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Propriété universelle et foncteurs adjoints

Henosophia Τοποσοφια οντοποσοφια μαθεσις uni√ersalis ενοσοφια

Toujours dans la page Wikipedia en anglais sur l’idée de propriété universelle :

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

nous avons vu dans l’article précédent qu’une propriété universelle est un morphisme soit initial soit terminal dans la « comma-category » (XU)  ou (UX)

Il y a d’ailleurs une formulation équivalente (voir le paragraphe « Equivalent formulations », c’est de dire que le foncteur  HomC(X, U—), où le tiret après U désigne un objet variable de la catégorie D et où Hom(X, UZ) désigne l’ensemble des morphismes allant de X vers UZ dans la catégorie C, il s’agit donc d’un foncteur : D ——> Ens

que ce foncteur donc est représentable et que le doublet (A, φ) qui est la propriété universelle  (A, φ) dans les termes de la page en est une représentation, voir:

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

(nous reviendrons sur les foncteurs représentables car c’est…

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Propriété universelle en théorie des catégories

Je vais insister sur la propriété d’universalité, intimement liée à l’idée d’adjonction, ainsi qu’à la théorie des catégories (qui est le royaume, ou ciel platonique, des universaux concrets chers à Hegel) comme je l’ai expliqué hier dans cet article::

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

Commençons par la page Wikipedia en anglais:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qui comme souvent est préférable à celle en français (nous avons déjà constaté cela à propos des algèbres de Von Neumann):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

La page en anglais se place dans une plus grande généralité puisqu’elle envisage un foncteur entre deux catégories quelconques, alors que dans la page en français la seconde catégorie est celle des ensembles. La page en français commence abruptement par une définition mais comme elle ne donne pas de figure ceux qui ne sont pas habitués sont largués, et c’est dommage.

Donc donnons nous un foncteur entre deux catégories D et C (qui ne sont pas forcément la catégorie des ensembles) :

U : D ———-> C

et un objet X dans la catégorie C.

On se place dans la catégorie notée

image

qui est un cas particulier de ce que l’on appelle « comma-category », voir:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Comma_category

et qui est appelée « catégorie des morphismes de X vers U » (ce qui est étonnant car X est un objet de C et U est un foncteur de D vers C), elle est définie ainsi: ses objets sont les morphismes dans C de la forme:

X ——–> U(Y) où Y est objet de D, auquel correspond dans C par le foncteur U l’objet U(Y).
Les morphismes entre deux de ces objets, qui sont déjà des flèches X —-> U(Y) et X ——-> U(Z) sont évidemment des morphismes U(Y) —–> U<Z) qui font commuter le diagramme triangulaire qui est représenté dans la page Wiki dans un cas particulier:

image

Ce cas particulier est celui de ce qui est appelé « morphisme initial » de X vers U, qui est un objet initial dans la « comma category » que nous avons deçrite ci dessus : celle des morphismes de x vers U.
Un objet initial est un objet tel qu’il y a un et un seul morphisme allant de cet objet vers tout autre objet de la catégorie, la notion duale (en inversant le sens des flèches) étant celle d’objet terminal:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Initial_object

De manière duale encore, un morphisme terminal de U (foncteur) vers X (objet de C) est un objet terminal dans la comma category:

image

objet terminal terminal obtenu par le diagramme dual du précédent:

image

Les deux morphismes initial et terminal sont des morphismes universels, et les deux propriétés correspondantes (faire commuter un diagramme du type des deux ci. Dessus est une propriété universelle.

Un objet initial ou terminal est un exemple de limite ou de colimite (notions duales) d’un diagramme : si le diagramme est vide (aucun point, aucune arête ) la limite est objet initial, la colimite est objet terminal.

Produit et coproduit sont d’autres cas particulier de limite et de colimite. Par exemple pour le produit de deux objets dans une catégorie:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorical_product

Voici le diagramme correspondant pour définir la propriété universelle et le morphisme universelle, qui est l’unique morphisme (à un isomorphisme près) f faisant commuter le diagramme :

image

A retenir : une limite, donc un morphisme universel , est toujours défini « à un isomorphisme près », cela veut dire que s’il en existe un il en existe tout un tas d’autres qui sont les composés du premier avec un isomorphisme.

Rappel : un isomorphisme f est une flèche inversible, c’est à dire telle qu’il existe g (l’inverse) tel que :

fg = gf = Id (morphisme identité)

Nous nous sommes limités ici à la définition mathématique, mais il y a beaucoup plus dans cette idée d’universalité, et l’intérêt des travaux de David Ellerman est de prolonger vers les pures idées philosophiques (platoniciennes) ces notions (cependant il est important de comprendre et de garder en mémoire le cadre mathématique, cela évite les dérives).
Nous y reviendrons…il y a énormément à creuser là dessous..

Une notion fondamentale : l’adjonction

dans un précédent article:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/06/24/morphismes-geometriques-et-2-categorie-topos-des-topoi-comme-cadre-general-de-nos-travaux/

nous avons vu, à titre d’hypothèse bien sûr, comme c’est le caractère (spéculatif) de tout ce qui est développé ici, que le schéma fondamental de ce que nous appelons μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια pourrait être représenté par ce que l’on appelle un morphisme géométrique entre deux topoi, c’est à dire une paire de foncteurs adjoints entre deux topoi:

U. : E —————-> S

où le topos E , généralement la catégorie Ens des ensembles, jouerait le rôle de ce que Wronski appelle dans sa philosophie élément-être, le topos S correspondrait à l’élément-savoir, le plan de l’idée, et le morphisme à l’élément-neutre qui « unifie » être et savoir.
Nous voyons donc que pour poursuivre, il faut étudier à fond la notion d’adjonction, qui est cruciale en mathématiques et en théorie des catégories.

Or cela demande une compréhension plus que formelle, comme c’est souvent le cas en mathématiques, pour ne pas parler de la « philosophie mathématique » que nous désirons développer ici.

Sur cette page qui permet de poser des questions à la communauté des mathématiciens :

http://mathoverflow.net/questions/6551/what-is-an-intuitive-view-of-adjoints-version-1-category-theory

un « topologiste » qui connaît le sens de la notion de « foncteurs adjoints » se demande comment il pourrait expliquer la notion à respectivement un enfant de 5 ans, le « passager ordinaire du bus de Clapham » ou même à un « undergraduate » …

Il obtient des tas de réponses intéressantes, souvent tirées de liens ou de blogs connus, à part la première qui fait l’analogie avec les problèmes d’approximation la meilleure d’un nombre rationnel ou réel par un entier…quant à savoir si un enfant de 5 ans comprendrait c’est une autre paire de manches.

Quoiqu’il en soit, nous voyons quel est le défi à relever, puisque la compréhension que nous visons dépasse largement celle désirée par ce topologiste.

Mais ici se dresse devant nous un Interdit, édicté par nulle déesse ou dieu, mais par notre simple promesse faite à nous même de ne pas nous contredire, ou, si nous le faisons et nous en aperçevons, au moins de ne pas nous en féliciter et glorifier (comme c’était l’habitude d’Hitler paraît il).

Nous ne prétendons pas que des morphismes géométriques, ou nulle autre construction mathématique, puisse représenter l’UN, et certainement pas non plus le « compte-pour-un » ensembliste de Badiou.

On ne peut et ne doit pas « parler de l’Un » puisque ce serait « prendre l’Un pour objet de notre discours », or l’Un ne peut certainement jamais être objet, même d’un discours.

Ou encore :

« on ne peut parler que de ce dont on parle » (Alexandre Kojève)

ou

« ce dont on ne peut pas parler, il faut le taire » (Wittgenstein)

Et pourtant nous entendons bâtir ici une « cathédrale au soleil » que nous appelons :

« 

HENOSOPHIA TOPOSOPHIA μαθεσις uni√ersalis οντοποσοφια ενοσοφια

 »

en tant que « Voie de l’homme rusé » (sinon de « l’homme aux mille tours πολυτροπος ») qui en quelque sorte transgresserait l’Interdit et parlerait de ce dont on ne peut parler : de l’UN.

https://en.wikisource.org/wiki/Kubla_Khan

« In Xanadu did Kubla Khan
A stately pleasure-dome decree:
Where Alph, the sacred river, ran
Through caverns measureless to man
Down to a sunless sea.
 »

Tâchons d’expliquer pourquoi nous nous disposons à une telle entreprise sans avoir sombré dans la folie (espérons le du moins, et sans « raconter des histoires » à la façon du Bateleur (qui sévit en ce moment à la table des négociations de Bruxelles)

1-bateleur (2)

Einstein s’étonnait (et faisait plus que s’étonner, puisqu’il parlait de cela à propos de la question de Dieu) du fait que l’univers soit intelligible par la physique.

Or l’univers c’est l’élément-être EE de Wronski, la physique c’est l’élément-savoir ES, nous voyons donc que si nous voulons un jour « faire entrer de la lumière intelligible » dans la « sunless sea » (qui est le monde), il nous faudra certainement passer par l’élément-neutre EN « identité de l’être et du savoir » dont nous ne savons pas vraiment si elle est primitive ou finale (messianique).

EN en quoi nous voyons une image de l’UN, sous la forme d’unification et à la fin des Temps d’identification de l’être et du savoir.

« ce jour où tout l’être sera passé en savoir »

Et nous avons expliqué que nous cherchons cette « compréhension » dans un schéma qui est pour nous le point de départ :
un topos E (être) , un topos S (savoir) et un morphisme géométrique (paire de foncteurs adjoints) les reliant : U (un)

Dans le néant de ces formes pures nous espérons trouver ce qui pour nous sera le Tout…

Nous espérons : cela signifie que nous ne proclamons certainement pas « déternir » une compréhension, puisque nous la cherchons….

http://medecinealgerie.actifforum.com/t1089-samuel-taylor-coleridge-kubla-khan

« La Demoiselle au Tympanon
Dans une vision m’apparut :
C’était une fille d’Abyssinie,
Et sur mon Tympanon elle jouait,
En chantant le mont Abora.
Si je pouvais revivre en moi
Sa symphonie et sa chanson,
Je serais ravi en des délices si profondes,
Qu’avec musique grave et longue,
Je bâtirais ce palais dans l’air :
Ce palais de soleil ! ces abîmes de glace !
Et tous ceux qui entendraient les verraient là,
Et tous crieraient : Arrière ! arrière !
Ses yeux étincelants, ses cheveux flottants !
Tissez un cercle autour de lui trois fois ;
Fermez vos yeux frappés d’une terreur sacrée :
Il s’est nourri de miellée ;
Il a bu le lait de Paradis.
 »

Des ensembles aux catégories: article 2

Suite du commentaire à propos du cours donné à des philosophes par le mathématicien Stéphane Dugowson:

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/cours-n1–112#TOC-Des-ensembles-aux-cat-gories

et mon article sur les vidéos 1 et 2 de ce cours:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/04/08/des-ensembles-aux-categories-2/

Le titre général « L’un et le multiple » ainsi que celui du cours « Des ensembles aux catégories » est très proche des préoccupations et des thèmes que nous étudions ici, sous le nom générique :

οντοποσοφια

et je rappelle que nous suivons ici Badiou (provisoirement tout au moins) pour identifier ontologie, théorie des ensembles et théorie du multiple pur, et théorie des catégories et n-catégories à la « montée » progressive vers l’Un (pour utiliser une terminologie un peu mystique, Albert Laitman élève de Brunschvicg fusillé par les nazis hélas parlait quant à lui de « montée vers l’Absolu), sous la forme d’unification de plus en plus complexe.

Soulignons cependant ici un problème important dans la pensée de Badiou, à propos des « multiplicités inconsistantes » en amont du compte-pour-un dans un ensemble: ainsi « tous les ensembles » est une multiplicité qui ne peut pas être comptée-pour-une dans un ensemble qui serait l’ensemble de tous les ensembles, dans le cadre de la axiomatique ZF de Zermelo-Fraenkel.

Pourtant dans le cadre de l’axiome tique NBG de Godel, Bernays et Von Neumann, « tous les ensembles » forment une classe:

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

donc peuvent être comptés-pour-un dans une multiplicité « plus grande » que tout ensemble.

Et ainsi comme le dit Stéphane dans la vidéo 4, on peut parler de manière rigoureuse d’une catégorie de tous les ensembles, notée Ens ou Set chez les anglo-saxons.

Simplement les objets et les flèches de cette catégorie forment des classes, non des ensembles.

La vidéo 3 est consacrée à la définition de ce qu’est une catégorie, mais peut être les personnes non familières avec ces notions préfèreront elles cet exposé oral à un texte donnant il faut bien le dire une impression de sécheresse.

D’autant plus que Stéphane se distingue par des qualités pédagogiques évidentes!

Mais au milieu de cette vidéo 3, un peu plus de 5 minutes avant la fin, il aborde des thèmes plus philosophiques : les notions d’égalité, d’identité, de différence « se déploient de façon complexe dans les débats philosophiques et politiques, les débats de société, mais à la racine il existe un lien assez profond avec la manière dont ces questions sont traitées en mathématiques ».

Et, ajouterais je, seules les mathématiques en parlent avec rigueur : on n’a jamais vu de mathématiciens s’écharper devant une caméra de télévision à propos de la notion d’identité en traitant les autres de fascistes.

La table périodique des n-catégories

J’ai déjà cité ce cours de John Baez, un des plus grands experts mondiaux en théorie des catégories et leur application à la physique:

Lectures on n-categories and cohomology

Il n’est pas question ici de faire le tour, même sommairement, de ce qui apparaît comme un véritable festival d’idées nouvelles, il peut être complété par cet autre de Baez:

An introduction to n-categories

qui explique sommairement au début ce qu’est une n-catégorie.

La table périodique des n-catégories est ici sur le NLAB avec les liens utiles:

http://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

Elle figure aussi dans le premier papier cité plus haut « Lectures on n-categories and cohomology » aux pages:
10 et 11
Elle se présente comme un tableau à double entrée indexée horizontalement par n et verticalement par k
Prenons la première ligne du tableau page 10, pour k=0 et n variant de zéro à l’infini: ce sont les n-catégories « normales » , pour n=0 ce sont les ensembles, n=1 donne les catégories, etc…
A partir de k=1 on obtient des n-catégories dites « dégénérées », la définition générale donnée page 10 est la suivante pour la case (n,k):
les (n,k)-catégories sont des (n+k)-catégories telles qu’il n’y a qu’un seul j-morphisme pour j<k (j strictement inférieur à k)

Ainsi pour n = 0 et k= 1 : j< k veut dire j< 1 donc j=0
Or les 0-morphismes sont les objets, donc il n’y a qu’un seul objet.
C’est la définition catégorique d’un monoïde.

La définition traditionnelle en algèbre moderne d’une structure de monoïde est un peu différente, il est utile de s’attarder un peu sur ce point.

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monoïde

Cette définition est comme on le voit de type ensembliste, un monoïde est un ensemble muni d’une loi de composition entre les éléments avec un élément neutre pour cette loi.

Dans la définition catégorique les éléments du monoïde de la définition ensembliste deviennent les morphismes, et l’unique objet correspond à l’élément neutre de la définition ensembliste.

Un groupe, structure fondamentale de l’algèbre moderne et de la physique, est un monoïde pour lequel chaque élément possède un inverse pour la loi de composition; dans la définition catégorique cela signifie que tous les morphismes sont des isomorphismes (c.-à-d. Possèdent un inverse).

Une catégorie est un monoïde avec plusieurs objets, on dit aussi que c’est la catégorification de la notion de monoïde.

La catégorification de la structure de groupe est ce que l’on nomme un groupoïde, c’est une catégorie où tous les morphismes sont des isomorphismes.

Il est possible de définir un groupoïde sans faire appel aux catégories, cela a été fait par Brandt en 1926, voir:

http://mathoverflow.net/questions/199849/brandts-definition-of-groupoids-1926

La définition est nettement plus compliquée, mais surtout elle ne permet pas de faire le lien entre les morphismes du groupe considéré catégoriquement et les éléments du groupe considéré de manière ensembliste : c’est une perte absolue d’intelligibilité.

Nous voyons déjà avec cette table périodique et la notion de « catégorification » l’œuvre d’unification en train de fonctionner, nous poursuivrons cette étude dans d’autres articles, en passant aux structures catégoriques supérieures (« higher algèbre ») mais soulignons que cela n’aurait pas été possible si l’on en était resté aux définitions de type ensembliste.

Il arrive, et c’est le cas ici, que la définition crée ou facilite grandement l’intuition et la découverte de nouvelles structures.

De l’être (multiple pur) à l’Un : le programme de travail de l’ οντοποσοφια

Lorsqu’Alain Badiou dans « L’être et l’évènement » a affirmé (et « démontré ») que l’ontologie, auparavant considérée comme le coeur de la philosophie, portant sur l’être en tant qu’être, était la mathématique, sous les espèces de la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel, il a réalisé une sorte de « révolution » qui a enthousiasmé certains, irrité d’autres…

Nous gardons comme point de départ cette thèse de Badiou, mais seulement comme point de départ : la théorie des ensembles c’est seulement une partie des mathématiques, qui certes a été utilisée comme cadre fondationnel de toute la mathématique.

Aujourd’hui c’est la théorie des catégories, créée en 1945, qui joue ce rôle, et les ensembles ne forment qu’une catégorie particulière: la catégorie ENS des ensembles, qui est aussi un topos.
De plus un ensemble est une catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble), on appelle cela une 0-catégorie, les catégories « normales » sont les 1-catégories.

L’être comme multiple pur, que nous gardons de Badiou, correspond aussi à l’état de complète ignorance : la science consiste à établir des relations de plus en plus complexes entre les phénomènes.

En quoi consiste ce multiple pur ? nous pourrions répondre de manière évasive en disant que c’est « tout ce qu’il y a » ou « tout ce qui est, tous les étants » mais de toutes façons nous n’allons plus perdre de temps avec ces discussions stériles de ce genre car voici le programme de la nouvelle discipline que nous voulons développer ici :

remplacer les thèses métaphysiques ou « mystiques » sur l’Un, l’Etre, le Vrai, le Bien (les quatre transcendantaux de la métaphysique : ens, unum, verum et bonum) par la mathématique et ses théorèmes, sur lesquels par définition tout le monde s’accorde puisqu’ils sont établis à partir de définitions et de principes et axiomes clairs, entièrement transparents à l’intelligence, et démontrés.

Dans notre perspective idéaliste mathématisante nous dirons que le multiple pur, correspondant à l’état d’ignorance et de sauvagerie complète, est celui des « chocs sensibles » réels ou potentiels expérimentés par un être humain, quelqu’il soit.

Ces chocs sensibles, rencontre de l’humain avec la « forme d’extériorité », sont très divers: visuels, auditifs, tactiles, etc…

Prenons un exemple (mythique) célèbre : Newton reçoit une pomme sur la tête, il en sort l’idée de la gravitation.
Par contre tel primitif recevant une noix de coco (ou plutôt une châtaigne, il aura moins mal) n’uara pas l’idée de relier cette occurrence à d’autres évènements similaires dans le passé : il se contentera de se frotter la tête en émettant un grognement de douleur.

Cet état d’ignorance complète n’est jamais observé : nous sommes tous déjà pris dans un réseau de langages, de noms, et de « connaissances ».

Mais avant la ligne de démarcation du 17 ème siècle européen:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/la-ligne-de-partage-des-temps/

ces « savoirs » n’en sont pas réellement, en tout cas en ce qui concerne la physique, et l’homme reste un « grand marché de mots » (ce qu’il redevient d’ailleurs de nos jours) : seuls les relations de la science, les μαθηματα, peuvent l’en libérer, et l’émanciper ainsi des superstitions de sa tribu.

Contentons nous donc d’appeler « Etre » un des pôles du trajet de la conscience, correspondant à la conscience non développée, à l’ignorance, au multiple pur non unifié.

A l’autre bout du parcours nous aurons l’Un, mais là encore il s’agit d’une notions qui jusqu’ici appartenait à la métaphysique ou à la mystique, voir par exemple:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transcendantaux

ou

http://fr.wikipedia.org/wiki/Universaux

ou

http://fr.wikipedia.org/wiki/L%27Un

Nous remplaçons ceci, comme Badiou avec le compte-pour-un qui joint les éléments d’un ensemble en UN ensemble, par l’un comme opération mathématique, et plus largement par l’unification scientifique, qui aboutit à l’explication et à la compréhension.

De par un axiome de la théorie des catégories, toute catégorie est « UNE » en vertu d’un foncteur Identité:

Id : A ——-> A

Ces deux pôles, Etre (multiple, ignorance) et Un (unification et intelligibilité totale, Savoir, Connaissance complète) peuvent être rapprochés des éléments primitifs de Wronski :

EE (élément-être) ——> ES (élément savoir)

dont l’identité primordiale est l’élément neutre (EN).

Quant à nous, nous tâchons de « coller » le plus prés possible à la mathesis, qui seule obéit aux exigences philosophiques de démonstration (les « yeux de l’âme » selon Spinoza), de clarté des définitions et des procédés, et de vérification permanente.

Bien entendu il ne faut pas être maximaliste : nous parlons en langage commun (en français) mais nous gardons conscience qu’il nous faut toujours revenir à la mathématique pour vérifier que nous ne nous perdons pas dans les rêveries qui ne sont autres que le masque de l’instinct prenant la place de la Raison désintéressée, comme dit Brunschvicg:

« si les religions sont nées de l’homme, c’est à chaque instant qu’il lui faut échanger le Dieu de l’homo faber, le Dieu forgé par l’intelligence utilitaire, instrument vital, mensonge vital, tout au moins illusion systématique, pour le Dieu de l’homo sapiens, Dieu des philosophes et des savants, aperçu par la raison désintéressée, et dont aucune ombre ne peut venir qui se projette sur la joie de comprendre et d’aimer, qui menace d’en restreindre l’espérance et d’en limiter l’horizon. »

et cette précaution étant comprise et prise, nous caractériserons ce qui est selon nous le sens de l’existence humaine, de l’homme comme hérault de la Vérité et non comme esclave de l’idole de la tribu ou comme berger de l’Etre:

« Tout l’être doit passer en Savoir par les vérités éternelles, qui sont les théorèmes, organisées selon l’architectonique de la Mathesis qui est l’οντοποσοφια »

ce qui n’est rien d’autre que le parcours complet de la conscience entre les deux pôles, Etre et Un (Unum = Bonum = Bien au delà de l’être, mais ens et unum non convertuntur) que nous avons décrit plus haut, et dont nous pouvons « parler » clairement puisqu’il n’est autre que la mathesis universalis, ou  οντοποσοφια

nul n’entre ici s’il ne se soumet à la discipline fonctorielle

Un foncteur est un morphisme reliant deux catégories, c’est à dire un « passage » de l’une à l’autre respectant la structure.

La notion de « morphisme » est fondamentale en théorie des catégories, du point de vue philosophique aussi bien que mathématique.

Dans une catégorie on a deux sortes d’entités : les objets, et les morphismes reliant les objets entre eux.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories

Une catégorie \mathcal C, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :

  • Une classe dont les éléments sont appelés objets ;
  • Un ensemble \mathrm{Hom}\big(A,B \big), pour chaque paire d’objets \quad A   et  \quad B, dont les éléments \quad f sont appelés morphismes (ou flèches) entre \quad A et \quad B, et sont parfois notés f:A\rightarrow\; B ;
  • Un morphisme \mathrm{id}_A:A\rightarrow\;A, pour chaque objet \quad A, appelé identité sur \quad A ;
  • Un morphisme g\circ f:A\rightarrow\;C pour toute paire de morphismes f:A\rightarrow\;B  et g:B\rightarrow\;C, appelé composée de \quad f et \quad g, tel que :
  • la composition est associative : pour tous morphismes f:c\rightarrow\;d, g:b\rightarrow\;c   et   h:a\rightarrow\;b,
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h) ;
  • les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme f:A\rightarrow\;B,
\mathrm{id}_B\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{A}.

On demande aussi que : \mathrm {Hom} (A, B) \cap \mathrm {Hom} (C, D) = \varnothing   si  \big(A, B\big)\neq \big(C, D\big).

Les catégories peuvent elles mêmes être les « objets » de nouvelles catégories, qui seront des catégories de catégories ; les morphismes, ou flèches, reliant les objets de ces nouvelles catégories, seront alors des foncteurs.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

un foncteur respecte la structure parce qu’il envoie les morphismes identité sur les morphismes identité et conserve la composition des flèches d’une catégorie à l’autre :

« Un foncteur (ou foncteur covariant) F : \mathcal C\to\mathcal D d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est la donnée

  • d’une fonction qui, à tout objet A de \mathcal C, associe un objet \displaystyle F(A) de \mathcal D,
  • d’une fonction qui, à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C, associe un morphisme F(f) : F(A)\rightarrow F(B) de \mathcal D,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet A de \mathcal C,
\displaystyle F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)} ,
  • respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes f : A \to B et g : B \to C de \mathcal C,
F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant G d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est un foncteur covariant de la catégorie opposée \mathcal C^{\mathrm{op}} dans \mathcal D (à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C il associe donc un morphisme G(f) : G(B)\to G(A) de \mathcal D, et on a la « relation de compatibilité » G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)).

On voit immédiatement que l’image d’un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. »

Toute structure mathématique peut être vue comme une catégorie : ainsi un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets; un foncteur entre deux ensembles est alors simplement une fonction.

De même un foncteur entre deux groupes (considérés comme catégories) est en fait un homomorphisme de groupes (conservant l’élément neutre et la composition).

 » La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d’une opération qui satisfait un certain ensemble d’axiomes (associativité, inversibilité, élément neutre). Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de cet ensemble d’axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l’élément identitéd’un groupe est unique.

Au lieu d’étudier simplement l’objet seul (les groupes) qui possède une structure donnée, comme les théories mathématiques l’ont toujours fait, la théorie des catégories met l’accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu’en étudiant ces morphismes l’on est capable d’en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les homomorphismes de groupes. Un homomorphisme de groupe entre deux groupes préserve la structure de groupe d’une manière très précise ; c’est un processus qui à un groupe en associe un autre, tout en préservant toutes les informations sur la structure du premier groupe au sein du second groupe. Ainsi :

  • à chaque élément x du groupe de départ est associé un élément f(x)du groupe d’arrivée ;
  • à chaque opération x \bullet y du groupe de départ est associée une opération f(x \bullet y) = f(x) \star f(y) du groupe d’arrivée.

Une manière équivalente de décrire cette préservation de structure est de dire que toutes les manières d’aller du couple d’éléments quelconques (x, y) à f(x) \star f(y) mènent au même résultat :

  • on peut d’abord aller de (x, y) à x \bullet y par la loi de composition \bullet, puis de x \bullet y à f(x \bullet y) par le morphisme f ;
  • ou bien l’on peut aller d’abord de (x, y) à (f(x), f(y)) par le morphisme f, puis de (f(x), f(y)) à f(x) \star f(y) par la loi de composition \star.

Pour dire que tous ces chemins mènent au même résultat, on peut énoncer que le diagramme qui les représente est commutatif, ou que f(x \bullet y) = f(x) \star f(y).

L’étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes. »

Il y a donc  la catégorie des groupes, ayant pour objets les groupes et pour morphismes les homomorphismes de groupes, mais un groupe particulier G peut être vu comme une catégorie à un seul objet, qui sera confondu avec le groupe et sera donc noté G.

Les éléments du groupe seront les morphismes, qui ne peuvent relier que G à G puisqu’il n’y a que ce seul objet, la composition des morphismes s’identifiera avec la composition des éléments du groupe, et le morphisme identité sera l’élément neutre. On voit alors immédiatement qu’un foncteur entre deux groupes G et H considérés comme catégories est tout simplement la même chose qu’un homomorphisme entre les deux groupes, considérés comme ensembles munis d’une loi de composition et d’un élément neutre.

On traduira et généralisera cela en disant que la notion de foncteur est la catégorification horizontale de celle d’homomorphisme , voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+categorification

La théorie des catégories met l’accent sur les morphismes, les transformations, plutôt que sur les objets, les substances.

A tel point que l’on peut même exposer la théorie en se passant de la notion d’objet, en idnetifiant un objet avec son morphisme identité; une catégorie C quelconque  est alors identitifée avec son foncteur Identité

Id : C ———> C  est identifié à C

comment ne pas voir qu’un foncteur, et plus généralement un morphisme, a à voir avec la notion de transformation, et donc de temps, d’évolution temporelle…

Si je puis parler de l’évolution d’un être vivant, ou d’une chose, ou d’un objet abstrait (une théorie, ou même un autre « objet » plus général) dans le temps, c’est bien que je puis parler de la « même chose » (mais changée, ayant évolué) à deux instants différents du temps; il doit donc y avoir un « foncteur temporel » faisant passer l’objet qui est la chose d’un état correspondant à l’instant 1 à l’état correspondant à l’instant 2.

La théorie des catégories met l’accent sur le temps, la transformation, elle est « héraclitéenne » plutôt que « parménidienne » , parce que le temps, qui correspond aux « objets » de l’esprit, est plus fondamental que l’espace.

Au fond, l’espace n’est qu’une abstraction, une « coupe instantanée » prise sur la devenir, qui seul est réel : quand vous regardez le ciel étoilé nocturne, vous regardez en fait dans le temps, dans le passé.

La notion de « substance », d’entité qui reste « la même » au cours du temps, provient du caractère fonctoriel du temps, qui « conserve » des invariants structurels : ainsi si je suis « le même personnage » qu’il y a un an (tout en étant plus vieux d’un an, et ayant changé donc), c’est que le foncteur du temps a conservé ma structure profonde, et pas seulement le squelette du corps.

Que le temps, l’élément spirituel, soit « conversion vers l’un » n’empêche pas qu’il ne puisse devenir exactement l’inverse pour les damnés de la terre : l’enfer, la damnation ne se situe pas dans un « outre-monde », mais ici, et il consiste en l’inversion du caractère « bon »‘ du Temps !

au lieu d’être conversion à l’un, celui ci est pour les damnés dispersion accélérée dans le multiple des « préoccupations », des désirs, des envies, des ressentiments, des frustrations.

Là encore, Balzac est le peintre de génie de cette réalité sordide et démoniaque : que l’on songe au Baron Hulot (dans « La cousine Bette » ), qui avec l’âge est de plus en plus obsédé par le sexe, et l’envie forcenée de « trousser des jeunes filles »…on en connaît des exemples de nos jours, n’est ce pas ?

tel est l’enfer sur Terre, ou l’une de ses formes, et telel est l’explication rationnelle, philosophique, des mythes chrétiens, dans leur sublimité souvent incompirse des foules qui s’en réclament !

La « conversion vers l’un », la fidélité au caractère « bon » du temps, ce n’est rien d’autre que la sagesse de Brunschvicg qui fait trouver la vie « absolument bonne » :

« la vie est bonne, absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité et de la mort »

seulement si l’ on n’a pas su renoncer à la mort,  si la vieillesse coïncide avec la dispersion dans la multiplicité chaotique des désirs et des pulsions, alors il n’est pas vrai que la vie est bonne : elle est au contraire absolument infernale !

On trouve une application de ces réflexions  sur lees foncteurs et morphismes comme modèles de l’volution temporelle dans cet article de Louis Crane :

http://arxiv.org/pdf/hep-th/9301061v1.pdf

voir page 2 : un « état de l’univers » en gravité quantique est dans ce schéma un foncteur de la catégorie des observations (définie page 2, un observateur est formalisé par une variété différentielle ) dans la catégorie des espaces vectoriels. Un état coîncide alors avec une TQFT (« topological quantum field theory »)

L’évolution temporelle entre deux états, qui sont deux focnteurs, est alors modélisée par un « morphisme de foncteurs », appelée « transformation naturelle »

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

C’est là une notion extrêmement importante, un peu dure à « capter » au début, mais finalement assez simple :

« Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme de D :

\eta_X : F(X) \rightarrow G(X),telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

NaturalTransformation-01.png

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C, \eta_X est un isomorphisme, on dit que \eta est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. »

Ainsi, en faisant le lien avec le texte de Wronski étudié hier :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/23/wronski-introduction-a-la-philosophie-des-mathematiques/

on peut dire que les « objets » d’une catégorie sont liés à la notion d’espace, de « coupe transversale » d’un processus semblant l’immobiliser (que l’on songe à la fameuse scène de « Vertigo » où James Stewart et Kim Novak se promenant en forêt se penchent sur un arbre coupé où l’on « voit spatialement » le déroulement du temps depuis sa naissance jusqu’à sa coupe)

Les morphismes (et foncteurs, et transformations naturelles) sont liés au temps.

https://twitter.com/philotopos/statuses/204650900382425089

le temps est tension, mouvement des étants vers l’Un, conversion ; l’espace est principe de dispersion, de multiplicité, procession.

Un autre lien important avec l’oeuvre mathématique de Wronski concerne les déterminants (de matrices, en algèbre linéaire) , qui sont les fonctions Schin de Wronski.

Or un déterminant peut être vu comme une transformation naturelle entre deux foncteurs :

http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf

(voir page 14-15 du livre, pages 27-28 du document pdf ayant 303 pages)