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nul n’entre ici s’il ne se soumet à la discipline fonctorielle

Un foncteur est un morphisme reliant deux catégories, c’est à dire un « passage » de l’une à l’autre respectant la structure.

La notion de « morphisme » est fondamentale en théorie des catégories, du point de vue philosophique aussi bien que mathématique.

Dans une catégorie on a deux sortes d’entités : les objets, et les morphismes reliant les objets entre eux.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories

Une catégorie \mathcal C, dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :

  • Une classe dont les éléments sont appelés objets ;
  • Un ensemble \mathrm{Hom}\big(A,B \big), pour chaque paire d’objets \quad A   et  \quad B, dont les éléments \quad f sont appelés morphismes (ou flèches) entre \quad A et \quad B, et sont parfois notés f:A\rightarrow\; B ;
  • Un morphisme \mathrm{id}_A:A\rightarrow\;A, pour chaque objet \quad A, appelé identité sur \quad A ;
  • Un morphisme g\circ f:A\rightarrow\;C pour toute paire de morphismes f:A\rightarrow\;B  et g:B\rightarrow\;C, appelé composée de \quad f et \quad g, tel que :
  • la composition est associative : pour tous morphismes f:c\rightarrow\;d, g:b\rightarrow\;c   et   h:a\rightarrow\;b,
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h) ;
  • les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme f:A\rightarrow\;B,
\mathrm{id}_B\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{A}.

On demande aussi que : \mathrm {Hom} (A, B) \cap \mathrm {Hom} (C, D) = \varnothing   si  \big(A, B\big)\neq \big(C, D\big).

Les catégories peuvent elles mêmes être les « objets » de nouvelles catégories, qui seront des catégories de catégories ; les morphismes, ou flèches, reliant les objets de ces nouvelles catégories, seront alors des foncteurs.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

un foncteur respecte la structure parce qu’il envoie les morphismes identité sur les morphismes identité et conserve la composition des flèches d’une catégorie à l’autre :

« Un foncteur (ou foncteur covariant) F : \mathcal C\to\mathcal D d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est la donnée

  • d’une fonction qui, à tout objet A de \mathcal C, associe un objet \displaystyle F(A) de \mathcal D,
  • d’une fonction qui, à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C, associe un morphisme F(f) : F(A)\rightarrow F(B) de \mathcal D,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet A de \mathcal C,
\displaystyle F(\mathrm{Id}_A)=\mathrm {Id}_{F(A)} ,
  • respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes f : A \to B et g : B \to C de \mathcal C,
F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).

Un foncteur contravariant G d’une catégorie \mathcal C dans une catégorie \mathcal D est un foncteur covariant de la catégorie opposée \mathcal C^{\mathrm{op}} dans \mathcal D (à tout morphisme f : A \to B de \mathcal C il associe donc un morphisme G(f) : G(B)\to G(A) de \mathcal D, et on a la « relation de compatibilité » G(g\circ f)=G(f)\circ G(g)).

On voit immédiatement que l’image d’un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme. »

Toute structure mathématique peut être vue comme une catégorie : ainsi un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets; un foncteur entre deux ensembles est alors simplement une fonction.

De même un foncteur entre deux groupes (considérés comme catégories) est en fait un homomorphisme de groupes (conservant l’élément neutre et la composition).

 » La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d’une opération qui satisfait un certain ensemble d’axiomes (associativité, inversibilité, élément neutre). Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de cet ensemble d’axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l’élément identitéd’un groupe est unique.

Au lieu d’étudier simplement l’objet seul (les groupes) qui possède une structure donnée, comme les théories mathématiques l’ont toujours fait, la théorie des catégories met l’accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu’en étudiant ces morphismes l’on est capable d’en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les homomorphismes de groupes. Un homomorphisme de groupe entre deux groupes préserve la structure de groupe d’une manière très précise ; c’est un processus qui à un groupe en associe un autre, tout en préservant toutes les informations sur la structure du premier groupe au sein du second groupe. Ainsi :

  • à chaque élément x du groupe de départ est associé un élément f(x)du groupe d’arrivée ;
  • à chaque opération x \bullet y du groupe de départ est associée une opération f(x \bullet y) = f(x) \star f(y) du groupe d’arrivée.

Une manière équivalente de décrire cette préservation de structure est de dire que toutes les manières d’aller du couple d’éléments quelconques (x, y) à f(x) \star f(y) mènent au même résultat :

  • on peut d’abord aller de (x, y) à x \bullet y par la loi de composition \bullet, puis de x \bullet y à f(x \bullet y) par le morphisme f ;
  • ou bien l’on peut aller d’abord de (x, y) à (f(x), f(y)) par le morphisme f, puis de (f(x), f(y)) à f(x) \star f(y) par la loi de composition \star.

Pour dire que tous ces chemins mènent au même résultat, on peut énoncer que le diagramme qui les représente est commutatif, ou que f(x \bullet y) = f(x) \star f(y).

L’étude des homomorphismes de groupe fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes. »

Il y a donc  la catégorie des groupes, ayant pour objets les groupes et pour morphismes les homomorphismes de groupes, mais un groupe particulier G peut être vu comme une catégorie à un seul objet, qui sera confondu avec le groupe et sera donc noté G.

Les éléments du groupe seront les morphismes, qui ne peuvent relier que G à G puisqu’il n’y a que ce seul objet, la composition des morphismes s’identifiera avec la composition des éléments du groupe, et le morphisme identité sera l’élément neutre. On voit alors immédiatement qu’un foncteur entre deux groupes G et H considérés comme catégories est tout simplement la même chose qu’un homomorphisme entre les deux groupes, considérés comme ensembles munis d’une loi de composition et d’un élément neutre.

On traduira et généralisera cela en disant que la notion de foncteur est la catégorification horizontale de celle d’homomorphisme , voir :

http://ncatlab.org/nlab/show/horizontal+categorification

La théorie des catégories met l’accent sur les morphismes, les transformations, plutôt que sur les objets, les substances.

A tel point que l’on peut même exposer la théorie en se passant de la notion d’objet, en idnetifiant un objet avec son morphisme identité; une catégorie C quelconque  est alors identitifée avec son foncteur Identité

Id : C ———> C  est identifié à C

comment ne pas voir qu’un foncteur, et plus généralement un morphisme, a à voir avec la notion de transformation, et donc de temps, d’évolution temporelle…

Si je puis parler de l’évolution d’un être vivant, ou d’une chose, ou d’un objet abstrait (une théorie, ou même un autre « objet » plus général) dans le temps, c’est bien que je puis parler de la « même chose » (mais changée, ayant évolué) à deux instants différents du temps; il doit donc y avoir un « foncteur temporel » faisant passer l’objet qui est la chose d’un état correspondant à l’instant 1 à l’état correspondant à l’instant 2.

La théorie des catégories met l’accent sur le temps, la transformation, elle est « héraclitéenne » plutôt que « parménidienne » , parce que le temps, qui correspond aux « objets » de l’esprit, est plus fondamental que l’espace.

Au fond, l’espace n’est qu’une abstraction, une « coupe instantanée » prise sur la devenir, qui seul est réel : quand vous regardez le ciel étoilé nocturne, vous regardez en fait dans le temps, dans le passé.

La notion de « substance », d’entité qui reste « la même » au cours du temps, provient du caractère fonctoriel du temps, qui « conserve » des invariants structurels : ainsi si je suis « le même personnage » qu’il y a un an (tout en étant plus vieux d’un an, et ayant changé donc), c’est que le foncteur du temps a conservé ma structure profonde, et pas seulement le squelette du corps.

Que le temps, l’élément spirituel, soit « conversion vers l’un » n’empêche pas qu’il ne puisse devenir exactement l’inverse pour les damnés de la terre : l’enfer, la damnation ne se situe pas dans un « outre-monde », mais ici, et il consiste en l’inversion du caractère « bon »‘ du Temps !

au lieu d’être conversion à l’un, celui ci est pour les damnés dispersion accélérée dans le multiple des « préoccupations », des désirs, des envies, des ressentiments, des frustrations.

Là encore, Balzac est le peintre de génie de cette réalité sordide et démoniaque : que l’on songe au Baron Hulot (dans « La cousine Bette » ), qui avec l’âge est de plus en plus obsédé par le sexe, et l’envie forcenée de « trousser des jeunes filles »…on en connaît des exemples de nos jours, n’est ce pas ?

tel est l’enfer sur Terre, ou l’une de ses formes, et telel est l’explication rationnelle, philosophique, des mythes chrétiens, dans leur sublimité souvent incompirse des foules qui s’en réclament !

La « conversion vers l’un », la fidélité au caractère « bon » du temps, ce n’est rien d’autre que la sagesse de Brunschvicg qui fait trouver la vie « absolument bonne » :

« la vie est bonne, absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité et de la mort »

seulement si l’ on n’a pas su renoncer à la mort,  si la vieillesse coïncide avec la dispersion dans la multiplicité chaotique des désirs et des pulsions, alors il n’est pas vrai que la vie est bonne : elle est au contraire absolument infernale !

On trouve une application de ces réflexions  sur lees foncteurs et morphismes comme modèles de l’volution temporelle dans cet article de Louis Crane :

http://arxiv.org/pdf/hep-th/9301061v1.pdf

voir page 2 : un « état de l’univers » en gravité quantique est dans ce schéma un foncteur de la catégorie des observations (définie page 2, un observateur est formalisé par une variété différentielle ) dans la catégorie des espaces vectoriels. Un état coîncide alors avec une TQFT (« topological quantum field theory »)

L’évolution temporelle entre deux états, qui sont deux focnteurs, est alors modélisée par un « morphisme de foncteurs », appelée « transformation naturelle »

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

C’est là une notion extrêmement importante, un peu dure à « capter » au début, mais finalement assez simple :

« Soient C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme de D :

\eta_X : F(X) \rightarrow G(X),telle que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

NaturalTransformation-01.png

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C, \eta_X est un isomorphisme, on dit que \eta est une équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel. »

Ainsi, en faisant le lien avec le texte de Wronski étudié hier :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/23/wronski-introduction-a-la-philosophie-des-mathematiques/

on peut dire que les « objets » d’une catégorie sont liés à la notion d’espace, de « coupe transversale » d’un processus semblant l’immobiliser (que l’on songe à la fameuse scène de « Vertigo » où James Stewart et Kim Novak se promenant en forêt se penchent sur un arbre coupé où l’on « voit spatialement » le déroulement du temps depuis sa naissance jusqu’à sa coupe)

Les morphismes (et foncteurs, et transformations naturelles) sont liés au temps.

https://twitter.com/philotopos/statuses/204650900382425089

le temps est tension, mouvement des étants vers l’Un, conversion ; l’espace est principe de dispersion, de multiplicité, procession.

Un autre lien important avec l’oeuvre mathématique de Wronski concerne les déterminants (de matrices, en algèbre linéaire) , qui sont les fonctions Schin de Wronski.

Or un déterminant peut être vu comme une transformation naturelle entre deux foncteurs :

http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf

(voir page 14-15 du livre, pages 27-28 du document pdf ayant 303 pages)

les cours de mathématiques des CATSTERS sur Youtube

http://www.youtube.com/watch?v=k-RehY4tLdI&feature=relmfu

cours sur les 2-catégories par Eugenia Cheng , l’une des pionnières de la recherche sur les « higher categories »

Rien n’est plus beau que les mains d’une femme dans la farine , disait Nougaro ?

moi je trouve que rien n’est plus émouvant que de voir cette femme géniale se fatiguer à manier la craie blanche au tableau noir !

à l’heure des PC et des tablettes tactiles !

c’est grave docteur ?

voir la suite de ce cours, et celui sur les « double categories »

http://www.youtube.com/watch?v=DRGh-HESyag&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=kiCZiSA2W3Q&feature=relmfu

mais le point le plus important pour la théorie des catégories est sans contestation l’adjonction, car si on n’a pas vraiment et totalement compris on ne va nulle part, et Eugenia donne là dessus des aperçus merveilleux :

http://www.youtube.com/watch?v=loOJxIOmShE&feature=relmfu

(il y en a 7 comme ça, rien que sur l’adjonction, voir les liens dans la marge de droite)

la stratégie de Badiou pour démontrer l’inexistence du Tout

Dans « Logiques des mondes » (LDM) , page 119, section 1, Badiou commence sa présentation du « concept de transcendantal » (qui sera pour nous attaché à la notion de topos, comme ce que l’on appelle « objet-vérité » Ω) en démontrant l’inexistence du Tout.

Seulement, fidèle à sa thèse de la théorie des ensembles (pas n’importe laquelle, celle axiomatisée par Zermelo-Fraenkel) comme ontologie, ou doctrine de l’être en tant qu’être, le Tout doit être pour lui la totalité de « ce qu’il y a » , et comme tout ce qu’il y a ce sont les multiples purs, les ensembles, le Tout doit être la totalité des ensembles.

Mais si le Tout doit être, comme ce qui est, ce sont les multiples, le Tout doit être un multiple, un ensemble.

Conclusion : le Tout doit être un ensemble, et il doit être la totalité des ensembles.

Il ne peut donc être que l’ensemble de tous les ensembles, et à ce titre il doit être élément de lui même.

De tels ensembles, qui sont éléments d’eux mêmes, sont appelés par Badiou « multiples réflexifs », et ils ont été considérés de longue date par les mathématiciens comme assez « problématiques », voire dangereux, à tel point que la théorie a jugé bon de créer un axiome, l’axiome de fondation, pour les écarter comme possibilité de pensée.

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/378117-ensemble-se-contenant-lui-meme.html

http://utilisateur-ianop.blogspot.fr/2008/01/lensemble-vide-est-lment-de-lui-mme.html

d’ailleurs, même en théorie « intuitive » ou « naïve », on a du mal à en trouver : je ne puis proposer que des formulations négatives, comme par exemple l’ensemble des ensembles dont la cardinalité est non bornée, ou supérieure à un nombre entier fini quelconque n.

Mais revenons à l’enchaînement de pensées de Badiou : supposons que le Tout soit, et qu’il soit donc ensemble de tous les ensembles (comme nous y sonnes forcés si nous suivons les thèses de Badiou sur l’ontologie du multiple) alors il y a au moins un ensemble élément de lui même, et il est consistant de dire que de tels ensembles (dits réfelxifs) existent.

Mais il est aussi consistant de dire que des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux mêmes existent, et là on en trouve à foison.

Badiou cite comme exemple ces 5 poires qui sont là sur la table devant lui : on peut en former un ensemble, mais il n’a aucune chance d’être une poire, et donc il ne peut être élément de lui même, puisque tous ces éléments sont par construction…des poires !

Badiou poursuit : il est logiquement possible de séparer « tout ce qu’il y a », c’est à dire tous les multiples, en deux catégories : les réflexifs, et les non réflexifs.

Il est donc consistant de former l’idée du multiple de « tous les multiples non réflexifs », que Badiou appelle la Chimère.

Or cette Chimère, est elle réflexive ? elle est un ensemble, l’ensemble de tous les ensembles non réflexifs, mais peut elle être élément d’elle même ?

si elle l’était, cela voudrait dire qu’elle serait un ensemble non réflexif, puisque c’est la définition des éléments de la Chimère !

Conclusion : si la Chimère était réflexive, elle serait non réflexive !

Nous arrivons à une contradiction, une absurdité, donc la chimère ne peut être réflexive…

seulement nous arrivons au même genre de problèmes si nous la supposons non réflexive: car si elle est non réflexive, cela veut dire qu’elle est un ensemble qui n’est pas élément de lui même.

Donc elle appartient à l’ensemble des ensembles non réflexifs.

Or cet ensemble c’est elle même.

Donc elle appartient à elle même, elle est élément d’elle même.

Donc si nous supposons que la chimère est non réflexive, nous aboutissons à la conclusion qu’elle doit être réflexive !

Conclusion :

la Chimère est bien…chimérique, elle n’a pas d’être, elle ne peut être un

ensemble.

Et comme elle suivait de l’hypothèse de l’être du Tout, cette hypothèse, menant à des absurdités, doit être écartée.

Le Tout n’a pas d’être.

Seulement ceci n’est valable que dans le cadre des thèses ensemblistes de Badiou, et même dans ce cadre les mathématiciens ont depuis longtemps eu l’idée d’un axiome d’antifondation et d’ensembles dits « non well-founded », qui passent allègrement par dessus les prétendus interdits de « pensée philosophique » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_d’anti-fondation

http://plato.stanford.edu/entries/nonwellfounded-set-theory/

mais selon moi le vrai problème est que Badiou ne part pas du véritable point de départ, qui est la dualité entre « élément-être » et « élément-savoir ».

Il parle seulement de l’idée du Tout, non pas du Tout lui même !

un ensemble n’est qu’une idée, et Badiou le reconnaît lui même avec son exemple de l’ensemble des 5 poires : c’est l’idée que nous nous formons de la collection des 5 poires, mais pas les 5 poires elles mêmes en leut être « massif », comme dirait Sartre, là devant nous, sur la table.

Si je suis sur le point de mourir de faim et de soif, ce n’est pas l’ensemble des 5 poires qui va me sauver : ce sont les 5 poires, et tout le monde le sait bien, qu’il soit idéaliste ou pas !

ou encore : c’est le chien qui aboie et qui mord, pas l’idée du chien !

Dans nos conditions d’existence incarnée, il est complètement absurde de vouloir « séparer » être et savoir, matière et esprit.

Mais, ce qui est la vérité éternelle de l’idéalisme, l’esprit possède  une prédominance évidente quand il s’agit de l’âme humaine et de son salut : sans les idées, et leur aboutissement la science, je pourrai cueillir les poires sur l’arbre, comme les anciennes tribus de sauvages , mais il me sera difficile de les faire venir sur ma table, sauf utilisation d’esclaves. Et encore devrai je savoir les faire pousser !

Qu’est ce que le Tout  : tous les étants « du monde extérieur » dont je puis former l’idée, moi ou n’importe qui d’autre, plus toutes les idées d’un étant quelconque ; cela fait du monde , car il y a en plus les idées d’idées (idées d’évènements par exemple).

Bref on comprend qu’il est insensé de vouloir avoir même l’idée d’en former un ensemble, ou une collection.

Le Tout serait en somme l’identité primitive de l’être et du savoir, dont nous avons constaté que la route est « barrée » à la pensée, sauf introduction du mysticisme dans la philosophie.

Le Tout est donc une idée mal formée, inconsistante : pas besoin de Zermelo-Fraenkel ni du paradoxe de Russell pour le comprendre !

Par contre si comme le dit Hegel « seul le vrai est le Tout », et que nous assignons à la philosophie , renommée par nous toposophie , la recherche et l’acheminement de l’âme vers la vérité, alors il devient licite d’envisager le Tout, comme l’Un ou l’Etre, comme limites : c’est là le schéma de pensée « fonctorielle » par lequel nous remplaçons les « arcanes du badiolisme » (pour reprendre ce néologisme, désignant l’école de pensée de Badiou, à son créateur François Laruelle).

éclaircissements grâce à la toposophie sur la première Sourate du Coran selon l’ordre de la révélation

Nous avons vu ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/09/objet-initial-objet-terminal-et-objet-nul-premiere-application-de-la-toposophie-au-coran/

que le mathème qui permet de comprendre rigoureusement le Dieu de l’Islam est la notion d’objet nul, c’est à dire d’objet à la fois initial et terminal dans une catégorie.

De plus nous avons vu que la présence d’un tel objet nul induit l’existence, pour tout couple d’objets de la catégorie, d’un morphisme « spécial » unique, le morphisme nul ou zéro-morphisme , qui est le morphisme entre ces deux objets passant par l’objet nul, noté 0 :

http://en.wikipedia.org/wiki/Zero_morphism

http://planetmath.org/KernelOfAMorphism.html

http://ncatlab.org/nlab/show/zero+morphism

Ce morphisme « spécial » entre deux objets quelconques X et Y est noté :

0XY : X0Y

on voit facilement qu’il obéit à la commutativité du diagramme suivant :

ZeroMorphism.png
 
Or nous avons vu que ce morphisme « distingué » et déterminé une fois pour toutes est celui des relations « passant par Dieu » , et donc inamovibles entre les êtres: telle est l’origine réelle de l’obscurantisme religieux, islamique notamment.
Or ce morphisme apparaît dès le début du Coran , dès la Sourate 96 Al-Alaq , qui si elle porte le numéro 96 dans l’ordre de la Vulgate est la première selon l’ordre de la Révélation !
c’est à dire que c’est la première à être enseignée à Mahomet par le créateur et le « scribe » principal du Coran, le prêtre nazaréen
 

Waraqa Ibn Nawfal

voir là dessus :
 
 
 
texte et traduction de la Sourate :
 
Le premier verset de cette Sourate introduit d’ailleurs Allah sous la forme de l’objet initial, c’est à dire « Ton Seigneur » qui  » a tout créé » :
 

اقْرَأْ بِاسْمِ رَبِّكَ الَّذِي خَلَقَ

Lis au nom de ton Seigneur qui a tout créé

c’est au verset 2 que Waraqa Ibn Nawafal , l’inquiétant et pervers Gourou qui a créé le Coran :
 
enseigne à Mahomet l’existence du « morphisme nul », c’est à dire de ce que le Coran appelle « Al-‘alaq » et qui donne son titre à la première Sourate révélée, preuve de l’importance cruciale de cette notion:
 

Al-‘Alaq = le lien, l’adhérence

96.2.خَلَقَ الْإِنسَانَ مِنْ عَلَقٍ

96.2. qui a créé l’homme d’une adhérence !

Allah en tant qu’objet terminal n’est introduit qu’au verset 8 seulement :
 

  

96.8.إِنَّ إِلَى رَبِّكَ الرُّجْعَى

 

96.8. comme si tout n’était pas destiné à faire retour à ton Seigneur !

et seulement dans le but de couper court aux vélléités de rébellion et d’autonomie des « élèves » :

96.6. Et pourtant c’est cet homme-là qui devient rebelle

96.7. dès qu’il se sent en mesure de se suffire à lui-même,

aux versets précédents, le Gourou a placé son enseignement sous l’Autorité d’Allah :

96.3. Lis, car la bonté de ton Seigneur est infinie

96.4. C’est Lui qui a fait de la plume un moyen du savoir
 
La deuxième Sourate révélée, qui est la sourate 68, celle du Calame , prendra la suite et « mettra les points sur les i » comme on dit :
 
68.3. En vérité, une récompense sans reproche t’est réservée
 
cette « récompense » qui est réservée à Mahomet, c’est d’être le Prophète ultime d’Allah sur terre !
 
c’est là sa « situation » spéciale, son « morphisme nul » passant par Allah, l’objet nul, le plaçant dans un statut absolument sans égal !
 
voilà pourquoi, bien que l’Islam aille sans cesse répétant que Mahomet est un homme comme les autres (sinon on tomberait dans le paganisme et ses dieux incarnés, ou le christianisme et son Dieu fait Homme) il n’est quand même pas tout à fait pareil, et l’on s’expose à de « gros ennuis », pour dire le moins, à le critiquer, même aujourd’hui !
 
Waraqa n’insiste pas dans la première sourate 96, , ou juste autant qu’il est strictement besoin, sur Allah comme objet terminal, sur le « règne des Fins » : ces tribus encore ingorantes et plongées dans l’idolâtrie (à ses yeux) n’ent ont pas besoin, et seraient de toutes façons incapables de comprendre !
 
 

 

 

la dualité de l’Etre et de l’Un

le terme « toposophists », ou « toposophers », est en provenance des « working mathematicians » dans la théorie des catégories, il possède sans doute une nuance « humoristique »…

bien entendu je ne suis pas digne de délier le lacet de la chaussure de ces grands Travailleurs, héros de la pensée pure, mais je me risquerai ici à emprunter ce terme pour désigner une nouvelle « discipline », ou plutôt le projet d’une telle innovation, qui est en dehors du strict domaine mathématique (sinon ce blog serait sans aucun intérêt, face aux centaines d’autres qui en restent à ce domaine), et vise à fonder une philosophie enfin entièrement « scientifique » et rigoureuse.

En un mot comme en cent : la toposophie consiste à utiliser la force-de-pensée (terme emprunté à François Laruelle) ou , disons,  la puissance de la pensée « solide » des mathématiques (et principalement de la théorie des topoi et des topoi supérieurs, ou n-topoi), pour fonder cette nouvelle et définitive philosophie, censée réaliser le vieux projet de Mathesis universalis cartésien et leibnizien, ou celui de « messianisme » de Wronski, en une union absolue de la science, de la philosophie et de la religion (appelée « christianisme de philosophes », et devant dépasser les logoi chrétiens et juifs en une fondation péremptoire de la Vérité sur la Terre, en une âme et un corps).

Donnons ici un premier exemple , très simple, dérivé presqu’ immédiatement des indications que j’ai données ici ou là sur l’essence fonctorielle de la loi de création de Wronski.

On sait que j’ai remplacé le vieux fatras métaphysique et « onto-théologique » de l’Etre et de l’Un par l’immanence duelle de deux orientations radicalement opposées de la pensée : selon l’Etre et selon l’Un.

J’ai aussi donné les références des travaux, extrêmement importants à mon sens, de Franck Jedrzejewski sur les diagrammes et les catégories :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/24/en-france-du-nouveau-franck-jedrzejewski-diagrammes-et-categories-these-et-introduction/

travaux de lecture assez « difficile » pour ceux qui ne sont pas habitués à la strict discipline du Mathème, de cette « mathématique sévère » qu’invoquait Lautréamont, mais pour lesquels nous avons heureusement une « introduction » en 6 pages très denses :

http://nessie-philo.com/Files/jedrzejewski_dcintro.pdf

notez la différence des attitudes entre les deux « femmes » qui tentent d’orienter l’Amoureux (aucun rapport avec la future ex-présidente de France et ses chansons niaises) de la Lame VI du Tarot : la femme de gauche est la mathématique sévère et austère, elle ne promet aucun vil plaisir, mais une joie continue et souveraine acquise au prix d’un travail très long et très dur : celle de droite invite l’Amoureux à  « se rendre dans une vile maison suspecte se plonger dans le bourbier des voluptés dangereuses » , pour reprendre les termes balzaciens des « Illusions perdues »…nul doute que si le Tarot était « moderne », il la représenterait seins nus, et la main tripotant l’Amoureux un peu plus bas!

Vénus des carrefours !

mais l’Amoureux (nous tous, et nous toutes, car le sexe perd sa prédominance dans le domaine de l’Esprit) est libre de choisir le sang, la sueur et les larmes, ou bien… d’autres fluides, ceux que le général Jack Ripper appelle « précieux fluides naturels » dans « Dr Strangelove » de Kubrick…

mais revenons aux topoi et aux Saintes catégories !

attachons nous ici aux deux derniers piliers de ce quadrilatère épistémique de Franck  Jedrzejewski, à savoir l’universalité et la dualité.

J’ai déjà indiqué la nature entièrement différente de l’universalisme de la pensée catégorique par rapport à celui, dérivant en matérialisme et communautarisme, de la pensée ensembliste :

http://leserpentvert.wordpress.com/universalisme-abstrait-ou-concret/

aussi me contenterai je ici de souligner la simplification et le clarification conceptuelle (sens auquel aurait dû se limiter l’Aufklärung) qu’apporte la théorie des catégories :

-la dualité consiste à inverser le sens des flèches dans une catégorie

– l’universalité (des constructions appelées « universelles » en théorie des catégories) c’est quand il n’y a qu’une seule flèche possible pour « boucler », ou « faire commuter », un diagramme.

Voir la thèse de Franck Jedrzejewski pour plus de précisions, ou bien ces liens :

http://ncatlab.org/nlab/show/universal+construction

http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

mais donnons dès maintenant un exemple qui servira par la suite à de nombreuses reprises : celle des notions catégoriques généralisant le produit (la multiplication des nombres) et la notion duale de coproduit, généralisant la somme (l’addition des nombres).

http://en.wikipedia.org/wiki/Product_(category_theory)

La figure suivante est un diagramme dont la « limite » donne le produit  :

Universal product of the product
 
et la flèche f  unique (à un isomorphisme près) en pointillé faisant « commuter » le diagramme est le produit des deux morphismes f1 et f2
 
La précision « à un isomorphisme près » est importante , c’est toujours le cas pour une construction universelle; rappelons qu’un isomorphisme est tout simplement une flèche inversible :
 
« Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h,

ce qui prouve en outre l’unicité de l’inverse »

la notion duale de celle du produit est le coproduit, qui appliqué aux nombres donne la somme, l’addition :

http://en.wikipedia.org/wiki/Coproduct

Coproduct-03.png
 
le produit est un exemple de la limite d’un diagramme, le coproduit un exemple de colimite :
 
signalons dès à présent une aporie entre ces notions modernes et la loi de création de Wronski appliquée aux mathématiques : selon lui, le produit est l’élément neutre, la somme et l’exponientiation sont EE et ES, or on attendrait que la somme soit duale du produit, et donc que l’exponentiation soit l’élément neutre EN
 
à creuser plus tard…
 
remarquons aussi que le terme, catégorique, de « problème universel » appartient à la terminologie de Wronski, où il désigne un objet de la loi de création…à creuser plus tard là aussi !
 

La thèse, cruciale à mon avis, de Franck Jedrzejewski, sur la dualité de l’Etre et de l’Un, prend alors selon le cadre de pensée que nous venons de définir, et qui s’appuie sur la « solidité » et la rigueur de la pensée mathématique tout en sortant du champ strictement mathématique, prend alors un sens très simple.

Nous avons défini les trois éléments primordiaux de Wronski : élément-être, élément-savoir et élément neutre comme une adjonction de foncteurs reliant deux « catégories » jouant le rôle de EE (élément-être) et ES (élément-savoir):

EE   ⇄  ES

Mais ceci n’est qu’une définition-projet, ou proposition hypothétique de définition ; nous pourrions aussi retenir tous les foncteurs entre les deux catégories.

La « pensée selon l’Un », par laquelle nous remplaçons, dans un cadre de stricte immanence, l’hénologie et l’Un « ineffable », cela consiste à retenir les foncteurs orientés de EE vers ES.

La « pensée selon l’Etre » cela consiste à inverser le sens des flèches (des foncteurs) et à ne garder que ceux orientés de ES vers EE.

Ces deux « pensées », qui remplacent pour nous les « ineffables » métaphysiques que sont l’Etre et l’Un, sont alors automatiquement duales au sens de la mathématique !

puisque la dualité, c’est quand on inverse le sens des flèches !

rappelons tout de même (deux précautions valent mieux qu’une) que nous sommes là sortis du champ mathématique : nous serions bien en peine de donner une définition mathématique des deux catégories EE et ES !

puisque ce sont là deux « éléments primitifs » au sens de Wronski, de nature transcendantale donc, et qui ne seront jamais « objets », mathématiques ou non…

mais le sens immanent de ces notions est clair :

penser selon l’Etre, c’est s’orienter de ES vers EE, donc « descendre » des niveaux « plus unifiés » vers le niveau (impensable) de la multiplicité dite « pure », ou « inconsistante ».

penser selon l’UN, c’est, au contraire, et en sens inverse (d’où notre vocabulaire mathématique-catégorique) , « monter » des niveaux « bas », pris dans le multiple, vers les niveaux « plus hauts », « supérieurs », plus unifiés.

Expliquer, donner du sens, de l’intelligibilité, c’est toujours résoudre une multiplicité en une unité (provisoire); analyser, c’est aller en sens inverse, résoudre une « unité » (apparente) en ses composantes, pour progresser en connaissances..

les deux mouvements sont nécessaires !

ceci rappelle évidemment l’interprétation que j’avais donnée, en termes disons plus poétiques (ou plutôt prosaïques) de l’Echelle de Jacob :

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-suave_mari_magno-1121061.html

http://www.blogg.org/blog-30140-billet-le_second_degre_de_l_echelle_de_jacob___amour_universel-1121364.html

mais je préfère laisser la parole aux vrais poètes, à Lamartine et à cette immense chef d’oeuvre qu’est « La chute d’un ange » :

http://fr.wikisource.org/wiki/La_Chute_d%E2%80%99un_Ange

et à la fin, d’une beauté terrible (15 ème vision) :

A l’immobilité de ce funèbre groupe
Il reconnut la mort ! et, renversant la coupe,
Il regarda couler sa vie avec cette eau,
Comme un désespéré son sang sous le couteau !
Puis, se roulant aux pieds des êtres qu’il adore,
Et frappant de ses poings sa poitrine sonore,
Pour courir autour d’eux bientôt se relevant,
Tel qu’un taureau qui fait de la poussière au vent,
Il ramassait du sable en sa main indignée ;
Et contre un ciel d’airain le lançant à poignée,
Comme l’insulte au front que l’on veut offenser,
Il eût voulu tenir son cœur pour le lancer !

« O terre ! criait-il, ô marâtre de l’homme !
Sois maudite à jamais dans le nom qui te nomme !
Dans tout brin de ton sable, et tout brin de gazon
D’où la vie et l’esprit sortent comme un poison !
Dans la séve de mort qui sous ta peau circule,
Dans l’onde qui t’abreuve et le feu qui te brûle,
Dans l’air empoisonné que tu fais respirer
A l’être, ton jouet, qui naît pour expirer !
Dans ses os, dans sa chair, dans son sang, dans sa fibre,
Où le sens du supplice est le seul sens qui vibre !
Où de tout cœur humain les palpitations
Ne sont de la douleur que les pulsations !
Où l’homme, cet enfant d’outrageante ironie,
Ne mesure son temps que par son agonie !
Où ce souffle animé, qui s’exhale un moment,
Ne se connaît esprit qu’à son gémissement !
Tout être que de toi l’inconnu fait éclore .
Gémit en t’arrivant, en s’en allant t’abhorre !
Nul homme ne se lève un jour de son séant
Que pour frapper du pied et pleurer le néant !
Que maudite à jamais, qu’à jamais effacée,
Soit l’heure lamentable où je t’ai traversée !
Que ta fange m’oublie et ne conserve pas
Une heure seulement la trace de mes pas !
Que le vent, qui te touche à regret de ses ailes,
De nos corps consumés disperse les parcelles !
Que sur ta face, ô terre ! il ne reste de moi
Que l’imprécation que je jette sur toi ! »

Pour unique réponse à son mortel délire,
L’air muet retentit d’un long éclat de rire.
Derrière un monticule il vit de près surgir
Les fronts de cinq géants et du traître Stagyr.
« Meurs, lui crièrent-ils, vile brute aux traits d’ange !
Ta force nous vainquit, mais la fourbe nous venge.
Laissons cette pâture aux chacals des déserts ;
Sa mort nous laisse dieux, et l’homme attend nos fers ! »
Ils dirent ; et tournant le dos, ils disparurent,
Et leurs voix par degrés sur le désert moururent.

Cédar, dont leur mépris fut le dernier adieu,
A cet excès d’horreur se dressa contre Dieu.
Tout l’univers tourna dans sa tête insensée ;
Il n’eut plus qu’une soif, un but, une pensée :
Anéantir son cœur et le jeter au vent.
Comme un gladiateur blessé se relevant,
Il cueillit sur les flancs arides des collines
Une immense moisson de ronces et d’épines
Autour du groupe mort où son pied les roula,
En bûcher circulaire il les accumula ;
Puis, prenant dans ses bras ses enfants et sa femme,
Ces trois morts sur le cœur, il attendit la flamme.

La flamme, en serpentant dans l’énorme foyer
Que le vent du désert fit bientôt ondoyer,
Comme une mer qui monte au naufrage animée,
L’ensevelit vivant sous des flots de fumée.
L’édifice de feu par degrés s’affaissa.
Du ciel sur cette flamme un esprit s’abaissa,
Et d’une aile irritée éparpillant la cendre :
« Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
Et ton crime d’amour ne peut être expié.
Qu’après que cette cendre aux quatre vents semée,
Par le temps réunie et par Dieu ranimée,
Pour faire à ton esprit de nouveaux vêtements
Aura repris ton corps à tous les éléments,
Et, prêtant à ton âme une enveloppe neuve,
Renouvelé neuf fois ta vie et ton épreuve ;
A moins que le pardon, justice de l’amour.
Ne descende vivant dans ce mortel séjour ! »

L’ouragan, à ces mots se levant sur la plaine,
Souffla sur le bûcher de toute son haleine,
Et dispersa la cendre en pâles tourbillons,
Comme un semeur, l’hiver, la semence aux sillons.
L’immobile désert sentit frémir sa poudre,
L’occident se couvrit de menace et de foudre ;
Des nuages pesants, pleins de tonnerre et d’eau,
Posèrent sur les monts comme un sombre fardeau ;
L’homme, le front levé vers la céleste voûte,
Du déluge sentit une première goutte.

 
voici le double mouvement :
Va ! descends, cria-t-il, toi qui voulus descendre !
Mesure, esprit tombé, ta chute et ton remord !
Dis le goût de la vie et celui de la mort !
Tu ne remonteras au ciel qui te vit naître
Que par les cent degrés de l’échelle de l’être,
Et chacun en montant te brûlera le pied ;
 
l’épilogue qui vient juste après, et clôture le livre, a l’apparence et la nature d’une retombée :
« Et le vieillard finit en disant : « Gloire à Dieu !
Dieu, seul commencement, seule fin, seul milieu,
Seule explication du ciel et de la terre,
Seule clef de l’esprit pour ouvrir tout mystère ! »
Il étendit la main pour l’invoquer sur nous !
Nous pliâmes, contrits, nos fronts et nos genoux ;
Comme un homme qui craint de renverser un vase,
Nous sortîmes muets de l’antre de l’extase.
Le navire aux mâts nus, endormi sur les flots,
A l’ombre du Liban berçait nos matelots.
Sous la vergue où le câble avait roulé les voiles,
L’hirondelle du bord en becquetait les toiles.
Le sifflet réveilla le pilote dormant,
Et le vaisseau reprit son sillage écumant »
 
 
 

 

Badiou : ensembles, actuel, topoi, virtuel, ontologie et logique

Dans mon ancien blog je m’étais livré à une violente critique de la pensée politique  de Badiou, je ne le regrette pas mais il vaut mieux entrer dans ce gouffre sans fond par la porte principale : la philosophie mathématique…or je n’avais pas encore à ma disposition les séminaires qui sont ici :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/seminaire.htm

la plupart disponibles en notes, résumées certes mais très claires selon mes premières impressions.

(re) commençons donc le travail de Sisyphe de l’antibadiousisme primaire à partir du séminaire de 93-94 sur les catégories :

« Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse.

Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.[1]

La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation.

La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers.

La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur.

On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure.

En continuant la métaphore, on pourrait dire que la théorie des topos est une investigation du concept d’univers, donc une théorie des univers, tandis que la théorie des ensembles est une création d’univers, ce n’est pas une théorie d’univers -on peut même dire qu’elle n’a pas de concept d’univers -, mais une effectuation d’univers.

Ce point donne lieu à une confusion parce qu’il donne lieu à deux débats, en réalité différents, mais souvent confondus :

1) Est-ce que la mathématique est une théorie des possibles, ou est-ce qu’elle est une création d’univers ? Est-elle une investigation formelle des possibles, ou l’investigation d’un univers constitué ?

Vision logique et formaliste d’un côté, vision réaliste et intuitive de l’autre.

2) La théorie des ensembles est-elle le meilleur univers possible, au sens où Leibniz dit que le monde existant est le meilleur possible. Quelle est la proximité de la mathématique et de la logique ?

Dans les controverses, ces deux questions sont souvent mélangées. La thèse dans laquelle nous sommes est la suivante : il n’y a pas d’unité de plans. Elle se donne dans un critère très simple : la théorie des catégories est une pensée définitionnelle ; elle décrit, par définitions, les traits constitutifs de ce que c’est qu’un univers possible. Une définition ne décide rien, c’est un opérateur d’identification, qui ne décide rien quant à l’existence. La théorie des ensembles repose toute entière sur des axiomes qui, eux, décident quant à des existences.

Quels sont, dans une tentative pour penser l’être en tant qu’être, les rapports entre le possible et l’effectif ? Aussi bien le virtuel et l’actuel. C’est une question essentielle de toute l’histoire de la philosophie. Une des caractéristiques de la théorie des ensembles est qu’elle est entièrement dans l’actuel ; il n’y a pas de virtuel en elle.

La théorie platonicienne des Idées est une doctrine de l’actuel. La pensée est sous condition de l’existence en acte des Idées.

Dans le dispositif aristotélicien, ce qui est, la substance, est dans un rapport de la puissance et de l’acte. Il finit par y avoir un acte pur qui est dieu. Mais ce qu’il y a, c’est la réalisation de son acte immanent existant en puissance.

Deleuze est la plus forte pensée contemporaine de l’être comme actualisation. L’essence de l’être est le virtuel et pas l’actuel, pour Deleuze. Le cahot est la virtualité anarchique pure. Donc, tout est actualisation.

Dans ma pensée, il n’y a pas de virtuel. Le possible est lui-même une projection de l’actuel »

ce « factuellement » m’ennuie fortement : la théorie des topoi n’est certes pas une alternative, mais un dépassement, tout autant qu’une perfection de la théorie des ensembles; il n’y a certes plus concurrence entre les deux, et là je préfère m’adresser au « working mathematician » qu’au philosophe !

La théorie des catégories est à la théorie des ensembles dans la même situation, ou relation, que la philosophie idéaliste de Platon relativement au réalisme de la substance  d’Aristote .

« La théorie des ensembles est une création d’univers » : cette proposition délirante illustre bien la différence entre une pensée athée, qui veut se débarrasser de Dieu en attribuant ses « propriétés » les plus irrationnelles (celle de Créateur) à la pensée humaine, et une pensée « religieuse » (celle proposée ici) qui fait simplement descendre la sphère divine jusqu’à la sphère humaine : appelons « évènement » le contact et nous sommes badiousiens !

d’ailleurs il est à remarquer que le « progrès de la pensée » se fait par sauts et discontinuités !

Il est visible, voire évident, que la « pensée » de Badiou n’est pas véritablement scientifique, mais « contrainte » par sa haine implicite contre le christianisme , qui le pousse aussi à donner le change avec son « Saint Paul » (lui aussi « avance masqué » !)  ainsi qu’à prendre fait et cause pour l’islamisme en hurlant avec tous les autres « matons de Panurge » à l’islamophobie (il serait intéressant de savoir ce qu’il pense de Mohammed Merah !).

Cela l’entraîne dans les grosses bourdes comme celle ci :

« La théorie des ensembles est une option ontologique. Cette option ontologique, en dépit du fait qu’elle soit souvent appelée platonicienne, est en réalité une option d’un matérialisme absolu, démocritéen, ou lucrétien, ou épicurien. Quels en sont les traits ?

– L’un n’existe pas. Donc, il n’y a pas de principe, pas de transcendance. Il y a un étalement multiple qui n’est jamais subsumable sous une figure canonique de l’un. Le multiple est toujours multiple de multiples. Donc le il y a pur est simplement dans la forme de la multiplicité. C’est un dispositif radicalement soustrait à l’univers appelé l’onto-théologie par Heidegger, dispositif historial de la métaphysique. »

seulement l’ontologie ne se libèrera jamais du dispositif onto-théologique, théorie des ensembles ou pas, et surtout, l’Un n’est pas un « principe de transcendance » mais d’immanence radicale !

C’est l’ Etre qui est « principe de transcendance » !

la non-philosophie de Laruelle s’expose depuis une pensée de l’immanence de « l’ un-en-tant-qu’un » , mais c’est évidemment Brunschvicg, le « dernier » philosophe français universel, qu’il faut lire pour comprendre la véritable nature du spiritualisme et de l’idéalisme, consistant à remplacer la Transcendance pour l’intériorité et l’immanence de l’esprit.

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/vraie_et_fausse_conversion.html

« Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. En dépit de l’adage, ens et unum non convertuntur. Il est manifeste, en effet, que le, type des « jugements de relation, » : l’Un est un, est orienté à l’inverse exactement du type des « jugements d’existence » : l’Un est. Les deux types de jugement, sous la forme d’absolu où Platon les considère, se détruisent, non pas par leur opposition réciproque seulement, mais aussi chacun pour soi : « L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un  »

…Or, si c’est un premier fait que l’impulsion a été donnée au progrès du rationalisme par la réflexion platonicienne quand elle a opposé, au sein même du monisme de Parménide, le réalisme de l’être et l’idéalisme de l’un, il y a un second fait qui lui est parallèle. Quand on considère les doctrines issues du Verbe héraclitéen on s’aperçoit que si elles ont, elles aussi posé sur son terrain véritable ce même problème de l’intelligence humaine, c’est qu’une lutte séculaire s’est engagée, à leur intérieur même, entre la spiritualité pure de la pensée et la matérialité des expressions théologiques ou métaphysiques qui, successivement, l’ont incarnée avec l’illusion de lui conférer une apparence d’être. Dans l’histoire de la philosophie occidentale, rien n’est significatif à cet égard, comme l’exégèse stoïcienne de la mythologie, particulièrement en ce qui concerne la fonction médiatrice d’Hermès dans son double personnage de Verbe intime et de Verbe proféré.  »

seulement Badiou et ses « disciples », comme François Nicolas, quelle que soit leur valeur humaine qui est indéniable, s’enferment délibérément dans une rupture avec le « vieil idéalisme » au moyen d’un matérialisme qui serait enfin le bon , nouvel avatar d’un (pseudo)  messianisme qui rompt enfin les chaînes (religieuses) :
 
« La thèse que je voudrais soutenir est que ce livre très singulier peut aider le musicien à inscrire son propos dans une orientation matérialiste renouvelée de la pensée, plus précisément dans ce que je proposerai ici d’appeler un matérialisme de type nouveau.

I.1.a       Lutte sur deux fronts

Comme on va le voir, ce matérialisme philosophique de type nouveau se constitue et se déploie dans une lutte sur deux fronts : en opposition certes au vieil idéalisme (moribond, en vérité, si ce n’est déjà mort: Badiou soutient cette thèse, dans ses interventions plus récentes. Il faut alors entendre son énoncé « L’idéalisme est mort » au sens de l’énoncé nietzschéen « Dieu est mort » ou de l’énoncé hégélien « l’art est mort » : même s’il en existe toujours des survivances, celles-ci ne sont plus à même d’orienter la pensée de manière créatrice )  mais surtout à un matérialisme (que Badiou appelle « démocratique ») qui est hégémonique et obscurcit aujourd’hui la pensée.

Soit la conviction suivante : les Lumières d’aujourd’hui, celles du XXI° siècle, n’ont plus tant pour adversaire déterminé le vieil idéalisme religieux qu’un obscurantisme de type désormais matérialiste interdisant toute Idée véritable au nom du règne sans partage des corps et des langages. »

sur deux fronts ? diable, je m’inquiète, est ce que cela ne rappelle pas la stratégie hitlérienne, qui s’est terminée de manière catastrophique (pour lui ) ? mais il est vrai que le vieil idéalisme est mort et enterré, alors que Staline en 1943…

« Pourquoi proposer d’inscrire le propos du musicien dans une telle nouvelle orientation matérialiste ?

Parce que l’intellectualité musicale, de longue date (très exactement depuis sa constitution avec Rameau, précisément à l’époque des Lumières) lutte contre son propre obscurantisme, celui du vieil idéalisme qui focalise et oriente le discours traditionnel sur la musique. Cet idéalisme le réalise d’une part en présentant la musique comme esprit immatériel et ineffable, venant transir d’infini notre sol étriqué et notre cœur fermé, et d’autre part en thématisant le discours possible sur une telle musique comme commentaire dévot et prêche célébrant le médiateur musicien, au total en exaltant la puissance religieuse de la musique … Contre cet obscurantisme, venant interdire de parler de musique autrement que comme émotion pieuse et communication ineffable, l’intellectualité musicale a constitué ses propres opérations : théoriques (voir Rameau), critiques (voir Schumann) et esthétiques (voir Wagner). »

comme on le voit ici, l’idéologie anti-chrétienne saute aux yeux : seulement l’idéalisme brunschvicgien aboutissement du cartésien, et mutation du platonicien, sort du christianisme par le haut, à travers un « christianisme de philosophes »…

les séminaires de Badiou sur les topoi et les catégories

J’avais mis sur le blog les textes de ces séminaires sur Scribd, mais cela ralentissait considérablement la lecture du blog, or ils existent aussi ailleurs, voici les liens :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

seul celui de 94-95 n’est que sur Scribd :

http://www.scribd.com/doc/78652142/Theorie-des-topos-1994-1995

puis :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/95-96.htm

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/96-97.2.htm

on peut y ajouter cette thèse :

http://nessie-philo.com/Files/these_fj.pdf

et ces articles :

http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch1topos.pdf

http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/8/pdf/smf_rhm_8_113-140.pdf

http://rene.guitart.pagesperso-orange.fr/textespreprints/guitart08modelcat.pdf

La (seule) vraie religion

J’ai déjà parlé du livre de Brunschvicg :

« Introduction à la vie de l’esprit »

qui est un ouvrage de jeunesse (je crois qu’il date de 1900) et qui vient d’être réédité chez Hermann.

Il n’est pas lisible sur Internet, c’est l’un des seuls, avec aussi « L’esprit européen », cette série bouleversante de leçons donnée à la Sorbonne de l’automne 1939 à Mars 1940, pendant la période de la « drôle de guerre ».

je ne puis résister à l’idée de m’attarder encore sur ces lignes magnifiques , étonnantes et semblant incompréhensibles, voire scandaleuses,  pour un contemporain, lignes qui constituent la fin de l’introduction à la vie de l’esprit…

« l’univers est bon, absolument bon, du moment que nous savons le comprendre; car nous sommes maîtres de n’y voir que ce qui s’unit à nous »

première perplexité !

car qui pourrait se vanter de « comprendre l’univers » ?

pas les physiciens en tout cas, comme Smolin pour qui « rien ne va plus en physique« , ou Feynman qui déclare :

« si vous avez compris quelque chose à la mécanique quantique, c’est que vous n’avez rien compris à la mécanique quantique »

c’est sans doute pour cela que nous avons du mal à trouver bon l’univers, cet univers absurde qui nous « écrase » de son immensité sans bornes.

Mais Brunschvicg voulait parler de la recherche de la vérité comme tâche et effort infini vers un idéal qui ne sera jamais atteint dans le temps de l’histoire.

« Il n’y aura pas d’épiphanie de la vérité » déclare Badiou…

Il n’y a qu’une progression infinie  vers la vérité qui est Dieu (comme le dit Spinoza dans le « Court traité ») , progression de la conscience de l’humanité, et la théorie des topoi dont j’ai commencé ici l’étude en est un bon exemple, car elle est en train de bouleverser complètement la physique, témoin ce livre formidable qui est en lecture partielle sur Google :

Deep beauty : understanding the quantum world through mathematical

 innovation

http://books.google.fr/books?id=s1dZ1vskM94C&pg=PA237&lpg=PA237&dq=deep+beauty+topos+quantum&source=bl&ots=hWFi8o7sW9&sig=Kh7BUizH4DRwunvGSZgefhRd15I&hl=fr&sa=X&ei=EFuRT77qE9T08QO3yMnCBA&sqi=2&ved=0CDUQ6AEwAA#v=onepage&q=deep%20beauty%20topos%20quantum&f=false

ainsi la théorie des topoi est en train de faire mentir Feynman dans sa tombe !

on ne pourra pas indéfiniment « casser » la matière dans des accélérateurs de particules à des échelles de plus en plus petites, car cela réclame des énergies de plus en plus grandes, et l’actuel LHC, dans lequel les scientifiques placent de grands espoirs, représente peut être la limite de cette « progression » vers l’infiniment petit..

par contre on pourra toujours progresser dans les disciplines purement rationnelles : mathématique , et philosophie enfin scientifique depuis qu’elle peut se doter de ce merveilleux instrument d’investigation des idées, sans passer par le langage « commun » soumis aux illusions perceptives anthropomorphiques, qu’est la théorie des catégories.

Cette philosophie du futur qui commence à se dessiner , nous l’appelons ici mathesis universalis.

Mais revenons au texte de Brunschvicg :

« il n’est pas au pouvoir de la souffrance physique ou de la douleur individuelle d’usurper sur l’esprit »

là encore affirmation qui semble scandaleuse de nos jours, mais dont une démonstration a été donnée par Brunschvicg lui même dans les dernières années de sa vie, de 1940 à 1944, passées dans la clandestinité :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/le-destin-dun-philosophe-sous-loccupation/

et aussi par des philosophes comme Lavelle qui ont affronté dignement les horreurs de la guerre de 14-18 (sans cependant aimer « notre mère la guerre » comme Ernst Jünger).

« Rien ne peut interdire à l’intelligence de rencontrer dans le monde uniquement ce qui est fait pour elle, la loi d’où naît la vérité. Il n’y a pas d’évènement quelqu’inattendu qu’il soit , quelque contraire à nos tendances personnelles, qui ne serve à enrichir le domaine de notre connaissance.

Nous n’avons à redouter d’autre ennemi que l’erreur; et l’erreur, si nous savons l’avouer avec sincérité et nous en délivrer scrupuleusement, ne fait qu’augmenter le prix de la vérité définitvement possédée.

Rien ne peut empêcher la volonté de rencontrer dans le monde uniquement ce qu’elle cherche, l’occasion de se dévouer à l’intérêt supérieur de l’humanité; elle n’a rien  à craindre, hors ses propres défaillances. »

se dévouer à l’intérêt supérieur de l’humanité, ce n’est pas déclencher l’intervention militaire de l’OTAN contre un dictateur monstrueux (certes !) mais avec les retombées que l’on voit actuellement en Lybie (les islamistes, les armes partout, la Shari’a, les menaces de guerre civile).

C’est plutôt participer à la recherche de la vérité, par exemple en travaillant à la théorie des topoi…

« Les obstacles qu’on dresse devant nous, les haines qui nous sont manifestées, ne servent qu’à purifier et à approfondir notre amour des hommes »

Brunschvicg faisait sans doute allusion, en parlant de ces « haines », à l’affaire Dreyfus, encore toute « fraîche » en 1900. Il ne pouvait pas savoir qu’il devrait affronter ces mêmes haines en 1940 avec l’arrivées des nazis, et qu’il serait chassé de son bel appartement parisien, que sa belle bibliothèque serait pillée…

« Une fois que nous avons rempli l’univers de notre esprit.. »

(à la fin des temps, qui par définition ne se situe pas dans le temps historique)

« il est incapable de nous rien renvoyer si ce n’est la joie et le progrès de l’esprit.

Et dés lors, ce que nous avons dit de l’univers, il faut le dire aussi de la vie.

La vie est bonne absolument bonne, du moment que nous avons su l’élever au dessus de toute atteinte, au dessus de la fragilité, au dessus de la mort.

La vraie religion est le renoncement à la mort;

elle fait que rien ne passe et rien ne meurt pour nous, pas même ceux que nous aimons; car de toute chose, de tout être qui apparaît et qui semble disparaître, elle dégage l’idéal d’unité et de perfection spirituelle, et pour toujours elle lui donne un asile dans notre âme »

Gabriel Marcel ne prenait pas au sérieux ces lignes, lors d’un colloque où Brunschvicg lui avait suggéré que « Mr Brunschvicg accorde sans doute beaucoup moins d’importance à sa propre mort que Mr Gabriel Marcel », il avait répondu du tac au tac :

« et la mort de Mme Brunschvicg ? »

Il est facile de se méprendre sur le sens de ces phrases.

Le fait que « rien ne passe, de ce qui semble disparaître  » ne doit pas être conçu comme une survie « après » la mort comme dans les religions populaires.

Dégager l’idéal d’unité et de perfection spirituelle, c’est tout simplement accéder à la « pensée selon l’un », qui n’est pas « naturelle », aussi cela réclame un effort gigantesque !

J’ai moi même été confronté, de juin 2008 à novembre 2011, au déclin et au décès de mon père, dont je me suis occupé jusqu’à la fin.

Je comprends maintenant que si je crois avoir compris ces lignes, alors je n’y ai rien compris.

Oui, j’ai été confronté directement, sans bouclier, sans intermédiaire « religieux ou culturel » à l’indicible, au temps « qui gagne comme le feu dans l’herbe » selon les paroles de Jaccottet dans ce livre qui m’a depuis toujours tellement obsédé:

L’obscurité

http://mathesis.blogg.org/date-2009-12-29-billet-1128011.html

http://mathesis.blogg.org/date-2009-12-30-billet-1128436.html

http://mathesis.blogg.org/date-2009-12-31-billet-1128887.html

et je ne me paierai pas d’illusions : non, je n’ai pas renoncé à la mort parce que je suis encore plongé au beau milieu de la « pensée selon l’être », otage du temps qui nous précipite vers le néant, et dont Sartre donne une image saisissante, celle d’un train qui fonce dans la nuit sans que personne ne puisse le freiner, à la fin de « La mort dans l’âme », dernier roman de sa trilogie « Les chemins de la liberté ».

Lors de l’enterrement de mon père, alors que nous étions tous en rang devant le caveau ouvert où étaient les cercueils de la « famille », celui de ma mère notamment, j’ai pu assister à ce qu’est le délire de la religion populaire, sous sa forme islamique.

Une personne qui m’est très proche est marié à une musulmane, et comme nous étions tous penchés sue le caveau, sur le néant, elle « réconfortait »  son mari, et pensait elle moi même, en lui faisant part de ce qu’elle « voyait » derrière l’étoffe de la réalité prosaîque :

« sa femme, votre mère est là qui l’attend, ils sont de nouveau ensemble pour l’éternité, une éternité de joie au paradis »

etc..etc.. on connaît la chanson !

non, je n’ai pas renoncé à la mort mais je refuse de me conforter de pieuses illusions: l’asile dont parle Brunschvicg, il n’est pas un prétendu « paradis après la mort », il est notre âme remémorante !

et je suis persuadé que mon père est plutôt dans ces « souvenirs » que je garde de lui, ceux qui sont dignes d’être conservés, car ils se rapprochent de « cet idéal d’unité et de perfection spirituelle », dont le dernier que je garde est le plus bouleversant, c’était à l’hopital, quelques jours avant la fin…je trouvai mon père les cheveux en désordre, personne ne s’en était soucié avant ma venue, mais je savais qu’il n’aimait pas être ainsi décoiffé.

 aussi trouvai je un peigne, et lui arrangeai les cheveux…

il ne pouvait plus parler, mais le regard de remerciement et de joie qu’il m’adressa ne pouvait pas être trompeur : avec ce geste si simple, j’ en ai plus fait pour le réconforter que tout ce que j’avais fait les mois précédents.

Et je sais qu’il est là, d’une présence spirituelle, dans ce simple souvenir; la présence physique, en face à face, incarnée, n’est souvent qu’une absence , un dialogue de sourds !

mais je termine avec la fin du livre de Brunschvicg :

« alors, vivant dans notre idéal, et nous en entretenant avec nous mêmes, nous connaissons le sentiment de sécurité profonde, et de repos intime qui est l’essence du sentiment religieux, et qui n’est autre que la pureté absolue de l’esprit »

ces mots m’évoquent irrésistiblement les vers de Gottfried Benn que j’ai recopiés ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/18/un-hymne/

 »

« déblayer les taupinières

quand les nains veulent se grandir,

se mettre à table avec soi-même

indivisible

et pouvoir faire aussi cadeau de la victoire »

et je ne puis que conclure avec lui :

un hymne à un tel homme

 

la catégorie des ensembles : premier exemple d’un topos

La théorie des topoi (pour les hellénistes, dont je me piquais de faire partie du temps de mes études) , qui est maintenant le nouveau cadre fondationnel pour les mathématiques (après la théorie des ensembles qui jouait ce rôle dans les années 60) est le plus souvent présentée comme une généralisation ou une « abstraction » de la théorie des ensembles, et la notion de topos est résumée comme :

une catégorie qui se comporte « comme » la catégorie des ensembles

seulement il existe des manières de présenter les choses qui rendent un peu plus justice à la réalité : les topoi n’ont pas été inventés, ou « découverts », par Grothendieck et Lawvere dans le but de généraliser la théorie des ensembles !

Je dirais plutôt quant à moi que si le premier exemple de topos rencontré par l’homo mathematicus est  effectivement celui des ensembles, c’est à cause du fait que le « devenir-esprit » de l’humanité est orienté dans le sens d’un progrès de la conscience, de la nature, caractérisée par la multiplicité, vers l’esprit, caractérisé par l’unité.

Il n’est donc guère étonnant que la théorie des ensembles, qui est la théorie des multiplicités pures, sans structure ni ordre, soit trouvée en premier.

Cette « découverte » se situe d’ailleurs bien tardivement dans l’histoire de la mathématique, elle vient après celle des nombres entiers, puis des autres nombres, et leur manipulation dans les équations et systèmes d’équations, notions indiscutablement plus « concrètes ».

La notion de topos a à voir avec celle de vérité, à travers l’existence dans tout topos d’un objet-vérité (truth -object) Ω.

Agrémentée de ce que l’on appelle un « natural number object » (généralisant les nombres entiers) elle constitue un cadre de formalisation et de théorisation pour l’évolution moderne (toute récente) de la physique, voir :

http://www.blogg.org/blog-69347-billet-physique_et_theorie_des_topoi__physics__topos_and_category_theory_-716975.html

http://mathesis.blogg.org/date-2006-06-09-billet-368403.html

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/quantum-topos/

après ces éclaircissement partons donc de la catégorie des ensembles, notée le plus souvent Ens (dans les ouvrages français) ou Set (dans les livres en anglais).

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol9/jeanyves.pdf

Un ensemble est une catégorie où il n’y a pas de morphismes entre les objets, qui sont les éléments de l’ensemble (en fait, il y a toujours un morphisme, le morphisme identité, souvent identifié avec l’objet).

Prenons un exemple simple : j’ai avec moi une sacoche où il y a, mettons, trois livres; je peux toujours former le concept de l’ensemble de ces trois livres, même s’ils n’ont rien à voir entre eux, même si je ne lis que l’un d’entre eux et que les deux autres appartiennent à quelqu’un d’autre, qui les a oubliés chez moi.

Cet ensemble est donc la collection :

{ A , B , C } où l’on note A, B ,et C les trois livres en question.

si je veux considérer cet ensemble comme une catégorie, je pourrai introduire des morphismes identité sur chacun des trois objets, ou éléments, de cet ensemble:

Id_A : A —-> A   etc…

mais il n’y aura pas de morphismes reliant deux objets différents entre eux.

Maintenant la catégorie des ensembles possède comme objets les ensembles et comme morphismes reliant deux objets, deux ensembles X et Y, les fonctions, ou applications, entre ces ensembles .

Rappelons qu’une fonction f entre deux ensembles X et Y :

f : X ————–> Y

est un procédé qui à tout élément x appartenant à X associe un et un seul  élément  y = f (x) appartenant à l’ensemble Y

Il ne peut pas y avoir deux correspondants, sinon on n’a plus une fonction mais une correspondance (théorie très intéressante elle aussi).

Comme tout ensemble peut être considéré comme une catégorie, la catégorie des ensembles pourra être considérée comme une 2-catégorie. Une fonction entre ensembles sera alors un foncteur entre ces deux ensembles considérés comme catégories.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Là encore, il y a deux manières de comprendre l’évolution : soit les foncteurs seront considérés comme des « généralisations » de la notion de fonction, soit les fonctions seront considérées comme la première « rencontre » de nos mathématiques en train de se développer avec une notion bien plus englobante, et qui contient les fonctions comme un cas particulier simple.

L’intérêt de la catégorie des ensembles est que l’on y  rencontre ainsi tous, ou beaucoup  des concepts les plus usuels de la théorie des catégories.

ainsi une application, ou fonction, entre les ensembles X et Y  est dite injective si un élément de Y n’a qu’un seul « prédecesseur » (quand il en a un).

Il ne peut arriver que deux éléments de X soient envoyés sur le même élément de Y.

une application est dite surjective lorsque tout élément de Y a un (ou plusieurs) prédecesseurs.

Une application est dite bijective quand elle est à la fois injective et surjective.

Ces notions sont présentes en théorie des catégories : les fonctions injectives deviennent les monomorphismes, les applications surjectives sont les épimorphismes, et les applications bijectives les isomorphismes.

Mais la nouveauté radicale, qui est la principale caractéristique de la nouvelle théorie, est que ces notions n’ont plus besoin d’être expliquées en recourant aux éléments, mais seulement à des diagrammes.

Attardons nous un peu là dessus, car cela permet de comprendre pas mal de choses.

Un monomorphisme est un morphisme qui est « simplifiable à gauche » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Monomorphisme

Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé mono) est un morphisme simplifiable à gauche, c’est-à-dire une application f\colon X \to Y telle que

f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2 pour tout morphisme g_1, g_2 \colon Z \to X.
Monomorphism-01.png

La notion duale est celle d’épimorphisme , qui sont la version catégorique des applications surjectives ensemblistes.

Ici s’introduit la notion de dualité, extrêmement importante : la catégorie duale d’une catégorie C est obtenue en reversant le sens des flèches (morphismes).

À partir d’une catégorie \mathcal C, on peut définir une autre catégorie \mathcal C^{op} (ou \mathcal C ^ o), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément : Hom_{\mathcal C^{op}}(A,B)=Hom_{\mathcal C}(B,A), et la composition de deux flèches opposées est l’opposée de leur composition :

f^{op}\circ g^{op}=(g\circ f)^{op}

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : (\mathcal C^{op})^{op}=\mathcal C.

Un isomorphisme , version catégorique des bijections ensemblistes, est simplement un morphisme qui possède un inverse :

Dans une catégorie C, un isomorphisme est un morphisme f:A\to B tel qu’il existe un morphisme g:B\to A qui soit « inverse » de f à la fois à gauche (g\circ f=\mathrm{id}_A) et à droite (f\circ g=\mathrm{id}_B).

Il suffit pour cela que f possède d’une part un « inverse à gauche » g et d’autre part un « inverse à droite » h. En effet, on a alors

g=g\circ\mathrm{id}_B=g\circ(f\circ h)=(g\circ f)\circ h=\mathrm{id}_A\circ h=h