Un autre livre de Hans Joachim  Baues disponible sur le web: « Algebraic homotopy »

C’est ici:

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/baues4.pdf

Un livre remarquable de Hans Joachim Baues sur l’homotopie et l’homologie considérées de manière catégorique

« Combinatorial foundations of homology and homotopy « par Hans Joachim Baues:

Baues : combinatorial foundation of homology and homotopy

Pour accéder directement au fichier (c’est plus court):

Baues-combinatrorial foundation of homology and homotopy

Une vision catégorique de l’homotopie, domaine abordé dans l’article récent sur le programme « univalent foundations of mathematics  » qui amène à la vision « catégorique » et « higher categorical » de l’homotopie qui est au fondement des « homotopy types »:

Mathematics without apologies : le programme « Univalent foundations »

Le blog du Professeur John Armstrong : « The unapologetic mathematician »

J’ai déjà précisé que les blogs  » Henosophia Toposophia Mathesis universalis » ne doivent pas être considérés comme des blogs de mathématique ou de science ni meme de philosophie, mais cela n’implique de ma part aucune prise de distance ou attitude hautaine envers ces blogs de professionnels des maths, bien au contraire, je les admire pour leur rigueur de pensée ( les mathématiciens et physiciens mathématiciens je veux dire, pas les philosophes car trop souvent la philosophie de nos jours, surtout sur Internet, se perd dans la brume même pas poétique des jeux de langage ou des termes abscons ( ce qui est aussi le cas des mathématiques, mais là les termes sont clairement et rigoureusement définis). 

L’activité de lecture de ces blogs mathématiques est importante du point de vue de ce blog, car c’est là que se noue un contact irremplaçable avec l’activité mathématique réelle et contemporaine, et d’une autre façon qu’avec les travaux parus sur Arxiv ou dans les livres . Nous en avons déjà recensés trois hier, venant s’ajouter au « n-category cafe » que nous connaissions déjà et en épluchant la rubrique « Blogroll »  ou « links » de ces blogs nous en voyons tout un tas d’autres émerger. Il y a un passage dans l’article du blog de Michael Harris « mathematics without apologies » étudié hier sur lequel je voudrais insister aujourd’hui :

Univalent Foundations: “No Comment.”

« The same questioner continued: “Is anyone willing to bet against” the prediction that computer-verified proofs will be of “widespread use in mathematics” within 25 years? Lurie immediately replied: “I’ll take that!” to which Richard Taylor added “Yes, me too.” Terry Tao thought that some people, at least, would be using working with computer verification at that point. »

Tous les petits génies des maths questionnés relativisent l’importance de l’intervention des ordinateurs ( assistance pour vérifier les démonstrations par exemple) seul Terence Tao admet que ces techniques pourraient jouer un rôle pour aider à la vérification des preuves ; on enregistre un seul cas où l’aide de l’ordinateur s’est révélée cruciale, jusqu’à aujourd’hui : celui de la démonstration du théorème des quatre couleurs:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_quatre_couleurs

On comprend cette réaction des mathématiciensqui est aussi celle de Roger Penrose: l’unique Sujet à l’œuvre dans la Mathesis, c’est l’Esprit , autrement dit la Raison universelle des esprits, Dieu, qui s’identifie à la liberté et à l’autonomie propre à la conscience humaine et qui est le « plan spirituel » promis au progrès de cette conscience vers la communauté et l’unité des esprits. Or un ordinateur , basé sur le fonctionnement automatique, ne peut être dit libre. En définitive croire comme Marvin Minsky que le  » successeur » à savoir l’ordinateur remplacera un jour l’esprit humain, c’est nier la possibilité de l’autonomie, la possibilité de « devenir l’esprit »: c’est là la racine de tout fascisme , l’islam notamment qui est idolâtrie de la Sharia, de l’hétéronomie.

Toujours dans l’article de « mathematics without apologies »:

« Simon Donaldson made a point (around 30:15) with which most of my colleagues would agree: “One doesn’t read a mathematical paper, what one gets is the idea to reconstruct the argument it’s not that people (generally speaking) would be …checking the logic line by line — they would go and extract the fundamental idea; that’s really the essential thing. »

Là est la différence entre un fonctionnement automatique et le fonctionnement de l’esprit humain, qui saisit directement les idées à l’œuvre dans un texte mathématique. Ce point est très important, et c’est justement pour cette raison qu’il faut lire ces blogs mathématiques, qui se chargent de ce travail d’extraction et de saisie des idées.
Voici un nouveau blog mathématique intéressant dans cette perspective : celui du Professeur John Armstrong « The unapologetic mathematician« :

About this weblog

Un blog important du point de vue de cette saisie des idées ( c’est à dire du plan spirituel) pour « devenir l’Esprit » car il accorde une importance cruciale à la rigueur de la pensée.
Nous avons accordé ici une grande place à l’adjonction, voici quelques articles du blog « Unapologetic mathematician » sur ce thème, qui viennent heureusement compléter ce que nous avons dit ici:

Adjoint functors

The Unit and Counit of an Adjunction

Limits are Adjoints

Transformations of Adjoints

Et enfin celui ci qui aborde la notion d’universalité et son lien avec l’adjonction:

Adjoints and universality

Et ce dernier aborde aussi les catégories enrichies dont nous avons vu les rudiments

Enriched Adjunctions

Un astéroïde géocroiseur passerait à 17.000 km de la Terre le 5 mars

Le Blog de la Résistance

Depuis quelques années les scientifiques étudient la menace possible des géocroiseurs pour notre Planète. À l’image du scénario de l’extinction des dinosaures, ces astéroïdes sont-ils une menace pour la vie sur Terre ? Futura-Sciences a interviewé Jean-Pierre Luminet, astrophysicien de renom, afin d’en savoir plus.

Chaque jour, des astéroïdes connus ou à découvrir croisent la route de la Terre autour du Soleil. La plupart de ces géocroiseurs passent à des distances plusieurs fois égales à celle qui nous sépare de la Lune. Le 5 mars prochain, cependant, 2013 TX68, pourrait ne passer qu’à 17.000 km de notre biosphère.

Depuis quelques années, le nombre de petits astéroïdes qui croisent l’orbite terrestre (les géocroiseurs) ne cesse de croître. Non pas qu’ils se soient soudainement lancés à notre rencontre, non, c’est tout simplement que les moyens technologiques de ce début du XXIe siècle permettent de les identifier beaucoup plus facilement et rapidement. En…

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Des photos des icebergs de Pluton publiées par la NASA

Le Blog de la Résistance

La surface de Pluton

L’agence spatiale américaine publie des photos prises lorsque la sonde New Horizons était au plus près de la planète naine.

La sonde spatiale New Horizons a découvert et pris une photo de blocs de glace flottant sur la surface de Pluton, rapporte l’agence spatiale américaine (NASA). Les icebergs constitués de glace d’eau glissent sur la surface de la planète naine couverte de glace d’azote.

Bien qu’en réalité le diamètre des icebergs puisse atteindre plusieurs kilomètres, pour la sonde ce ne sont que de petites élévations sur la vaste plaine glaciaire Spoutnik, au cœur de Pluton. Les monticules, estiment les scientifiques, représentent des fragments de glace des montagnes rocheuses de Pluton. Quant à la composition chimique des icebergs et des plaines, selon les experts, elle s’explique par la densité de la glace d’eau qui est inférieure à celle de la glace d’azote.

Certains icebergs ont formé des groupes dont la…

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Mathematics without apologies : le programme « Univalent foundations »

Qu’il me soit donné ici l’occasion de faire connaître un blog intéressant, créé par Michael Harris, professeur de mathématiques à l’université de Columbia et à Paris-Diderot :

About the author
L’article qui a attiré mon attention porte sur le programme des « univalent foundations for mathematics »:

Univalent Foundations: “No Comment.”

La réaction disons « modérée » des petits génies des maths (dont Jacob Lurie)interrogés sur cette question peut s’interpréter de deux façons, favorable ou défavorable.. Ainsi quand Jacob Lurie répond : » No comment » cela peut signifier qu’il refuse tout « sensationnalisme » et demande de pouvoir creuser la question avant de donner un avis. En d’autres termes, cela peut être une preuve de rigueur intellectuelle et d’honnêteté d’esprit et c’est bien ainsi que je l’interprète…
Même chose pour Terry Tao, dont le blog sur WordPress est ici:

https://terrytao.wordpress.com

On parle ici de ce prodige:

http://www.science-et-vie.com/2015/10/un-prodige-des-maths-resout-une-conjecture-quasi-centenaire-et-bat-lordinateur-a-plate-couture/

mais comme je l’ai déjà dit toute insistance sur le génie individuel va mal avec la philosophie de ce blog, et avec la notion de dés-individuation prônée dans le « Manifeste pour l’autonomie » par André Simha:

#BrunschvicgIntroduction un manifeste pour l’autonomie
Donc quand je lis ici ces lignes « sensationnalistes » suggérant un « duel au sommet » à propos de la célèbre « conjecture de Goldbach » où intervient aussi Terence Tao le petit prodige qui a paraît il lu (et compris) Grothendieck d’un bout à l’autre:

http://obamaths.blogspot.fr/2013/05/conjecture-de-goldbach-terence-tao.html
J’avoue que je m’inquiète un peu…
Comme le dit très bien André Simha apres Brunschvicg, il n’y a qu’un unique Sujet c’est l’Esprit et la particularité de la Mathesis c’est qu’elle permet de comprendre cela très clairement.et dans le « Manifeste » André Simha, analysant le rôle de la Mathesis dans l’Histoire de l’esprit selon Brunschvicg, comprend le « progrès » comme un progrès de la conscience individuelle vers la « communauté des esprits » dans la recherche rationnelle du vrai et du juste. C’est ainsi aussi que j’interprète les propos de Jésus dans l’évangile selon Thomas (qui malheureusement n’a pas été retenu par l’Eglise, ce qui eut changé l’Histoire):

http://www.naghammadi.org/traductions/textes/evangile_thomas.asp

« Logion 1. Il a dit : Celui qui trouvera l’interprétation de ces paroles ne goûtera pas la mort.

Logion 2. (1) Jésus a dit : 15 Celui qui cherche, qu’il ne cesse de chercher jusqu’à ce qu’il trouve ; (2) quand il aura trouvé, il sera troublé ; (3) troublé, il s’étonnera et il régnera sur le Tout. »

Cela correspond à mon avis à ce que dit Brunschvicg quand il parle de « renoncement à la mort » (à la fin justement de ce livre « Introduction à la vie de l’esprit ») Seul un individu peut mourir mais si je suis parvenu en poussant jusqu’au bout le travail spirituel de la dés-individuation à « devenir l’Esprit », comme nous y appelle Brunschvicg, il ne reste plus d’individu , agrégat de déterminations c’est à dire de négations, qui puisse mourir, disparaître .
Voici en tout cas les archives du blog de Terence Tao (qui exerce ses talents prodigieux en théorie des nombres, l’un des domaines les plus fascinants de la mathématique) sur la conjecture de Goldbach, en passe d’être résolue d’après ce que je sais:

https://terrytao.wordpress.com/tag/goldbach-conjecture/

Venons en maintenant à ce fameux programme de recherche sur les « univalent foundations » inspiré à la fois des travaux de Cantor et Grassman et de ceux de Grothendieck:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Univalent_foundations

Et nous amène à la théorie des « Homotopy types » qui fait l’objet d’un livre:

Homotopy type theory:

The HoTT Book

Et d’un blog:

http://homotopytypetheory.org

et l’on comprend d’après la caractérisation suivante que cela mène directement l’esprit vers les notions d’isomorphisme et d’équivalences en théorie des catégories:

« Homotopy Type Theory refers to a new interpretation of Martin-Löf’s system of intensional, constructive type theory into abstract homotopy theory. Propositional equality is interpreted as homotopy and type isomorphism as homotopy equivalence.  »
L’homotopie est une notion de la topologie,caractérisant une transformation ou  » déformation continue » entre deux fonctions elles mêmes continues reliant deux espaces topologiques ( rappel: une fonction entre deux espaces topologiques est dite continue si l’image inverse d’un ouvert est un ouvert) qui sont dite alors homotopiques:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Homotopy

Voici un exposé Video de Vladimir Voevodsky sur le sujet à l’ Insitute for advanced studios:

https://video.ias.edu/univalent/voevodsky

Qui nous ramène à la « higher category theory »:

« The correspondence between homotopy types and higher categorical analogs of groupoids which was first conjectured by Alexander Grothendieck naturally leads to a view of mathematics where sets are used to parametrize collections of objects without « internal structure » while collections of objects with « internal structure » are parametrized by more general homotopy types. Univalent Foundations are based on the combination of this view with the discovery that it is possible to directly formalize reasoning about homotopy types using Martin-Lof type theories. »
Par un autre raccourci de l’esprit nous voyons apparaître dans la marge de droite le nom de Patricia Crone, récemment décédée, qui a fait avancer l’islamologie moderne dans le même sens que Gallez, c’est à dire vers la compréhension de l’origine humaine du Coran chez les judéo-chrétiens (« Nazaréens »):

https://video.ias.edu/crone-remembrance
on parle de ses travaux dans cet article sur les origines nazaréennes de l’Islam:

http://www.salve-regina.com/salve/Le_mystère_des_origines_de_l’Islam_enfin_éclairci

Il y a bien une cohérence profonde de la Raison  » désintéressée qui aperçoit le Dieu des philosophes et des savants » et de son combat pour l’autonomie donc contre le pseudo -Dieu de l’hétéronomie, de la Sharia ..le travail de la dés-individuation passe aussi par la « dés appropriation parfaite et réciproque de Dieu et de l’homme » que fixe Brunschvicg pour but ultime du travail spirituel et scientifique dans la troisième opposition fondamentale entre le Dieu vraiment divin et le Dieu humain des religions, dans « Raison et religion » , voir:

#BrunschvicgRaisonReligion troisième opposition fondamentale : Dieu humain ou Dieu divin

« En essayant d’atteindre Dieu comme cause efficiente du monde, nous nous sommes soumis à l’obligation de proportionner sa divinité à ce que le monde en révèle, avec le risque de dégrader Dieu et de rabaisser en nous son idée. Le Deus artifex sera aussi loin que possible du Deus sapiens qu’on aurait voulu découvrir et vénérer.

Nous touchons le point où un pieux désarroi se manifeste à l’intérieur d’une même tradition ecclésiastique et parfois dans P046 l’œuvre d’un même apologiste. L’effort pour donner un Dieu à la nature en faisant fond sur la causalité se dédouble en explications opposées, qui alternent et mutuellement se ruinent. Tantôt on appuiera sur la ressemblance de l’effet à la cause, et l’on célébrera les merveilles de la nature, signes et reflets d’une gloire divine ; tantôt on mettra en relief le contraste de la cause créatrice et de l’effet créé, on cherchera dans les insuffisances de l’effet, dans sa contingence et sa précarité, la preuve même qu’à la source il y a l’être souverain, nécessaire et absolu.
Cette impuissance dialectique traduit l’angoisse de l’humanité qui consulte l’univers sur Dieu et qui toujours demeure déconcertée et rebutée par l’écart grandissant, à mesure qu’elle observe et réfléchit davantage, entre le monde tel qu’elle l’attendrait d’un Dieu et le monde tel qu’il se manifeste à son regard. L’élan de confiance s’achève en réaction de désespoir lucide.
Nous accorderons donc à la science moderne qu’elle a pu atteindre son but dans le domaine de la nature inanimée, non certes qu’elle ait éliminé le mystère comme on l’a dit imprudemment ; mais elle a résolu, ou plus exactement elle a découvert, assez de problèmes dans des conditions admirablement délicates et imprévues, pour que nous soyons en état de nous donner l’assurance qu’en dehors
de méthodes positives il n’y a pas à entrevoir de salut par la vérité. Il reste cependant certain que l’on compromettrait la portée solide des résultats obtenus par la physique depuis les trois siècles de sa constitution, si on étendait cette conclusion à la biologie. Plus nous devons reconnaître que les diverses opérations de la vie, prises chacune à part, sont régies par les lois chimico-physiques, plus nous devons admirer la coordination qui s’établit entre ces opérations. Elles apparaissent dirigées dans un sens qui, d’une façon générale, coïncide avec la préservation et le développement de l’organisme, présentant dans le choix des moyens une richesse d’invention, une subtilité d’anticipation, faites pour étonner, sinon pour convertir, le sceptique le plus endurci. La finalité rentre ici chez soi, finalité individuelle ou finalité grégaire, comportement tantôt d’apparence simple, tantôt d’une complication réellement invraisemblable, disproportionnée en tout cas aux ressources propres des êtres qui semblent suivre l’impulsion d’un instinct sans avoir la moindre conscience du but auquel tend leur activité. N’est-il donc pas raisonnable de chercher le secret de cette activité hors d’eux et plus haut qu’eux, dans une intelligence transcendante qui soit capable de lire leur avenir en leur passé, d’amener par l’efficacité de sa prévoyance la convergence des mouvements chez chaque unité d’un groupe, leur harmonie dans le sein de l’espèce, la hiérarchie enfin des espèces entre elles ?

…L’ascèse idéaliste permet donc de conclure à l’existence de Dieu comme thèse rigoureusement démontrée si l’on a su retrancher de la notion d’existence tout ce qui tendrait à situer Dieu dans un plan de réalité matérielle où il viendrait, soit s’ajouter, comme chose numériquement différente, à l’ensemble des choses données dans l’expérience du monde, soit se confondre avec lui. Créationisme et panthéisme sont également hors de jeu, parce qu’ils définissent Dieu par rapport à la réalité de la nature. Or il faut, de toute nécessité, que le progrès de la critique ait spiritualisé l’être pour que soit séparé de son image, atteint dans sa pureté, le Dieu qui seul pourra être avoué comme divin.
Cependant il reste un problème capital à trancher. Le Dieu des philosophes, Dieu pauvre, dépouillé, auquel sont refusés tout à la fois la floraison des symboles, l’encens des prières, la majesté des pompes liturgiques, est-il capable de satisfaire l’instinct religieux de l’humanité ? Le mouvement de conversion que nous nous sommes efforcés de suivre, requiert donc, pour s’achever, un élan de désintéressement pratique, capable de renouveler jusque dans sa racine spéculative notre idée de l’âme, d’en assurer l’entière spiritualité….

…Pour nous la leçon est péremptoire. Nous n’attendrons notre salut que de la réflexion rationnelle, portée à ce degré d’immanence et de spiritualité où Dieu et l’âme se rencontrent. Si Dieu est vérité, c’est en nous qu’il se découvre à nous, mais à la condition que Dieu ne soit que vérité. Le péril mortel serait que la profondeur idéaliste souffrît d’être indûment transposée, que l’imagination de l’être réapparût subrepticement qui aurait pour effet inévitable d’assimiler Dieu à un objet quelconque dans le champ de la réalité vulgaire, de transformer dès lors l’intuition d’ordre spirituel en un paralogisme ontologique.
On a beau vouloir mettre la spéculation d’un côté, la pratique de l’autre, tout est compromis du moment que le progrès ne s’accomplit pas à la fois dans l’un et l’autre des deux ordres. A quoi bon répéter la parole qui a traversé les siècles : Dieu est amour, si on allait en altérer immédiatement le sens parce qu’on se représenterait le lien de l’homme et de Dieu sur le modèle du rapport qui s’établit dans notre monde entre personne et personne, entre moi et autrui ? Dieu n’est pas aimant ou aimé à la manière des hommes ; mais il est ce qui aime en nous, à la racine de cette puissance de charité qui nous unit du dedans, de même qu’il est à la racine du processus de vérité qui fonde la réalité des choses extérieures à nous comme il fonde la réalité de notre être propre.
Le service que rend la philosophie à la religion consisterait donc à mettre en évidence que c’est un même progrès de pensée dans le sens du désintéressement et de l’objectivité qui préside à la triple option dont nous nous sommes efforcés de préciser les conditions intellectuelles, qu’il s’agisse de l’homme ou du monde ou de Dieu. L’ennemi sera toujours le mirage de la chose ensevelie dans la matérialité de son expression verbale, qui fait que le moi s’acharne à la vaine poursuite d’une âme dissimulée derrière sa spiritualité, comme d’un Dieu caché par-delà sa divinité. Le réalisme se fait ombre à lui-même.
 »

Et voici le passage le plus important de « Raison et religion »:

« Ce n’est donc pas un hasard, non seulement si le cartésianisme concorde, à l’intérieur même de l’Église, avec le mouvement qui marque la revanche de la théologie augustinienne du Verbe sur la théologie thomiste des intermédiaires, mais si avec le Traité théologico-politique et l’Éthique la voie royale de la spiritualité s’est trouvée définitivement ouverte. Peut-être le souvenir de certains Marranes, chez qui les frontières de culte entre juifs et catholiques tendaient à s’effacer au profit de la communauté de sentiment, avait-il contribué à détacher Spinoza de tout préjugé particulariste. En tout cas, à travers le langage substantialiste et l’appareil euclidien, qui pourraient à chaque instant donner le change sur la tendance profonde du système, s’accomplit la désappropriation réciproque et parfaite de Dieu et de l’homme. Le Dieu infiniment infini n’est pas seulement dégagé de toute image plastique suivant le commandement du Décalogue, mais, ce qui est beaucoup plus important et plus rare, affranchi de toute image psychologique. Dès lors nous ne pouvons plus accepter que nous soyons un autre pour lui, et il cesse d’être un autre pour nous. Il n’est pas la puissance supérieure vers laquelle se tourne l’être qui dure, et qui prie pour être soustrait aux lois de la durée. Il est la vérité éternelle en qui une âme pensante acquiert le sentiment et l’expérience intime de l’éternité de la pensée. Ni le soleil ni la mort ne peuvent se regarder fixement, considérés avec les yeux du corps ; mais l’homme dont on peut affirmer sans mentir qu’il est deux fois né, l’astronome d’après Copernic, le philosophe d’après Spinoza, aura la force de les envisager avec les « yeux de l’esprit que sont les démonstrations ». »

Utiliser Latex sur un blog WordPress

LaTeX

Cela marche même dans les commentaires à un article , selon cette page de blog :

http://homotopytypetheory.org

Latex est absolument nécessaire pour écrire des textes mathématiques, notamment impliquant des notations faisant appel aux flèches en théorie des catégories , comme des diagrammes plus ou moins compliqués.