Un foncteur est un morphisme reliant deux catégories, c’est à dire un « passage » de l’une à l’autre respectant la structure.
La notion de « morphisme » est fondamentale en théorie des catégories, du point de vue philosophique aussi bien que mathématique.
Dans une catégorie on a deux sortes d’entités : les objets, et les morphismes reliant les objets entre eux.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories
Une catégorie 
, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :
- Une classe dont les éléments sont appelés objets ;
- Un ensemble
, pour chaque paire d’objets 
et 
, dont les éléments 
sont appelés morphismes (ou flèches) entre et , et sont parfois notés 
;
- Un morphisme
, pour chaque objet , appelé identité sur ;
- Un morphisme
pour toute paire de morphismes et 
, appelé composée de et 
, tel que :
-
- la composition est associative : pour tous morphismes
, 
et 
,
;
- les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme ,
.
On demande aussi que : 
si 
.
Les catégories peuvent elles mêmes être les « objets » de nouvelles catégories, qui seront des catégories de catégories ; les morphismes, ou flèches, reliant les objets de ces nouvelles catégories, seront alors des foncteurs.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur
un foncteur respecte la structure parce qu’il envoie les morphismes identité sur les morphismes identité et conserve la composition des flèches d’une catégorie à l’autre :
« Un foncteur (ou foncteur covariant) 
d’une catégorie dans une catégorie 
est la donnée
- d’une fonction qui, à tout objet
de , associe un objet 
de ,
- d’une fonction qui, à tout morphisme
de , associe un morphisme 
de ,
qui
- respectent les identités : pour tout objet de ,
,
- respectent la composition : pour tous objets ,
et 
et morphismes et 
de ,
.
Un foncteur contravariant G d’une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée 
dans (à tout morphisme de il associe donc un morphisme 
de , et on a la « relation de compatibilité » 
).
On voit immédiatement que l’image d’un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. »
Toute structure mathématique peut être vue comme une catégorie : ainsi un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets; un foncteur entre deux ensembles est alors simplement une fonction.
De même un foncteur entre deux groupes (considérés comme catégories) est en fait un homomorphisme de groupes (conservant l’élément neutre et la composition).
» La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d’une opération qui satisfait un certain ensemble d’axiomes (associativité, inversibilité, élément neutre). Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de cet ensemble d’axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l’élément identitéd’un groupe est unique.
Au lieu d’étudier simplement l’objet seul (les groupes) qui possède une structure donnée, comme les théories mathématiques l’ont toujours fait, la théorie des catégories met l’accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu’en étudiant ces morphismes l’on est capable d’en apprendre plus sur la structure des objets.
Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les homomorphismes de groupes. Un homomorphisme de groupe entre deux groupes préserve la structure de groupe d’une manière très précise ; c’est un processus qui à un groupe en associe un autre, tout en préservant toutes les informations sur la structure du premier groupe au sein du second groupe. Ainsi :
- à chaque élément
du groupe de départ est associé un élément 
du groupe d’arrivée ;
- à chaque opération
du groupe de départ est associée une opération 
du groupe d’arrivée.
Une manière équivalente de décrire cette préservation de structure est de dire que toutes les manières d’aller du couple d’éléments quelconques 
à 
mènent au même résultat :
- on peut d’abord aller de à par la loi de composition
, puis de à 
par le morphisme 
;
- ou bien l’on peut aller d’abord de à
par le morphisme , puis de à par la loi de composition 
.
Pour dire que tous ces chemins mènent au même résultat, on peut énoncer que le diagramme qui les représente est commutatif, ou que .
L’étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes. »
Il y a donc la catégorie des groupes, ayant pour objets les groupes et pour morphismes les homomorphismes de groupes, mais un groupe particulier G peut être vu comme une catégorie à un seul objet, qui sera confondu avec le groupe et sera donc noté G.
Les éléments du groupe seront les morphismes, qui ne peuvent relier que G à G puisqu’il n’y a que ce seul objet, la composition des morphismes s’identifiera avec la composition des éléments du groupe, et le morphisme identité sera l’élément neutre. On voit alors immédiatement qu’un foncteur entre deux groupes G et H considérés comme catégories est tout simplement la même chose qu’un homomorphisme entre les deux groupes, considérés comme ensembles munis d’une loi de composition et d’un élément neutre.
On traduira et généralisera cela en disant que la notion de foncteur est la catégorification horizontale de celle d’homomorphisme , voir :
http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+categorification
La théorie des catégories met l’accent sur les morphismes, les transformations, plutôt que sur les objets, les substances.
A tel point que l’on peut même exposer la théorie en se passant de la notion d’objet, en idnetifiant un objet avec son morphisme identité; une catégorie C quelconque est alors identitifée avec son foncteur Identité
Id : C ———> C est identifié à C
comment ne pas voir qu’un foncteur, et plus généralement un morphisme, a à voir avec la notion de transformation, et donc de temps, d’évolution temporelle…
Si je puis parler de l’évolution d’un être vivant, ou d’une chose, ou d’un objet abstrait (une théorie, ou même un autre « objet » plus général) dans le temps, c’est bien que je puis parler de la « même chose » (mais changée, ayant évolué) à deux instants différents du temps; il doit donc y avoir un « foncteur temporel » faisant passer l’objet qui est la chose d’un état correspondant à l’instant 1 à l’état correspondant à l’instant 2.
La théorie des catégories met l’accent sur le temps, la transformation, elle est « héraclitéenne » plutôt que « parménidienne » , parce que le temps, qui correspond aux « objets » de l’esprit, est plus fondamental que l’espace.
Au fond, l’espace n’est qu’une abstraction, une « coupe instantanée » prise sur la devenir, qui seul est réel : quand vous regardez le ciel étoilé nocturne, vous regardez en fait dans le temps, dans le passé.
La notion de « substance », d’entité qui reste « la même » au cours du temps, provient du caractère fonctoriel du temps, qui « conserve » des invariants structurels : ainsi si je suis « le même personnage » qu’il y a un an (tout en étant plus vieux d’un an, et ayant changé donc), c’est que le foncteur du temps a conservé ma structure profonde, et pas seulement le squelette du corps.
Que le temps, l’élément spirituel, soit « conversion vers l’un » n’empêche pas qu’il ne puisse devenir exactement l’inverse pour les damnés de la terre : l’enfer, la damnation ne se situe pas dans un « outre-monde », mais ici, et il consiste en l’inversion du caractère « bon »‘ du Temps !
au lieu d’être conversion à l’un, celui ci est pour les damnés dispersion accélérée dans le multiple des « préoccupations », des désirs, des envies, des ressentiments, des frustrations.
Là encore, Balzac est le peintre de génie de cette réalité sordide et démoniaque : que l’on songe au Baron Hulot (dans « La cousine Bette » ), qui avec l’âge est de plus en plus obsédé par le sexe, et l’envie forcenée de « trousser des jeunes filles »…on en connaît des exemples de nos jours, n’est ce pas ?
tel est l’enfer sur Terre, ou l’une de ses formes, et telel est l’explication rationnelle, philosophique, des mythes chrétiens, dans leur sublimité souvent incompirse des foules qui s’en réclament !
La « conversion vers l’un », la fidélité au caractère « bon » du temps, ce n’est rien d’autre que la sagesse de Brunschvicg qui fait trouver la vie « absolument bonne » :
« la vie est bonne, absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité et de la mort »
seulement si l’ on n’a pas su renoncer à la mort, si la vieillesse coïncide avec la dispersion dans la multiplicité chaotique des désirs et des pulsions, alors il n’est pas vrai que la vie est bonne : elle est au contraire absolument infernale !
On trouve une application de ces réflexions sur lees foncteurs et morphismes comme modèles de l’volution temporelle dans cet article de Louis Crane :
http://arxiv.org/pdf/hep-th/9301061v1.pdf
voir page 2 : un « état de l’univers » en gravité quantique est dans ce schéma un foncteur de la catégorie des observations (définie page 2, un observateur est formalisé par une variété différentielle ) dans la catégorie des espaces vectoriels. Un état coîncide alors avec une TQFT (« topological quantum field theory »)
L’évolution temporelle entre deux états, qui sont deux focnteurs, est alors modélisée par un « morphisme de foncteurs », appelée « transformation naturelle »
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle
C’est là une notion extrêmement importante, un peu dure à « capter » au début, mais finalement assez simple :
« Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme de D :
,telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif :
On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.
Si pour tout objet X de C, 
est un isomorphisme, on dit que 
est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. »
Ainsi, en faisant le lien avec le texte de Wronski étudié hier :
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/23/wronski-introduction-a-la-philosophie-des-mathematiques/
on peut dire que les « objets » d’une catégorie sont liés à la notion d’espace, de « coupe transversale » d’un processus semblant l’immobiliser (que l’on songe à la fameuse scène de « Vertigo » où James Stewart et Kim Novak se promenant en forêt se penchent sur un arbre coupé où l’on « voit spatialement » le déroulement du temps depuis sa naissance jusqu’à sa coupe)
Les morphismes (et foncteurs, et transformations naturelles) sont liés au temps.
https://twitter.com/philotopos/statuses/204650900382425089
le temps est tension, mouvement des étants vers l’Un, conversion ; l’espace est principe de dispersion, de multiplicité, procession.
Un autre lien important avec l’oeuvre mathématique de Wronski concerne les déterminants (de matrices, en algèbre linéaire) , qui sont les fonctions Schin de Wronski.
Or un déterminant peut être vu comme une transformation naturelle entre deux foncteurs :
http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf
(voir page 14-15 du livre, pages 27-28 du document pdf ayant 303 pages)
