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Cohesive ∞-topoi

J’ai parlé à la fin du dernier article sur les « adjoint triples and quadruples » de cette note d’Urs Schreiber sur n-category cafe:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

La définition rigoureuse de la notion de « gros topos » est donnée ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/10/cohesive_toposes.html

En gros (c’est le cas de le dire) il s’agit d’un topos dont chaque objet F a pour correspondant un topos, appelé « petit topos », 

P(F) qui est un espace où l’on peut faire de la géométrie ( se rappeler qu’un topos peut être vu comme la généralisation d’un espace topologique, c’est à dire un ensemble de points muni d’une topologie, qui est une collection de parties (de sous ensembles)appelées « ouverts »,  de cet ensemble, collection obéissant à certaines conditions, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Noter que dans le gros topos le petit topos associé à l’objet terminal 1, soit P(1) est appelé « topos des points » du gros topos (notion à garder en mémoire):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

La note d’Urs Shreiber donne un exemple précis de quadruplet de foncteurs en adjonction (adjoint quadruple) dont nous avons parlé dans l’article récent:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/23/triplets-et-quadruplets-dadjonctions-adjoint-triples-and-quadruples/

f! ⊣f * ⊣ f * ⊣ f !

Le foncteur principal Γ d’un topos cohésif E est appelé foncteur  » section globale » c’est un morphisme géométrique :

Γ: E → S où S est le topos des ensembles et ce foncteur associeà un objet X du topos E, qui est un espace, l’ensemble Γ(X) des points de cet espace X c’est à dire la pure multiplicité de ses « points ».
Quelques précisions ici sur les notations employées : dans l’article de n-category cafe ou de Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

qui est en anglais on emploie la lettre S pour Set, qui veut dire « ensemble », mais en francais cela risque d’introduire une infusion puisque la lettre qui correspond à  » Ensemble » est justement E, et non plus S. Nous introduirons donc les lettres H (comme Henologie ou Henosophia) à la place de E pour un topos cohésif et O(comme Ontologie) à la place de S et noterons ce foncteur section globale:

Γ : H → O
Où O est le topos Ens des ensembles qui , selon la doctrine de Badiou dans l’Etre et l’événement , correspond à l’ontologie qui traite de la multiplicité pure  » sans Un » , qui est ici la multiplicité pure des points de l’espace, en oubliant la cohésion .
Une première adjonction est :

Disc ⊣ Γ
(Γ est adjoint à droite de Disc)
Où Disc est le foncteur qui envoie un ensemble de points ,pure multiplicité sans cohésion, sur la meme multiplicité mais structurée par la topologie discrète ( dans le cas d’une structure topologique)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie_discrète

Rappelons qu’une topologie sur un ensemble X de points consiste en une collection de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions, sous-ensembles appelés « ouverts ». Cette topologie discrète est en même temps la topologie maximale possible : tout sous ensemble est un ouvert.
La topologie minimale, la plus « grossière », est appelée « codiscrete » : seuls l’ensemble vide (sans aucun point) et l’ensemble total sont des ouverts, ce qui est toujours le cas dans toute topologie.
Le foncteur Codisc, envoyant un ensemble de points sur la structure codiscrete définie sur cet ensemble, correspondant est adjoint à droite du foncteur Γ.
Enfin un quatrième foncteur Π vient s’ajouter aux trois précédents:

Π : H → O (voir le rappel sur nos notations plus haut: O comme  » Ontologie »est le topos des ensembles, du multiple pur « sans Un, sans cohésion  » et H comme  » Henosophia » est le topos cohésif.
Ce foncteur est un peu plus compliqué : dans le cas n= 1 il envoie un espace sur ses composantes connexes, et pour les niveaux supérieurs cela se généralise à la « truncation de niveau (n-1) du groupoide fondamental :

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid

Qui a pour objets les points de l’espace de départ (de l’ensemble de points) X et pour morphismes les  » chemins » d’un point à l’autre, définis à une homotopie près.
Le groupoide fondamental est une généralisation du groupe fondamental d’un espace topologique et ces deux notions se généralisent d’un espace topologique à un topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+group+of+a+topos
Ce foncteur Π est adjoint à gauche du foncteur Disc.
Nous avons donc une série de trois adjonctions entre les quatre foncteurs définis , ce qui répond bien à la définition d’un quadruplet (« adjoint quadruple »):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

Ce quadruplet est la généralisation cherchée d’un morphisme géométrique, et il est orienté tout comme un morphisme géométrique qui est une paire de foncteurs adjoints. L’orientation va de H (topos cohésif, hénosophique) vers O ( topos des ensembles, ontologique ) et c’est ainsi que Lawvere définit les topoi cohésifs.
La seconde partie de la note d’Urs Schreiber titrée  » A remark on Lawvere’s work » est extrêmement importante, en voici les extraits cruciaux:
« He is really at heart a physicist, in the following sense: he is deeply interested in the mathematical model building of reality He is searching for those structures in abstract category theory that do reflect the world. He is asking: What is a space in which physics can take place? Concretely: What is the abstract context in which one can talk about continuum dynamics? I gather even though he is an extraordinary mind, he did not push beyond continuum mechanics, otherwise he would also be asking: What is the abstract context in which quantum field theory takes place? »

(Lawvere réputé comme un logicien, a d’abord pour préoccupation la physique, en s’arrêtant à la mécanique sans aborder le domaine quantique)

Puis
« As Jacob Lurie says rightly: Higher category theory is not theory for its own sake, but for the sake of other theory. And fundamental theoretical physics is all about scanning the space of theories for those that fit reality (as opposed to the physics that most theoretical physicists do, which is scanning the phenomena of one fixed theory.) »
Et enfin la fin de l’article :

« I wish there were more people like Lawvere around, with his perspective on the general abstract basis of everything and at the same time with the overview over modern derived ∞-topos theory and the understanding that the richer structure people are seeing in these is Lawvere’s observation that reality springs out of topos theory taken to full blossoming: reality springs out of ∞-topos-theory »

Ces deux deux dernieres observations font ressortir l’exceptionnelle importance de la  » higher topoi theory » de Jacob Lurie qui n’est pas du tout une généralisation pour le plaisir de « faire compliqué » mais comme dit Schreiber:
 » a full blossoming of topos theory « d’où jaillit la Rélité » ( « reality springs out of ∞-topos-theory »)
J’ai déjà commencé à étudier le « magnum opus » de Jacob Lurie  » Higher topos theory », voir:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

Il s’agit d’un travail énorme ( mais moins énorme que celui accompli par Lurie!) et j’espère avoir montré ici qu’il ne s’agit pas d’un jeu gratuit ayant pour but de fuir la réalité insupportable qui est la nôtre (celle de l’Europe de nouveau en guerre 70 ans apres 1945) dans de creuses et vaines abstractions mais justement d’un souci de la Réalité qui comme le dit Shreiber « jaillit de la théorie des topoi et surtout de sa pleine floraison : la théorie des ∞-topoi »
La Réalité ce n’est pas le « plan vital » de l’actualité et de l’Histoire mais le plan spirituel qui est celui où vivent les « clercs véritables » (tels Jacob Lurie) que Julien Benda appelait en 1927 de ses vœux:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/julien-benda-la-trahison-des-clercs/

« Clercs » véritables qui sont « le sel de la Terre » comme le dit l’Evangile:

http://saintebible.com/matthew/5-13.htm

Des ensembles aux catégories

Stéphane Dugowson est un mathématicien qui s’intéresse aussi à la philosophie, voici le lien vers une série de cours (enregistrés sur vidéos) qu’il a donnés à l’université de Paris 7 à des étudiants de philosophie:

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/2013-unite-et-multiplicite

sur le problème, que l’on pourrait caractériser comme se situant à l’intersection (qui est non vide) de la philosophie et de la mathesis, de l’un et du multiple.

Le cours du 4 novembre 2013 se nomme : 1 + 1 = 2

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/cours-n1–112

Il n’y a aucune provocation de sa part dans ce titre et il s’en explique en indiquant qu’il se méfiait auparavant des évidences, mathematiques ou autres, mais que dans ce cas particulier il s’est rendu compte que l’on pouvait tirer des réflexions nouvelles de ce qui peut sembler archiconnu, faire sortir le vin nouveau des vieilles outres en somme..il faut pour cela considérer la somme sous son aspect dans la théorie des catégories, qu’il explique aux étudiants philosophes, je n’ai encore visionné que les deux premières videos, je les commenterai au fur et à mesure que je les verrai.

Dans la première vidéo il se situe par rapport à Badiou, et je dois dire que je l’approuve : la théorie des catégories, « mathématique du 21 eme siècle », englobe la théorie des ensembles, qui forment d’ailleurs une catégorie particulière qui est aussi un topos. Et il est incompréhensible que Badiou en reste aux ensembles pour son « ontologie comme théorie du multiple pur »

Il y a dux pôles,l’être et l’un , et l’on ne peut parler de l’un sans parler de l’autre : des ensembles qui sont les 0-catégories sans parler des catégories superieures.

La seconde vidéo aborde les rudiments des catégories en précisant les notions de classe, expliquées ici:

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

la stratégie de Badiou pour démontrer l’inexistence du Tout

Dans « Logiques des mondes » (LDM) , page 119, section 1, Badiou commence sa présentation du « concept de transcendantal » (qui sera pour nous attaché à la notion de topos, comme ce que l’on appelle « objet-vérité » Ω) en démontrant l’inexistence du Tout.

Seulement, fidèle à sa thèse de la théorie des ensembles (pas n’importe laquelle, celle axiomatisée par Zermelo-Fraenkel) comme ontologie, ou doctrine de l’être en tant qu’être, le Tout doit être pour lui la totalité de « ce qu’il y a » , et comme tout ce qu’il y a ce sont les multiples purs, les ensembles, le Tout doit être la totalité des ensembles.

Mais si le Tout doit être, comme ce qui est, ce sont les multiples, le Tout doit être un multiple, un ensemble.

Conclusion : le Tout doit être un ensemble, et il doit être la totalité des ensembles.

Il ne peut donc être que l’ensemble de tous les ensembles, et à ce titre il doit être élément de lui même.

De tels ensembles, qui sont éléments d’eux mêmes, sont appelés par Badiou « multiples réflexifs », et ils ont été considérés de longue date par les mathématiciens comme assez « problématiques », voire dangereux, à tel point que la théorie a jugé bon de créer un axiome, l’axiome de fondation, pour les écarter comme possibilité de pensée.

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/378117-ensemble-se-contenant-lui-meme.html

http://utilisateur-ianop.blogspot.fr/2008/01/lensemble-vide-est-lment-de-lui-mme.html

d’ailleurs, même en théorie « intuitive » ou « naïve », on a du mal à en trouver : je ne puis proposer que des formulations négatives, comme par exemple l’ensemble des ensembles dont la cardinalité est non bornée, ou supérieure à un nombre entier fini quelconque n.

Mais revenons à l’enchaînement de pensées de Badiou : supposons que le Tout soit, et qu’il soit donc ensemble de tous les ensembles (comme nous y sonnes forcés si nous suivons les thèses de Badiou sur l’ontologie du multiple) alors il y a au moins un ensemble élément de lui même, et il est consistant de dire que de tels ensembles (dits réfelxifs) existent.

Mais il est aussi consistant de dire que des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux mêmes existent, et là on en trouve à foison.

Badiou cite comme exemple ces 5 poires qui sont là sur la table devant lui : on peut en former un ensemble, mais il n’a aucune chance d’être une poire, et donc il ne peut être élément de lui même, puisque tous ces éléments sont par construction…des poires !

Badiou poursuit : il est logiquement possible de séparer « tout ce qu’il y a », c’est à dire tous les multiples, en deux catégories : les réflexifs, et les non réflexifs.

Il est donc consistant de former l’idée du multiple de « tous les multiples non réflexifs », que Badiou appelle la Chimère.

Or cette Chimère, est elle réflexive ? elle est un ensemble, l’ensemble de tous les ensembles non réflexifs, mais peut elle être élément d’elle même ?

si elle l’était, cela voudrait dire qu’elle serait un ensemble non réflexif, puisque c’est la définition des éléments de la Chimère !

Conclusion : si la Chimère était réflexive, elle serait non réflexive !

Nous arrivons à une contradiction, une absurdité, donc la chimère ne peut être réflexive…

seulement nous arrivons au même genre de problèmes si nous la supposons non réflexive: car si elle est non réflexive, cela veut dire qu’elle est un ensemble qui n’est pas élément de lui même.

Donc elle appartient à l’ensemble des ensembles non réflexifs.

Or cet ensemble c’est elle même.

Donc elle appartient à elle même, elle est élément d’elle même.

Donc si nous supposons que la chimère est non réflexive, nous aboutissons à la conclusion qu’elle doit être réflexive !

Conclusion :

la Chimère est bien…chimérique, elle n’a pas d’être, elle ne peut être un

ensemble.

Et comme elle suivait de l’hypothèse de l’être du Tout, cette hypothèse, menant à des absurdités, doit être écartée.

Le Tout n’a pas d’être.

Seulement ceci n’est valable que dans le cadre des thèses ensemblistes de Badiou, et même dans ce cadre les mathématiciens ont depuis longtemps eu l’idée d’un axiome d’antifondation et d’ensembles dits « non well-founded », qui passent allègrement par dessus les prétendus interdits de « pensée philosophique » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d’anti-fondation

http://plato.stanford.edu/entries/nonwellfounded-set-theory/

mais selon moi le vrai problème est que Badiou ne part pas du véritable point de départ, qui est la dualité entre « élément-être » et « élément-savoir ».

Il parle seulement de l’idée du Tout, non pas du Tout lui même !

un ensemble n’est qu’une idée, et Badiou le reconnaît lui même avec son exemple de l’ensemble des 5 poires : c’est l’idée que nous nous formons de la collection des 5 poires, mais pas les 5 poires elles mêmes en leut être « massif », comme dirait Sartre, là devant nous, sur la table.

Si je suis sur le point de mourir de faim et de soif, ce n’est pas l’ensemble des 5 poires qui va me sauver : ce sont les 5 poires, et tout le monde le sait bien, qu’il soit idéaliste ou pas !

ou encore : c’est le chien qui aboie et qui mord, pas l’idée du chien !

Dans nos conditions d’existence incarnée, il est complètement absurde de vouloir « séparer » être et savoir, matière et esprit.

Mais, ce qui est la vérité éternelle de l’idéalisme, l’esprit possède  une prédominance évidente quand il s’agit de l’âme humaine et de son salut : sans les idées, et leur aboutissement la science, je pourrai cueillir les poires sur l’arbre, comme les anciennes tribus de sauvages , mais il me sera difficile de les faire venir sur ma table, sauf utilisation d’esclaves. Et encore devrai je savoir les faire pousser !

Qu’est ce que le Tout  : tous les étants « du monde extérieur » dont je puis former l’idée, moi ou n’importe qui d’autre, plus toutes les idées d’un étant quelconque ; cela fait du monde , car il y a en plus les idées d’idées (idées d’évènements par exemple).

Bref on comprend qu’il est insensé de vouloir avoir même l’idée d’en former un ensemble, ou une collection.

Le Tout serait en somme l’identité primitive de l’être et du savoir, dont nous avons constaté que la route est « barrée » à la pensée, sauf introduction du mysticisme dans la philosophie.

Le Tout est donc une idée mal formée, inconsistante : pas besoin de Zermelo-Fraenkel ni du paradoxe de Russell pour le comprendre !

Par contre si comme le dit Hegel « seul le vrai est le Tout », et que nous assignons à la philosophie , renommée par nous toposophie , la recherche et l’acheminement de l’âme vers la vérité, alors il devient licite d’envisager le Tout, comme l’Un ou l’Etre, comme limites : c’est là le schéma de pensée « fonctorielle » par lequel nous remplaçons les « arcanes du badiolisme » (pour reprendre ce néologisme, désignant l’école de pensée de Badiou, à son créateur François Laruelle).

les séminaires de Badiou sur les topoi et les catégories

J’avais mis sur le blog les textes de ces séminaires sur Scribd, mais cela ralentissait considérablement la lecture du blog, or ils existent aussi ailleurs, voici les liens :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

seul celui de 94-95 n’est que sur Scribd :

http://www.scribd.com/doc/78652142/Theorie-des-topos-1994-1995

puis :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/95-96.htm

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/96-97.2.htm

on peut y ajouter cette thèse :

http://nessie-philo.com/Files/these_fj.pdf

et ces articles :

http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch1topos.pdf

http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/8/pdf/smf_rhm_8_113-140.pdf

http://rene.guitart.pagesperso-orange.fr/textespreprints/guitart08modelcat.pdf

la catégorie des ensembles : premier exemple d’un topos

La théorie des topoi (pour les hellénistes, dont je me piquais de faire partie du temps de mes études) , qui est maintenant le nouveau cadre fondationnel pour les mathématiques (après la théorie des ensembles qui jouait ce rôle dans les années 60) est le plus souvent présentée comme une généralisation ou une « abstraction » de la théorie des ensembles, et la notion de topos est résumée comme :

une catégorie qui se comporte « comme » la catégorie des ensembles

seulement il existe des manières de présenter les choses qui rendent un peu plus justice à la réalité : les topoi n’ont pas été inventés, ou « découverts », par Grothendieck et Lawvere dans le but de généraliser la théorie des ensembles !

Je dirais plutôt quant à moi que si le premier exemple de topos rencontré par l’homo mathematicus est  effectivement celui des ensembles, c’est à cause du fait que le « devenir-esprit » de l’humanité est orienté dans le sens d’un progrès de la conscience, de la nature, caractérisée par la multiplicité, vers l’esprit, caractérisé par l’unité.

Il n’est donc guère étonnant que la théorie des ensembles, qui est la théorie des multiplicités pures, sans structure ni ordre, soit trouvée en premier.

Cette « découverte » se situe d’ailleurs bien tardivement dans l’histoire de la mathématique, elle vient après celle des nombres entiers, puis des autres nombres, et leur manipulation dans les équations et systèmes d’équations, notions indiscutablement plus « concrètes ».

La notion de topos a à voir avec celle de vérité, à travers l’existence dans tout topos d’un objet-vérité (truth -object) Ω.

Agrémentée de ce que l’on appelle un « natural number object » (généralisant les nombres entiers) elle constitue un cadre de formalisation et de théorisation pour l’évolution moderne (toute récente) de la physique, voir :

http://www.blogg.org/blog-69347-billet-physique_et_theorie_des_topoi__physics__topos_and_category_theory_-716975.html

http://mathesis.blogg.org/date-2006-06-09-billet-368403.html

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/quantum-topos/

après ces éclaircissement partons donc de la catégorie des ensembles, notée le plus souvent Ens (dans les ouvrages français) ou Set (dans les livres en anglais).

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol9/jeanyves.pdf

Un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de morphismes entre les objets, qui sont les éléments de l’ensemble (en fait, il y a toujours un morphisme, le morphisme identité, souvent identifié avec l’objet).

Prenons un exemple simple : j’ai avec moi une sacoche où il y a, mettons, trois livres; je peux toujours former le concept de l’ensemble de ces trois livres, même s’ils n’ont rien à voir entre eux, même si je ne lis que l’un d’entre eux et que les deux autres appartiennent à quelqu’un d’autre, qui les a oubliés chez moi.

Cet ensemble est donc la collection :

{ A , B , C } où l’on note A, B ,et C les trois livres en question.

si je veux considérer cet ensemble comme une catégorie, je pourrai introduire des morphismes identité sur chacun des trois objets, ou éléments, de cet ensemble:

Id_A : A —-> A   etc…

mais il n’y aura pas de morphismes reliant deux objets différents entre eux.

Maintenant la catégorie des ensembles possède comme objets les ensembles et comme morphismes reliant deux objets, deux ensembles X et Y, les fonctions, ou applications, entre ces ensembles .

Rappelons qu’une fonction f entre deux ensembles X et Y :

f : X ————–> Y

est un procédé qui à tout élément x appartenant à X associe un et un seul  élément  y = f (x) appartenant à l’ensemble Y

Il ne peut pas y avoir deux correspondants, sinon on n’a plus une fonction mais une correspondance (théorie très intéressante elle aussi).

Comme tout ensemble peut être considéré comme une catégorie, la catégorie des ensembles pourra être considérée comme une 2-catégorie. Une fonction entre ensembles sera alors un foncteur entre ces deux ensembles considérés comme catégories.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Là encore, il y a deux manières de comprendre l’évolution : soit les foncteurs seront considérés comme des « généralisations » de la notion de fonction, soit les fonctions seront considérées comme la première « rencontre » de nos mathématiques en train de se développer avec une notion bien plus englobante, et qui contient les fonctions comme un cas particulier simple.

L’intérêt de la catégorie des ensembles est que l’on y  rencontre ainsi tous, ou beaucoup  des concepts les plus usuels de la théorie des catégories.

ainsi une application, ou fonction, entre les ensembles X et Y  est dite injective si un élément de Y n’a qu’un seul « prédecesseur » (quand il en a un).

Il ne peut arriver que deux éléments de X soient envoyés sur le même élément de Y.

une application est dite surjective lorsque tout élément de Y a un (ou plusieurs) prédecesseurs.

Une application est dite bijective quand elle est à la fois injective et surjective.

Ces notions sont présentes en théorie des catégories : les fonctions injectives deviennent les monomorphismes, les applications surjectives sont les épimorphismes, et les applications bijectives les isomorphismes.

Mais la nouveauté radicale, qui est la principale caractéristique de la nouvelle théorie, est que ces notions n’ont plus besoin d’être expliquées en recourant aux éléments, mais seulement à des diagrammes.

Attardons nous un peu là dessus, car cela permet de comprendre pas mal de choses.

Un monomorphisme est un morphisme qui est « simplifiable à gauche » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Monomorphisme

Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé mono) est un morphisme simplifiable à gauche, c’est-à-dire une application f\colon X \to Y telle que

f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2 pour tout morphisme g_1, g_2 \colon Z \to X.
Monomorphism-01.png

La notion duale est celle d’épimorphisme , qui sont la version catégorique des applications surjectives ensemblistes.

Ici s’introduit la notion de dualité, extrêmement importante : la catégorie duale d’une catégorie C est obtenue en reversant le sens des flèches (morphismes).

À partir d’une catégorie \mathcal C, on peut définir une autre catégorie \mathcal C^{op} (ou \mathcal C ^ o), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément : Hom_{\mathcal C^{op}}(A,B)=Hom_{\mathcal C}(B,A), et la composition de deux flèches opposées est l’opposée de leur composition :

f^{op}\circ g^{op}=(g\circ f)^{op}

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : (\mathcal C^{op})^{op}=\mathcal C.

Un isomorphisme , version catégorique des bijections ensemblistes, est simplement un morphisme qui possède un inverse :

Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).

Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h

racisme et communautarisme ethno-religieux

tout ce dont les membres, exempts de pathologies mentales graves,  d’une communauté linguistique peuvent parler en se faisant comprendre  « existe », il n’y aurait aucun sens à le nier.

Ainsi cette table, devant moi, cet arbre au loin, ils « existent ».

Et pourtant, peut on dire qu’il « existent absolument » ?

la table a été construite par des hommes, pour des usages humains, elle ne peut ‘exister » indépendamment des savoirs faire industriels humains, acquis au cours de l’Histoire.

De même l’arbre, ou tout autre objet naturel, est une « abstraction » si on le conçoit isolé du monde qui l’entoure : il a besoin pour continuer à « être là » des minéraux que ses racines puisent dans le sol, de l’atmosphère (si elle est trop polluée il meurt).

A la limite il n’existe « dans l’Absolu » rien d’autre que le Tout : et ce Tout est bien plus que ce que nous appelons « le monde ».

Car il est le « Tout » dont on parle, dont je parle actuellement : en en parlant je me situe en quelque sorte « en dehors » du Tout, ce qui m’amène à penser que la notion de « Tout dont on parle » est autocontradictoire.

Hamlet dit à Horatio:

 «  il y a plus de choses sur terre et dans le ciel que dans toute votre philosophie »

seulement, comme le note Brunschvicg,  il parle de la philosophie de son époque, la philosophie scolastique, sorte de mixte entre la philosophie aristotélicienne et les mythologies chrétienne, juive ou musulmane.

La science véritable, et donc la philosophie véritable, ayant affaire à la Vérité pure et non pas aux mensonges de la physique « aristotélicienne » esclave des illusions de la perception, font leur entrée en scène avec Copernic, Galilée, et surtout Descartes.

Et la philosophie « remonte au ciel » selon la belle expression de Guéroult à propos du malebranchisme.

Qu’est ce que la terre ? qu’est ce que le ciel ?

la science montre enfin que les « cieux » , l’espace immense des planètes, des astres et des galaxies, ne sont pas d’une nature différente de celle de notre planète.

La « terre », c’est donc pour nous le monde sensible, celui des perceptions, sensations, …des êtres vivants (et donc mortels) que nous sommes.

Le « ciel » c’est l’espace « intérieur » , ou « internel » selon ce mot que je trouve si beau, et que j’avais trouvé je ne sais plus où…

C’est l’intériorité pure où seulement nous pouvons nous acheminer vers « Dieu » qui est, comme je l’ai démontré, l’Absolu en tant que Raison immanente.

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/une-demonstration-irrefutable-de-lexistence-de-dieu/

Seulement ici attention à ne pas tomber dans un piège terrible !

 cette intériorité est l’universalité véritable, si justement elle dépasse ce qui constitue la prison de la « fausse intériorité » celle des fantasmes et obsessions égocentriques , celle qui me constitue comme « cette personne unique », avec mes goûts, mes pulsions, mes illusions.

Or il n’y a rien là d’unique, parce que tout le monde se prend pour le centre du monde et croit que sa petite personne est l’aboutissement de l’Histoire universelle… tout au moins à notre époque dite « individualiste », celle de la « télé réalité » où tout le monde adore parler de « soi », des ses obsessions médiocres (en général sexuelles », etc…

Seulement l’universalité de la Raison, c’est à dire de l’intériorité vraie, ne commence qu’une fois franchie cette barrière du singulier (mes caractéristiques individuelles quantifiables ou « ineffables », qui disparaîront dans la tombe avec moi), et du niveau « particulier » de ma personnalité, liée à ma « culture » nationale ou tribale , à ma religion éventuelle, et qui en aucun cas n’est universel ni universalisable, sauf fanatisme barbare, celui que nous connaissons trop de nos jours).

A partir de la ligne de partage des temps, à partir de Descartes :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/03/06/la-ligne-de-partage-des-temps/

on peut et on doit donc inverser l’appréciation d’Hamlet :

« il y a plus de choses dans la vraie philosophie qui est « itinerarum mentis in Deum », acheminement de l’âme dans le ciel internel vers la Raison Absolue, que sur la terre des êtres sensibles, soumis au vieillissement, à l’entropie et à la mort »

certes, Descartes et Malebranche restent chrétiens, et Descartes dit fort justement, en universalisant pour une fois son comportement particulier, qu’il « est toujours resté fidèle à la religion de sa nourrice », et, implicitement, que c’est ce que tout le monde devrait faire !

eh oui ! c’était le temps où il y avait encore des nourrices, et encore des religions dignes de ce nom (quoique…après la Saint Barthélémy, il nous soit peut être impossible de dire ça) !

ils restent chrétiens, mais leur philosophie, même si elle trouve sa condition de possibilité dans le christianisme, en dépasse les aspects purement religieux, c’est à dire particuliers… et ce même pour Malebranche qui déclare :

« la foi passera mais l’intelligence subsistera éternellement »

ce long préambule pour en venir au terrible problème du racisme et du communautarisme, qui menacent maintenant directement notre république !

de même que cette table, cet arbre, cette maison, « existent », puisque nous pouvons en parler en nous faisant comprendre, de même les « races » existent!

certes elles n’existent pas pour la science, mais pour celle ci, pour la physique mathématique née au 17 ème siècle, naissance en laquelle  Brunschvicg voit le fait capital de l’évolution humaine, cette table, cet arbre n’existent pas non plus !

je dirais même que les « races » existent encore plus qu’il y a 40 ans, en France, et dans la tête des gens : chacun sait, avec certitude, qu’il est « blanc », « noir » « asiatique », « arabe » etc.. cela ne rime à rien de prétendre le contraire !

si l’on se limite aux aspects physicalistes, alors toute pensée raciste est propre à des attardés qui restent prisonnier du plan de la perception vitale, alors que depuis le commencement de la civilisation il y a 4 siècles, la science moderne affranchit les hommes de cette prison matérialiste… mais combien sont ils, ceux qui acceptent de faire usage de cette clé et de se libérer de leur prison mentale ?

seulement dans le choses humaines le « culturel » prime le « naturel » et le « physique » : et c’est ici que s’introduisent les « communautés », religieuses entre autres..

le racisme purement « physicaliste » et « biologique » est intenable, on le voit bien : seulement s’ il évolue et se pare des « plumes » du communautarisme , alors il est bien plus difficile d’en venir à bout, et je dirais même que le racisme, sous sa forme communautariste, n’a fait, en France, que croître et embellir depuis qu’il existe des organisations « antiracistes » !

pourquoi ? à cause de ce phénomène propre aux hommes non encore affranchis de leur être « naturel » par la science et la philosophie.

Chacun croit être le centre du monde, au niveau singulier, mais cette illusion s’étend au plan « particulier », celui des cultures et des religions : chacun croit que sa communauté, sa religion, est « supérieure » aux autres !

sinon il en changerait !

certes, à cause du « politiquement correct » ambiant en Occident, la plupart enterrent cette croyance en leur coeur, et la taisent…

mais ce n’est pas le cas de tous, et pas avec la même intensité : il est facile de se rendre compte, par exemple, que la plupart des musulmans sont persuadés que l’Islam est la seule religion agrée par Dieu… c’est même dit dans le Coran !

alors comment sortir de cette barbarie, de cette illusion propre aux peuples non émancipés par la Raison, qui menace de ruiner toute civilisation ?

certainement pas par le métissage et le mélange chaotique de toutes les « cultures » et « religions » sur un même sol !

Un Alain Finkielkraut l’a bien compris.

En Yougoslavie, les mariages entre personnes de « religion » et « communauté »différentes étaient fort nombreux, cela n’a aucunement empêché une guerre atroce dans les années 90.

Les cultures européennes et les cultures islamiques, ou africaines, ou asiatiques, sont absolument incompatibles.

Certes il n’est pas question d’interdire les mariages « métissés », tout retour en arrière est impossible.

Mais il est fou de placer un quelconque espoir dans le métissage généralisé, bien au contraire : si les histoire d’ amour finissent mal en général, c’est le cas toujours , ou pratiquement, pour les amours « transculturelles », ou « transreligieuses ».

Les cas où cela se passe bien sont TOUJOURS ceux où l’un des deux partenaires accepte de « céder » et d’abandonner certains traits de sa « culture »… ne fût ce qu’au moment où les enfants naissent  car dans quelle religion vont ils être élevés ? vont ils preier à l’église avec maman et manger du jambon, ou bien suivre papa à la mosquée ?

l’Islam a là dessus une réponse simple, voire simpliste, et inacceptable : l’Islam est la Vérité, donc les enfants d’un couple mixte seront musulmans , que cela plaise ou non au conjoint non musulman !

Un chrétienne ou une juive épousant un musulman est fortement « encouragé » à devenir musulmane, quoique non obligée… par contre, et toujours selon le Coran, qui est pour les musulmans parole  de Dieu, un non musulman que désire épouser une musulmane DOIT se convertir à l’Islam !

or si l’on trouve cela bien, on reconnaît que certaines « communautés », certains « particularismes », sont supérieurs à d’autres !

c’est le droit de chacun de penser cela : mais pourquoi tombe t » on à bras raccourcis sur les européens qui veulent que les autres « cultures » installées sur le sol européen fassent un effort d’assimilation, alors que l’on ne dit rien contre les musulmans qui refusent que leur fille épouse un chrétien ou un juif ?

Non, la voie de sortie hors du racisme, hors du communautarisme, est ailleurs que dans le mélange et le métissage généralisés !

paradoxalement, je ne peux me rapprocher de l’Autre que si je « plonge » en moi même, franchissant définitivement la « barrière » de la fausse intériorité dont je parlais plus haut, et accédant à l’universalité de la Raison où nous sommes tous « en chemin vers l’Unité ».

La religion véritable, religion de la Raison, est forcément affranchissement des barrières du groupe social, ethnique ou « racial » , comme le dit Lachelier cité par Brunschvicg :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/raison_et_religion/raison_et_religion.html

« Par religion (disait Jules Lachelier au cours d’un dialogue mémorable où il se confrontait à Émile Durkheim) je n’entends pas les pratiques religieuses ou les croyances particulières, qui trop évidemment varient d’un état social à un autre. Mais la vraie religion est bien incapable de naître d’aucun rapprochement social ; car il y a en elle une négation fondamentale de tout donné extérieur et par là un arrachement au groupe, autant qu’à la nature. L’âme religieuse se cherche et se trouve hors du groupe social, loin de lui et souvent contre lui… . L’état de conscience qui seul peut, selon moi, être proprement appelé religieux, c’est l’état d’un esprit qui se veut et se sent supérieur à toute réalité sensible, qui s’efforce librement vers un idéal de pureté et de spiritualité absolues, radicalement hétérogène à tout ce qui, en lui, vient de la nature et constitue sa nature »

l’état d’un esprit qui « se veut et se sent supérieur à toute réalité sensible », c’est celui d’une âme humaine qui se libère du carcan de la pensée « matérialiste », soumise à la perception vitale et à ce que nous appelons ici le « selon l’être », soumise aux illusions du multiple donc, et qui adopte la « pensée selon l’un ».

Si Badiou déclare que l’ontologie ne peut être que celle du multiple pure, il a raison ; mais quand il identifie mathématique (sous forme de théorie des ensembles) et ontologie, alors il ferme tout simplement la porte de la prison et empêche l’évolution dont parle Lachelier.

Et après il vient vitupérer le « racialisme » dont il est, inconsciemment, le promoteur et le garde-chiourme !

non, la mathématique  ne s’identifie pas avec l’ontologie ni avec la théorie des ensembles et des multiplicités pures !

sous sa forme catégorique moderne, elle dépasse la théorie des ensembles qui ne forment qu’une catégorie parmi les autres en nombre indéfini.

Ce qui veut dire que la Mathesis universalis, la philosophie fondée sur la mathématique, constitue, et elle seule,  la voie de sortie hors de la prison du sensible, et donc, la libération vis à vis de tout racisme et de tout communautarisme !

 

 

une philosophie enfin entièrement scientifique

La pensée selon l’un, ou selon l’être, dont nous précisons le cadre dans les articles précédents, c’est tout simplement , dans leur cadre théorique véritable, l’idéalisme spiritualiste mathématisant , et le matérialisme prisonnier du plan de la perception.

Ou encore, si l’on veut, l’aboutissement ultime du platonisme et de l’aristotélisme.

On comprend alors l’inconséquence totale de la pensée de Badiou, qui se réclame d’un « Platon pour notre temps », mais en même temps d’une dialectique matérialiste qui est en somme une « resucée » du matérialisme dialectique marxiste et maoïste.

Mais nous avons parlé de cadre théorique : celui ci, socle d’une philosophie enfin entièrement scientifique (ce que n’est pas la philosophie analytique, contrairement aux allégations de Wittgenstein) , ne peut s’élaborer qu’en accord et harmonie avec la pensée mathématique actuelle, qui se formalise à travers la théorie des catégories généralisée en celle des n-catégories ou « higher category theory ».

Or nous avons la chance de disposer d’un véritable laboratoire de pensée qui est le nlab :

http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

« The purpose of the nLab is to provide a public place where people can make notes about stuff. The purpose is not to make polished expositions of material; that is a happy by-product.

We all make notes as we read papers, read books and doodle on pads of paper. ThenLab is somewhere to put all those notes, and, incidentally, to make them available to others. Others might read them and add or polish them. But even if they don’t, it is still easier to link from them to other notes that you’ve made….

This is a wiki-lab for collaborative work on Mathematics, Physics and Philosophy — especially from the n-point of view: insofar as these subjects are usefully treated with tools and notions of category theory or higher category theory. »

Selon nous, il s’agit, comme nous l’avons dit ailleurs depuis longtemps :

http://mathesis.blogg.org/page-leibniz___mathesis_universalis_characteristica_et_scientia_generalis_calculus_rationcinator-775.html

d’une ébauche , au stade formel, du projet de Mathesis universalis qui vise à « voir » et opérer directement au plan des idées, c’est à dire au plan divin, selon nos conceptions de dieu comme Raison absolue et absolument immanente à l’esprit humain.

Ou encore, si l’on veut, d’un « squelette » qu’il s’agit maintenant d’habiller de « chair », c’est à dire d’esprit, de pensée.

Ce que nous nous proposons de faire ici.

« Par contre nous sommes persuadés que la théorie mathématique des catégories, née en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane en topologie algébrique, constitue la « characteristica generalis » qu’avait en vue Leibniz, bien qu’elle soit apparue comme discipline mathématique abstraite. Il n’y a là  aucune difficulté, bien au contraire  : de par leur idéal de rationalité et de démonstrativité parfaites, les mathématiques représentent l’idéal régulateur de la philosophie. Et il est tout à  fait aisé et naturel d’étendre la validité de la théorie des catégories au delà  du domaine purement mathématique, comme les exemples donnés dans un livre comme « Conceptual mathematics » (par W Lawvere et S Schanuel, Ed Cambridge) le montrent avec évidence. »

Nous pensons depuis longtemps que l’opposition entre idéalisme mathématique platonicien et réalisme matérialiste aristotélicien correspond à ce que l’on appelle en théorie des catégories une adjonction.

C’est là sans doute la notion la plus importante de la théorie, et qui lui est spécifique : on ne peut la trouver nulle part ailleurs.

Mais avant d’y venir, je pense qu’il serait utile de débuter par le cadre catégorique de la théorie des ensembles.

Il y a de nombreuses façons de parcourir cette « forêt vierge » du nlab, mais le plus simple est de taper « Set theory » dans le cadre « Search » en haut de page, ce qui nous amène à :

http://ncatlab.org/nlab/search?_form_key=9e66f4f71d4b7329febd117e59219cff3dd0ce47&query=set+theory

où nous entrons par :

http://ncatlab.org/nlab/show/set+theory

qui contient d’ailleurs le lien vers la page « Category theory » à étudier en parallèle :

http://ncatlab.org/nlab/show/category+theory

ainsi que la page sur la « catégorie des ensembles » :

http://ncatlab.org/nlab/show/Set

Rilke : veuille la transformation

Veuille la transformation. O sois épris de la flamme,
où t’échappe une chose qui fait parade de métamorphose ;
l’Esprit fertile en projet, le Maître de ce qui est terrestre,
préfère à tout, dans la courbe de la figure, le tournant.

Ce qui s’enferme dans l’immobilité déjà est pétrifié ;
s’imagine-t-il en sûreté à l’abri de la grisaille sans apparence ?
Attends, le plus dur avertit de loin la dureté.
Malheur — le marteau absent se prépare à frapper !

Celui qui s’épanche en source, la connaissance le connaît ;
et le conduit dans l’extase à travers la Création sereine,
qui souvent s’achève par le début et commence par la fin.

Tout espace heureux est fils ou petit-fils de la séparation,
qu’ils franchissent, étonnés. Et Daphné métamorphosée
veut, depuis qu’elle sent le laurier, que tu te changes en vent.

Sonnets à Orphée II, 12, trad. J.F Angelloz

http://www.skafka.net/archives/alice69/doc/rmr_sonnetsaorphee.htm

http://lecalmeblog.blogspot.fr/2010/04/rilke-sonnet-orphee-ii-1-avec-et-sans.html

http://www.ecole-occidentale-meditation.com/fr/rainer-maria-rilke.html

La poésie, la vraie, est très importante pour la philosophie, elle fait partie des quatre « conditions » que Badiou assigne à celle ci comme « conditions de possibilité » : mathématique, poésie, politique et amour.

Bien entendu l’amour doit être conçu en son sens spirituel, universel, « chrétien », celui de Dante quand il invoque « Amour Maître des cieux » , et non pas sexuel (or aujourd’hui c’est ce dernier sens, et lui seul, qui est signifié quand on prononce le mot « amour ») .

Quant à la politique, vu le niveau de médiocrité qu’elle a atteint, il est préférable de l’oublier… mais peut être vient elle en dernier, après les trois autres, ne fût ce que pour remédier à l’impasse du platonisme que même Brunschvicg ne voit pas comment surmonter :

http://mathesis.blogg.org/page-la_triple_impasse_du_platonisme-763.html

Commençons donc ici notre tâche par le dur labeur du mathème et la facile (en apparence seulement !)  étude du poème.

Comment ne pas rapprocher la « transformation » voulue par Rilke de ce qui a été dit dans le dernier article :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/16/lun-et-la-pensee-ensembliste/

sur la pierre de base de la théorie des catégories, c’est à dire le nouveau cadre des mathématiques depuis son invention par Eilenberg et Mac Lane en 1945, pierre de fondation qui est le morphisme, la flèche, la transformation, et non pas l’objet, la substance.

La théorie des catégories contient la théorie des ensembles comme un cas particulier, celui de la catégorie des ensembles.

Un ensemble est une catégorie où il n’y a que des objets, des « substances », pas de morphismes, pas de relations ni de « transformations ».

prenons un exemple simple, celui d’une famille : le père P, la mère M, le garçon G et la fille F.

C’est un ensemble à 4 éléments :

P , M , F , G

mais comment ne pas voir qu’il y a là une « abstraction » qui ne correspond à rien de réel (abstraction qui a été voulue pour l’incroyable opérativité mathématique qu’elle permet) ?

une famille peut elle exister sans « relations » entre ses membres ?

or il y a de multiples façons d’introduire des relations, donc des morphismes, et donc de transformer cet ensemble à 4 éléments en une catégorie, n’en mentionnons ici qu’une seule ; le classement des 4 individus par âge.

Mettons que le père  a 40 ans, la mère 36 ans, la fille 14 ans et le garçons 11 ans.

Nous les classons par âge décroissant, et introduisons une flèche, un morphisme, entre deux « objets », selon que le premier est plus âgé que le second , nous vaons donc les flèches :

P ——> M ———-> F ———–> G

La théorie des ensembles correspond à une vision du monde comme composée de « choses », ou d’êtres vivants chosifiés, isolés et substantialisés dans leur statut de « choses ».

C’est là le comble de l’abstraction celle de la pensée selon l’être, de l’ontologie.

La théorie des catégories est le versant mathématique (donc abstrait certes, elle a été nommée « abstract nonsense ») de la vision du monde comme fluent, se transformant sans cesse, où les « entités »,  jamais immuables, toujours provisoires, passent les unes dans les autres.

Monde du processus, correspondant  à la vision d’Héraclite et du Whitehead de « Process and reality », alors que la pensée selon l’ être est parménidienne.

Penser selon l’un, c’est accepter de reconnaître que je ne suis pas une entité fixée, une substance, que je me transforme sans cesse : la mort n’est pas un évènement unique arrivant « à la fin », elle est toujours à l’oeuvre. Mais la résurrection aussi est tojours à l’oeuvre.

Je meurs chaque fois que je me laisse dominer et décourager  par le cours désastreux des évènements du monde : je ressuscite chaque fois que je reprends courage et que je me relève.

Ceci correspond aux deux types de temps et de durée que distingue Brunschvicg dans l’introduction aux « âges de l’intelligence » :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/ages_de_intelligence/ages_intelligence_intro.html

« Cette rupture entre les deux rythmes de durée — temps biologique qui est vieillissement inévitable et décadence finale, temps spirituel qui est redressement incessant, progrès continu -Blaise Pascal l’a dégagée dans un fragment posthume de Préface, où il développe avec une vigueur inoubliable l’aphorisme baconien Antiquitas saeculi, juventus mundi . « Ceux que nous appelons Anciens étaient véritablement nouveaux en toutes choses, et formaient l’enfance des hommes proprement ; et comme nous avons joint à leurs connaissances l’expérience des siècles qui les ont suivis, c’est en nous que l’on peut trouver cette antiquité que nous révérons dans les autres . »  »

la pensée ensembliste, selon l’être, ontologique, correspond à Aristote, qui se fige dans le plan de la perception, et refuse (parce qu’il n’y a pas accès, à son époque)  les « relations » de l’idéalisme mathématisant de la science :

« Chose curieuse, si Descartes avait rouvert les livres de cet Aristote qu’involontairement ils lui avaient appris à dédaigner, il y aurait vu que, dès le début de sa Physique, Aristote déposait contre lui-même. Rien ne souligne mieux le caractère vague et confus, essentiellement puéril, d’un savoir conceptuel. « Les enfants appellent d’abord tous les hommes pères et mères toutes les femmes ; c’est seulement ensuite qu’ils les distinguent les uns des autres . » Mais l’antiquité n’a réussi à saisir ni l’exacte portée des relations mathématiques ni les méthodes précises de l’expérience scientifique. Aristote ne pouvait dépasser le plan de la perception et de la dénomination auxquelles il demande les moyens d’achever l’édifice de sa philosophie sans tirer parti d’une observation qui, du point de vue de la philosophie moderne, est cependant décisive, pour discerner les différents types de la représentation du monde et en apprécier la valeur. »

Platon non plus n’avait pas accès aux idéalités de la science moderne, puisqu’il vivait avant la ligne de partage des temps, avant Descartes :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/03/06/la-ligne-de-partage-des-temps/

mais il a en quelque sorte « prévu », et introduit dans l’histoire, la pensée selon l’Un.

aussi Whitehead a t’il raison de dire que toute la philosophie est constituée de « notes en bas de page de Platon »..

de Platon, et non pas d’Aristote !

 

l’UN et la pensée ensembliste

commençons notre « examen »de la pensée mathématicienne, à propos de l’Un et de l’Etre, de la manière la plus « simple » possible , qui est aussi celle suivie par Badiou dans « L’Etre et l’évènement » : la théorie des ensembles.

Nous pouvons adopter la même attitude que Badiou au début de « L’être et l’évènement »  pour éviter le supplice pervers de « tourner indéfiniment » dans le tourniquet des hypothèses du « Parménide » :

L’UN n’est pas

seulement en traduisant ceci, selon ce dont nosu avons convenu dans l’article précédent, en :

la pensée selon l’Un n’est pas la pensée selon l’être

méditer la question de l’être mène irrémédialbement au multiple, à l’autre que l’UN, à travers les étants, qui se disent de plusieurs façons, comme au début de l’Introduction à la métaphysique de Heidegger.

Un oiseau, un animal, un être vivant, ou bien une chose fabriquée, ou une pierre, ou un signe, ou un symbole, tout cela EST : l’Etre est l’autre que l’UN, l’ontologie est donc forcément la science du multiple pur, en cela Badiou a raison.

Dans la théorie des ensembles, le multiple, ce sont les éléments d’un ensemble :

x ∈ A

y ∈ A

etc.. : x et y sont éléments de l’ensemble A

dans la théorie pure, axiomatique , des ensembles, x et y sont à leur tour des ensembles, il n’y a pas d’éléments de base, de niveau zéro, puisqu’il n’y a qu’une seule notion, celel d’ensemble

http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory

Badiou enchaîne, comme on le sait , par :

l’UN n’est pas, mais il y a de l’un, ou encore : l’ un est le « compte-pour-un » qui enchaîne les éléments d’un ensemble à former une collection, un tout : cet ensemble justement

Un autre multiple qui apparaît est ce que Badiou appelle la représentation,à  savoir l’ensemble des parties d’un ensemble A, noté :

P(A)

un ensemble X est une partie de A, ou un sous-ensemble de A :

⊆  A

si tout élément de X est élément de A :

x ∈ X  implique  x ∈ A

le multiple  est donc dans la présentation (les éléments) ou la représentation (les parties, les sous-ensembles) d’un ensemble : penser selon l’être dans la théorie, ou la catégorie, des ensembles, c’est penser la présentation des éléments et la représentation des parties.

penser selon l’un, c’est penser le compte-pour-un qui fait que l’ensemble A est un ensemble « regroupant », ou « contenant » ses éléments, et ses parties.

Mais bien entendu, l’UN ne pourra être un ensemble, même l’ensemble de tout, c’est à dire en théorie des ensembles l’ensemble de tous les ensembles : car il est possible de démontrer facilement , à partir des paradoxes comme celui de Russell , qu’un tel ensemble est une notion inconsistante.

Formons en effet le concept des « ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes, qui ne sont pas élément d’eux mêmes ».

C’est une notion apparemment évidente, et il faudrait ramer beaucoup pour trouver un ensemble qui est élément de lui même, et ce genre de notion est proscrit par toutes les théories « normales ».

Mais pouvons nous former la notion d’ensemble de tous ces ensembles qui ne sont pas éléments d’eux mêmes ?

appelons X cet hypothétique ensemble , de deux choses l’une :

-soit il ne s’appartient pas à lui même, mais alors il est un ensemble qui ne s’appartient pas à lui même, il est donc un élément de l’ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes, donc il est élément de l’ensemble de ces ensembles, qui est justement lui même, X , c’est à dire pour résumer :

si X n’est pas élément de X, alors X est élément de X

– soit il s’appartient à lui même, X est élément de X, mais alors il n’est pas un ensemble qui ne s’appartient pas à lui même, donc il n’est pas élément de l’ensemble de tels ensembles, qui est X, ou encore :

si X est élément de X, alors X n’est pas élément de X

dans les deux cas, nous aboutissons à une contradiction !

Nous pourrions dire que cette démonstration « formalise justement mathématiquement » la proposition philosophique que l’UN n’est pas.

L’Etre, ou les êtres, ce sont les éléments, qui sont toujours des ensembles.

La pensée selon l’un, c’est le compte-pour-un qui fait « tenir ensemble » les éléments d’un ensemble.

L’UN, ce serait , si l’UN était, un ensemble, l’ensemble de tous les ensembles, seulement c’est une notion incosistante, conclusion :

l’UN n’est pas.

Seulement cette démonstration s’appuie sur le fait, propre aux universels abstraits, qu’un ensemble, regroupant des objets ayant une propriété, n’a pas lui même cette propriété. Si l’universel est l’ensemble qui fait tenir ensemble ses éléments, alors cet universel est transcendant à ses « singuliers », les éléments, et à ses « particuliers », ses parties.

Or il existe une autre notion d’universel que celui de la notion ensembliste : c’est la pensée de l’universel concret, obtenue à partir de la théorie des catégories, comme on le voit dans les travaux de David Ellerman que j’ai commenté ici :

http://apodictiquemessianique.wordpress.com/universalisme-abstrait-et-concret/

http://mathesis.blogg.org/page-universalisme_abstrait_ensembliste_et_universalisme_concret_fonctoriel-747.html

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

« Dans la théorie platonicienne des Idées  ou formes (Eidê), toute propriété F donne lieu, est associée à un universel uF qui la représente de manière unique.

Un objet x a la propriété F si et seulement s’il « participe » à l’universel uF F(x) ↔ x μ uF  ( μ comme « metexis » est le signe de « participer ») (condition d’universalité)

Une théorie mathématique des universaux doit, en plus de cette relation binaire μ être munie d’une relation d’équivalence (cad réflexive , symmétrique et transitive) ≈ telle que l’on ait la condition d’unicité, ou plutôt d’isomorphisme :

si uF et u’F sont deux universaux associés à la même propriété F alors on doit avoir : uF ≈ u’(condition d’unicité)

Un universel est dit abstrait s’il ne participe pas à lui même : ¬ ( uF μ uF )

Il est dit concret s’il participe à lui même :  uF μ uF

On trouve dans la philosophie, et notamment chez Platon, des universaux des deux espèces, abstraits et concrets. Nous travaillerons ici à faire descendre Platon du Ciel en Terre, dans le même mouvement selon lequel Copernic avait projeté la Terre dans le Ciel : ce qui veut dire ne se soucier que des universaux concrets, à portée d’expérience et de pensée humaine, et « oublier » les formes existant « séparément », dans un monde Intelligible qui ne veut rien dire pour nous. Telle est la leçon que nous retenons de Brunschvicg et de sa réinterprétation de l’idéalisme platonicien (à la suite de Kant) et du pythagorisme (voir là dessus les deux articles à propos de « Spiritualisme et sens commun »).

Or deux théories très générales se présentent à nous en mathématiques, très différentes de par la « relation de participation » qu’elles proposent :

– la théorie des ensembles, où la relation de participation μ est la relation d’appartenance à un ensemble : ∈ ; x participe à B si et seulement si x appartient, ou est un élément, de l’ensemble B : x ∈ B

– et la théorie des catégories, où la relation de participation proposée par ellerman est celle de « factorisation unique par un morphisme », intervenant fréquemment pour définir une « construction universelle » (exemple : le produit tensoriel classique d’espaces vectoriels) :

     x participe à y si x,y sont objets d’une catégorie C et s’il existe un morphisme unique μ dirigé de x vers y : 

                                     μ :  x → y

Or les universaux ensemblistes sont abstraits, car le paradoxe de Russell a encouragé les mathématiciens à éliminer les ensembles qui s’appartiennent à eux mêmes (Badiou les retient dans l’Etre et l’évènement pour formaliser l’évènement justement, soit ce qui n’appartient pas à l’ontologie mathématique « normale » : l’évènement est une rupture du « normal »). »

Nous venons de voir plus haut, à partir du paradoxe de Russell, que dans la pensée ensembliste, qui est un « modèle mathématique » de la pensée selon l’être, de ce qui correspond à l’ontologie dans notre shcéma idéaliste, les universels, les ensembles, ne peuvent être qu’abstraits.

Mais dans la théorie des catégories, qui est un modèle, LE modèle mathématique de ce que nous appelons pensée selon l’un, les universels sont tous concrets, puisqu’un des seuls axiomes de cette théorie est que pour tout objet Y d’une caégorie, il existe toujours un morphisme identité :

« Dans la théorie des catégories, la forme même de la condition d’universalité de la participation μ :  x → y

fait que tout universel y est toujours concret. Ceci est garanti parun des axiomes de la théorie, qui est l’existence d’un morphisme identité Id pour tout objet u :

                                     Idy :  y → y« 

conclusion : dans ce type de pensée, qui est supérieure à la pensée ensembliste, comme en conviennent les mathématiciens modernes qui ont remplacé la théorie des ensembles (encore retenue par Bourbaki) par la théorie des catégories pour fonder les mathématiques , les thèses de Badiou , opposant un « évènement » modélisé par un ensemble anormal, s’appartenant à lui même, et donc proscrit par l’ontologie, à l’être des ensembles normaux, ces thèses s’effondrent.

Car dans la théorie des catégories, tous les universels sont concrets , il n’y a, en somme, que des évènements !

Ce n’est guère étonnant, puisque la pensée catégorie part des morphismes, c’est à dire des transformations, de ce qui forme la substance du changement.

Un évènement est quelque chose qui arrive, un changement : dans la pensée selon l’un, il n’y a que des changements, des évènements, qui arrivent…