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Dualisation du travail de Pierre Samuel en 1948 et rapide envol vers le pays des chimères

Suite de la lecture annotée de l’article de David Ellerman sur Mac Lane, Bourbaki et l’adjonction:

Cliquer pour accéder à Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Venant après l’article précédent sur ce sujet:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/07/la-nouvelle-caracterisation-de-ladjonction-par-bodo-pareigis/

Page 7 de l’article d’Ellerman paragraphe 6 : Pierre Samuel, représentant de Bourbaki, travaillait sur les homomorphismes et les hétéromorphismes (appelés chimères ou morphismes chimériques « chimera morphism » parce qu’ils ont la queue dans un monde c’est à dire une catégorie et la tête dans une autre) dans des catégories d’ensembles structurés : S-ensembles (« S-sets ») et T-ensembles( » T-sets ») S et T étant les structures par exemple si S est la structure de groupe un S-ensemble est tout simplement un groupe, si T est la structure topologique un T-ensemble est un espace topologique :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Les groupes sont organisés en catégorie en prenant comme flèches les homomorphismes entre les ensembles ayant la structure de groupes qui dont les morphismes (applications) respectant la structure de groupe si S est la structure de groupe ce sont des applications que Samuel nomme « S-mappings »
Si T est la structure topologique , ce que Samuel appelle « T-mappings » sont les homomorphismes de ce qui est maintenant appelé « catégorie des espaces topologiques » et ces morphismes sont les fonctions continues entre deux espaces topologiques:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Continuité_(mathématiques)

c’est à dire les applications telles que l’image inverse d’un ouvert ( de la topologie de l’ensemble cible) est un ouvert ( de la topologie de l’ensemble source)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie

Les cas précédents de S-mappings et T-mappings sont des homomorphismes car on reste à l’intérieur d’une même structure (d’une même catégorie)
Par contre dès 1948 Pierre Samuel conçoit ce qui est maintenant appelé (par David Ellerman qui est le Grand Maître de cérémonie de ces sortes d’êtres mathématiques ) : hétéromorphismes ou chimères. Il les appelle S-T mappings ce sont des flèches qui envoient un S-ensemble sur un T-ensemble en étant compatible avec les deux structures S et T.
On connaît en mathématiques des êtres , appelés groupes topologiques ,ayant à la fois les deux structures S et T, avec en plus certaines conditions de compatibilité entre les deux structures, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_topologique

et ces groupes topologiques peuvent bien sûr etre organisés en une catégorie ( sinon ça se saurait) ayant comme flèches les (homo)morphismes respectant la structure de groupe topologique. Quelle est le lien entre ce que Pierre Samuel appelle S-T-mappings et ces (homo)morphismes de la catégorie des groupes topologiques ? Il faut bien voir que ce n’est pas la même chose car les S-T-mappings sont des hétéromorphismes, liant un S-ensemble ( un groupe) à un T-ensemble ( un espace topologique) , alors que les morphismes entre groupes topologiques sont des homomorphismes.
Nous sommes ici au coeur d’un problème philosophique important, celui de ce que David Ellerman appelle hétérophobie, ou « traitement hétérophobique, privilégiant les homomorphismes « , dans la mathématique classique, celle de Mac Lane notamment.
Pierre Samuel avait bien noté en 1948 que la composition d’un hétéromorphisme (« S-T-mapping ») avec un homomorphisme (« T-mapping ») est un hétéromorphisme.
Ici je dois signaler un important problème de notation : dans l’article que nous lisons actuellement Ellerman utilise pour les hétéromorphismes la flèche classique → alors que dans l’autre article il utilise la double flèche :
⇒ Je m’en tiendrai à ce dernier usage pour des raisons de cohérence.
Le problème universel tel que présenté par Pierre Samuel fait appel aux hétéromorphismes (« S-T-mappings »), on part d’un S-ensemble E, et pour tout hétéromorphisme (  » S-T-mapping »dans la terminologie de Samuel) :
φ : E ⇒ F
Vers un T-ensemble F on se pose le problème de définir un procédé canonique ( c’est à dire un foncteur en termes modernes) associant à φ un hétéromorphisme:

φ0 : E ⇒ F0

De manière telle que l’on ait un homomorphisme unique (universalité)de T-ensembles:

F0 → F
Faisant commuter le tout: (page 7)

F*φ0= φ
En notant* la loi de composition des morphismes.

Seulement Samuel ne voit pas le problème dit co-universel, dual du précédent (obtenu en renversant le sens de flèches) voir page 7, c’est pouquoi il passe de peu à côté de l’adjonction.
Aux paragraphes 7 et 8 suivants, pages 8 et 9, David Ellerman analyse l’oubli dit « hétérophobe » des hétéromorphismes dans les stades ultérieurs de la théorie des catégories et distingue semble t’il deux périodes dans la carrière de Mac Lane, que je ne connais pas assez bien pour confirmer ses dires.
Ainsi page 9 il analyse l’instrument des « Universal arrows  » d’un objet vers un foncteur dû à Mac Lane comme  » heterophobic device » , selon une définition ne faisant pas appel à la notion d’hétéromorphisme (« het-free »)
Alors que Mac Lane définissait au début des hétéromorphismes qui sont maintenant appelés cônes et qui apparaissent, en prenant leur « limite » , dans des constructions universelles telles que le produit de deux objets ( cf page 8)

L’idée de « problème universel » : un important promontoire pour une vision de l’unité de la mathesis

La notion de « problème universel » apparaît déjà chez Wronski où elle voisine avec celles de « loi suprême » et de « Teleiosis » dans la trinomie ou Sainte Trinité des idées de base du système. Voir ici:

Cliquer pour accéder à S0002-9904-1893-00135-3.pdf

l’article  du Professeur Echols « Wronski ´s expansion »où le probleme universel est assimilé à un cas particulier de la  » Loi suprême ».

Ce probleme est très clairement défini et Lagrange (pas le même que celui cité dans l’article précédent)le décrit ici (page 1) avant d’en donner la solution (fichier pdf recopié en bibliotheque de mon blog « mathesisuniversalis2.wordpress.com »):

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/?attachment_id=624

Il existe une page Wikipedia qui explique la notion en termes d’objet initial ou final (notions duales) dans une catégorie :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

« Par suite, demander qu’un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près. En d’autre termes, de telles définitions permettent de se concentrer sur l’essentiel (le comportement de l’objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction.

Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l’existence de l’objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l’objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l’objet.
Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu’il est défini par un problème universel. »

Objet initial et objet final sont deux exemples de limites d’un diagramme ( on les obtient quand on prend la limite ou la colimite du diagramme vide),voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Où l’on signale voir le paragraphe « Définition » que réciproquement toutes les limites peuvent être vues comme des objets terminaux (donc des solutions de problèmes universels)dans une certaine catégorie , celle des cônes dans F, où F est le foncteur correspondant au diagramme dont on cherche la limite.

Wronski est le « cas » de la famille, Echols parle dans l’article cité supra de ses démêlés avec les « savants à brevets » , mais ne nous y trompons pas : c’est un génie absolu , et Balzac ne pouvait pas se tromper dans son admiration fascinée pour ce personnage « l’une des plus fortes têtes de l’Europe » et je ne pense pas que les mathématiciens ( ceux de Bourbaki et après) modernes auraient pu garder ce titre de « problème universel » s’ils n’avaient pas partagé cette admiration, surtout compte tenu de l’importance de l’idée et non plus du mot.Une idée, celle de problème universel, qui semble justement se situer au coeur des débats qui agitèrent le groupe Bourbaki dans les années 50 à propos de la théorie des catégories, qui était apparue en 1945, voire en1942.Cet article de Ralf Kromer porte justement sur ce sujet appartenant à l’histoire des idées: « La machine de Grothendieck se fonde t’elle seulement sur des vocables métamathématiques ? Bourbaki et la théorie des categories dans les années cinquante »

Cliquer pour accéder à smf_rhm_12_119-162.pdf

On y apprend plusieurs choses importantes :

-Samuel Eilenberg avait fui la Pologne très  tardivement , juste avant l’invasion nazie en 1939. Il s’installa aux USA sans problème, grâce à l’aide de la communauté mathématicienne, et travailla avec Saunders Mac Lane, c’est de leurs travaux en commun qu’est issue la théorie des categories en 1942 d’abord, mais surtout  en 1945 avec leur article séminal  » General  theory of natural équivalences ». Les idées de 1942 sont si l’on veut l’insémination, et l’article de 1945 la naissance, ou le baptême de la théorie. Eilenberg ne fut intégré au groupe Bourbaki que vers la fin des années 40. Il semble que Grothendieck grâce à un exposé qui avait été lu en son absence , alors qu’il se trouvait aux USA, avait gagné en grande partie la société des bourbakistes à la nouvelle théorie, qui entretenait des rapports étroits avec ce que Bourbaki appelait « structures » et qui forme la base du structuralisme si en vogue dans les annees 60, mais il se heurta à l’opposition d’André Weil, le mathématicien frère de Simone Weil (morte en1943, mais qui apparaît en compagnie de son frère sur certaines photos du groupe datant de 1938).Finalement ce fut ce dernier  qui gagna, Bourbaki refusa d’intégrer la théorie des catégories et Grothendieck démissionna du groupe.

Il semble qu’un certain article de Pierre Samuel (membre de Bourbaki) en 1948 intitulé « on universal mappings and free topological groups » ait une grande importance pour le sujet qui nous occupe, j’ai en tout cas trouvé plusieurs liens qui l’évoquent et lui accordent une place centrale, en liaison avec la notion de « problèmes universels » ( et je dois d’ailleurs signaler que d’après  l’article ci dessus de Ralf Kromer un thème récurrent de pensée chez Grothendieck  porte sur la commutativité des problèmes universels »(?)
 Il y a d’abord un article important sur le sujet des liens entre philosophie et mathématiques à travers la relation humaine et professionnelle de Jules Vuillemin et Pierre Samuel:

« Pierre Samuel et Jules Vuillemin: mathématiques et philosophie »

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01082189/document

Il s’agit selon son auteur de « présenter une des modalités actuelles possibles de relations entre mathématiques et philosophie » en prenant pour objet d’étude les contributions et réflexions des deux auteurs(Pierre Samuel pour la mathématique et Jules Vuillemin pour la philosophie) sur le concept général de structure et examinant plus précisément la notion de « problème universel ».

Ajoutons que si Vuillemin est défini comme un philosophe, c’est lui qui a écrit « Mathématiques et métaphysique chez  » un livre auquel l’article fait souvent allusion, ce qui n’est guère une coïncidence puisque Descartes est ce philosophe qui le premier a tenté d’appliquer la méthode mathématique en métaphysique.(voir page 2 notamment)

Un autre article qui s’intéresse à Pierre Samuel et au « probleme universel » est dû à David Ellerman que nous connaissons déjà pour ses travaux tournant toujours autour de l’universalité en relation avec l’adjonction des foncteurs :

« Mac Lane, Bourbaki and adjoints : a heteromorphic perspective « 

Cliquer pour accéder à Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

C’est effectivement Ellerman qui utilise la notion d’hétéromorphisme ( flèche entre deux objets situés dans des categories différentes, alors qu’un (homo)morphisme relie deux objets situés dans une même catégorie), pour clarifier la notion d’adjonction et de propriété universelle . Les articles suivants portent sur ses travaux en ce domaine:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/

Dans l’article mentionné ici, David Ellerman , qui fait une plus grande part à l’histoire des idées que les autres, que nous avions étudiés auparavant, part d’une remarque de Mac Lane suivant laquelle Bourbaki a manqué de peu l’invention de l’adjonction en 1948, invention qui est comme nous l’avons vu la plus importante de la théorie des categories:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

Ellerman poursuit en assurant que là encore l’utilisation de la théorie non orthodoxe ( faisant intervenir les hétéromorphismes) permet de clarifier les choses et de comprendre que Pierre Samuel s’est approché d’encore plus près de l’adjonction que l’on ne pourrait le penser à première vue. Car c’est Pierre Samuel qui a rédigé en 1948, non seulement l’article dont je parlais plus haut sur les  » Universal mapping probleme » mais l’appendice au premier jet du traité « Algèbre » de Bourbaki. Il a trouvé la  » left representation solving to a universal  mapping problem » ce qui constitue une première moitié d’une adjonction, la seconde moitié étant une représentation duale , à droite .

Il faut rappeler ici , comme il est précisé dans les deux pages Wikipedia suivantes :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qu’une adjonction peut être vue comme résolution d’un problème d’optimisation , formulation assez générale pour couvrir tous les problèmes rencontrés en mathématiques et en physique (qu’est d’autre la recherche d’extrema d’un lagrangien en physique qu’un problème d’optimisation ?) .

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

« It can be said that an adjoint functor is a way of giving the most efficient solution to some problem via a method which is formulaic. For example, an elementary problem in ring theory is how to turn a rng (which is like a ring that might not have a multiplicative identity) into a ring. The most efficient way is to adjoin an element ‘1’ to the rng, adjoin all (and only) the elements which are necessary for satisfying the ring axioms (e.g. r+1 for each r in the ring), and impose no relations in the newly formed ring that are not forced by axioms. Moreover, this construction is formulaic in the sense that it works in essentially the same way for any rng….

….This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a construction is most efficient if it satisfies a universal property, and is formulaic if it defines a functor. Universal properties come in two types: initial properties and terminal properties. Since these are dual (opposite) notions, it is only necessary to discuss one of them….

The idea of using an initial property is to set up the problem in terms of some auxiliary category E, and then identify that what we want is to find an initial object of E. This has an advantage that the optimization — the sense that we are finding the most efficient solution — means something rigorous and is recognisable, rather like the attainment of a supremum. The category E is also formulaic in this construction, since it is always the category of elements of the functor to which one is constructing an adjoint. In fact, this latter category is precisely the comma category over the functor in question.

....The two facts that this method of turning rngs into rings is most efficient and formulaic can be expressed simultaneously by saying that it defines an adjoint functor…..

….Continuing this discussion, suppose we started with the functor F, and posed the following (vague) question: is there a problem to which F is the most efficient solution?

The notion that F is the most efficient solution to the problem posed by G is, in a certain rigorous sense, equivalent to the notion that G poses the most difficult problem that F solves.[citation needed]

This has the intuitive meaning that adjoint functors should occur in pairs, and in fact they do, but this is not trivial from the universal morphism definitions. The equivalent symmetric definitions involving adjunctions and the symmetric language of adjoint functors (we can say either F is left adjoint to G or G is right adjoint to F) have the advantage of making this fact explicit. »

Rappelons quand même que l’adjonction est orientée : on écrit :

F\dashv G.

pour signifier que le foncteur  F est adjoint à gauche du foncteur  G et G adjoint à droite de F

ce qui est rappelé par le fait que F figure dans le membre de gauche de la famille de bijections qui explicite l’adjonction :

\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)

Noter que le point historique expliqué par Ellerman est mentionné à la fin de la seconde page Wikipedia : portant sur la notion « universal property » :

« Universal properties of various topological constructions were presented by Pierre Samuel in 1948. They were later used extensively by Bourbaki. The closely related concept of adjoint functors was introduced independently by Daniel Kan in 1958. »

En 1948 Bourbaki (via Pierre Samuel) a effectivement manqué de passer de la notion de « propriété universelle  » à celle de foncteur adjoint , ce qui a été réalisé 10 ans plus tard, en 1958, par Daniel Kan dans son article « Adjoint functors » qui est ici :

Cliquer pour accéder à S0002-9947-1958-0131451-0.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kan

La relation entre propriété universelle et adjonction peut aussi s’exprimer par la notion de foncteur représentable ce qui fait entrer en jeu une troisième page Wikipedia (est ce un hasard si ces trois pages sont excellentes ? ce qui n’est pas toujours le cas sur Wikipedia ? l’importance du sujet l’exige! là se trouve résumée toute la philosophie occidentale celle qui figure en notes de bas de pages de Platon selon Whitehead) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

voir le dernier paragraphe « relation to universal morphisms and adjoints »

L’article est déjà assez lourd, nous étudierons l’article d’Ellerman dans un ou des articles suivants, en revenant aussi sur la forme qu’il utilise, celle  des hétéromorphismes , dans ses deux autres papiers et ensuite nous pourrons passer à l’article de Daniel Kan

 

 

 

 

 David Ellerman et Saunders Mac Lane : adjonction et universalité en mathématiques, correspondances de Galois

Nous nous intéressons dans cette série d’article aux travaux de David Ellerman en relation avec l’adjonction et  l’universalité telle que traitée dans la théorie des catégories, qui est selon ces travaux la doctrine des universaux concrets, c’est à dire s’appliquant à eux mêmes (« self predicative »), dans le dernier article nous avions passé en revue la théorie des ensembles qui peut être vue comme doctrine des  universaux abstraits :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/

le papier d’Ellerman que nous suivons ici est celui sur les « concrete universals » ou « self predicative universals » :

Cliquer pour accéder à 1405.3192.pdf

où il s’étend à partir du bas de la page 9 sur l’importance de la notion de foncteurs adjoints et son omniprésence dans la théorie des catégories , nous avons déjà consacré plusieurs articles à cette notion qui est aussi liée à la notion de monade :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/16/adjonction-1-foncteurs-adjoints/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/08/13/propriete-universelle-et-foncteurs-adjoints/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

mais il existe un autre article de Colin Mac Larty, auteur de l’excellent « Elementary categories, elementary toposes » qui est cependant moins complet que « Toposes, triples and theories » que j’ai recopié en bibliothèque d’un des blogs « Henosophia toposophia » voir :

https://aventuresdidees.wordpress.com/barr-et-wells-toposes-triples-and-theories/

cet article de McLarty porte sur Saunders MacLane, inventeur en 1945 avec Samuel Eilenberg de la théorie des catégories dans la note séminale : « General theory of natural equivalences »:

Cliquer pour accéder à GToNe.pdf

Le papier de Colin Mc Larty s’appelle « Saunders Mc Lane and the universal in mathematics » le voici :

Cliquer pour accéder à 2006-12.pdf

il y explique que Mac Lane a passé ses 10 premières années de mathématicien à asseoir de manière philosophique sa convition profonde de l’unité des mathématiques sur l’ouvrage célèbre de 1910 : « Principia mathematica » de Bertrand russell et Alfred North Whitehead .

Ouvage tellement important qu’il figure lui aussi en trois volumes en bibliothèque des blogs « Henosophia »

ce thème de l’unité des mathématiques concerne  aussi le « Graal » recherché par Grothendieck,et, de nos jours, par Olivia Caramello mais il dépasse de loin la mathématique pour fonder selon nous une nouvelle discipline appelée « Henosophia » voir :

https://aventuresdidees.wordpress.com/about/

A la fin de la page 97 de son article sur « MacLane and the universal in mathematics » MacLarty explique que dans le « textbook » de MacLane le concept d’universalité (qui est, comme le rapplle Brunschvicg , lié à l’idée de vérité et donc de Dieu,mais aussi de l’homme si celui ci est , plutôt que « berger de l’Etre », « hérault de la vérité », et d’essence religieuse au vrai sens du terme) se trouve sous un tas de formes équivalentes entre elles et renvoyant les unes aux autres :

limites et colimites, dont l’exemple d’objet terminal, foncteurs adjoints, extensions de Kan ; « ends » et « co-ends » de Yoneda…auxquels il faut ajouter les monades , pierre d’angle d’où leur nom que MacLane a trouvé chez Leinniz

ce « textbook » dont Mc Larty parle est le livre fondateur écrit par McLane :

« categories for the working mathematician »

qui est ici :

Cliquer pour accéder à maclanecat.pdf

voir aussi sur la philosophie de MacLane « concepts and categories in perspective « :

Cliquer pour accéder à hmath1-maclane25.pdf

entre les deux lives, celui de Mac Lane « Categories for the working mathematician » et celui de Barr et Wells « Toposes, triples and theories » il est difficile de faire un choix; mais il en existe un qui les dépasse tous deux c’est celui de Mac Lane et Moerdijk « Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory » qui évoque la double origine , géométrique et logique, de la théorie des topoi :

 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/04/08/topoi-de-grothendieck-2-la-double-origine-geometrique-et-logique-de-la-theorie-des-topoi/

Il est plus difficile à télécharger gratuitement sur le web, on le trouve en format .djvu mais je ne sais pas manipuler de tels fichiers aussi ne l’ai je pas mis sur les bibliothèques des blogs « Henosophia  » contrairement aux deux autres.

En voici l’analyse-résumé sur le Nlab , avec liens hypertexte chapitre par chapitre :

http://ncatlab.org/nlab/show/Sheaves+in+Geometry+and+Logic

Mais revenons à l’article de David Ellerman :

Cliquer pour accéder à 1405.3192.pdf

L’tude de l’adjonction débute à partir de la page 9 et il se set tout au long de l’article d’une exemple d’adjonction remontant à l’élaboration de la théorie de Galois : celui des correspondances de Galois qui concernent les catégories ordonnées ou structures d’ordre organisées en catégories :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_de_Galois

comme dit au début de cette page Wiki, ce genre de correspondance concerne initialement celle entre les sous corps de l’extension d’un certain corps K (c’esr à dire un corps contenant K) et les sous-groupes de son groupe de Galois :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois

les deux collections (sous-groupes et sous-corps) sont ordonnées selon l’inclusion c’est à dire qu’une certain sous-groupe est « inférieur à « un autre (relation d’ordre <)s’il est contenu dedans .La relation d’ordre( ≤) est alors la relation d’inclusion ( ⊑) , on vérifie facilement quil s’agit bien d’une relation d’ordre c’est à dire réflexive, antisymétrique et transitive :

x ≤ x

si x ≤y et y ≤x alors x≈y

et si x ≤y et y ≤ z alors x ≤ z

 

un ensemble partiellement ordonné, c’est à dire tel que pour deux éléments il existe parfois un ordre entre eux peut alors être vu comme une catégorie : si deux objets x et y sont ordonnés

x ≤ y

alors on dit qu’il y a une flèche unique allant de x vers y : x → y
On a alors une paire de foncteurs adjoints entree deux structures ordonnées considérées comme catégories (P, ≤) et (Q, ≤)

F : P →Q
G : Q → P
si pour tout couple d’objets x,y t q x ∈ P et y∈ Q alors :
x ≤ G(y) si et seulement si y ≤ F(x) (la page Wiki parle alors de correspondance de Galois isotone, mais on peut ramener une correspondance antitone à une correspondanceisotnoe en inversant l’ordre sur l’un des ensembles ordonnés)
dans l’article d’Ellerman (pages 10-11 ) la premièrere structure ordonnée est celle des parties (sous ensembles) d’une certain ensemble U soit P(U)
la seconde est celle des paires de sous ensembles de U soit le produit cartésien P(U) × P(U) ,muni de l’ordre suivant :
(x,y) ≤ (x’, y’) si et seulement si x ≤ x’ et y ≤ y’
on considère alors comme foncteur entre P(U) et P(U) × P(U) le foncteur Δ : P(U) → P(U) × P(U)

qui associe à un sous ensemble x de U la paire (application dite « diagonale »)
et pour le foncteur en sens inverse le foncteur qui consiste à prendre l’intersection de deux partie de U :

⋂(x,y) =x ⋂ y
ce qui est bien une partie de U en tant qu’intersection de deux sous-ensembles x et y de U. On vérifie facilement la fonctorialité de cette application : P(U) × P(U) → P(U) .
L’adjonction entre les foncteurs Δ et ⋂ équivaut alors à

Δ (c ) ⊑ (a,b) ssi c ⊑ ⋂ (a,b)
et ceci pour tous les sous ensembles a,b,c de U
Si l’on fixe a et b , on retrouve la condition d’universalité dans la définition de l’intersection ⋂ :

c ⊑a ⋂ b si et seulement si c ⊑ a et c⊑ b (définition de l’intersection) et comme Δ (c) = (c,c)
c ⊑ a et c⊑ b équivaut à Δ (c) ⊑ (a,b)
De même en fixant c on retrouve la condition d’universalité :
Δ (c) ⊑ (a,b) si et seulement si c ⊑ a ⋂ b
rappel : les conditions d’universalité et d’unicité pour un universel représentant une propriété F et une relation de participation μ sont expliquées page 3

La stratégie d’Ellerman dans la suite est de montrer que les adjonctions consistent à associer deux constructions universelles appelées « semi-adjonctions »
Cela semble spécifique à son approche, on ne rencontre pas ces objets ailleurs