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Un blog grec consacré aux mathématiques de Badiou

La plupart des articles de ce blog sympathique d’un(e) ami(e) grec(que) inconnu(e) sont en grec moderne (ce qui est bien normal, mais dépasse hélas mes possibilités très limitées d’ancien helléniste au lycée Janson de Sailly) mais il y en a certains en anglais comme par exemple celui ci , de surcroît sur le thème crucial du « forcing » de Paul Cohen dans « L’être et l’événement  »

http://badioumathematics.blogspot.fr/2012/10/forcing-in-being-and-event.html
ou bien celui ci sur les principaux symboles de la théorie des ensembles et des probabilités:

http://badioumathematics.blogspot.fr/2011/01/blog-post_3454.html

Ou bien encore celui ci sur la théorie des faisceaux ( qui jour le rôle que l’on sait dans « Logiques des mondes ») en relation avec la pensée de Deleuze, Laruelle et Badiou:

http://badioumathematics.blogspot.fr/2013/09/laruelle-deleuze-badiou-sheaf-theory.html
  

Des ensembles aux catégories: article 2

Suite du commentaire à propos du cours donné à des philosophes par le mathématicien Stéphane Dugowson:

https://sites.google.com/site/sdugowsonenseignement/paris-7/cours-n1–112#TOC-Des-ensembles-aux-cat-gories

et mon article sur les vidéos 1 et 2 de ce cours:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/04/08/des-ensembles-aux-categories-2/

Le titre général « L’un et le multiple » ainsi que celui du cours « Des ensembles aux catégories » est très proche des préoccupations et des thèmes que nous étudions ici, sous le nom générique :

οντοποσοφια

et je rappelle que nous suivons ici Badiou (provisoirement tout au moins) pour identifier ontologie, théorie des ensembles et théorie du multiple pur, et théorie des catégories et n-catégories à la « montée » progressive vers l’Un (pour utiliser une terminologie un peu mystique, Albert Laitman élève de Brunschvicg fusillé par les nazis hélas parlait quant à lui de « montée vers l’Absolu), sous la forme d’unification de plus en plus complexe.

Soulignons cependant ici un problème important dans la pensée de Badiou, à propos des « multiplicités inconsistantes » en amont du compte-pour-un dans un ensemble: ainsi « tous les ensembles » est une multiplicité qui ne peut pas être comptée-pour-une dans un ensemble qui serait l’ensemble de tous les ensembles, dans le cadre de la axiomatique ZF de Zermelo-Fraenkel.

Pourtant dans le cadre de l’axiome tique NBG de Godel, Bernays et Von Neumann, « tous les ensembles » forment une classe:

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

donc peuvent être comptés-pour-un dans une multiplicité « plus grande » que tout ensemble.

Et ainsi comme le dit Stéphane dans la vidéo 4, on peut parler de manière rigoureuse d’une catégorie de tous les ensembles, notée Ens ou Set chez les anglo-saxons.

Simplement les objets et les flèches de cette catégorie forment des classes, non des ensembles.

La vidéo 3 est consacrée à la définition de ce qu’est une catégorie, mais peut être les personnes non familières avec ces notions préfèreront elles cet exposé oral à un texte donnant il faut bien le dire une impression de sécheresse.

D’autant plus que Stéphane se distingue par des qualités pédagogiques évidentes!

Mais au milieu de cette vidéo 3, un peu plus de 5 minutes avant la fin, il aborde des thèmes plus philosophiques : les notions d’égalité, d’identité, de différence « se déploient de façon complexe dans les débats philosophiques et politiques, les débats de société, mais à la racine il existe un lien assez profond avec la manière dont ces questions sont traitées en mathématiques ».

Et, ajouterais je, seules les mathématiques en parlent avec rigueur : on n’a jamais vu de mathématiciens s’écharper devant une caméra de télévision à propos de la notion d’identité en traitant les autres de fascistes.

La table périodique des n-catégories

J’ai déjà cité ce cours de John Baez, un des plus grands experts mondiaux en théorie des catégories et leur application à la physique:

Lectures on n-categories and cohomology

Il n’est pas question ici de faire le tour, même sommairement, de ce qui apparaît comme un véritable festival d’idées nouvelles, il peut être complété par cet autre de Baez:

An introduction to n-categories

qui explique sommairement au début ce qu’est une n-catégorie.

La table périodique des n-catégories est ici sur le NLAB avec les liens utiles:

http://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

Elle figure aussi dans le premier papier cité plus haut « Lectures on n-categories and cohomology » aux pages:
10 et 11
Elle se présente comme un tableau à double entrée indexée horizontalement par n et verticalement par k
Prenons la première ligne du tableau page 10, pour k=0 et n variant de zéro à l’infini: ce sont les n-catégories « normales » , pour n=0 ce sont les ensembles, n=1 donne les catégories, etc…
A partir de k=1 on obtient des n-catégories dites « dégénérées », la définition générale donnée page 10 est la suivante pour la case (n,k):
les (n,k)-catégories sont des (n+k)-catégories telles qu’il n’y a qu’un seul j-morphisme pour j<k (j strictement inférieur à k)

Ainsi pour n = 0 et k= 1 : j< k veut dire j< 1 donc j=0
Or les 0-morphismes sont les objets, donc il n’y a qu’un seul objet.
C’est la définition catégorique d’un monoïde.

La définition traditionnelle en algèbre moderne d’une structure de monoïde est un peu différente, il est utile de s’attarder un peu sur ce point.

http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monoïde

Cette définition est comme on le voit de type ensembliste, un monoïde est un ensemble muni d’une loi de composition entre les éléments avec un élément neutre pour cette loi.

Dans la définition catégorique les éléments du monoïde de la définition ensembliste deviennent les morphismes, et l’unique objet correspond à l’élément neutre de la définition ensembliste.

Un groupe, structure fondamentale de l’algèbre moderne et de la physique, est un monoïde pour lequel chaque élément possède un inverse pour la loi de composition; dans la définition catégorique cela signifie que tous les morphismes sont des isomorphismes (c.-à-d. Possèdent un inverse).

Une catégorie est un monoïde avec plusieurs objets, on dit aussi que c’est la catégorification de la notion de monoïde.

La catégorification de la structure de groupe est ce que l’on nomme un groupoïde, c’est une catégorie où tous les morphismes sont des isomorphismes.

Il est possible de définir un groupoïde sans faire appel aux catégories, cela a été fait par Brandt en 1926, voir:

http://mathoverflow.net/questions/199849/brandts-definition-of-groupoids-1926

La définition est nettement plus compliquée, mais surtout elle ne permet pas de faire le lien entre les morphismes du groupe considéré catégoriquement et les éléments du groupe considéré de manière ensembliste : c’est une perte absolue d’intelligibilité.

Nous voyons déjà avec cette table périodique et la notion de « catégorification » l’œuvre d’unification en train de fonctionner, nous poursuivrons cette étude dans d’autres articles, en passant aux structures catégoriques supérieures (« higher algèbre ») mais soulignons que cela n’aurait pas été possible si l’on en était resté aux définitions de type ensembliste.

Il arrive, et c’est le cas ici, que la définition crée ou facilite grandement l’intuition et la découverte de nouvelles structures.

De l’être (multiple pur) à l’Un : le programme de travail de l’ οντοποσοφια

Lorsqu’Alain Badiou dans « L’être et l’évènement » a affirmé (et « démontré ») que l’ontologie, auparavant considérée comme le coeur de la philosophie, portant sur l’être en tant qu’être, était la mathématique, sous les espèces de la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel, il a réalisé une sorte de « révolution » qui a enthousiasmé certains, irrité d’autres…

Nous gardons comme point de départ cette thèse de Badiou, mais seulement comme point de départ : la théorie des ensembles c’est seulement une partie des mathématiques, qui certes a été utilisée comme cadre fondationnel de toute la mathématique.

Aujourd’hui c’est la théorie des catégories, créée en 1945, qui joue ce rôle, et les ensembles ne forment qu’une catégorie particulière: la catégorie ENS des ensembles, qui est aussi un topos.
De plus un ensemble est une catégorie, où il n’y a pas de flèches entre les objets (qui sont les éléments de l’ensemble), on appelle cela une 0-catégorie, les catégories « normales » sont les 1-catégories.

L’être comme multiple pur, que nous gardons de Badiou, correspond aussi à l’état de complète ignorance : la science consiste à établir des relations de plus en plus complexes entre les phénomènes.

En quoi consiste ce multiple pur ? nous pourrions répondre de manière évasive en disant que c’est « tout ce qu’il y a » ou « tout ce qui est, tous les étants » mais de toutes façons nous n’allons plus perdre de temps avec ces discussions stériles de ce genre car voici le programme de la nouvelle discipline que nous voulons développer ici :

remplacer les thèses métaphysiques ou « mystiques » sur l’Un, l’Etre, le Vrai, le Bien (les quatre transcendantaux de la métaphysique : ens, unum, verum et bonum) par la mathématique et ses théorèmes, sur lesquels par définition tout le monde s’accorde puisqu’ils sont établis à partir de définitions et de principes et axiomes clairs, entièrement transparents à l’intelligence, et démontrés.

Dans notre perspective idéaliste mathématisante nous dirons que le multiple pur, correspondant à l’état d’ignorance et de sauvagerie complète, est celui des « chocs sensibles » réels ou potentiels expérimentés par un être humain, quelqu’il soit.

Ces chocs sensibles, rencontre de l’humain avec la « forme d’extériorité », sont très divers: visuels, auditifs, tactiles, etc…

Prenons un exemple (mythique) célèbre : Newton reçoit une pomme sur la tête, il en sort l’idée de la gravitation.
Par contre tel primitif recevant une noix de coco (ou plutôt une châtaigne, il aura moins mal) n’uara pas l’idée de relier cette occurrence à d’autres évènements similaires dans le passé : il se contentera de se frotter la tête en émettant un grognement de douleur.

Cet état d’ignorance complète n’est jamais observé : nous sommes tous déjà pris dans un réseau de langages, de noms, et de « connaissances ».

Mais avant la ligne de démarcation du 17 ème siècle européen:

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/la-ligne-de-partage-des-temps/

ces « savoirs » n’en sont pas réellement, en tout cas en ce qui concerne la physique, et l’homme reste un « grand marché de mots » (ce qu’il redevient d’ailleurs de nos jours) : seuls les relations de la science, les μαθηματα, peuvent l’en libérer, et l’émanciper ainsi des superstitions de sa tribu.

Contentons nous donc d’appeler « Etre » un des pôles du trajet de la conscience, correspondant à la conscience non développée, à l’ignorance, au multiple pur non unifié.

A l’autre bout du parcours nous aurons l’Un, mais là encore il s’agit d’une notions qui jusqu’ici appartenait à la métaphysique ou à la mystique, voir par exemple:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transcendantaux

ou

http://fr.wikipedia.org/wiki/Universaux

ou

http://fr.wikipedia.org/wiki/L%27Un

Nous remplaçons ceci, comme Badiou avec le compte-pour-un qui joint les éléments d’un ensemble en UN ensemble, par l’un comme opération mathématique, et plus largement par l’unification scientifique, qui aboutit à l’explication et à la compréhension.

De par un axiome de la théorie des catégories, toute catégorie est « UNE » en vertu d’un foncteur Identité:

Id : A ——-> A

Ces deux pôles, Etre (multiple, ignorance) et Un (unification et intelligibilité totale, Savoir, Connaissance complète) peuvent être rapprochés des éléments primitifs de Wronski :

EE (élément-être) ——> ES (élément savoir)

dont l’identité primordiale est l’élément neutre (EN).

Quant à nous, nous tâchons de « coller » le plus prés possible à la mathesis, qui seule obéit aux exigences philosophiques de démonstration (les « yeux de l’âme » selon Spinoza), de clarté des définitions et des procédés, et de vérification permanente.

Bien entendu il ne faut pas être maximaliste : nous parlons en langage commun (en français) mais nous gardons conscience qu’il nous faut toujours revenir à la mathématique pour vérifier que nous ne nous perdons pas dans les rêveries qui ne sont autres que le masque de l’instinct prenant la place de la Raison désintéressée, comme dit Brunschvicg:

« si les religions sont nées de l’homme, c’est à chaque instant qu’il lui faut échanger le Dieu de l’homo faber, le Dieu forgé par l’intelligence utilitaire, instrument vital, mensonge vital, tout au moins illusion systématique, pour le Dieu de l’homo sapiens, Dieu des philosophes et des savants, aperçu par la raison désintéressée, et dont aucune ombre ne peut venir qui se projette sur la joie de comprendre et d’aimer, qui menace d’en restreindre l’espérance et d’en limiter l’horizon. »

et cette précaution étant comprise et prise, nous caractériserons ce qui est selon nous le sens de l’existence humaine, de l’homme comme hérault de la Vérité et non comme esclave de l’idole de la tribu ou comme berger de l’Etre:

« Tout l’être doit passer en Savoir par les vérités éternelles, qui sont les théorèmes, organisées selon l’architectonique de la Mathesis qui est l’οντοποσοφια »

ce qui n’est rien d’autre que le parcours complet de la conscience entre les deux pôles, Etre et Un (Unum = Bonum = Bien au delà de l’être, mais ens et unum non convertuntur) que nous avons décrit plus haut, et dont nous pouvons « parler » clairement puisqu’il n’est autre que la mathesis universalis, ou  οντοποσοφια

nul n’entre ici s’il ne se soumet à la discipline fonctorielle

Un foncteur est un morphisme reliant deux catégories, c’est à dire un « passage » de l’une à l’autre respectant la structure.

La notion de « morphisme » est fondamentale en théorie des catégories, du point de vue philosophique aussi bien que mathématique.

Dans une catégorie on a deux sortes d’entités : les objets, et les morphismes reliant les objets entre eux.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories

Une catégorie \mathcal C, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :

  • Une classe dont les éléments sont appelés objets ;
  • Un ensemble \mathrm{Hom}\big(A,B \big), pour chaque paire d’objets \quad A   et  \quad B, dont les éléments \quad f sont appelés morphismes (ou flèches) entre \quad A et \quad B, et sont parfois notés f:A\rightarrow\; B ;
  • Un morphisme \mathrm{id}_A:A\rightarrow\;A, pour chaque objet \quad A, appelé identité sur \quad A ;
  • Un morphisme g\circ f:A\rightarrow\;C pour toute paire de morphismes f:A\rightarrow\;B  et g:B\rightarrow\;C, appelé composée de \quad f et \quad g, tel que :
  • la composition est associative : pour tous morphismes f:c\rightarrow\;d, g:b\rightarrow\;c   et   h:a\rightarrow\;b,
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h) ;
  • les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme f:A\rightarrow\;B,
\mathrm{id}_B\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{A}.

On demande aussi que : \mathrm {Hom} (A, B) \cap \mathrm {Hom} (C, D) = \varnothing   si  \big(A, B\big)\neq \big(C, D\big).

Les catégories peuvent elles mêmes être les « objets » de nouvelles catégories, qui seront des catégories de catégories ; les morphismes, ou flèches, reliant les objets de ces nouvelles catégories, seront alors des foncteurs.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

un foncteur respecte la structure parce qu’il envoie les morphismes identité sur les morphismes identité et conserve la composition des flèches d’une catégorie à l’autre :

« Un foncteur (ou foncteur covariant) F : \mathcal C\to\mathcal D d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est la donnée

  • d’une fonction qui, à tout objet A de \mathcal C, associe un objet \displaystyle F(A) de \mathcal D,
  • d’une fonction qui, à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C, associe un morphisme F(f) : F(A)\rightarrow F(B) de \mathcal D,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet A de \mathcal C,
\displaystyle F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)} ,
  • respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes f : A \to B et g : B \to C de \mathcal C,
F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant G d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est un foncteur covariant de la catégorie opposée \mathcal C^{\mathrm{op}} dans \mathcal D (à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C il associe donc un morphisme G(f) : G(B)\to G(A) de \mathcal D, et on a la « relation de compatibilité » G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)).

On voit immédiatement que l’image d’un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. »

Toute structure mathématique peut être vue comme une catégorie : ainsi un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets; un foncteur entre deux ensembles est alors simplement une fonction.

De même un foncteur entre deux groupes (considérés comme catégories) est en fait un homomorphisme de groupes (conservant l’élément neutre et la composition).

 » La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d’une opération qui satisfait un certain ensemble d’axiomes (associativité, inversibilité, élément neutre). Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de cet ensemble d’axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l’élément identitéd’un groupe est unique.

Au lieu d’étudier simplement l’objet seul (les groupes) qui possède une structure donnée, comme les théories mathématiques l’ont toujours fait, la théorie des catégories met l’accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu’en étudiant ces morphismes l’on est capable d’en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les homomorphismes de groupes. Un homomorphisme de groupe entre deux groupes préserve la structure de groupe d’une manière très précise ; c’est un processus qui à un groupe en associe un autre, tout en préservant toutes les informations sur la structure du premier groupe au sein du second groupe. Ainsi :

  • à chaque élément x du groupe de départ est associé un élément f(x)du groupe d’arrivée ;
  • à chaque opération x \bullet y du groupe de départ est associée une opération f(x \bullet y) = f(x) \star f(y) du groupe d’arrivée.

Une manière équivalente de décrire cette préservation de structure est de dire que toutes les manières d’aller du couple d’éléments quelconques (x, y) à f(x) \star f(y) mènent au même résultat :

  • on peut d’abord aller de (x, y) à x \bullet y par la loi de composition \bullet, puis de x \bullet y à f(x \bullet y) par le morphisme f ;
  • ou bien l’on peut aller d’abord de (x, y) à (f(x), f(y)) par le morphisme f, puis de (f(x), f(y)) à f(x) \star f(y) par la loi de composition \star.

Pour dire que tous ces chemins mènent au même résultat, on peut énoncer que le diagramme qui les représente est commutatif, ou que f(x \bullet y) = f(x) \star f(y).

L’étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes. »

Il y a donc  la catégorie des groupes, ayant pour objets les groupes et pour morphismes les homomorphismes de groupes, mais un groupe particulier G peut être vu comme une catégorie à un seul objet, qui sera confondu avec le groupe et sera donc noté G.

Les éléments du groupe seront les morphismes, qui ne peuvent relier que G à G puisqu’il n’y a que ce seul objet, la composition des morphismes s’identifiera avec la composition des éléments du groupe, et le morphisme identité sera l’élément neutre. On voit alors immédiatement qu’un foncteur entre deux groupes G et H considérés comme catégories est tout simplement la même chose qu’un homomorphisme entre les deux groupes, considérés comme ensembles munis d’une loi de composition et d’un élément neutre.

On traduira et généralisera cela en disant que la notion de foncteur est la catégorification horizontale de celle d’homomorphisme , voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+categorification

La théorie des catégories met l’accent sur les morphismes, les transformations, plutôt que sur les objets, les substances.

A tel point que l’on peut même exposer la théorie en se passant de la notion d’objet, en idnetifiant un objet avec son morphisme identité; une catégorie C quelconque  est alors identitifée avec son foncteur Identité

Id : C ———> C  est identifié à C

comment ne pas voir qu’un foncteur, et plus généralement un morphisme, a à voir avec la notion de transformation, et donc de temps, d’évolution temporelle…

Si je puis parler de l’évolution d’un être vivant, ou d’une chose, ou d’un objet abstrait (une théorie, ou même un autre « objet » plus général) dans le temps, c’est bien que je puis parler de la « même chose » (mais changée, ayant évolué) à deux instants différents du temps; il doit donc y avoir un « foncteur temporel » faisant passer l’objet qui est la chose d’un état correspondant à l’instant 1 à l’état correspondant à l’instant 2.

La théorie des catégories met l’accent sur le temps, la transformation, elle est « héraclitéenne » plutôt que « parménidienne » , parce que le temps, qui correspond aux « objets » de l’esprit, est plus fondamental que l’espace.

Au fond, l’espace n’est qu’une abstraction, une « coupe instantanée » prise sur la devenir, qui seul est réel : quand vous regardez le ciel étoilé nocturne, vous regardez en fait dans le temps, dans le passé.

La notion de « substance », d’entité qui reste « la même » au cours du temps, provient du caractère fonctoriel du temps, qui « conserve » des invariants structurels : ainsi si je suis « le même personnage » qu’il y a un an (tout en étant plus vieux d’un an, et ayant changé donc), c’est que le foncteur du temps a conservé ma structure profonde, et pas seulement le squelette du corps.

Que le temps, l’élément spirituel, soit « conversion vers l’un » n’empêche pas qu’il ne puisse devenir exactement l’inverse pour les damnés de la terre : l’enfer, la damnation ne se situe pas dans un « outre-monde », mais ici, et il consiste en l’inversion du caractère « bon »‘ du Temps !

au lieu d’être conversion à l’un, celui ci est pour les damnés dispersion accélérée dans le multiple des « préoccupations », des désirs, des envies, des ressentiments, des frustrations.

Là encore, Balzac est le peintre de génie de cette réalité sordide et démoniaque : que l’on songe au Baron Hulot (dans « La cousine Bette » ), qui avec l’âge est de plus en plus obsédé par le sexe, et l’envie forcenée de « trousser des jeunes filles »…on en connaît des exemples de nos jours, n’est ce pas ?

tel est l’enfer sur Terre, ou l’une de ses formes, et telel est l’explication rationnelle, philosophique, des mythes chrétiens, dans leur sublimité souvent incompirse des foules qui s’en réclament !

La « conversion vers l’un », la fidélité au caractère « bon » du temps, ce n’est rien d’autre que la sagesse de Brunschvicg qui fait trouver la vie « absolument bonne » :

« la vie est bonne, absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité et de la mort »

seulement si l’ on n’a pas su renoncer à la mort,  si la vieillesse coïncide avec la dispersion dans la multiplicité chaotique des désirs et des pulsions, alors il n’est pas vrai que la vie est bonne : elle est au contraire absolument infernale !

On trouve une application de ces réflexions  sur lees foncteurs et morphismes comme modèles de l’volution temporelle dans cet article de Louis Crane :

http://arxiv.org/pdf/hep-th/9301061v1.pdf

voir page 2 : un « état de l’univers » en gravité quantique est dans ce schéma un foncteur de la catégorie des observations (définie page 2, un observateur est formalisé par une variété différentielle ) dans la catégorie des espaces vectoriels. Un état coîncide alors avec une TQFT (« topological quantum field theory »)

L’évolution temporelle entre deux états, qui sont deux focnteurs, est alors modélisée par un « morphisme de foncteurs », appelée « transformation naturelle »

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

C’est là une notion extrêmement importante, un peu dure à « capter » au début, mais finalement assez simple :

« Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme de D :

\eta_X : F(X) \rightarrow G(X),telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

NaturalTransformation-01.png

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C, \eta_X est un isomorphisme, on dit que \eta est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. »

Ainsi, en faisant le lien avec le texte de Wronski étudié hier :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/23/wronski-introduction-a-la-philosophie-des-mathematiques/

on peut dire que les « objets » d’une catégorie sont liés à la notion d’espace, de « coupe transversale » d’un processus semblant l’immobiliser (que l’on songe à la fameuse scène de « Vertigo » où James Stewart et Kim Novak se promenant en forêt se penchent sur un arbre coupé où l’on « voit spatialement » le déroulement du temps depuis sa naissance jusqu’à sa coupe)

Les morphismes (et foncteurs, et transformations naturelles) sont liés au temps.

https://twitter.com/philotopos/statuses/204650900382425089

le temps est tension, mouvement des étants vers l’Un, conversion ; l’espace est principe de dispersion, de multiplicité, procession.

Un autre lien important avec l’oeuvre mathématique de Wronski concerne les déterminants (de matrices, en algèbre linéaire) , qui sont les fonctions Schin de Wronski.

Or un déterminant peut être vu comme une transformation naturelle entre deux foncteurs :

http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf

(voir page 14-15 du livre, pages 27-28 du document pdf ayant 303 pages)

objet initial, objet terminal et objet nul : première application de la toposophie…au CORAN !

cet article se situe dans le prolongement du précédent :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/09/la-dualite-de-letre-et-de-lun/

où l’on a abordé les constructions universelles, et la dualité dans la théorie des catégories et des topoi.

Un autre exemple de ce genre de constructions est ce que l’on appelle « objet terminal » dans une catégorie: c’est un objet F  tel qu’il existe une flèche et une seule venant des autres objets de la catégorie vers F (F est défini à un isomorphisme près, comme toujours dans ce genre de constructions, c’est à dire que tout objet relié à F par un isomorphisme sera aussi terminal).

pour tout objet A de la catégorie, il existe une flèche et une seule :

A ———————- > F

File:Terminal and initial object.svg

http://ncatlab.org/nlab/show/terminal+object

la notion duale est celle d’objet initial :

http://en.wikipedia.org/wiki/Initial_and_terminal_objects

http://ncatlab.org/nlab/show/initial+object

il s’obtient par dualité, en renversant le sens des flèches; c’est donc un objet I tel que pour tout autre objet A il existe une flèche et une seule orientée de I vers A

I ———————–> A

un objet nul, ou objet zéro, est un objet qui est à la fois initial et terminal :

http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object

Quelques exemples :

dans la catégorie des ensembles, tout ensemble à un seul élément est un objet terminal (ces ensembles sont évidemment tous isomorphes, en bijection)

aussi note t’on généralement l’objet terminal  par 1

et l’on note :

!:x→1

l’unique morphisme dirigé de n’importe quel objet x vers l’objet terminal 1

L’objet initial dans cette même catégorie des ensembles est l’ensemble vide , aussi le note t’on généralement : ∅

!:∅→x  ce qui veut dire : il n’existe qu’une seule flèche de l’objet initial vers n’importe quel objet x

dans la catégorie Grp des groupes, le groupe trivial est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul.

http://ncatlab.org/nlab/show/trivial+group

Un ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie :

http://ncatlab.org/nlab/show/partial+order

on met une flèche entre deux objets de cette catégorie, ou deux élément de l’ensemble ordonné x et y si x est inférieur à y :

x —- > y si et seulement si  x ≤ y

l’objet terminal dans une telle catégorie est alors le maximum de l’ensemble ordonné, s’il existe…rappelez vous ceci, nous allons voir ce à quoi cela correspond en théologie

Un objet terminal est un exemple de limite : celle du diagramme vide!

et l’objet initial est la colimite correspondante.

Application au Coran : ALLAH  est NUL

j’ai donné il y a quelques temps  une interprétation de la sourate 112 portant sur le prétendu monothéisme pur (qui serait évidemment l’Islam.. on se croirait dans une publicité électorale américaine, où un candidat a le droit de dénigrer ses concurrents, ceux ci sont évidemment le christianisme et le judaïsme) :

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/la-sourate-112-al-ikhlas-le-monotheisme-pretendument-pur-verset-1/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/sourate-112-al-ikhlass-verset-2-labsolu/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/20/une-musulmane-fanatique-prise-en-flagrant-delit-dignorance-et-de-confusion/

http://horreurislamique.wordpress.com/2012/03/21/sourate-112-al-ikhlass-le-monotheisme-pur-versets-3-et-4/

Verset 1 :

112.1.قُلْ هُوَ اللَّهُ أَحَدٌ

112.1. Dis : «C’est Lui, Dieu l’Unique

112.2.اللَّهُ الصَّمَدُ

112.2. Dieu le Suprême Refuge

mais le terme As-Samad peut aussi être traduit par Absolu

Ces deux versets peuvent être traduits en toposophie par la proposition :

Allah est objet terminal

ceci est valide dans toute catégorie correspondant au discours à analyser : une catégorie peut être considérée comme une « fenêtre », un « point de vue » sur la Réalité.

Nous avons donc l’équation coranique :

ALLAH = 1

qui serait en même temps l’UN « réalisé » (ce qui est exclus par la toposophie, qui tient compte de la situation incarnée de l’existence humaine comme effort infini vers l’Unification du réel)

rappelons nous ce que nous avons dit sur l’objet terminal comme maximum dans une catégorie correspondant à un ensemble ordonné : ne retrouvons nous pas ici l’argument de St Anselme sur Dieu comme « tel qu’on ne peut pas penser de plus grand » ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anselme_de_Cantorb%C3%A9ry#.C2.AB_Preuve_ontologique_.C2.BB_de_l.27existence_de_Dieu

« Nous croyons que tu es quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé. Est ce qu’une telle nature n’existe pas, parce que l’insensé a dit en son cœur : Dieu n’existe pas?[6] Mais du moins cet insensé, en entendant ce que je dis : quelque chose de tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, comprend ce qu’il entend ; et ce qu’il comprend est dans son intelligence, même s’il ne comprend pas que cette chose existe. Autre chose est d’être dans l’intelligence, autre chose exister. […] Et certes l’Être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé, ne peut être dans la seule intelligence ; même, en effet, s’il est dans la seule intelligence, on peut imaginer un être comme lui qui existe aussi dans la réalité et qui est donc plus grand que lui. Si donc il était dans la seule intelligence, l’être qui est tel que rien de plus grand ne puisse être pensé serait tel que quelque chose de plus grand pût être pensé. »

— Anselme de Cantorbéry, Proslogion

et, concernant la traduction de As-Samad par « absolu », ne retrouvons nous pas la thèse de Hegel (dans la Phénoménologie de l’Esprit) sur l’Absolu qui est essentiellement résultat ?

http://alain.feler.pagesperso-orange.fr/guy/Preface.html

« 20- Le vrai est le tout. Mais le tout n’est que la nature fondamentale s’accomplissant par son développement. Il faut dire de l’absolu qu’il est fondamentalement résultat, qu’il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité; et là-même est la nature de cet absolu, d’être du réel, d’être sujet, ou un devenir autonome. Aussi contradictoire qu’il peut sembler que l’absolu soit saisi fondamentalement comme résultat, un peu de réflexion redresse pourtant cette apparence de contradiction. Le début, le principe ou l’absolu, comme on l’exprime d’abord et im-médiatement, n’est que le général. Si peu quand je dis: tous les animaux, cela vaut comme zoologie, de même on voit que les mots du divin, de l’absolu, de l’éternel etc. n’expriment pas ce qui y est contenu; – et de tels mots n’expriment en fait que la contemplation comme im-médiat. Ce qui est plus qu’un tel mot, le passage à encore seulement une proposition, est un devenir autre, qu’il faut reprendre, c’est une médiation. Mais celle-ci est ce qu’on repousse, comme si en en faisant plus que de n’être rien d’absolu et pas du tout dans l’absolu, on en abandonnerait la connaissance absolue »

Reste qu’ Allah (Dieu) peut et doit être envisagé comme objet initial aussi, quand il est considéré comme l’Origine, la racine non manifestée, le Créateur , le Maître des mondes, par exemple dans la Sourate Al-Fatiha

1.2.الْحَمْدُ للّهِ رَبِّ الْعَالَمِينَ

1.2. Louange à Dieu, le Maître des Univers

(chaque univers correspond à une catégorie, ou plutôt un topos)

Ceci est encore plus évident dans le nom hébreu de YHVH qui correspond à ALLAH en arabe : on peut le traduire par « ce qui fut, est et sera »

l’origine et la fin

conclusion de la toposophie, c’est à dire de la philosophie absolue qui donne des leçons à YHVH-ALLAH :

ALLAH est un objet à la fois initial et terminal, donc un objet nul !

ALLAH = 1 = O

seulement ici nous déduisons de la théorie l’existence d’un moprhisme distingué reliant deux objets quelconques de la catégorie du discours , morphisme unique se factorisant par l’objet nul qui est l’objet zéro :

pour deux objets quelconques x et y , il existe un morphisme spécial unique appelé morphisme nul, ou morphisme zéro, obtenu en factorisant par l’objet nul 0 :

! : x  ———-> 0 ————–> y

l’unicité provient de ce qu’il s’agit du morphisme composé des deux morphismes uniques !

voir http://ncatlab.org/nlab/show/zero+object et http://ncatlab.org/nlab/show/zero+morphism

Nous avons ici l’explication de l’obscurantisme islamique : cet « unique morphisme », c’est (entre autres) la relation de deux êtres passant par Dieu, c’est à dire la relation déterminée une fois pour toutes par le dogme religieux.

Il est unique et inflexible, donc n’évoluera jamais !

ainsi par exemple, la relation entre un mari et sa femme « passant par Dieu » sera éternellement une relation de soumission de la femme à l’homme, et de sourde violence ..

ou, en d’autres termes moins « polis » :

« L’Islam des Lumières de Malek Chebel, et BHL,  c’est de la daube »

Le Coran corrigé par la toposophie

pour  conclure, voyons quel peut être le sens réel de ces apories.

Nous nous sommes débarrassés des Idoles métaphysiques que sont l’Etre et l’Un pour les troquer contre un mouvement duel de la pensée, vers l’Unification ou vers la multiplicité : montée et descente, procession et récession.

Or ceic trouve une interprétation particulièrement claire en théorie des catégories !

la flèche unique orientée de n’importe quel objet vers l’objet terminal 1 correspond à la montée vers l’Absolu et vers l’Un, montée jamais terminée, car effort infini qui ne supporte aucune relâche (donc pas d’alcool et pas de sexe, sinon on tetombe dans l’orientation vers le multiple… les femmes attirantes sont si nombreuses, une c’est bien, mais deux valent mieux qu’une, trois que deux, etc… etc..nous nommerons cette façon de voir les choses « discours de Salomon, ou de DSK »)

Seulement quelle est la notion duale ?

c’est à dire en considérant les flèches allant de 1 vers n’importe quel objet ?

tout simplement celle d’éléments de l’objet A, ce qui répond à ce qui se passe quand la catégorie est celle des ensembles !

en effet, si 1 est l’objet terminal de la catégorie des ensembles, c’est n’importe quel ensemble à un élément

considérons alors un ensemble A quelconque, ayant trois éléments (pour simplifier) : x , y et z

les morphismes dirigés de 1 vers A sont alors les fonctions (applications) :

1 ——–> A

qui associent à l’unique élément de 1 un et un seul (ce qui est la définition des fonctions) élément de A

il y a trois telles fonctions, et pas plus :

1 ——-> x

1 ——–> y

et 1 ——–> z

elles peuvent être identifées avec les trois éléments de A

CQFD

voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/generalized+element

« 

« In the category Set of sets, for X a set, an element x∈X is equivalently a morphism in Set (namely a function of sets) x:*→X, where ”*” denotes the point – the set with a single element. »

donc, la pensée selon l’un, la montée vers l’Un, consiste à prendre les morphismes dirigés vers 1, l’objet terminal

la pensée duale, vers l’Etre, la descente vers le multiple, consiste à inverser les flèches, à ne retenir que celles orientées de 1 vers un autre objet, ce qui revient à analyser un ensemble en ses éléments (dans le cas de la catégorie des ensembles)

Allah, YHVH, Dieu, c’est une Idée régulatrice, l’Idée de Raison, d’intelligibilité et d’unification portée à son maximum d’incandescence !

Et l’origine , l’objet initial ?

on la jette !

ce n’est qu’à ce prix que Dieu évitera d’être nul !

Si Dieu était « origine », objet initial, Dieu serait !

ce qui est selon Brunschvicg la formule de l’athéisme !

http://www.blogg.org/blog-76490-billet-atheisme__spiritualisme__philosophie_et_sens_commun_selon_brunschvicg-955910.html

« mais si l’idéal est la vérité, il est la vie même de l’esprit. L’idéal, c’est d’être géomètre, et de fournir d’une proposition une démonstration rigoureuse qui enlève tout soupçon d’ erreur; l’idéal c’est d’être juste, et de conformer son action à la pureté de l’amour rationnel qui enlève tout soupçon d’égoïsme et de partialité.

Le géomètre et le juste n’ont rien à désirer que de comprendre plus ou de faire plus, de la même façon qu’ils ont compris ou qu’ils ont agi, et ils vivent leur idéal.

Le philosophe n’est pas autre chose que la conscience du géomètre et du juste; mais il est cela, il a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi; le philosophe ouvre l’esprit de l’homme à la possession et à la conquête de l’idéal, en lui faisant voir que l’idéal est la réalité spirituelle, et que notre raison de vivre est de créer cet idéal.

La création n’est pas derrière nous, elle est devant nous; car l’idée est le principe de l’activité spirituelle… »

« Ou nous nous détachons des idées qui sont en nous pour chercher dans les apparences extérieures de la matière la constitution stable et nécessaire de l’être, nous nous résignons à la destinée inflexible de notre individu, et nous nous consolons avec le rêve dun idéal que nous reléguons dans la sphère de l’imagination ou dans le mystère de l’au delà« 

la destinée inflexible de l’individu, c’est le morphisme nul !

morphisme inéluctable si l’on conisdère dieu comme origine, comme objet à la fois initial et terminal, comme objet nul par lequel on peut « factoriser » les relations entre les êtres !

se détacher des idées qui sont en nous, c’est quitter l’immanence et l’intériorité pour la transcendance du monde, ou des croyances fabuleuses en le surnaturel et l’au delà !

« ou bien nous rendons à nos idées mortes leur vie et leur fécondité, nous comprenons qu’elles se purifient et se développent grâce au labeur perpétuel de l’humanité dans le double progrès de la science et de la moralité, que chaque individu se transforme, à mesure  qu’il participe davantage à ce double progrès. Les idées, qui définissent les conditions du vrai et du juste, font à celui qui les recueille et s’abandonne à elles, une âme de vérité et de justice; la philosophie, qui est la science des idées, doit au monde de telles âmes, et il dépend de nous qu’elle les lui donne »

 http://sedenion.blogg.org/date-2009-01-14-billet-958406.html

« Le danger du réalisme se trouvera donc conjuré du moment que la conscience sensible, que la conscience intellectuelle même considérée dans sa fonction théorique, ne sont que des abstractions de la conscience morale, comme le danger de voir la pureté de la critique s’infléchir dans le sens dialectique, l’immanence du Wissen (savoir) se subordonner à la transcendance du Glauben (croire, foi) »

C’est seulement en tant que je suis un être moral que la certitude est pour moi possible : le criterium de toute vérité théorique n’est pas lui même un criterium théorique, c’est un criterium pratique : un criterium interne, non un criterium externe, objectif, car précisément là où il est considéré comme moral, le moi doit être entièrement autonome et indépendant de tout ce qui se trouve en dehors de lui

il (le philosophe) a pour mission de dissiper tout préjugé qui leur cacherait la valeur exacte de leur oeuvre, qui leur ferait attendre, au delà des vérités démontrées ou des efforts accomplis, la révélation mystérieuse de je ne sais quoi qui serait le vrai en soi ou le bien en soi

« en définitive, les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme, de l’athéisme, sont : le vrai est, le bien est, Dieu est »

Dieu n’est pas : il doit être !

l’Absolu est essentiellement résultat : il n’est qu’à la fin ce qu’il est en vérité .

Adorer Dieu en Esprit et en Vérité, c’est cela !

et c’est là le sens de la toposophie !

Badiou : ensembles, actuel, topoi, virtuel, ontologie et logique

Dans mon ancien blog je m’étais livré à une violente critique de la pensée politique  de Badiou, je ne le regrette pas mais il vaut mieux entrer dans ce gouffre sans fond par la porte principale : la philosophie mathématique…or je n’avais pas encore à ma disposition les séminaires qui sont ici :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/seminaire.htm

la plupart disponibles en notes, résumées certes mais très claires selon mes premières impressions.

(re) commençons donc le travail de Sisyphe de l’antibadiousisme primaire à partir du séminaire de 93-94 sur les catégories :

« Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse.

Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.[1]

La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation.

La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers.

La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur.

On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure.

En continuant la métaphore, on pourrait dire que la théorie des topos est une investigation du concept d’univers, donc une théorie des univers, tandis que la théorie des ensembles est une création d’univers, ce n’est pas une théorie d’univers -on peut même dire qu’elle n’a pas de concept d’univers -, mais une effectuation d’univers.

Ce point donne lieu à une confusion parce qu’il donne lieu à deux débats, en réalité différents, mais souvent confondus :

1) Est-ce que la mathématique est une théorie des possibles, ou est-ce qu’elle est une création d’univers ? Est-elle une investigation formelle des possibles, ou l’investigation d’un univers constitué ?

Vision logique et formaliste d’un côté, vision réaliste et intuitive de l’autre.

2) La théorie des ensembles est-elle le meilleur univers possible, au sens où Leibniz dit que le monde existant est le meilleur possible. Quelle est la proximité de la mathématique et de la logique ?

Dans les controverses, ces deux questions sont souvent mélangées. La thèse dans laquelle nous sommes est la suivante : il n’y a pas d’unité de plans. Elle se donne dans un critère très simple : la théorie des catégories est une pensée définitionnelle ; elle décrit, par définitions, les traits constitutifs de ce que c’est qu’un univers possible. Une définition ne décide rien, c’est un opérateur d’identification, qui ne décide rien quant à l’existence. La théorie des ensembles repose toute entière sur des axiomes qui, eux, décident quant à des existences.

Quels sont, dans une tentative pour penser l’être en tant qu’être, les rapports entre le possible et l’effectif ? Aussi bien le virtuel et l’actuel. C’est une question essentielle de toute l’histoire de la philosophie. Une des caractéristiques de la théorie des ensembles est qu’elle est entièrement dans l’actuel ; il n’y a pas de virtuel en elle.

La théorie platonicienne des Idées est une doctrine de l’actuel. La pensée est sous condition de l’existence en acte des Idées.

Dans le dispositif aristotélicien, ce qui est, la substance, est dans un rapport de la puissance et de l’acte. Il finit par y avoir un acte pur qui est dieu. Mais ce qu’il y a, c’est la réalisation de son acte immanent existant en puissance.

Deleuze est la plus forte pensée contemporaine de l’être comme actualisation. L’essence de l’être est le virtuel et pas l’actuel, pour Deleuze. Le cahot est la virtualité anarchique pure. Donc, tout est actualisation.

Dans ma pensée, il n’y a pas de virtuel. Le possible est lui-même une projection de l’actuel »

ce « factuellement » m’ennuie fortement : la théorie des topoi n’est certes pas une alternative, mais un dépassement, tout autant qu’une perfection de la théorie des ensembles; il n’y a certes plus concurrence entre les deux, et là je préfère m’adresser au « working mathematician » qu’au philosophe !

La théorie des catégories est à la théorie des ensembles dans la même situation, ou relation, que la philosophie idéaliste de Platon relativement au réalisme de la substance  d’Aristote .

« La théorie des ensembles est une création d’univers » : cette proposition délirante illustre bien la différence entre une pensée athée, qui veut se débarrasser de Dieu en attribuant ses « propriétés » les plus irrationnelles (celle de Créateur) à la pensée humaine, et une pensée « religieuse » (celle proposée ici) qui fait simplement descendre la sphère divine jusqu’à la sphère humaine : appelons « évènement » le contact et nous sommes badiousiens !

d’ailleurs il est à remarquer que le « progrès de la pensée » se fait par sauts et discontinuités !

Il est visible, voire évident, que la « pensée » de Badiou n’est pas véritablement scientifique, mais « contrainte » par sa haine implicite contre le christianisme , qui le pousse aussi à donner le change avec son « Saint Paul » (lui aussi « avance masqué » !)  ainsi qu’à prendre fait et cause pour l’islamisme en hurlant avec tous les autres « matons de Panurge » à l’islamophobie (il serait intéressant de savoir ce qu’il pense de Mohammed Merah !).

Cela l’entraîne dans les grosses bourdes comme celle ci :

« La théorie des ensembles est une option ontologique. Cette option ontologique, en dépit du fait qu’elle soit souvent appelée platonicienne, est en réalité une option d’un matérialisme absolu, démocritéen, ou lucrétien, ou épicurien. Quels en sont les traits ?

– L’un n’existe pas. Donc, il n’y a pas de principe, pas de transcendance. Il y a un étalement multiple qui n’est jamais subsumable sous une figure canonique de l’un. Le multiple est toujours multiple de multiples. Donc le il y a pur est simplement dans la forme de la multiplicité. C’est un dispositif radicalement soustrait à l’univers appelé l’onto-théologie par Heidegger, dispositif historial de la métaphysique. »

seulement l’ontologie ne se libèrera jamais du dispositif onto-théologique, théorie des ensembles ou pas, et surtout, l’Un n’est pas un « principe de transcendance » mais d’immanence radicale !

C’est l’ Etre qui est « principe de transcendance » !

la non-philosophie de Laruelle s’expose depuis une pensée de l’immanence de « l’ un-en-tant-qu’un » , mais c’est évidemment Brunschvicg, le « dernier » philosophe français universel, qu’il faut lire pour comprendre la véritable nature du spiritualisme et de l’idéalisme, consistant à remplacer la Transcendance pour l’intériorité et l’immanence de l’esprit.

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/vraie_et_fausse_conversion.html

« Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. En dépit de l’adage, ens et unum non convertuntur. Il est manifeste, en effet, que le, type des « jugements de relation, » : l’Un est un, est orienté à l’inverse exactement du type des « jugements d’existence » : l’Un est. Les deux types de jugement, sous la forme d’absolu où Platon les considère, se détruisent, non pas par leur opposition réciproque seulement, mais aussi chacun pour soi : « L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un  »

…Or, si c’est un premier fait que l’impulsion a été donnée au progrès du rationalisme par la réflexion platonicienne quand elle a opposé, au sein même du monisme de Parménide, le réalisme de l’être et l’idéalisme de l’un, il y a un second fait qui lui est parallèle. Quand on considère les doctrines issues du Verbe héraclitéen on s’aperçoit que si elles ont, elles aussi posé sur son terrain véritable ce même problème de l’intelligence humaine, c’est qu’une lutte séculaire s’est engagée, à leur intérieur même, entre la spiritualité pure de la pensée et la matérialité des expressions théologiques ou métaphysiques qui, successivement, l’ont incarnée avec l’illusion de lui conférer une apparence d’être. Dans l’histoire de la philosophie occidentale, rien n’est significatif à cet égard, comme l’exégèse stoïcienne de la mythologie, particulièrement en ce qui concerne la fonction médiatrice d’Hermès dans son double personnage de Verbe intime et de Verbe proféré.  »

seulement Badiou et ses « disciples », comme François Nicolas, quelle que soit leur valeur humaine qui est indéniable, s’enferment délibérément dans une rupture avec le « vieil idéalisme » au moyen d’un matérialisme qui serait enfin le bon , nouvel avatar d’un (pseudo)  messianisme qui rompt enfin les chaînes (religieuses) :
 
« La thèse que je voudrais soutenir est que ce livre très singulier peut aider le musicien à inscrire son propos dans une orientation matérialiste renouvelée de la pensée, plus précisément dans ce que je proposerai ici d’appeler un matérialisme de type nouveau.

I.1.a       Lutte sur deux fronts

Comme on va le voir, ce matérialisme philosophique de type nouveau se constitue et se déploie dans une lutte sur deux fronts : en opposition certes au vieil idéalisme (moribond, en vérité, si ce n’est déjà mort: Badiou soutient cette thèse, dans ses interventions plus récentes. Il faut alors entendre son énoncé « L’idéalisme est mort » au sens de l’énoncé nietzschéen « Dieu est mort » ou de l’énoncé hégélien « l’art est mort » : même s’il en existe toujours des survivances, celles-ci ne sont plus à même d’orienter la pensée de manière créatrice )  mais surtout à un matérialisme (que Badiou appelle « démocratique ») qui est hégémonique et obscurcit aujourd’hui la pensée.

Soit la conviction suivante : les Lumières d’aujourd’hui, celles du XXI° siècle, n’ont plus tant pour adversaire déterminé le vieil idéalisme religieux qu’un obscurantisme de type désormais matérialiste interdisant toute Idée véritable au nom du règne sans partage des corps et des langages. »

sur deux fronts ? diable, je m’inquiète, est ce que cela ne rappelle pas la stratégie hitlérienne, qui s’est terminée de manière catastrophique (pour lui ) ? mais il est vrai que le vieil idéalisme est mort et enterré, alors que Staline en 1943…

« Pourquoi proposer d’inscrire le propos du musicien dans une telle nouvelle orientation matérialiste ?

Parce que l’intellectualité musicale, de longue date (très exactement depuis sa constitution avec Rameau, précisément à l’époque des Lumières) lutte contre son propre obscurantisme, celui du vieil idéalisme qui focalise et oriente le discours traditionnel sur la musique. Cet idéalisme le réalise d’une part en présentant la musique comme esprit immatériel et ineffable, venant transir d’infini notre sol étriqué et notre cœur fermé, et d’autre part en thématisant le discours possible sur une telle musique comme commentaire dévot et prêche célébrant le médiateur musicien, au total en exaltant la puissance religieuse de la musique … Contre cet obscurantisme, venant interdire de parler de musique autrement que comme émotion pieuse et communication ineffable, l’intellectualité musicale a constitué ses propres opérations : théoriques (voir Rameau), critiques (voir Schumann) et esthétiques (voir Wagner). »

comme on le voit ici, l’idéologie anti-chrétienne saute aux yeux : seulement l’idéalisme brunschvicgien aboutissement du cartésien, et mutation du platonicien, sort du christianisme par le haut, à travers un « christianisme de philosophes »…

En France du nouveau ! Franck Jedrzejewski : diagrammes et catégories, thèse et introduction

La thèse est ici :

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00193292/en/

http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/19/32/92/PDF/These-FJ.pdf

« En commentant certains résultats des sciences physiques ou mathématiques, plus particulièrement de la seconde moitié du XXe siècle, on cherche à comprendre l’importance philosophique du concept de diagramme, qui est au cœur de la théorie mathématique des catégories, des topoi et des esquisses. Partant du constat que les diagrammes et catégories contraignent à des options ontologiques, on propose pour étudier leur disposition conjointe de suivre quatre concepts fondamentaux qui forment le quadrilatère épistémique (la virtualité, la fonctorialité, l’universalité et la dualité). Le virtuel est nécessaire parce qu’une table n’existe pas de la même manière que le bleu du ciel qui n’a pas de réalité matérielle. La fonctorialité et le lemme de Yoneda imposent de reconsidérer le statut de l’objet. Le théorème de Diaconescu illustre l’idée que la logique immanente d’un lieu est déterminée par le topologique, que la logique n’a pas l’importance qu’on lui accorde parfois. L’universalité et la dualité déplace la notion de vérité qui n’est plus une simple valuation, mais une vérité-foudre, une vérité-événement qui fonctionne par adéquation et résonance de pans entiers de connaissance et non plus par inférence logique. Le diagramme devient le lieu de cette vérité qui passe par le geste. Dès lors, il devient possible de croiser ontologie et topologie en une onto-(po)-logie (ou une ontologie toposique) qui ne soit pas en contraction avec les philosophies de l’immanence. L’univocité de l’Être ne s’oppose pas à l’approche catégorielle. Plus encore : la prégnance des formes duales incite à penser l’hypothèse que l’Un est le dual de l’Être. »

et il existe une introduction de 6 pages où ce brillant chercheur se mesure à la pensée de Badiou ,  Deleuze, Feynman …

http://nessie-philo.com/Files/jedrzejewski_dcintro.pdf

l’hypothèse, formulée à partir de la dualité qui est au fondement de la théorie des catégories, de l’Un comme dual de l’Etre , nous intéresse fortement compte tenu de notre problématique sur pensée selon l’Un et pensée selon l’Etre.

Voir aussi un document formidable regroupant les leçons données par Yves André à l’IRCAM :

http://www.entretemps.asso.fr/maths/Livre.pdf

la catégorie des ensembles : premier exemple d’un topos

La théorie des topoi (pour les hellénistes, dont je me piquais de faire partie du temps de mes études) , qui est maintenant le nouveau cadre fondationnel pour les mathématiques (après la théorie des ensembles qui jouait ce rôle dans les années 60) est le plus souvent présentée comme une généralisation ou une « abstraction » de la théorie des ensembles, et la notion de topos est résumée comme :

une catégorie qui se comporte « comme » la catégorie des ensembles

seulement il existe des manières de présenter les choses qui rendent un peu plus justice à la réalité : les topoi n’ont pas été inventés, ou « découverts », par Grothendieck et Lawvere dans le but de généraliser la théorie des ensembles !

Je dirais plutôt quant à moi que si le premier exemple de topos rencontré par l’homo mathematicus est  effectivement celui des ensembles, c’est à cause du fait que le « devenir-esprit » de l’humanité est orienté dans le sens d’un progrès de la conscience, de la nature, caractérisée par la multiplicité, vers l’esprit, caractérisé par l’unité.

Il n’est donc guère étonnant que la théorie des ensembles, qui est la théorie des multiplicités pures, sans structure ni ordre, soit trouvée en premier.

Cette « découverte » se situe d’ailleurs bien tardivement dans l’histoire de la mathématique, elle vient après celle des nombres entiers, puis des autres nombres, et leur manipulation dans les équations et systèmes d’équations, notions indiscutablement plus « concrètes ».

La notion de topos a à voir avec celle de vérité, à travers l’existence dans tout topos d’un objet-vérité (truth -object) Ω.

Agrémentée de ce que l’on appelle un « natural number object » (généralisant les nombres entiers) elle constitue un cadre de formalisation et de théorisation pour l’évolution moderne (toute récente) de la physique, voir :

http://www.blogg.org/blog-69347-billet-physique_et_theorie_des_topoi__physics__topos_and_category_theory_-716975.html

http://mathesis.blogg.org/date-2006-06-09-billet-368403.html

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/quantum-topos/

après ces éclaircissement partons donc de la catégorie des ensembles, notée le plus souvent Ens (dans les ouvrages français) ou Set (dans les livres en anglais).

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol9/jeanyves.pdf

Un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de morphismes entre les objets, qui sont les éléments de l’ensemble (en fait, il y a toujours un morphisme, le morphisme identité, souvent identifié avec l’objet).

Prenons un exemple simple : j’ai avec moi une sacoche où il y a, mettons, trois livres; je peux toujours former le concept de l’ensemble de ces trois livres, même s’ils n’ont rien à voir entre eux, même si je ne lis que l’un d’entre eux et que les deux autres appartiennent à quelqu’un d’autre, qui les a oubliés chez moi.

Cet ensemble est donc la collection :

{ A , B , C } où l’on note A, B ,et C les trois livres en question.

si je veux considérer cet ensemble comme une catégorie, je pourrai introduire des morphismes identité sur chacun des trois objets, ou éléments, de cet ensemble:

Id_A : A —-> A   etc…

mais il n’y aura pas de morphismes reliant deux objets différents entre eux.

Maintenant la catégorie des ensembles possède comme objets les ensembles et comme morphismes reliant deux objets, deux ensembles X et Y, les fonctions, ou applications, entre ces ensembles .

Rappelons qu’une fonction f entre deux ensembles X et Y :

f : X ————–> Y

est un procédé qui à tout élément x appartenant à X associe un et un seul  élément  y = f (x) appartenant à l’ensemble Y

Il ne peut pas y avoir deux correspondants, sinon on n’a plus une fonction mais une correspondance (théorie très intéressante elle aussi).

Comme tout ensemble peut être considéré comme une catégorie, la catégorie des ensembles pourra être considérée comme une 2-catégorie. Une fonction entre ensembles sera alors un foncteur entre ces deux ensembles considérés comme catégories.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Là encore, il y a deux manières de comprendre l’évolution : soit les foncteurs seront considérés comme des « généralisations » de la notion de fonction, soit les fonctions seront considérées comme la première « rencontre » de nos mathématiques en train de se développer avec une notion bien plus englobante, et qui contient les fonctions comme un cas particulier simple.

L’intérêt de la catégorie des ensembles est que l’on y  rencontre ainsi tous, ou beaucoup  des concepts les plus usuels de la théorie des catégories.

ainsi une application, ou fonction, entre les ensembles X et Y  est dite injective si un élément de Y n’a qu’un seul « prédecesseur » (quand il en a un).

Il ne peut arriver que deux éléments de X soient envoyés sur le même élément de Y.

une application est dite surjective lorsque tout élément de Y a un (ou plusieurs) prédecesseurs.

Une application est dite bijective quand elle est à la fois injective et surjective.

Ces notions sont présentes en théorie des catégories : les fonctions injectives deviennent les monomorphismes, les applications surjectives sont les épimorphismes, et les applications bijectives les isomorphismes.

Mais la nouveauté radicale, qui est la principale caractéristique de la nouvelle théorie, est que ces notions n’ont plus besoin d’être expliquées en recourant aux éléments, mais seulement à des diagrammes.

Attardons nous un peu là dessus, car cela permet de comprendre pas mal de choses.

Un monomorphisme est un morphisme qui est « simplifiable à gauche » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Monomorphisme

Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé mono) est un morphisme simplifiable à gauche, c’est-à-dire une application f\colon X \to Y telle que

f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2 pour tout morphisme g_1, g_2 \colon Z \to X.
Monomorphism-01.png

La notion duale est celle d’épimorphisme , qui sont la version catégorique des applications surjectives ensemblistes.

Ici s’introduit la notion de dualité, extrêmement importante : la catégorie duale d’une catégorie C est obtenue en reversant le sens des flèches (morphismes).

À partir d’une catégorie \mathcal C, on peut définir une autre catégorie \mathcal C^{op} (ou \mathcal C ^ o), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément : Hom_{\mathcal C^{op}}(A,B)=Hom_{\mathcal C}(B,A), et la composition de deux flèches opposées est l’opposée de leur composition :

f^{op}\circ g^{op}=(g\circ f)^{op}

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : (\mathcal C^{op})^{op}=\mathcal C.

Un isomorphisme , version catégorique des bijections ensemblistes, est simplement un morphisme qui possède un inverse :

Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).

Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h

racisme et communautarisme ethno-religieux

tout ce dont les membres, exempts de pathologies mentales graves,  d’une communauté linguistique peuvent parler en se faisant comprendre  « existe », il n’y aurait aucun sens à le nier.

Ainsi cette table, devant moi, cet arbre au loin, ils « existent ».

Et pourtant, peut on dire qu’il « existent absolument » ?

la table a été construite par des hommes, pour des usages humains, elle ne peut ‘exister » indépendamment des savoirs faire industriels humains, acquis au cours de l’Histoire.

De même l’arbre, ou tout autre objet naturel, est une « abstraction » si on le conçoit isolé du monde qui l’entoure : il a besoin pour continuer à « être là » des minéraux que ses racines puisent dans le sol, de l’atmosphère (si elle est trop polluée il meurt).

A la limite il n’existe « dans l’Absolu » rien d’autre que le Tout : et ce Tout est bien plus que ce que nous appelons « le monde ».

Car il est le « Tout » dont on parle, dont je parle actuellement : en en parlant je me situe en quelque sorte « en dehors » du Tout, ce qui m’amène à penser que la notion de « Tout dont on parle » est autocontradictoire.

Hamlet dit à Horatio:

 «  il y a plus de choses sur terre et dans le ciel que dans toute votre philosophie »

seulement, comme le note Brunschvicg,  il parle de la philosophie de son époque, la philosophie scolastique, sorte de mixte entre la philosophie aristotélicienne et les mythologies chrétienne, juive ou musulmane.

La science véritable, et donc la philosophie véritable, ayant affaire à la Vérité pure et non pas aux mensonges de la physique « aristotélicienne » esclave des illusions de la perception, font leur entrée en scène avec Copernic, Galilée, et surtout Descartes.

Et la philosophie « remonte au ciel » selon la belle expression de Guéroult à propos du malebranchisme.

Qu’est ce que la terre ? qu’est ce que le ciel ?

la science montre enfin que les « cieux » , l’espace immense des planètes, des astres et des galaxies, ne sont pas d’une nature différente de celle de notre planète.

La « terre », c’est donc pour nous le monde sensible, celui des perceptions, sensations, …des êtres vivants (et donc mortels) que nous sommes.

Le « ciel » c’est l’espace « intérieur » , ou « internel » selon ce mot que je trouve si beau, et que j’avais trouvé je ne sais plus où…

C’est l’intériorité pure où seulement nous pouvons nous acheminer vers « Dieu » qui est, comme je l’ai démontré, l’Absolu en tant que Raison immanente.

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/une-demonstration-irrefutable-de-lexistence-de-dieu/

Seulement ici attention à ne pas tomber dans un piège terrible !

 cette intériorité est l’universalité véritable, si justement elle dépasse ce qui constitue la prison de la « fausse intériorité » celle des fantasmes et obsessions égocentriques , celle qui me constitue comme « cette personne unique », avec mes goûts, mes pulsions, mes illusions.

Or il n’y a rien là d’unique, parce que tout le monde se prend pour le centre du monde et croit que sa petite personne est l’aboutissement de l’Histoire universelle… tout au moins à notre époque dite « individualiste », celle de la « télé réalité » où tout le monde adore parler de « soi », des ses obsessions médiocres (en général sexuelles », etc…

Seulement l’universalité de la Raison, c’est à dire de l’intériorité vraie, ne commence qu’une fois franchie cette barrière du singulier (mes caractéristiques individuelles quantifiables ou « ineffables », qui disparaîront dans la tombe avec moi), et du niveau « particulier » de ma personnalité, liée à ma « culture » nationale ou tribale , à ma religion éventuelle, et qui en aucun cas n’est universel ni universalisable, sauf fanatisme barbare, celui que nous connaissons trop de nos jours).

A partir de la ligne de partage des temps, à partir de Descartes :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/03/06/la-ligne-de-partage-des-temps/

on peut et on doit donc inverser l’appréciation d’Hamlet :

« il y a plus de choses dans la vraie philosophie qui est « itinerarum mentis in Deum », acheminement de l’âme dans le ciel internel vers la Raison Absolue, que sur la terre des êtres sensibles, soumis au vieillissement, à l’entropie et à la mort »

certes, Descartes et Malebranche restent chrétiens, et Descartes dit fort justement, en universalisant pour une fois son comportement particulier, qu’il « est toujours resté fidèle à la religion de sa nourrice », et, implicitement, que c’est ce que tout le monde devrait faire !

eh oui ! c’était le temps où il y avait encore des nourrices, et encore des religions dignes de ce nom (quoique…après la Saint Barthélémy, il nous soit peut être impossible de dire ça) !

ils restent chrétiens, mais leur philosophie, même si elle trouve sa condition de possibilité dans le christianisme, en dépasse les aspects purement religieux, c’est à dire particuliers… et ce même pour Malebranche qui déclare :

« la foi passera mais l’intelligence subsistera éternellement »

ce long préambule pour en venir au terrible problème du racisme et du communautarisme, qui menacent maintenant directement notre république !

de même que cette table, cet arbre, cette maison, « existent », puisque nous pouvons en parler en nous faisant comprendre, de même les « races » existent!

certes elles n’existent pas pour la science, mais pour celle ci, pour la physique mathématique née au 17 ème siècle, naissance en laquelle  Brunschvicg voit le fait capital de l’évolution humaine, cette table, cet arbre n’existent pas non plus !

je dirais même que les « races » existent encore plus qu’il y a 40 ans, en France, et dans la tête des gens : chacun sait, avec certitude, qu’il est « blanc », « noir » « asiatique », « arabe » etc.. cela ne rime à rien de prétendre le contraire !

si l’on se limite aux aspects physicalistes, alors toute pensée raciste est propre à des attardés qui restent prisonnier du plan de la perception vitale, alors que depuis le commencement de la civilisation il y a 4 siècles, la science moderne affranchit les hommes de cette prison matérialiste… mais combien sont ils, ceux qui acceptent de faire usage de cette clé et de se libérer de leur prison mentale ?

seulement dans le choses humaines le « culturel » prime le « naturel » et le « physique » : et c’est ici que s’introduisent les « communautés », religieuses entre autres..

le racisme purement « physicaliste » et « biologique » est intenable, on le voit bien : seulement s’ il évolue et se pare des « plumes » du communautarisme , alors il est bien plus difficile d’en venir à bout, et je dirais même que le racisme, sous sa forme communautariste, n’a fait, en France, que croître et embellir depuis qu’il existe des organisations « antiracistes » !

pourquoi ? à cause de ce phénomène propre aux hommes non encore affranchis de leur être « naturel » par la science et la philosophie.

Chacun croit être le centre du monde, au niveau singulier, mais cette illusion s’étend au plan « particulier », celui des cultures et des religions : chacun croit que sa communauté, sa religion, est « supérieure » aux autres !

sinon il en changerait !

certes, à cause du « politiquement correct » ambiant en Occident, la plupart enterrent cette croyance en leur coeur, et la taisent…

mais ce n’est pas le cas de tous, et pas avec la même intensité : il est facile de se rendre compte, par exemple, que la plupart des musulmans sont persuadés que l’Islam est la seule religion agrée par Dieu… c’est même dit dans le Coran !

alors comment sortir de cette barbarie, de cette illusion propre aux peuples non émancipés par la Raison, qui menace de ruiner toute civilisation ?

certainement pas par le métissage et le mélange chaotique de toutes les « cultures » et « religions » sur un même sol !

Un Alain Finkielkraut l’a bien compris.

En Yougoslavie, les mariages entre personnes de « religion » et « communauté »différentes étaient fort nombreux, cela n’a aucunement empêché une guerre atroce dans les années 90.

Les cultures européennes et les cultures islamiques, ou africaines, ou asiatiques, sont absolument incompatibles.

Certes il n’est pas question d’interdire les mariages « métissés », tout retour en arrière est impossible.

Mais il est fou de placer un quelconque espoir dans le métissage généralisé, bien au contraire : si les histoire d’ amour finissent mal en général, c’est le cas toujours , ou pratiquement, pour les amours « transculturelles », ou « transreligieuses ».

Les cas où cela se passe bien sont TOUJOURS ceux où l’un des deux partenaires accepte de « céder » et d’abandonner certains traits de sa « culture »… ne fût ce qu’au moment où les enfants naissent  car dans quelle religion vont ils être élevés ? vont ils preier à l’église avec maman et manger du jambon, ou bien suivre papa à la mosquée ?

l’Islam a là dessus une réponse simple, voire simpliste, et inacceptable : l’Islam est la Vérité, donc les enfants d’un couple mixte seront musulmans , que cela plaise ou non au conjoint non musulman !

Un chrétienne ou une juive épousant un musulman est fortement « encouragé » à devenir musulmane, quoique non obligée… par contre, et toujours selon le Coran, qui est pour les musulmans parole  de Dieu, un non musulman que désire épouser une musulmane DOIT se convertir à l’Islam !

or si l’on trouve cela bien, on reconnaît que certaines « communautés », certains « particularismes », sont supérieurs à d’autres !

c’est le droit de chacun de penser cela : mais pourquoi tombe t » on à bras raccourcis sur les européens qui veulent que les autres « cultures » installées sur le sol européen fassent un effort d’assimilation, alors que l’on ne dit rien contre les musulmans qui refusent que leur fille épouse un chrétien ou un juif ?

Non, la voie de sortie hors du racisme, hors du communautarisme, est ailleurs que dans le mélange et le métissage généralisés !

paradoxalement, je ne peux me rapprocher de l’Autre que si je « plonge » en moi même, franchissant définitivement la « barrière » de la fausse intériorité dont je parlais plus haut, et accédant à l’universalité de la Raison où nous sommes tous « en chemin vers l’Unité ».

La religion véritable, religion de la Raison, est forcément affranchissement des barrières du groupe social, ethnique ou « racial » , comme le dit Lachelier cité par Brunschvicg :

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/raison_et_religion/raison_et_religion.html

« Par religion (disait Jules Lachelier au cours d’un dialogue mémorable où il se confrontait à Émile Durkheim) je n’entends pas les pratiques religieuses ou les croyances particulières, qui trop évidemment varient d’un état social à un autre. Mais la vraie religion est bien incapable de naître d’aucun rapprochement social ; car il y a en elle une négation fondamentale de tout donné extérieur et par là un arrachement au groupe, autant qu’à la nature. L’âme religieuse se cherche et se trouve hors du groupe social, loin de lui et souvent contre lui… . L’état de conscience qui seul peut, selon moi, être proprement appelé religieux, c’est l’état d’un esprit qui se veut et se sent supérieur à toute réalité sensible, qui s’efforce librement vers un idéal de pureté et de spiritualité absolues, radicalement hétérogène à tout ce qui, en lui, vient de la nature et constitue sa nature »

l’état d’un esprit qui « se veut et se sent supérieur à toute réalité sensible », c’est celui d’une âme humaine qui se libère du carcan de la pensée « matérialiste », soumise à la perception vitale et à ce que nous appelons ici le « selon l’être », soumise aux illusions du multiple donc, et qui adopte la « pensée selon l’un ».

Si Badiou déclare que l’ontologie ne peut être que celle du multiple pure, il a raison ; mais quand il identifie mathématique (sous forme de théorie des ensembles) et ontologie, alors il ferme tout simplement la porte de la prison et empêche l’évolution dont parle Lachelier.

Et après il vient vitupérer le « racialisme » dont il est, inconsciemment, le promoteur et le garde-chiourme !

non, la mathématique  ne s’identifie pas avec l’ontologie ni avec la théorie des ensembles et des multiplicités pures !

sous sa forme catégorique moderne, elle dépasse la théorie des ensembles qui ne forment qu’une catégorie parmi les autres en nombre indéfini.

Ce qui veut dire que la Mathesis universalis, la philosophie fondée sur la mathématique, constitue, et elle seule,  la voie de sortie hors de la prison du sensible, et donc, la libération vis à vis de tout racisme et de tout communautarisme !