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L’idée de « problème universel » : un important promontoire pour une vision de l’unité de la mathesis

La notion de « problème universel » apparaît déjà chez Wronski où elle voisine avec celles de « loi suprême » et de « Teleiosis » dans la trinomie ou Sainte Trinité des idées de base du système. Voir ici:

http://www.ams.org/journals/bull/1893-02-08/S0002-9904-1893-00135-3/S0002-9904-1893-00135-3.pdf

l’article  du Professeur Echols « Wronski ´s expansion »où le probleme universel est assimilé à un cas particulier de la  » Loi suprême ».

Ce probleme est très clairement défini et Lagrange (pas le même que celui cité dans l’article précédent)le décrit ici (page 1) avant d’en donner la solution (fichier pdf recopié en bibliotheque de mon blog « mathesisuniversalis2.wordpress.com »):

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/?attachment_id=624

Il existe une page Wikipedia qui explique la notion en termes d’objet initial ou final (notions duales) dans une catégorie :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

« Par suite, demander qu’un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près. En d’autre termes, de telles définitions permettent de se concentrer sur l’essentiel (le comportement de l’objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction.

Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l’existence de l’objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l’objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l’objet.
Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu’il est défini par un problème universel. »

Objet initial et objet final sont deux exemples de limites d’un diagramme ( on les obtient quand on prend la limite ou la colimite du diagramme vide),voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Où l’on signale voir le paragraphe « Définition » que réciproquement toutes les limites peuvent être vues comme des objets terminaux (donc des solutions de problèmes universels)dans une certaine catégorie , celle des cônes dans F, où F est le foncteur correspondant au diagramme dont on cherche la limite.

Wronski est le « cas » de la famille, Echols parle dans l’article cité supra de ses démêlés avec les « savants à brevets » , mais ne nous y trompons pas : c’est un génie absolu , et Balzac ne pouvait pas se tromper dans son admiration fascinée pour ce personnage « l’une des plus fortes têtes de l’Europe » et je ne pense pas que les mathématiciens ( ceux de Bourbaki et après) modernes auraient pu garder ce titre de « problème universel » s’ils n’avaient pas partagé cette admiration, surtout compte tenu de l’importance de l’idée et non plus du mot.Une idée, celle de problème universel, qui semble justement se situer au coeur des débats qui agitèrent le groupe Bourbaki dans les années 50 à propos de la théorie des catégories, qui était apparue en 1945, voire en1942.Cet article de Ralf Kromer porte justement sur ce sujet appartenant à l’histoire des idées: « La machine de Grothendieck se fonde t’elle seulement sur des vocables métamathématiques ? Bourbaki et la théorie des categories dans les années cinquante »

http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/12/pdf/smf_rhm_12_119-162.pdf

On y apprend plusieurs choses importantes :

-Samuel Eilenberg avait fui la Pologne très  tardivement , juste avant l’invasion nazie en 1939. Il s’installa aux USA sans problème, grâce à l’aide de la communauté mathématicienne, et travailla avec Saunders Mac Lane, c’est de leurs travaux en commun qu’est issue la théorie des categories en 1942 d’abord, mais surtout  en 1945 avec leur article séminal  » General  theory of natural équivalences ». Les idées de 1942 sont si l’on veut l’insémination, et l’article de 1945 la naissance, ou le baptême de la théorie. Eilenberg ne fut intégré au groupe Bourbaki que vers la fin des années 40. Il semble que Grothendieck grâce à un exposé qui avait été lu en son absence , alors qu’il se trouvait aux USA, avait gagné en grande partie la société des bourbakistes à la nouvelle théorie, qui entretenait des rapports étroits avec ce que Bourbaki appelait « structures » et qui forme la base du structuralisme si en vogue dans les annees 60, mais il se heurta à l’opposition d’André Weil, le mathématicien frère de Simone Weil (morte en1943, mais qui apparaît en compagnie de son frère sur certaines photos du groupe datant de 1938).Finalement ce fut ce dernier  qui gagna, Bourbaki refusa d’intégrer la théorie des catégories et Grothendieck démissionna du groupe.

Il semble qu’un certain article de Pierre Samuel (membre de Bourbaki) en 1948 intitulé « on universal mappings and free topological groups » ait une grande importance pour le sujet qui nous occupe, j’ai en tout cas trouvé plusieurs liens qui l’évoquent et lui accordent une place centrale, en liaison avec la notion de « problèmes universels » ( et je dois d’ailleurs signaler que d’après  l’article ci dessus de Ralf Kromer un thème récurrent de pensée chez Grothendieck  porte sur la commutativité des problèmes universels »(?)
 Il y a d’abord un article important sur le sujet des liens entre philosophie et mathématiques à travers la relation humaine et professionnelle de Jules Vuillemin et Pierre Samuel:

« Pierre Samuel et Jules Vuillemin: mathématiques et philosophie »

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01082189/document

Il s’agit selon son auteur de « présenter une des modalités actuelles possibles de relations entre mathématiques et philosophie » en prenant pour objet d’étude les contributions et réflexions des deux auteurs(Pierre Samuel pour la mathématique et Jules Vuillemin pour la philosophie) sur le concept général de structure et examinant plus précisément la notion de « problème universel ».

Ajoutons que si Vuillemin est défini comme un philosophe, c’est lui qui a écrit « Mathématiques et métaphysique chez  » un livre auquel l’article fait souvent allusion, ce qui n’est guère une coïncidence puisque Descartes est ce philosophe qui le premier a tenté d’appliquer la méthode mathématique en métaphysique.(voir page 2 notamment)

Un autre article qui s’intéresse à Pierre Samuel et au « probleme universel » est dû à David Ellerman que nous connaissons déjà pour ses travaux tournant toujours autour de l’universalité en relation avec l’adjonction des foncteurs :

« Mac Lane, Bourbaki and adjoints : a heteromorphic perspective « 

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

C’est effectivement Ellerman qui utilise la notion d’hétéromorphisme ( flèche entre deux objets situés dans des categories différentes, alors qu’un (homo)morphisme relie deux objets situés dans une même catégorie), pour clarifier la notion d’adjonction et de propriété universelle . Les articles suivants portent sur ses travaux en ce domaine:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/

Dans l’article mentionné ici, David Ellerman , qui fait une plus grande part à l’histoire des idées que les autres, que nous avions étudiés auparavant, part d’une remarque de Mac Lane suivant laquelle Bourbaki a manqué de peu l’invention de l’adjonction en 1948, invention qui est comme nous l’avons vu la plus importante de la théorie des categories:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

Ellerman poursuit en assurant que là encore l’utilisation de la théorie non orthodoxe ( faisant intervenir les hétéromorphismes) permet de clarifier les choses et de comprendre que Pierre Samuel s’est approché d’encore plus près de l’adjonction que l’on ne pourrait le penser à première vue. Car c’est Pierre Samuel qui a rédigé en 1948, non seulement l’article dont je parlais plus haut sur les  » Universal mapping probleme » mais l’appendice au premier jet du traité « Algèbre » de Bourbaki. Il a trouvé la  » left representation solving to a universal  mapping problem » ce qui constitue une première moitié d’une adjonction, la seconde moitié étant une représentation duale , à droite .

Il faut rappeler ici , comme il est précisé dans les deux pages Wikipedia suivantes :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qu’une adjonction peut être vue comme résolution d’un problème d’optimisation , formulation assez générale pour couvrir tous les problèmes rencontrés en mathématiques et en physique (qu’est d’autre la recherche d’extrema d’un lagrangien en physique qu’un problème d’optimisation ?) .

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

« It can be said that an adjoint functor is a way of giving the most efficient solution to some problem via a method which is formulaic. For example, an elementary problem in ring theory is how to turn a rng (which is like a ring that might not have a multiplicative identity) into a ring. The most efficient way is to adjoin an element ‘1’ to the rng, adjoin all (and only) the elements which are necessary for satisfying the ring axioms (e.g. r+1 for each r in the ring), and impose no relations in the newly formed ring that are not forced by axioms. Moreover, this construction is formulaic in the sense that it works in essentially the same way for any rng….

….This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a construction is most efficient if it satisfies a universal property, and is formulaic if it defines a functor. Universal properties come in two types: initial properties and terminal properties. Since these are dual (opposite) notions, it is only necessary to discuss one of them….

The idea of using an initial property is to set up the problem in terms of some auxiliary category E, and then identify that what we want is to find an initial object of E. This has an advantage that the optimization — the sense that we are finding the most efficient solution — means something rigorous and is recognisable, rather like the attainment of a supremum. The category E is also formulaic in this construction, since it is always the category of elements of the functor to which one is constructing an adjoint. In fact, this latter category is precisely the comma category over the functor in question.

....The two facts that this method of turning rngs into rings is most efficient and formulaic can be expressed simultaneously by saying that it defines an adjoint functor…..

….Continuing this discussion, suppose we started with the functor F, and posed the following (vague) question: is there a problem to which F is the most efficient solution?

The notion that F is the most efficient solution to the problem posed by G is, in a certain rigorous sense, equivalent to the notion that G poses the most difficult problem that F solves.[citation needed]

This has the intuitive meaning that adjoint functors should occur in pairs, and in fact they do, but this is not trivial from the universal morphism definitions. The equivalent symmetric definitions involving adjunctions and the symmetric language of adjoint functors (we can say either F is left adjoint to G or G is right adjoint to F) have the advantage of making this fact explicit. »

Rappelons quand même que l’adjonction est orientée : on écrit :

F\dashv G.

pour signifier que le foncteur  F est adjoint à gauche du foncteur  G et G adjoint à droite de F

ce qui est rappelé par le fait que F figure dans le membre de gauche de la famille de bijections qui explicite l’adjonction :

\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)

Noter que le point historique expliqué par Ellerman est mentionné à la fin de la seconde page Wikipedia : portant sur la notion « universal property » :

« Universal properties of various topological constructions were presented by Pierre Samuel in 1948. They were later used extensively by Bourbaki. The closely related concept of adjoint functors was introduced independently by Daniel Kan in 1958. »

En 1948 Bourbaki (via Pierre Samuel) a effectivement manqué de passer de la notion de « propriété universelle  » à celle de foncteur adjoint , ce qui a été réalisé 10 ans plus tard, en 1958, par Daniel Kan dans son article « Adjoint functors » qui est ici :

http://www.ams.org/journals/tran/1958-087-02/S0002-9947-1958-0131451-0/S0002-9947-1958-0131451-0.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kan

La relation entre propriété universelle et adjonction peut aussi s’exprimer par la notion de foncteur représentable ce qui fait entrer en jeu une troisième page Wikipedia (est ce un hasard si ces trois pages sont excellentes ? ce qui n’est pas toujours le cas sur Wikipedia ? l’importance du sujet l’exige! là se trouve résumée toute la philosophie occidentale celle qui figure en notes de bas de pages de Platon selon Whitehead) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

voir le dernier paragraphe « relation to universal morphisms and adjoints »

L’article est déjà assez lourd, nous étudierons l’article d’Ellerman dans un ou des articles suivants, en revenant aussi sur la forme qu’il utilise, celle  des hétéromorphismes , dans ses deux autres papiers et ensuite nous pourrons passer à l’article de Daniel Kan

 

 

 

 

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Foncteurs adjoints et hétéromorphismes : les Het-bifoncteurs

L’article précédent sur le sujet extrêmement important de l’adjonction et des Foncteurs adjoints était celui ci:

 

<a href="https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/">https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

nous suivons l’exposition de David Ellerman parce qu’elle procure une compréhension tout à fait lumineuse de ce qu’est l’adjonction l’article suivi est le suivant :

<a href="http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf">http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

et il explique au début (en anglais) que l’adjonction est sans doute la notion la plus importante parce qu’elle combine la notion d’universalité (dans ce que l’on appelle UMP : »Universal mapping property » ) et naturalité (dans les transformations naturelles) . Or universalité et naturalité sont les deux « verres grossissant conceptuels  » que fournit la théorie des categories pour aider à voir, à repérer ce qui est important en maths et donc en philosophie .sur les propriétés universelles (UMP) vous avez cet article :

<a href="https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/">https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/

et sur les transformations naturelles celui ci :

<a href="https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/">https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Il y a une notion plus générale ,celle de transformation ( pas forcément naturelle ) qui est expliquée ici à partir de l’action d’un Foncteurs sur une transformation l’étude en parallèle de ces deux derniers articles permet de comprendre la notion de naturalité qui distingue les transformations naturelles des transformations en général , vous pouvez aussi accéder à cette compréhension à partir de celle de ce qu’est un isomorphisme naturel (naturalité isomorphisme ) qui est expliqué en détail ( en anglais) dans la page Wikipedia en anglais  » natural transformations ):

<a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation

(lire le troisieme paragraphe  » Unnatural isomorphisme » après les exemples .

cela correspond aussi à la notion de flèche canonique ou structurelle ( canonial m’appelle, structure m’appelle) qui est expliquée ici:

<a href= »https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map »>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Canonical_map</a>En gros un morphisme entre deux objets est dit « natural » ou « canonique » s’il émerge « naturellement » de la définition de ces objets et peut être étendu à tous les objets de la catégorie pour définir ce qui est appelé une « transformation naturelle « , définie au niveau de toute la catégorie . Si l’on a pu définir un tel morphisme canonique au niveau d’un couple d’objets , on saura le définir au niveau de tous les autres couples . Un morphisme  » non naturel » sera donc « contingent » , inventé pour un couple particulier mais n’émergeait pas « naturellement  » des définitions théoriques . Lire l’exemple  » opposite group » pour comprendre encore mieux ..rien ne vaut les exemples pratiques et je vous signale que le déterminant d’une matrice en algèbre linéaire est un exemple de transformation naturelle lire le livre de Michael Barr et Charles Wells : »Toposes, triples and theories » où c’est expliqué : voir ce lien:

<a href="http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf">http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf

David Ellerman : concrete universals in category theory

Le lien est ici:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

J’avais déjà commenté ce travail dans une page distinguant deux universalismes: abstrait ensembliste et concret catégorique:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/universalisme-abstrait-de-la-theorie-des-ensembles-vs-universalisme-concret-de-la-theorie-des-categories/

Revenons y pour tenter de mieux comprendre la notion mathématique de propriété universelle dont nous avons vu combien elle est obscurcie des qu’elle quitte le terrain des pures définitions pour celui de la philosophie.

Un universel concret est un « objet » qui exemplifie une propriété de manière parfaite

Il s’ensuit une relation de participation : un autre objet qui a la propriété en question participe à cet universel concret, et réciproquement s’il participe à l’universel il a la propriété.
Ellerman donne un exemple particulièrement éclairant, mais remarquons que nous sommes obligés pour trouver de tels exemples (toute construction universelle est un tel exemple) de nous adresser à la mathématique.
Car supposons que nous voulions trouver un exemple concret et parfait (un universel concret) de la propriété « être blanc », de la blancheur: c’est impossible (sauf dans la publicité où le linge est toujours parfaitement blanc).
Supposons même que nous l’ayions trouvé : cela dépendra de la subjectivité des témoins, certains trouveront que celui ci est parfaitement blanc, pour d’autres ce sera celui là; il faudra faire venir des physiciens qui définiront un protocole de mesures au niveau quantique, mais réaliseront ils l’accord unanime ? De plus que sera la perfection pour eux? Un maximum dans la mesure ! Mais comment être certain que c’est là un maximum éternel, que ne viendra pas une époque future où ce maximum sera dépassé?
C’est ce qui arrive dans la publicité où telle lessive lave « encore plus blanc » (sous entendu : que les autres, ou que la précédente version de la même), il y en a même qui lavent « plus blanc que blanc » (c’est nouveau, ça vient de sortir)

Nous comprenons ici avec évidence que par la nature même de nos recherches nous sommes obligés de quitter le plan vital, là où il y a des maisons, des arbres, des fleurs…pour le plan des idées (mathématiques).
Car comme on dit:
« 

La perfection n’est pas de ce monde

 »
La perfection appartient au monde des idées (mathématiques) : étendez les idées mathématiques de perfection, c’est à dire les universels concrets, à « TOUT », en enlevant toutes les limites de forme, vous obtenez l’Idee de

PERFECTION ABSOLUE, c’est à dire l’Idée de DIEU, c’est à dire DIEU

Oui, Dieu est une Idée, l’Idée de l’Idée si l’on veut, pas un « être souverain » qui aurait une conscience, alternativement un bon papa gâteau sur l’épaule duquel on pourrait pleurer ou un Père Fouettard qui nous punirait d’avoir trop bu par une bonne gueule de bois, ou d’avoir fait l’amour avec une inconnue par une MST.
La

conversion intellectuelle à l’idéalisme philosophique, qui est la véritable conversion religieuse universelle

c’est cela : être persuadé que les Idées ont une force (spirituelle) sans laquelle il nous serait impossible de vivre, et qu’elles sont la seule chose qui ait de l’importance, alors que les « étants naturels » n’en ont aucune.
Je rappelle aussi que notre recherche s’effectue entièrement sur le plan des Idées (mathématiques) et d’ailleurs quand on parle d’un arbre, ou d’un oiseau de quoi parle t’on ? De notre idée, ou plutôt notion, de l’arbre, de cet arbre ci, qui est au fond du parc, ou de l’arbre en général.
Mais nous n’appelons pas cela des Idées, car elles sont à vocation utilitaire et vitale, ce sont des notions. La nature même de nos travaux, comme on vient de le voir, nous oblige à quitter ce plan pour celui des Idées mathématiques : ainsi pour nous un « être » n’est plus un arbre ou un animal ou « quelque chose qui arrive là devant » mais un ensemble au sens mathématique, puisque nous avons convenu que l’ontologie est l’étude du topos Ens des ensembles. Et nous avons vu hier avec l’article de David Edwards sur la « catégorie des catégories » comme « modèle du monde platonicien des formes » que la « montée vers l’Un Absolu » a pour premier « geste » de passer du topos Ens au 2-topos CAT, qui est la 2-catégorie des catégories, foncteurs et transformations naturelles : nous sommes donc ainsi forcés d’aborder la « Higher topos theory » de Jacob Lurie.

Mais revenons à l’exemple que donne David Ellerman d’un universel concret, exemple tire de la théorie des ensembles, donc de l’ontologie, degré le plus bas, le moins « spirituel » de la

Henosophia μαθεσις uni√ersalis τοποσοφια MATHESIS TOPOSOPHIA οντοποσοφια ενοσοφια

, qui nous convient donc puisque nous sommes au commencement.
Soient deux ensembles quelconques A et B et soit la propriété (des ensembles, puisque nous nous situons dans ce topos) :

F : « être un sous-ensemble de A et de B » (ou : être contenu à la fois dans A et dans B)
Autrement dit un ensemble X a la propriété F, ce que l’on note F(X), si et seulement si :

X ⊂ A et X ⊂ B
Nous connaissons déjà au moins un ensemble qui a cette propriété : c’est l’intersection de A et de B, notée A ∩ B
Nous en connaissons un autre : l’ensemble vide ∅
qui par définition n’a aucun élément, donc est contenu dans tout ensemble.
Si A et B sont disjoints, c’est à dire n’ont aucun élément en commun, l’intersection de A et de B est l’ensemble vide:

A ⋂ B = ∅

Nous affirmons que cette intersection de A et de B est l’universel concret recherche correspondant à la propriété F, et c’est facile à démontrer car:

– il a la propriété F (donc il est concret,Nil fait partie des ensembles qui ont la propriété)
– il est un universel, il est « parfait » au sens de cette propriété F, car il est un ensemble maximal pour la relation d’inclusion ⊂ , ce qui veut dire que tout autre ensemble ayant la propriété F est contenu en lui.
En effet si un ensemble X a la propriété, alors un élément quelconque x appartenant à X est à la fois élément de A et de B (puisque X a la propriété F), et donc il est élément de l’intersection de A et de B, par définition de l’intersection:

si F(X) et si x ∊ X, alors x ∊ (A ∩ B) et donc X ⊂ A ∩ B

David Ellerman appelle « relation de participation » la relation « être sous-ensemble de » et un universel concret correspondant à une propriété est un objet (un être, puisque nous sommes dans le cadre de la théorie des ensembles qui est l’ontologie) qui a cette propriété et tel que tout autre être ayant la propriété participe à lui.

Soit un ensemble X ayant la propriété F : Ellerman appelle « imperfection de X » tout ensemble Y ayant aussi la propriété F mais qui n’est pas contenu dans X.
Nous venons de voir que tout ensemble ayant la propriété « participe » à, est contenu dans l’intersection de A et de B.
Ceci veut dire que cette intersection A ∩ B n’a pas d’imperfections donc est parfait: c’est l’universel concret cherché, et il est le seul (puisque tout autre ensemble répondant aux conditions aura les mêmes éléments donc se confondra avec lui)
Il est l’universel, l’UN de la situation, mais il se situe parmi les autres êtres ayant la propriété : donc il n’est pas un UN transcendant, séparé de la collection des êtres dont il est l’Un, mais un UN(iversel) concret, parmi les autres qu’il unifie par sa perfection.
L’UN transcendant est l’Idole des religions qui disent « Dieu est Un », en envisageant un Dieu transcendant.
Poussé à son terme, cette démonstration nous indique que l’Un, qui est la perfection, ne peut pas être transcendant : la perfection appartient au monde des Idées.
Notons qu’il existe une autre conception d’un universel, basé sur l’ontologie : dans cet exemple, ce serait l’ensemble de tous les ensembles ayant la propriété F, c’est à dire de tous les ensembles contenus à la fois dans A et B.
Il est parfaitement légal de définir cet ensemble, seulement il n’a pas la propriété F, il ne figure pas parmi les objets ayant la propriété F, il est « en surplomb », il réalise l’unité de tous ces ensembles, mais de manière transcendante, séparée.
A ne pas confondre avec l’union de tous les ensembles qui ont la propriété F, qui est l’universel concret, à savoir:

A ∩ B

Propriété universelle et foncteurs adjoints

Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια

Toujours dans la page Wikipedia en anglais sur l’idée de propriété universelle :

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

nous avons vu dans l’article précédent qu’une propriété universelle est un morphisme soit initial soit terminal dans la « comma-category » (XU)  ou (UX)

Il y a d’ailleurs une formulation équivalente (voir le paragraphe « Equivalent formulations », c’est de dire que le foncteur  HomC(X, U—), où le tiret après U désigne un objet variable de la catégorie D et où Hom(X, UZ) désigne l’ensemble des morphismes allant de X vers UZ dans la catégorie C, il s’agit donc d’un foncteur : D ——> Ens

que ce foncteur donc est représentable et que le doublet (A, φ) qui est la propriété universelle  (A, φ) dans les termes de la page en est une représentation, voir:

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

(nous reviendrons sur les foncteurs représentables car c’est…

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Propriété universelle en théorie des catégories

Je vais insister sur la propriété d’universalité, intimement liée à l’idée d’adjonction, ainsi qu’à la théorie des catégories (qui est le royaume, ou ciel platonique, des universaux concrets chers à Hegel) comme je l’ai expliqué hier dans cet article::

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

Commençons par la page Wikipedia en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qui comme souvent est préférable à celle en français (nous avons déjà constaté cela à propos des algèbres de Von Neumann):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

La page en anglais se place dans une plus grande généralité puisqu’elle envisage un foncteur entre deux catégories quelconques, alors que dans la page en français la seconde catégorie est celle des ensembles. La page en français commence abruptement par une définition mais comme elle ne donne pas de figure ceux qui ne sont pas habitués sont largués, et c’est dommage.

Donc donnons nous un foncteur entre deux catégories D et C (qui ne sont pas forcément la catégorie des ensembles) :

U : D ———-> C

et un objet X dans la catégorie C.

On se place dans la catégorie notée

image

qui est un cas particulier de ce que l’on appelle « comma-category », voir:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Comma_category

et qui est appelée « catégorie des morphismes de X vers U » (ce qui est étonnant car X est un objet de C et U est un foncteur de D vers C), elle est définie ainsi: ses objets sont les morphismes dans C de la forme:

X ——–> U(Y) où Y est objet de D, auquel correspond dans C par le foncteur U l’objet U(Y).
Les morphismes entre deux de ces objets, qui sont déjà des flèches X —-> U(Y) et X ——-> U(Z) sont évidemment des morphismes U(Y) —–> U<Z) qui font commuter le diagramme triangulaire qui est représenté dans la page Wiki dans un cas particulier:

image

Ce cas particulier est celui de ce qui est appelé « morphisme initial » de X vers U, qui est un objet initial dans la « comma category » que nous avons deçrite ci dessus : celle des morphismes de x vers U.
Un objet initial est un objet tel qu’il y a un et un seul morphisme allant de cet objet vers tout autre objet de la catégorie, la notion duale (en inversant le sens des flèches) étant celle d’objet terminal:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_object

De manière duale encore, un morphisme terminal de U (foncteur) vers X (objet de C) est un objet terminal dans la comma category:

image

objet terminal terminal obtenu par le diagramme dual du précédent:

image

Les deux morphismes initial et terminal sont des morphismes universels, et les deux propriétés correspondantes (faire commuter un diagramme du type des deux ci. Dessus est une propriété universelle.

Un objet initial ou terminal est un exemple de limite ou de colimite (notions duales) d’un diagramme : si le diagramme est vide (aucun point, aucune arête ) la limite est objet initial, la colimite est objet terminal.

Produit et coproduit sont d’autres cas particulier de limite et de colimite. Par exemple pour le produit de deux objets dans une catégorie:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorical_product

Voici le diagramme correspondant pour définir la propriété universelle et le morphisme universelle, qui est l’unique morphisme (à un isomorphisme près) f faisant commuter le diagramme :

image

A retenir : une limite, donc un morphisme universel , est toujours défini « à un isomorphisme près », cela veut dire que s’il en existe un il en existe tout un tas d’autres qui sont les composés du premier avec un isomorphisme.

Rappel : un isomorphisme f est une flèche inversible, c’est à dire telle qu’il existe g (l’inverse) tel que :

fg = gf = Id (morphisme identité)

Nous nous sommes limités ici à la définition mathématique, mais il y a beaucoup plus dans cette idée d’universalité, et l’intérêt des travaux de David Ellerman est de prolonger vers les pures idées philosophiques (platoniciennes) ces notions (cependant il est important de comprendre et de garder en mémoire le cadre mathématique, cela évite les dérives).
Nous y reviendrons…il y a énormément à creuser là dessous..