On tente de suivre ici les travaux qui utilisent la théorie des topoi (qui sont des catégories « généralisant » (??) la catégorie des ensembles) pour résoudre les problèmes liés à la gravité quantique, c’est à dire, très vaguement, l’unification entre la relativité générale, théorie de la gravité et de l’espace temps, qui traite la « matière » classiquement et l’espace temps dynamiquement (= « background independence ») et la physique quantique, qui porte sur les autres interactions, et traite l’espace temps comme une structure fixe.
Les principaux chercheurs publiant en ce domaine sont : Isham, Butterfield, Doering, Spitters…
On trouve des informations sur plusieurs blogs, dont notamment :
n-category cafe :
http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/04/algebraic_quantum_mechanics_an.html
(article qui présente les versions révisées de deux travaux importants sur la physique quantique dans les topoi)
topos physics : http://topos-physics.org/topos-and-logic
Page de définition de « QUANTUM TOPOS » sur Planet math :
http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumTopos.html
voir aussi cette page sur « quantum logic » qui fait le lien avec notre autre article sur les formalismes de Von Neumann (créateur de la logique quantique avec Birkhoff en 1936):
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=QuantumLogic
un article de Doering : http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0712/0712.4003v1.pdf « Topos theory and neo-realist quantum theory »
Un bon rappel théorique mathématique consiste en « Topos theory in a nutshell » sur le blog de John Baez :
http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html
et pour un rappel sur les algèbres d’opérateurs en physique quantique :
http://planetphysics.org/encyclopedia/HopfAlgebra3.html
The principle of general tovariance
http://www.math.ist.utl.pt/~xvi-iwgp/talks/KLandsman.pdf
Ainsi le principe de covariance cher à la relativité devient le principe de « tovariance » de la « toposophie » !
L’extrait en page 1 de l’article du livre de Disalle « Understanding space-time » est tout à fait louable et mérite d’être souligné, en ces temps de « tout à l’économique et à la profitabilité technicienne », et d’oubli concomitant de la réflexion méditante:
« These are the times at which philosophical analysis has become an unavoidable task of physics itself »
Ces « temps » sont notre époque. Et la mention de Smolin et de son livre « Three roads to quantum gravity » à la page suivante est tout à fait appropriée.
Smolin, ce grand physicien, qui demande dans son article sur l’héritage d’Einstein : « where are the Einsteinians ? »:
http://www.logosjournal.com/issue_4.3/smolin.htm
faisant ainsi allusion à l’obsession d’Einstein pour la réflexion sur les grands problèmes philosophiques, dans la lignée de Spinoza, à son refus de tout compromis intellectuel et à son honnêteté sans failles envers la vérité (il avait rejeté tout autant sa propre relativité restreeinte, très tôt, que certains aspects et interprétations philosophiques de la physique quantique ). Et aussi, voir la fin de l’article, à la difficulté qu’ il y a à emprunter de nouveau le « chemin d’Einstein », dont la moindre n’est pas qu’il faille bien connaitre les théories récentes de la physique, y compris leur aspect mathématique.
Dans son livre récent « The trouble with physics » (« Rien ne va plus en physique »), Smolin fixe pour tâche aux physiciens de l’avenir de résoudre cinq grands problèmes, dont l’un porte sur les « fondements philosophiques de la physique quantique », et sa jonction avec la relativité en une théorie plus vaste.
Lire là dessus cet article du blog Philoscience:
http://philoscience.over-blog.com/article-6995523.html
Voici aussi un commentaire mesuré du livre de Smolin:
http://www.jp-petit.org/science/smolin/SmolinLivre.pdf
l’importance cruciale du livre de Smolin tient aussi à ce qu’il livre un diagnostic sans concession sur l’impasse de la physique des cordes, qui se traduit notamment par le fait qu’on ne décèle aucune avancée théorique depuis 25 ans (depuis la dernière grande avancée, celle du modèle standard des particules).
Même appréciation (est ce une coïncidence ?) dans le livre de Peter Woit, qui se présente lui même comme un mathématicien s’occupant de physique : « Not even wrong » (« Même pas fausse ») où la physique est renvoyée…dans ses cordes. Voir aussi son blog « Not even wrong » :
http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/
qui complète le livre (qui est d’ailleurs largement commenté).
Mais Smolin, dans « Trouble with physics », fait seulement de brèves allusions à la physique mathématique des catégories et topoi. Il plaide pour sa propre apporche, qui est celle de la gravité quantique à boucles (« loop quantum gravity »). Or entre les deux voies de la théorie des cordes et de la gravité quantique à boucles, il semble bien, c’est l’objet du petit article de Landsman, que la théorie des topoi représente une troisième voie… ce qui ne serait après tout pas surprenant, puisque les topoi offrent tous un cadre pour la logique intuitionniste, où le « tiers exclus » est….exclus .
Les topoi offrent à la fois une généralisation au cadre conceptuel ensembliste, puisque ce sont en gros des catégories où l’on peut faire toutes les manipulations usuelles de la catégorie Ens des ensembles (produit cartésien, exponentiation, ensemble des parties, etc…), et un cadre idoine pour penser plus profondément les bases logiques de la physique et des mathématiques (ce qui correspond au plus important des problèmes de Smolin, celui des fondements de la physique quantique…on sait que Feynman disait que « si vous comprenez quelque chose à la physique quantique, c’est que vous ne comprenez rien à la physique quantique » …encore vaut il mieux affirmer cela que de dire comme Godard je crois : « si vous avez compris quelque chose à ce que je dis, c’est que je me suis mal exprimé »).
Les topoi permettent aussi de « relativiser » voire supprimer la « tension » entre commutativité (de la physique classique) et non-commutatitivté quantique , dans un sens bien précis que l’on va expliquer ici….
à lire aussi à propos de cet article :
http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/12/the_principle_of_general_tovar.html
A noter que le papier « Principle of general tovariance » commenté sur le blog « n category cafe » est une version légèrement différente de celle donnée ici, et plus complète :
http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/tovariance.pdf
Mais continuons avec notre version !
Principe de tovariance vs principe de covariance
le papier donne les définitions principales afférentes à la théorie des topoi, et des « morphismes géométriques » entre eux. On pourra trouver des informations plus complètes, quoiqu’aisées à lire, sur ce site :
http://topos-physics.org/topos
Le principe de tovariance s’énonce alors ainsi :
« Toute structure mathématique gouvernant les lois de la physique doit pouvoir être définie dans n’importe quel topos muni d’un objet des nombres naturels et doit être préservée par les morphismes géométriques »
Il répond au principe de covariance d’Einstein, qui mathématiquement correspond au cadre de la géométrie différentielle utilisé pour la relativité générale :
« les lois de la physiques doivent être covariantes pour des changements de coordonnées arbitraires »
Les structures préservées par les « morphismes géométriques » entre topoi sont celles qui sont définies :
– par des symboles logiques Λ en nombre fini, V en nombre arbitraire, T (true), F (false), E (quantificateur existentiel)
-par des axiomes de forme : (x) : Φ(x) → Ψ(x) (où (x) veut dire : quelque soit x)
On montre alors (Mulvey) que les C*-algèbres (et les algèbres de Von Neumann), qui constituent le cadre mathématique de la probabilité quantique (« quantum probability theory », voir notamment l’ouvrage classique de P A Meyer chez Springer lecture notes)) obéissent au principe de tovariance.
Ce qui conduit au « nouveau principe d’équivalence », qui vient remplacer celui d’Einstein et celui de Bohr :
« toute C*-algèbre d’observables est équivalente à une C*-algèbre commutative »
La construction d’une C* algèbre commutative à partir d’une algèbre quelconque par le procédé d’abelianisation est sommairement expliquée dans le papier, procédé impliqué dans la théorie générale de Mulvey étendant la théorie de Gelfand à un topos arbitraire, on en trouvera une version complète ici :
http://www.maths.sussex.ac.uk/Staff/CJM/research/CJMResearch.htm
autre version (« slides ») du principe de tovariance :
Principle of general tovariance (version « slides ») :
http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/tovariance.pdf
page 2 : principe de covariance (Einstein ) : les lois de la physique sont préservées par des transformations arbitraires de coordonnées
principe de tovariance : toute structure mathématique entrant dans l’ expression des lois de la physique doit être définissable dans un topos arbitraire, et préservée par les morphismes géométriques entre topoi.
ces deux principes n’ont pas de contenu physique : ils se bornent à identifier les langages mathématiques de la physique ( géométrie différentielle pour la relativité générale, théorie des topoi pour la mécanique quantique « algébrique », et en fait pour toute la physique, voir Isham-Döring)
page 3 : l’article de Brunetti-Verch- Fredenhagen (2003) sur la QFT locale est ici :
http://arxiv.org/PS_cache/math-ph/pdf/0112/0112041v1.pdf
A noter aussi, sur la notion de covariance et de « background independence » (qui est cruciale pour les travaux en cours sur l’unification de la physique, comme le montre Smolin dans son dernier ouvrage), un article tout à fait intéressant de Domenico Giulini :
Et maintenant quelques menus travaux de musculation en vue de se préparer à l’étude du Magnum opus de Doering et Isham : « Topos theory in the foundations of physics » (en quatre articles , très denses, plus de 200 pages au total, d’une importance philosophique exceptionnelle) :
d’abord un talk où ils présentent leur travail de façon informelle et succincte (bonne préparation):
http://media.topos-physics.org/2007/11/11/Potsdam0710_Talk1_NoUncover.pdf
ensuite un article séminal d’Isham : « Some possible roles for topos theory in quantum theory and quantum gravity »
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910005
tous les travaux d’Isham :
http://biblioteca.universia.net/searchAutor.do?q=Isham%2C+C+J&start=0
après le talk et avant les 4 articles, sorte d’Himalaya, on peut poursuivre la préparation avec l’article de Tsatsos (104 pages quand même !) « Introduction to topos physics », qui est un résumé , mais moins sommaire que le talk, des 4 articles d’Isham-Doering :
http://arxiv.org/abs/0803.2361
et enfin le magnum opus d’Isham et Doering, les 4 articles synthétisés en un seul : « What is a thing ? » (leur vénération obsessionnelle pour Heidegger sautera vite aux yeux, et ne leur vaut pas que des amis dans le milieu scientifique, qui n’a pas oublié le célèbre aphorisme du grand Martin : « les sciences ne pensent pas »)…je rappelle aussi (voir article ici sur la servante thrace) qu’il a dit aussi que la question « Qu’est ce qu’une chose? », la même qu’Isham et Doering choisissent pour titrer leur travail, « est de celles qui provoquent l’hilarité des servantes »…
de là à conclure que l’ensemble des scientifiques est inclus dans celui des servantes, il y a un …saut que je ne m’aventurerai pas à faire !
http://arxiv.org/abs/0803.0417
pour ceux qui préfèrent la version en quatre articles :
http://math.ucr.edu/home/baez/topos_physics/
et en plus on en parle dans le « New scientist » : http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/04/topos_theory_in_the_new_scient.html !!!!!!!!!!!!!!!!
Brunschvicg est mort le 18 janvier 1944 sans avoir vu l’émergence de la théorie des catégories, qui a réellement commencé (avec des publications officielles) en 1945 et dont l’essor inimaginable date des années 60, voire 70. Les topoi (catégories particulières « ressemblant » à la catégorie des ensembles) sont issus des travaux de Grothendieck en géométrie algébrique dans les années 50-60 (voir SGA) et de Lawvere en logique…. mais ce n’est que plus récemment qu’on a vu en eux des « univers » pour la fondation des mathématiques, et encore plus récemment (depuis 10 ans voire moins) qu’on a compris qu’ils peuvent être une source merveilleuse d’inspiration pour désembourber la physique de son enlisement (que décrit Smolin)…
C’est dommage que Brunschvicg ne les ait pas connues car il y aurait vu la continuation (mais pas la fin : Brunschvicg n’est pas Hegel ni Badiou, chez lui pas de Savoir absolu ni de clôture logique) du mouvement d’algébrisation qu’il a décelé dans la Géométrie de Descartes comme « rupture définitive » avec l’imagination spatiale (c’est à dire rupture avec l’état d’enfance moyennâgeux, scolastique et aristotélicien et passage viril à l’âge adulte….Kant dit aussi : »Les Lumières sont la sortie de l’humanité de l’état de tutelle dont elle est elle même responsable).
Il aurait vu aussi dans la toute récente physique des topos la continuation du processus copernicien de désanthropisation et désanthropomorphisation… ouf j’y suis arrivé
je veux dire par là qu’une physique basée sur la théorie des ensembles (sur le topos des Ensembles) comme le sont physique classique comme physique quantique comme les mathématiques d’avant les catégories et les topoi, ne peut pas être une physique « valable universellement » pour tous les êtres vivants pourvus d’un intellect apte à faire des mathématiques (dont l’homme est un exemplaire, le seul que nous connaisons à l’heure actuelle).
Il me semble en effet que la théorie des ensembles, qui commence avec les ensembles et les ordinaux finis (1,2,3,4 etc…) puis se généralise aux ensembles infinis, est liée à ce que l’on appelle des « count nouns », aux objets que l’on peut dénombrer : par exemple les vaches d’un troupeau, les pièces dans un coffre…
puisque la mathématique a commencé avec l’arpentage des champs, et le comptage des troupeaux, des pièces, les calculs de prix, etc… toutes choses fort respectables, mais que nous avons peu à peu oubliées, en tout cas dans nos bouquins de mathématiques.
Or il y a aussi les « mass nouns », correspondant à ce qui ne se peut compter : les cyclones, les raz de marée, etc… qui va compter les gouttes d’eau du tsunami de 2004 ?
tout cela pour dire qu’il pourrait bien (notez le conditionnel) exister des êtres vivants, sur une galaxie éloignée, qui auraitune mathématique très différente de la nôtre en ce qu’ils ne pourraient pas envisager des objets que l’on peut compter avec les doigts de la main, ou dde la patte, ou de quelque membre que ce soit…voire les récits de science fiction là dessus
or, si notre axiome de base ,selon lequel la science (mathématique) moderne est la porte vers l’ascension de pensée pure qui mène au Dieu des philosophes et des savants , est vrai, notre mathématique doit pouvoir tenir une correspondance, un dialogue de réciprocité avec celle de tels « êtres » (hypothétiques) .
Et donc doit pouvoir « généraliser » le cadre ensembliste…
ce qui n’est rien d’autre que le passage d’une physique traditionnelle (écrite dans la mathématique des ensembles) à une physique des topoi généraux…
même remarque pour la logique : qui est booléenne (tiers exclus) dans le topos des ensembles, mais intuitionniste dans un topos général (pas forcément booléenne).
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