugements d’existence » : l’Un est. Les deux types de jugement, sous la forme d’absolu où Platon les considère, se détruisent, non pas par leur opposition réciproque seulement, mais aussi chacun pour soi : « L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un  »

…Or, si c’est un premier fait que l’impulsion a été donnée au progrès du rationalisme par la réflexion platonicienne quand elle a opposé, au sein même du monisme de Parménide, le réalisme de l’être et l’idéalisme de l’un, il y a un second fait qui lui est parallèle. Quand on considère les doctrines issues du Verbe héraclitéen on s’aperçoit que si elles ont, elles aussi posé sur son terrain véritable ce même problème de l’intelligence humaine, c’est qu’une lutte séculaire s’est engagée, à leur intérieur même, entre la spiritualité pure de la pensée et la matérialité des expressions théologiques ou métaphysiques qui, successivement, l’ont incarnée avec l’illusion de lui conférer une apparence d’être. Dans l’histoire de la philosophie occidentale, rien n’est significatif à cet égard, comme l’exégèse stoïcienne de la mythologie, particulièrement en ce qui concerne la fonction médiatrice d’Hermès dans son double personnage de Verbe intime et de Verbe proféré.  »

seulement Badiou et ses « disciples », comme François Nicolas, quelle que soit leur valeur humaine qui est indéniable, s’enferment délibérément dans une rupture avec le « vieil idéalisme » au moyen d’un matérialisme qui serait enfin le bon , nouvel avatar d’un (pseudo)  messianisme qui rompt enfin les chaînes (religieuses) :
 
« La thèse que je voudrais soutenir est que ce livre très singulier peut aider le musicien à inscrire son propos dans une orientation matérialiste renouvelée de la pensée, plus précisément dans ce que je proposerai ici d’appeler un matérialisme de type nouveau.

I.1.a       Lutte sur deux fronts

Comme on va le voir, ce matérialisme philosophique de type nouveau se constitue et se déploie dans une lutte sur deux fronts : en opposition certes au vieil idéalisme (moribond, en vérité, si ce n’est déjà mort: Badiou soutient cette thèse, dans ses interventions plus récentes. Il faut alors entendre son énoncé « L’idéalisme est mort » au sens de l’énoncé nietzschéen « Dieu est mort » ou de l’énoncé hégélien « l’art est mort » : même s’il en existe toujours des survivances, celles-ci ne sont plus à même d’orienter la pensée de manière créatrice )  mais surtout à un matérialisme (que Badiou appelle « démocratique ») qui est hégémonique et obscurcit aujourd’hui la pensée.

Soit la conviction suivante : les Lumières d’aujourd’hui, celles du XXI° siècle, n’ont plus tant pour adversaire déterminé le vieil idéalisme religieux qu’un obscurantisme de type désormais matérialiste interdisant toute Idée véritable au nom du règne sans partage des corps et des langages. »

sur deux fronts ? diable, je m’inquiète, est ce que cela ne rappelle pas la stratégie hitlérienne, qui s’est terminée de manière catastrophique (pour lui ) ? mais il est vrai que le vieil idéalisme est mort et enterré, alors que Staline en 1943…

« Pourquoi proposer d’inscrire le propos du musicien dans une telle nouvelle orientation matérialiste ?

Parce que l’intellectualité musicale, de longue date (très exactement depuis sa constitution avec Rameau, précisément à l’époque des Lumières) lutte contre son propre obscurantisme, celui du vieil idéalisme qui focalise et oriente le discours traditionnel sur la musique. Cet idéalisme le réalise d’une part en présentant la musique comme esprit immatériel et ineffable, venant transir d’infini notre sol étriqué et notre cœur fermé, et d’autre part en thématisant le discours possible sur une telle musique comme commentaire dévot et prêche célébrant le médiateur musicien, au total en exaltant la puissance religieuse de la musique … Contre cet obscurantisme, venant interdire de parler de musique autrement que comme émotion pieuse et communication ineffable, l’intellectualité musicale a constitué ses propres opérations : théoriques (voir Rameau), critiques (voir Schumann) et esthétiques (voir Wagner). »

comme on le voit ici, l’idéologie anti-chrétienne saute aux yeux : seulement l’idéalisme brunschvicgien aboutissement du cartésien, et mutation du platonicien, sort du christianisme par le haut, à travers un « christianisme de philosophes »…

une philosophie enfin entièrement scientifique

La pensée selon l’un, ou selon l’être, dont nous précisons le cadre dans les articles précédents, c’est tout simplement , dans leur cadre théorique véritable, l’idéalisme spiritualiste mathématisant , et le matérialisme prisonnier du plan de la perception.

Ou encore, si l’on veut, l’aboutissement ultime du platonisme et de l’aristotélisme.

On comprend alors l’inconséquence totale de la pensée de Badiou, qui se réclame d’un « Platon pour notre temps », mais en même temps d’une dialectique matérialiste qui est en somme une « resucée » du matérialisme dialectique marxiste et maoïste.

Mais nous avons parlé de cadre théorique : celui ci, socle d’une philosophie enfin entièrement scientifique (ce que n’est pas la philosophie analytique, contrairement aux allégations de Wittgenstein) , ne peut s’élaborer qu’en accord et harmonie avec la pensée mathématique actuelle, qui se formalise à travers la théorie des catégories généralisée en celle des n-catégories ou « higher category theory ».

Or nous avons la chance de disposer d’un véritable laboratoire de pensée qui est le nlab :

http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

« The purpose of the nLab is to provide a public place where people can make notes about stuff. The purpose is not to make polished expositions of material; that is a happy by-product.

We all make notes as we read papers, read books and doodle on pads of paper. ThenLab is somewhere to put all those notes, and, incidentally, to make them available to others. Others might read them and add or polish them. But even if they don’t, it is still easier to link from them to other notes that you’ve made….

This is a wiki-lab for collaborative work on Mathematics, Physics and Philosophy — especially from the n-point of view: insofar as these subjects are usefully treated with tools and notions of category theory or higher category theory. »

Selon nous, il s’agit, comme nous l’avons dit ailleurs depuis longtemps :

http://mathesis.blogg.org/page-leibniz___mathesis_universalis_characteristica_et_scientia_generalis_calculus_rationcinator-775.html

d’une ébauche , au stade formel, du projet de Mathesis universalis qui vise à « voir » et opérer directement au plan des idées, c’est à dire au plan divin, selon nos conceptions de dieu comme Raison absolue et absolument immanente à l’esprit humain.

Ou encore, si l’on veut, d’un « squelette » qu’il s’agit maintenant d’habiller de « chair », c’est à dire d’esprit, de pensée.

Ce que nous nous proposons de faire ici.

« Par contre nous sommes persuadés que la théorie mathématique des catégories, née en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane en topologie algébrique, constitue la « characteristica generalis » qu’avait en vue Leibniz, bien qu’elle soit apparue comme discipline mathématique abstraite. Il n’y a là  aucune difficulté, bien au contraire  : de par leur idéal de rationalité et de démonstrativité parfaites, les mathématiques représentent l’idéal régulateur de la philosophie. Et il est tout à  fait aisé et naturel d’étendre la validité de la théorie des catégories au delà  du domaine purement mathématique, comme les exemples donnés dans un livre comme « Conceptual mathematics » (par W Lawvere et S Schanuel, Ed Cambridge) le montrent avec évidence. »

Nous pensons depuis longtemps que l’opposition entre idéalisme mathématique platonicien et réalisme matérialiste aristotélicien correspond à ce que l’on appelle en théorie des catégories une adjonction.

C’est là sans doute la notion la plus importante de la théorie, et qui lui est spécifique : on ne peut la trouver nulle part ailleurs.

Mais avant d’y venir, je pense qu’il serait utile de débuter par le cadre catégorique de la théorie des ensembles.

Il y a de nombreuses façons de parcourir cette « forêt vierge » du nlab, mais le plus simple est de taper « Set theory » dans le cadre « Search » en haut de page, ce qui nous amène à :

http://ncatlab.org/nlab/search?_form_key=9e66f4f71d4b7329febd117e59219cff3dd0ce47&query=set+theory

où nous entrons par :

http://ncatlab.org/nlab/show/set+theory

qui contient d’ailleurs le lien vers la page « Category theory » à étudier en parallèle :

http://ncatlab.org/nlab/show/category+theory

ainsi que la page sur la « catégorie des ensembles » :

http://ncatlab.org/nlab/show/Set