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Wronski : introduction à la philosophie des mathématiques

http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015067101579

début de l’ouvrage page 1 :

http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015067101579;page=root;view=image;size=100;seq=19;num=1;orient=0
« LE monde physique présente, dans la causalite non intelligente,
dans la nature, deux objets distincts : l’un, qui est la forme et la
manière d’être ; l’autre, qui est le contenu, l’essence même de
l’action physique.
La déduction de cette dualité de la nature, appartient à la Philo-
sophie : nous, nous contenterons ici d’en indiquer l’origine trans-
cendantale.–Elle consiste dans la dualité des lois de notre savoir,
et nommément dans la diversité qui se trouve entre les lois trans-
cendantales de la sensibilité (de la réceptivité de notre savoir), et
les lois transcendantales de l’entendement ( de la spontanéité ou de
l’activité de notre savoir). C’est, en effet, dans la diversité qui ré-
sulte de l’application de ces lois aux phénomènes donnés à pos-
teriori , que consiste la dualité de l’aspect sous lequel se présente
la nature; dualité que nous rangeons, conduits de nouveau par des
lois transcendantales, sous les conceptions de forme et de contenu
du monde physique.
Or la forme, la manière d’être de la nature ou du monde phy-
sique, est l’objet général des MATHÉMATIQUES; et son contenu, son
essence même, est l’objet général de la PHYSIQUE. — Mais, laissons
cette dernière, pour ne nous occuper ici que des Mathématiques.
La forme du monde physique, qui résulte de l’application des
lois transcendantales de la sensibilité aux phénomènes donnés à
posteriori, est le temps, pour tous les objets physiques eu général,
et l’ espace, pour les objets physiques extérieurs. — Ce sont donc
les lois du temps et de l’espace, en considérant ces derniers comme

appartenant au monde physique donné à posteriori, qui font le véri-
table objet des Mathematiques (*).
Telle est d’abord la détermination de l’objet en question, donnée
par la Philosophie en général, et nommément par l’Architectonique
du savoir humain. — La détermination ultérieure de cet objet,
appartient à la Philosophie des Mathématiques.
Cette dernière Philosophie a pour but l’application des lois pures
du savoir, transcendantales et logiques, à l’objet général des sciences
dont il s’agit, à l’objet général tel que nous venons de le déter-
miner ; et elle doit ainsi, suivant cette idée, déduire, par une voie
subjective, les lois premières des Mathématiques, ou leurs principes
philosophiques. — Les Mathématiques elles-mêmes partent de ces
principes, et en déduisent, par une voie purement objective , sans
remonter jusqu’aux lois intellectuelles, les propositions dont l’en-
semble fait l’objet de ces sciences.
Pour mieux approfondir la nature de la Philosophie des Mathé-
matiques, il faut savoir qu’il existe, pour les fonctions intellectuelles
de l’homme, des lois déterminées. Ces lois, transcendantales et
logiques , caractérisent l’intelligence humaine, ou plutôt constituent
la nature même du savoir de l’homme. Or, en appliquant ces lois,
prises dans leur pureté subjective, à l’objet général des Mathé-
matiques^ la forme du monde physique, il en résulte, dans le
domaine de notre savoir, un système de lois particulières, qui ré-
gissent les fonctions intellectuelles spéciales portant sur l’objet de
cette application, sur le temps et l’espace. — Ce sont ces lois par-
ticulières qui constituent les principes philosophiques des Mathé-
matiques, principes que nous avons nommés. — Il faut encore re-
marquer que, suivant cette exposition de la Philosophie des Mathé-
matiques , cette Philosophie donne, en même temps, l’explication

des phenomènes intellectuels que présentent les sciences mathéma-
tiques : en effet, l’ensemble de ces sciences forme un certain ordre
de fonctions intellectuelles, et ces fonctions sont de véritables phé-
nomènes; de manière que les lois de ces fonctions, qui sont, en
même temps, les lois de ces phénomènes, contiennent la condi-
tion de la possibilité de ces derniers, et donnent, par là, leur expli-
cation philosophique. »

à quoi Wronski ajoute en note page 2 :

« (*) Nous devons observer ici, pour les Philosophes, que nous dirons expressé-
ment que les Mathématiques ont pour objet les lois du temps et de l’espace, en
considérant ces derniers objectivement, c’est-à-dire, comme appartenant au monde
physique, donné à posteriori, et non subjectivement, comme lois transcendantales
de notre savoir, données à priori. — Les intuitions du temps et de l’espace , con-
sidérées sous ce dernier point de vue , font l’ objet de la Philosophie elle-même , et
spécialement de l’Esthétique transcendantale »

Cette « Introduction à la philosophie des mathématiques » date de 1811, elle est idsponible aussi sur Google :

http://books.google.fr/books?id=GeBJAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false

c’est un livre de jeunesse donc, se situant dans la veine du premier ouvrage de Wrsonki, en 1803, sur la « Philosophie critique découverte par Kant » :

http://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/06/wronski-philosophie-critique-decouverte-par-kant/

On raconte que Wronski, vers les années 1820, voulut un jour se rendre à Londres, il déposa donc une demande auprès de la préfecture de Police , et le fonctioonaire zélé qui s’acquitta de l’enquête à son propos nota uniquement ceci :

« ce n’est pas un fou dangereux »

et permission lui fut accordée de voyager !

eh bien oui ! je persiste et signe !

Wronski est selon moi l’un des philosophes ET mathématiciens les plus importants, et il est symptomatiques des temps de la Restauration (qui sont ceux des « Illusions perdues » de Balzac, voir :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/05/07/un-fameux-passage-des-illusions-perdues/  )

que la pensée de ce génie, sans doute aussi élevé que celui de Grothendieck, soit tournée en dérision par un bureaucrate aux ordres !

certes on doit convenir que la lourdeur de son expression, les redites, les longueurs, le style ampoulé, rendent  la plupart de ses ouvrages  presqu’ illisibles , et c’est bien dommage !

Il a totalement manqué , en mathématiques, le virage galoisien (pourtant il était contemporain de Galois) vers la théorie des groupes et des structures, et la mathématique a totalement changé de visage depuis son époque, aussi ses « lois absolues » sont elles devenues complètement…caduques!

Au fond, quel peut être un usage valide de Wronski et de son « messianisme » ?

à peu près le même que celui de l’Evangile pour le « christianisme des philosophes » : élaguer, élaguer, élaguer, et séparer le bon grain (spirituel) de l’ivraie (des fables et des « histoires »).

Il suffit d’envever du messianisme de Wronski tout ce qui est par trop … messianique : je veux dire par là que le messianisme ne se situe pas dans le futur imminent ou pas; le messianisme est « internel », ce qui veut dire qu’il arrive, par définition !

L’élément messianique, c’est ce qui est toujours « en instance d’arriver », de façon transcendantale !

ou encore : « il n’y aura pas d’épiphanie de la vérité » déclare Badiou ?

certes car la Vérité, c’est l’épiphanie !

la note en page 2 de Wronski est importante, car elle départage la philosophie de la mathématique.

La « loi de création » de Wronski est merveilleuse, mais elle n’a qu’un seul défaut : son bouclage , son statut « définitif » !

Nous refusons de parler de « transcendance », mais le transcendement, le « mouvement pour aller plus loin » de Malebranche, comme l’ignorer ?

 

La « voie » est pour nous l’acheminement de la conscience du multiple à l’un : la multiplicité pure est la matière, la « Materie » de l’Esthétique transcendantale de Kant, pure diversité, multiplicité « inconsistante » de Cantor et Badiou « en amont » du compte-pour-un ensembliste.

Nous retrouvons là la conception scolastique de la matière première comme principe d’individuation.

La philosophie commence avec les lois transcendantales des formes de l’espace et du temps considérés comme « a priori ».

elle passe ensuite le relais à la mathématique comme science des formes de l’espace et du temps mais considérés « a posteriori », phénoménalement.

Le problème du partage entre physique et mathématique est évidemment plus complexe que la simple séparation entre forme et contenu dont parle Wronski : la physique moderne traite de notre action (par le biais d’appareils fort complexes, comme des accélérateurs de particules) sur « la matière », et non pas sur « la matière » brute (qui est la multiplicité inconsistante), c’est pour cela qu’elle peut être mathématisée, notamment par la théorie des groupes de symétrie, qui se branche directement sur les « symétries » de nos actes et expériences.

Mais ce qui est important dans cette histoire, c’est que la mathématisation , une fois lancée, opère toute seule par la montée vers l’Absolu des « structures » de plus en plus complexes : ensembles, catégories, 2-catégories, etc..

Il suffit à la philosophie de suivre et de … réfléchir ce processus intellectuel qui semble marcher tout seul. 

Nous décrivons cela par un modèle fonctoriel entre « élément-être » et « élément-savoir » à la Wronski.

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/25/la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories/

Il nous faut maintenant entrer dans la « jungle » où se trouve « la chose même » , qui est le paradis que non pas Cantor, mais Eilenberg et Mac Lane ont créé pour nous en 1945 :

http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Samuel_Eilenberg

http://en.wikipedia.org/wiki/Saunders_Mac_Lane

Oui, il nous faut « descendre » et nous mouiller : nous ne pouvons pas nous contenter, pour un tel travail, de rester des « aviateurs » et de survoler ces « terres » … nous laissons cela à MBK et ses nouveaux amis.

Certes nous ne renions pas ce que nous avons dit ici :

http://sedenion.blogg.org/date-2009-03-11-billet-990890.html

La mathesis universalis est « vol de l’aigle » , elle est de nature unitive et non pas encyclopédique; elle est semblable à ce « vol d’un avion » dont parle Whitehead au début de « Process and reality » … seulement pour décoller, l’avion doit atterrir, et réciproquement…

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les cours de mathématiques des CATSTERS sur Youtube

http://www.youtube.com/watch?v=k-RehY4tLdI&feature=relmfu

cours sur les 2-catégories par Eugenia Cheng , l’une des pionnières de la recherche sur les « higher categories »

Rien n’est plus beau que les mains d’une femme dans la farine , disait Nougaro ?

moi je trouve que rien n’est plus émouvant que de voir cette femme géniale se fatiguer à manier la craie blanche au tableau noir !

à l’heure des PC et des tablettes tactiles !

c’est grave docteur ?

voir la suite de ce cours, et celui sur les « double categories »

http://www.youtube.com/watch?v=DRGh-HESyag&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=kiCZiSA2W3Q&feature=relmfu

mais le point le plus important pour la théorie des catégories est sans contestation l’adjonction, car si on n’a pas vraiment et totalement compris on ne va nulle part, et Eugenia donne là dessus des aperçus merveilleux :

http://www.youtube.com/watch?v=loOJxIOmShE&feature=relmfu

(il y en a 7 comme ça, rien que sur l’adjonction, voir les liens dans la marge de droite)

MARGIN CALL : un très grand film, glaçant et terrifiant

J’avais fait la promesse, devant mon miroir le matin en me rasant, de ne plus jamais aller au cinéma, pour au moins ne pas alimenter de mon modeste argent l’entreprise de démolition nihiliste des consciences menée par le  cinéma contemporain (hollywoodien , entre autres)..

promesse d’ivrogne !

il est vrai que j’avais fait une exception : le prochain film de Paul Thomas Anderson, (qui est le réalisateur génial de ce chef d’oeuvre absolu « There will be blood », ainsi que de Magnolia et « Punch drunk love), ce prochain film doit porter sur Lafayette Ron Hubbard, fondateur de la scientologie, et cela fait des années qu’on l’annonce …

ce n’est jamais bon de prévoir des exceptions !

il est vrai aussi que j’avais « tenu bon », et au jour d’uajourd’hui je n’ai toujours pas été voir le dernier film des frères Coen (le western), et pourtant j’admire énormément leur oeuvre… mais un film comme « Burn after reading », que j’ai vu au moins 5 ou 6 fois tellement j’ai trouvé cela désopilant, a des implications tellement désespérantes sur l’évolution prévisible de l’humanité occidentale, surtout compte tenu du talent des frères Coen, que je considère qu’il n’est pas bon,  moralement et humainement, d’aller voir ce genre de films!

enfin bref, de toutes façons j’ai trahi mon « noble » serment, et suis allé voir « Margin Call« , ce film qui « décrit » l’éclatement de la crise financière de 2008 avec le crash de Lehman Brothers :

http://www.lemonde.fr/cinema/article/2012/05/02/margin-call-en-pleine-debacle-financiere-wall-street-a-visage-humain-trop-humain_1693459_3476.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/Margin_Call

http://www.rue89.com/rue89-culture/2012/05/02/margin-call-24-heures-chrono-avec-les-requins-de-la-finance-231751

Eh bien je dois dire que je n’ai pas regretté ma « rupture de voeux » : c’est réellement un film très attachant, bien plus que cela même, dont le ton « feutré » (puisque cet « univers » est feutré) évite les outrances ridicules des films « catastrophe » et leur manichéisme…

en plus , avec le cinéma, ce n’est pas comme quand on recommence à boire, ou à « courir »,  en trahissant ses promesses, ni gueule de bois ni MST le lendemain matin …la vie n’est elle pas merveilleuse ?

Oui, je dirais presqque que « Margin call » est un cehf d’oeuvre, l’article du Monde évoque Kubrick, de manière fort juste (mais sans les délires grandiloquents et spectaculaires, ce qui est de mon point de vue une bonne chose), mais j’ai lu que le réalisateur, J C Chandor, est un admirateur des films de Sidney Lumet, et cela se voit !

le ton quasi-documentaire (parfois) m’a aussi rappelé Paul Greengrass, notamment dans « Bloody Sunday » ou « United 93″… il est vrai que la crise de 2008 n’est pas le 11 septembre : elle est (peut être ?) pire, quoique moins spectaculaire, aux yeux du cinéma et de la « société du spectacle » en tout cas…

bien évidemment, ce qui ne peut pas laisser insensible quelqu’un comme moi, et justifie le fait que quelques lignes à propos de ce film igurent dans un blog comme celui ci , c’est la provenance « scientifique » de la plupart des traders, en tout cas les jeunes (ceux qui ont moins de 30 ans).

Dans le film, tous les dirigeants , qu’ils soient « associés », ceux qui se partagent les gros bénéfices, ou cadres salariés de plus de 40 ans, disent sans cesse aux « jeunes matheux » de « parler anglais », et avouent crûment qu’ils ne comprennent rien aux « modèles stochastiques »…

quand aux autres, ce sont ‘anciens « ingénieurs » reconvertis dans la finance parce que « ça paye beaucoup plus » … tu m’étonnes !

l’un, dirigeant le service de « gestion des risques », et viré dès le début du film, construisait des ponts vers 1986, avant de venir se perdre à Wall Street..

l’autre (Zachary quinto, très bon), jeune trader de 28 ans, est un diplômé mais dans le domaine des fusées (« rocket scientist ») : c’est lui qui découvre le pot aux roses, le fait que la volatilité est « sortie » du domaine normal de variations (un peu comme un fleuve en crue sort de son lit) , et que les pertes potentielles dépassent la valeur de la société….là tout le monde comprend la nature du petit problème, pas la peine de savoir résoudre des équations aux dérivées partielles…

Ce qui est vrai, c’est que les techniques mathématiques impulsées par la mécanique quantique sont venues considérablement étoffer les « talents » des analystes et spécialistes des modèles aléatoires (ce que n’aurait pas prévu Feynman, mathématicien génial contrairement à Einstein, et qui est à l’origine de toute cette évolution).

Mais peut on dire qu’il y a là une réfutation des thèses de Brunschvicg, largement reprises par moi, sur le « savant désintéressé » et qui serait presqu’un Grand Saint, à défaut d’un petit..d’où le Dieu des philosophes et des Savants, celui de la Raison désintéressée qui se confond avec l’Amour universel et supérieur à celui prôné par les religions (limité celui là aux tenants de la même foi)  ??

oui et non !

un ingénieur , ou un « spécialsite » dont la compréhension se limite à un domaine étroit nécessaire pour les techniques financières, n’est pas un savant, dont les exemples archétypiques sont selon moi Einstein, Dirac, Heisenberg, Feynman, Von Neumann …cela fait une large palette, passant des ambitions « philosophiques » d’Einstein ou Heisenberg aux talent mathématiques spectaculaires de Feynman et Heisenberg.. et encore pourrait on parler des mathématiciens purs, Grothendieck notamment, bien au dessus encore dans le ciel immaculé des maths…

reste que l’on peut déceler un « virage » vers les années 80, où l’on voit les travaux mathématiques même « purs » s’infléchir dans le sens des applications pratiques possibles , financières , industrielles…la mathématique devient servante, voire serve, et ce n’est pas bon !

d’où mes rêves (mais est ce plus que des rêves) d’ une science unitaire totale et UNE, qui se confondrait avec la philosophie et la recherche de la Sagesse, comme Descartes et le 17 ème siècle en formaient encore le concept, par exemple dans la Règle numéro 1 pour la direction de l’esprit :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/03/08/descartes-regulae-ad-directionem-ingenii-i/

oui, l’on voit avec de plus en plus d’évidence que la science moderne est le problème , avec  les « pouvoirs » qu’elle a donnés à l’homme sur les fusées, les ordinateurs et les « systèmes » de données…. mais peut elle être la solution tout en gardant la même forme ?

reste que je vais à nouveau trahir mes voeux avant peu, car j’ai vu qu’un merveilleux film d’Elio Petri (le réalisateur en 1970 du fameux « Enquête sur un citoyen au dessus de tout soupçon) , datant de 1962, est à l’affiche :

Les jours comptés

thème : un plombier italien réalise l’imminence de la mort et abandonne tout pour « profiter de la vie »

seulement qu’est ce que cela veut dire , « profiter de la vie » ?

les traders du film de Chandor, eux, ont une réponse simple : les putes, les putes et les putes…et aussi les bars avec danseuses « topless » qui se font « two grand » (2000)  pour une soirée…. »night is falling on Manhattan » comme disait Lumet

oh pardon, j’aurais dû avoir le tact de l’article du monde , et parler d’escort-girls… décidément je ne suis pas sortable, avec ma manie de dire tout haut ce que les bobos pensent tout bas… à défaut de le faire tout haut comme notre ami DSK…

La loi de création de Wronski et la théorie des catégories

(je ne comprends pas ce qui se passe avec WordPress, le texte complet de l’article refuse de  s’afficher, voir ces liens pour l’article complet :

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/106/106

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories-104092362.html

et par la même occasion voir ceux ci pour la poursuite des recherches sur ce sujet :

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/107/107

http://mathesisuniversalis.multiply.com/journal/item/109/109

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-topoi-cohesifs-104391835.html

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-trois-elements-primitifs-de-wronski-et-les-topoi-104317024.html

 

La loi de création a déjà été abordée sur le blog « Recherche de l’Absolu » :

http://balzacwronskimessianisme.wordpress.com/2012/04/11/diagrammes-de-la-loi-de-creation-de-wronski/

ce qui va être dit ici est purement spéculatif et « formel » , disons un programme de travail qui donnera ou pas quelque chose … je me base sur les ligens suivantes de Francis Warrain dans « Quantité, infini, continu » page 17 :

« toute réalité comporte , outre les deux éléments hétérogènes et primordiaux : élément-être (EE) et élément-savoir (ES) , un élément à double fonction que Wronski appelle : élément fondamental ou neutre (EN).

Cet élément est d’ordre fonctionnel, pragmatique, dynamique, tandis que les deux autres forment une polarité et sont en quelque sorte d’ordre statique et spéculatif.

Cette polarité et l’élément pragmatique se partagent la primauté à des titres différents: du jeu de leur prédominance alternative se tireront les fonctions essentielles qui développent un système quelconque de réalités »

élément pragmatique , fonctionnel , dynamique … ne dirait on pas un morphisme, ou un foncteur ?

en même temps on sait que dans la théorie des catégories, l’ élément fondamental (terme même employé par Wronski pour nommer l’élément neutre EN) consiste en les morphismes, flèches, foncteurs, et non pas en les objets qui sont d’ordre abstrait, facilitant le discours, et sont carrément éliminés par idnetification au morphisme identité dont ils sont pourvus dans certaines présentations de la théorie (celle de Peter Freyd par exemple) .

Donc suivant mon idée , qui pour l’instant  est d’ordre spéculatif, je commence à écrire le haut du diagramme de la loi de Wronski sous forme de foncteur entre deux catégories EE (être) et  ES  (savoir) :

                                 EE   ——————————>  ES

la flèche étant un foncteur appelé EN.

Attention, je répète l’avertissement : il s’agit là d’un essai à titre purement formel, je ne prétends pas que ces termes (catégories, foncteurs, etc..) recouvrent des réalités mathématiques… ce n’est qu’ à la fin, éventuellement, après la progression du travail, que nous pourrons donner un sens exact à ces notions, qui pour l’instant sont proposées à titre d’essai.

Pour des considérations de symétrie, il nous faut aussi un foncteur dans l’autre sens :

              EE   < ————————————   ES

prenons un exemple concret très simple : celui d’un objet naturel, comme ce chien qui pourrait être mon chien si j’en avais un.

C’est un corps vivant, un objet vivant du monde, il court, aboie, gambade, mange… si je ne le nourris pas il meurt … ou bien il se met en colère et me saute dessus pour me manger !

mais en même temps « ce chien ci », qui est supposé être « mon chien », pourrait il exister (s’il existait, ce qui n’est pas le cas) sans que j’intervienne, sans que j’en forme une idée, un concept ?

réponse : NON !

car si je n’existais pas il ne serait pas « mon chien » !

Nous avons donc forcément : le chien en tant qu’objet du monde, « transcendant » comme on dit, et mon idée de ce chien.

Ce sont deux choses différentes, car comme dit Spinoza malicieusement (si tant est que l’on puisse attribuer à Spinoza de la malice ) :

l’idée de chien n’aboie pas !

et elle ne mange pas non plus !

Le chien « objet du monde » est EE, l’idée du chien est ES, et l’élément EN qui les relie est l’opération de connaissance, de correspondance qui fait que « mon idée de mon chien » s’applique à ce chien ci qui est mon chien, et non pas  à , mettons, cette bouteille de vodka !

sinon c’est que j’ai bu la bouteille, et je m’expose à de gros problèmes avec les petits hommes en bleu ou en blancs, qui arrivent dans des voitures qui ont une sirène retentissante…

s’il n’y avait pas EN, sous la forme de deux foncteurs qui assurent la correspondance adéquate entre le monde « là dehors » et le monde « des idées, en moi », alors ce monde serait complètement fouuuu, comme dit le sympathique Jean-Pierre Foucault…

et il serait surtout invivable !

et donc nous n’y vivrions pas , et ne serions pas là pour écrire ou lire ce blog !

EN est donc bien fondamental !

mais revenons à nos catégories et à la loi de création de Wronski :

Nous aurons donc, dans le cas le plus basique, deux « foncteurs » en sens inverse  entre deux « catégories » : on ne peut pas alors ne pas penser à l’adjonction de foncteurs, qui est le concept le plus important de la théorie des catégories !

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

nous aurions donc pour EN une paire de foncteurs adjoints entre EE et ES  :

  F :  EE  ————————->  ES

 G :  EE  < ———————–     ES

F étant adjoint à gauche de G :

 F\dashv G

Nous porrions aussi penser à « complexifier » un peu les choses en utilisant des situations qui se présentent souvent en mathématiques , un foncteur ayant un adjoint à droite et un adjoint à gauche, ou bien une série d’ajonctions , la page Wiki ci dessus en présente deux :

A functor with a left and a right adjoint. Let G be the functor from topological spaces to sets that associates to every topological space its underlying set (forgetting the topology, that is). G has a left adjoint F, creating the discrete space on a set Y, and a right adjoint H creating the trivial topology on Y

A series of adjunctions. The functor π0 which assigns to a category its sets of connected components is left-adjoint to the functor D which assigns to a set the discrete category on that set. Moreover, D is left-adjoint to the object functor U which assigns to each category its set of objects, and finally U is left-adjoint to A which assigns to each set the antidiscrete category on that set.

de telles situations avec quatre foncteurs en situation d’ajonction à gauche sont souvent utilisées par Bill Lawvere, par exemple :

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/9/tr9.pdf

pages 3 – 4

mais ne soyons pas plus précis pour l’instant et continuons sur la loi de Création de Wronski :

nous nous occupons de la branche de gauche, celle de la théorie ou autothésie

le premier élément « dérivé immédiat ou universel », après le ternaire des éléments primitifs EE, EN et ES, est :

US universel-savoir comme combinaison de EN et ES

 Ce ne peut être que le schéma ci dessus pour les trois éléments primitifs , où l’on ne retient que le foncteur G  allant de ES à EE (parmi les deux foncteurs adjoints) :

G :               EE  <—————————–  ES

sera US

de même UE combinaison de EE et EN sera l’autre foncteur :

UE = F :           EE —————————–> ES

si nous avons choisi des séries d’ajonction plus complexes, US regroupera tous les foncteurs allant de ES vers EE, et UE tous les foncteurs allant en sens inverse, de EE vers ES

passons aux éléments dérivés médiats, qui résultent de transitions de US vers UE ou de UE vers US en se basant sur le fait que US et UE ont en commun EN, qui participe à leurs combinaisons.

Que peut être une transition entre des foncteurs ? ici la théorie des catégories répond « naturellement » sous la forme des « transformations naturelles » ou « morphismes entre foncteurs » :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

la situation d’adjonction a été choisie, ou du moins suggérée, par moi parce qu’elle arrive en quelque sorte « enceinte » de tout un tas de notions mathématiques toutes plus prégnantes les unes que les autres..

ainsi ne se peut il pas que les deux éléments transitifs, qui relient deux foncteurs adjoints, soient les deux transformations naturelles appelées « unit » et « co-unit » , notées ε  et  η , qui existent dans toute adjonction ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#Ubiquity_of_adjoint_functors

A counit-unit adjunction between two categories C and D consists of two functors F : C ← D and G : C → D and two natural transformations

\begin{align}<br />
\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\<br />
\eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}

respectively called the counit and the unit of the adjunction (terminology from universal algebra), such that the compositions

F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F
G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G

are the identity transformations 1F and 1G on F and G respectively

ce qui est noté par :

 (\varepsilon,\eta):F\dashv G

et signifie :

\begin{align}<br />
1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\<br />
1_G &= G\varepsilon \circ \eta G<br />
\end{align}

which mean that for each X in C and each Y in D,

\begin{align}<br />
1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\<br />
1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}<br />
\end{align}.

où bien sûr les catégories C et D de la page Wiki sont nos « catégories » EE et ES respectivement (mais je rappelle que pour l’instant ceci est purement formel, et nous ne saurions donner un sens mathématique à ces notions-projets).

ce qui vient d’être dit concerne la situation la plus simple, où nous nous sommes limités à deux foncteurs adjoints entre EE et ES

passons maintenant à ce que Wronski appelle les quatre « classes systématiques »  : influence partielle de E en S, influence partielle de S en E, influence réciproque (appelée par lui « Concours final »  CF) et enfin ce qu’il appelle Parité coronale PC.

On sait que PC , identité complète du système , unité de ce système sur un plan supérieur, est en fait identique au système de départ, qui est EN , EE et ES :

EN = (F , G) :   EE   ——————> ES

                             EE < —————-   ES

je proposerais bien, sans être définitivement affirmatif, pour l’influence partielle de E en S, le foncteur non plus entre EE et ES mais entre EE et sa catégorie image, qui est une sous-catégorie de ES :

EE —————————> F(EE)  incluse dans ES

de même pour l’influence partielle de S en E :

ES ————————–> G(ES )  incluse dans EE

et pour l’influence réciproque les deux foncteurs restreints aux deux sous-catégories G(ES) et F(EE) .

 

En France du nouveau ! Franck Jedrzejewski : diagrammes et catégories, thèse et introduction

La thèse est ici :

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00193292/en/

http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/19/32/92/PDF/These-FJ.pdf

« En commentant certains résultats des sciences physiques ou mathématiques, plus particulièrement de la seconde moitié du XXe siècle, on cherche à comprendre l’importance philosophique du concept de diagramme, qui est au cœur de la théorie mathématique des catégories, des topoi et des esquisses. Partant du constat que les diagrammes et catégories contraignent à des options ontologiques, on propose pour étudier leur disposition conjointe de suivre quatre concepts fondamentaux qui forment le quadrilatère épistémique (la virtualité, la fonctorialité, l’universalité et la dualité). Le virtuel est nécessaire parce qu’une table n’existe pas de la même manière que le bleu du ciel qui n’a pas de réalité matérielle. La fonctorialité et le lemme de Yoneda imposent de reconsidérer le statut de l’objet. Le théorème de Diaconescu illustre l’idée que la logique immanente d’un lieu est déterminée par le topologique, que la logique n’a pas l’importance qu’on lui accorde parfois. L’universalité et la dualité déplace la notion de vérité qui n’est plus une simple valuation, mais une vérité-foudre, une vérité-événement qui fonctionne par adéquation et résonance de pans entiers de connaissance et non plus par inférence logique. Le diagramme devient le lieu de cette vérité qui passe par le geste. Dès lors, il devient possible de croiser ontologie et topologie en une onto-(po)-logie (ou une ontologie toposique) qui ne soit pas en contraction avec les philosophies de l’immanence. L’univocité de l’Être ne s’oppose pas à l’approche catégorielle. Plus encore : la prégnance des formes duales incite à penser l’hypothèse que l’Un est le dual de l’Être. »

et il existe une introduction de 6 pages où ce brillant chercheur se mesure à la pensée de Badiou ,  Deleuze, Feynman …

http://nessie-philo.com/Files/jedrzejewski_dcintro.pdf

l’hypothèse, formulée à partir de la dualité qui est au fondement de la théorie des catégories, de l’Un comme dual de l’Etre , nous intéresse fortement compte tenu de notre problématique sur pensée selon l’Un et pensée selon l’Etre.

Voir aussi un document formidable regroupant les leçons données par Yves André à l’IRCAM :

http://www.entretemps.asso.fr/maths/Livre.pdf

les séminaires de Badiou sur les topoi et les catégories

J’avais mis sur le blog les textes de ces séminaires sur Scribd, mais cela ralentissait considérablement la lecture du blog, or ils existent aussi ailleurs, voici les liens :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

seul celui de 94-95 n’est que sur Scribd :

http://www.scribd.com/doc/78652142/Theorie-des-topos-1994-1995

puis :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/95-96.htm

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/96-97.2.htm

on peut y ajouter cette thèse :

http://nessie-philo.com/Files/these_fj.pdf

et ces articles :

http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/ecole-mathematique/yves-andre/ch1topos.pdf

http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/8/pdf/smf_rhm_8_113-140.pdf

http://rene.guitart.pagesperso-orange.fr/textespreprints/guitart08modelcat.pdf

une philosophie enfin entièrement scientifique

La pensée selon l’un, ou selon l’être, dont nous précisons le cadre dans les articles précédents, c’est tout simplement , dans leur cadre théorique véritable, l’idéalisme spiritualiste mathématisant , et le matérialisme prisonnier du plan de la perception.

Ou encore, si l’on veut, l’aboutissement ultime du platonisme et de l’aristotélisme.

On comprend alors l’inconséquence totale de la pensée de Badiou, qui se réclame d’un « Platon pour notre temps », mais en même temps d’une dialectique matérialiste qui est en somme une « resucée » du matérialisme dialectique marxiste et maoïste.

Mais nous avons parlé de cadre théorique : celui ci, socle d’une philosophie enfin entièrement scientifique (ce que n’est pas la philosophie analytique, contrairement aux allégations de Wittgenstein) , ne peut s’élaborer qu’en accord et harmonie avec la pensée mathématique actuelle, qui se formalise à travers la théorie des catégories généralisée en celle des n-catégories ou « higher category theory ».

Or nous avons la chance de disposer d’un véritable laboratoire de pensée qui est le nlab :

http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

« The purpose of the nLab is to provide a public place where people can make notes about stuff. The purpose is not to make polished expositions of material; that is a happy by-product.

We all make notes as we read papers, read books and doodle on pads of paper. ThenLab is somewhere to put all those notes, and, incidentally, to make them available to others. Others might read them and add or polish them. But even if they don’t, it is still easier to link from them to other notes that you’ve made….

This is a wiki-lab for collaborative work on Mathematics, Physics and Philosophy — especially from the n-point of view: insofar as these subjects are usefully treated with tools and notions of category theory or higher category theory. »

Selon nous, il s’agit, comme nous l’avons dit ailleurs depuis longtemps :

http://mathesis.blogg.org/page-leibniz___mathesis_universalis_characteristica_et_scientia_generalis_calculus_rationcinator-775.html

d’une ébauche , au stade formel, du projet de Mathesis universalis qui vise à « voir » et opérer directement au plan des idées, c’est à dire au plan divin, selon nos conceptions de dieu comme Raison absolue et absolument immanente à l’esprit humain.

Ou encore, si l’on veut, d’un « squelette » qu’il s’agit maintenant d’habiller de « chair », c’est à dire d’esprit, de pensée.

Ce que nous nous proposons de faire ici.

« Par contre nous sommes persuadés que la théorie mathématique des catégories, née en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane en topologie algébrique, constitue la « characteristica generalis » qu’avait en vue Leibniz, bien qu’elle soit apparue comme discipline mathématique abstraite. Il n’y a là  aucune difficulté, bien au contraire  : de par leur idéal de rationalité et de démonstrativité parfaites, les mathématiques représentent l’idéal régulateur de la philosophie. Et il est tout à  fait aisé et naturel d’étendre la validité de la théorie des catégories au delà  du domaine purement mathématique, comme les exemples donnés dans un livre comme « Conceptual mathematics » (par W Lawvere et S Schanuel, Ed Cambridge) le montrent avec évidence. »

Nous pensons depuis longtemps que l’opposition entre idéalisme mathématique platonicien et réalisme matérialiste aristotélicien correspond à ce que l’on appelle en théorie des catégories une adjonction.

C’est là sans doute la notion la plus importante de la théorie, et qui lui est spécifique : on ne peut la trouver nulle part ailleurs.

Mais avant d’y venir, je pense qu’il serait utile de débuter par le cadre catégorique de la théorie des ensembles.

Il y a de nombreuses façons de parcourir cette « forêt vierge » du nlab, mais le plus simple est de taper « Set theory » dans le cadre « Search » en haut de page, ce qui nous amène à :

http://ncatlab.org/nlab/search?_form_key=9e66f4f71d4b7329febd117e59219cff3dd0ce47&query=set+theory

où nous entrons par :

http://ncatlab.org/nlab/show/set+theory

qui contient d’ailleurs le lien vers la page « Category theory » à étudier en parallèle :

http://ncatlab.org/nlab/show/category+theory

ainsi que la page sur la « catégorie des ensembles » :

http://ncatlab.org/nlab/show/Set