Archives du mot-clé David Ellerman

Dualisation du travail de Pierre Samuel en 1948 et rapide envol vers le pays des chimères

Suite de la lecture annotée de l’article de David Ellerman sur Mac Lane, Bourbaki et l’adjonction:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Venant après l’article précédent sur ce sujet:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/07/la-nouvelle-caracterisation-de-ladjonction-par-bodo-pareigis/

Page 7 de l’article d’Ellerman paragraphe 6 : Pierre Samuel, représentant de Bourbaki, travaillait sur les homomorphismes et les hétéromorphismes (appelés chimères ou morphismes chimériques « chimera morphism » parce qu’ils ont la queue dans un monde c’est à dire une catégorie et la tête dans une autre) dans des catégories d’ensembles structurés : S-ensembles (« S-sets ») et T-ensembles( » T-sets ») S et T étant les structures par exemple si S est la structure de groupe un S-ensemble est tout simplement un groupe, si T est la structure topologique un T-ensemble est un espace topologique :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Les groupes sont organisés en catégorie en prenant comme flèches les homomorphismes entre les ensembles ayant la structure de groupes qui dont les morphismes (applications) respectant la structure de groupe si S est la structure de groupe ce sont des applications que Samuel nomme « S-mappings »
Si T est la structure topologique , ce que Samuel appelle « T-mappings » sont les homomorphismes de ce qui est maintenant appelé « catégorie des espaces topologiques » et ces morphismes sont les fonctions continues entre deux espaces topologiques:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Continuité_(mathématiques)

c’est à dire les applications telles que l’image inverse d’un ouvert ( de la topologie de l’ensemble cible) est un ouvert ( de la topologie de l’ensemble source)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie

Les cas précédents de S-mappings et T-mappings sont des homomorphismes car on reste à l’intérieur d’une même structure (d’une même catégorie)
Par contre dès 1948 Pierre Samuel conçoit ce qui est maintenant appelé (par David Ellerman qui est le Grand Maître de cérémonie de ces sortes d’êtres mathématiques ) : hétéromorphismes ou chimères. Il les appelle S-T mappings ce sont des flèches qui envoient un S-ensemble sur un T-ensemble en étant compatible avec les deux structures S et T.
On connaît en mathématiques des êtres , appelés groupes topologiques ,ayant à la fois les deux structures S et T, avec en plus certaines conditions de compatibilité entre les deux structures, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_topologique

et ces groupes topologiques peuvent bien sûr etre organisés en une catégorie ( sinon ça se saurait) ayant comme flèches les (homo)morphismes respectant la structure de groupe topologique. Quelle est le lien entre ce que Pierre Samuel appelle S-T-mappings et ces (homo)morphismes de la catégorie des groupes topologiques ? Il faut bien voir que ce n’est pas la même chose car les S-T-mappings sont des hétéromorphismes, liant un S-ensemble ( un groupe) à un T-ensemble ( un espace topologique) , alors que les morphismes entre groupes topologiques sont des homomorphismes.
Nous sommes ici au coeur d’un problème philosophique important, celui de ce que David Ellerman appelle hétérophobie, ou « traitement hétérophobique, privilégiant les homomorphismes « , dans la mathématique classique, celle de Mac Lane notamment.
Pierre Samuel avait bien noté en 1948 que la composition d’un hétéromorphisme (« S-T-mapping ») avec un homomorphisme (« T-mapping ») est un hétéromorphisme.
Ici je dois signaler un important problème de notation : dans l’article que nous lisons actuellement Ellerman utilise pour les hétéromorphismes la flèche classique → alors que dans l’autre article il utilise la double flèche :
⇒ Je m’en tiendrai à ce dernier usage pour des raisons de cohérence.
Le problème universel tel que présenté par Pierre Samuel fait appel aux hétéromorphismes (« S-T-mappings »), on part d’un S-ensemble E, et pour tout hétéromorphisme (  » S-T-mapping »dans la terminologie de Samuel) :
φ : E ⇒ F
Vers un T-ensemble F on se pose le problème de définir un procédé canonique ( c’est à dire un foncteur en termes modernes) associant à φ un hétéromorphisme:

φ0 : E ⇒ F0

De manière telle que l’on ait un homomorphisme unique (universalité)de T-ensembles:

F0 → F
Faisant commuter le tout: (page 7)

F*φ0= φ
En notant* la loi de composition des morphismes.

Seulement Samuel ne voit pas le problème dit co-universel, dual du précédent (obtenu en renversant le sens de flèches) voir page 7, c’est pouquoi il passe de peu à côté de l’adjonction.
Aux paragraphes 7 et 8 suivants, pages 8 et 9, David Ellerman analyse l’oubli dit « hétérophobe » des hétéromorphismes dans les stades ultérieurs de la théorie des catégories et distingue semble t’il deux périodes dans la carrière de Mac Lane, que je ne connais pas assez bien pour confirmer ses dires.
Ainsi page 9 il analyse l’instrument des « Universal arrows  » d’un objet vers un foncteur dû à Mac Lane comme  » heterophobic device » , selon une définition ne faisant pas appel à la notion d’hétéromorphisme (« het-free »)
Alors que Mac Lane définissait au début des hétéromorphismes qui sont maintenant appelés cônes et qui apparaissent, en prenant leur « limite » , dans des constructions universelles telles que le produit de deux objets ( cf page 8)

Publicités

La nouvelle caractérisation de l’adjonction par Bodo Pareigis

Toujours l’article de David Ellermen (paragraphe 5 page 5 à 7) sur  » Mac Lane, Bourbaki (Pierre Samuel et l’adjonction »:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Le même que nous avons abordé dans l’article précédent de ce blog:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/mac-lane-bourbaki-et-la-theorie-de-ladjonction/

Le livre de Pareigis  » categories ans functors », qui selon Ellerman est le seul
Jusqu’à maintenant à faire appel à la notion de Het-bifoncteur, est lisible ici sur le web:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/
La notation au début du paragraphe 5 d’Ellerman est assez embrouillée, A et B sont des objets de deux catégories C et D , à partir desquelles Pareigis définit une nouvelle catégorie ν(C, D) qui a pour collection d’objets l’union disjointe des collections d’objets de C et D ( c’est à dire l’union ensembliste de ces deux collections m, en comptant deux fois les objets communs aux deux collections:https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Réunion_disjointe )et comme flèches des morphismes de trois sortes: les (homo)morphismes dans les catégories C et D et les hétéromorphismes entre des objets de C et D. Pareigis appelle cette nouvelle catégorie « la catégories directement connectée ν(C,D)avec pour connections l’ensemble des morphismes entre les objets A et B dans la catégorie ν, ensemble noté Morν(A,B). Ellerman fait la liaison avec « Higher topos theory » de Jacob Lurie qui est notre grand chantier sur les blogs de la mouvance Henosophia:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Cette catégorie ν(C,D) serait appelée par Lurie (page 96 du livre ci dessus) cographe d’un bifoncteur H:

H: Cop × D ;rarr; Ens
et notée:

C ⋆H D

Pareigis appelle connection un bifoncteur d’hétéromorphismes ( sans utiliser ce terme »hétéromorphismes »):

W : Xop × A → Ens

Bifoncteurs appelés plus traditionnellement distributeurs, ou profoncteurs, ou correspondances.

Signalons que ce genre de catégories répond à une question que je me pose quant à moi régulièrement : celle des categories ayant plusieurs sorte des morphismes, se composant entre eux à l’intérieur d’une meme classe mais aussi entre deux classes différentes, ici nous avons trois classes les homomorphismes à l’intérieur de l’une des deux catégories C ou D et les hétéromorphismes entre C et D ( à ne pas confondre avec les foncteurs comme nous l’avons déjà vu) c’est la première fois que je trouve un exemple de ce genre de « nouvelles catégories » que je considère comme particulièrement intéressantes car répondant mieux à certains besoins scientifiques ou philosophiques.
L’idée de base de la « nouvelle caractérisation de l’adjonction chez Pareigis » est expliquée par Ellerman page 6 sur 16 de son article : les « situations et problèmes universels » ( » Universal mapping situations ») tournent autour du point suivant: représenter de manière universelle les hétéromorphismes ( entre C et D) à l’intérieur de l’une des deux categories seulement ( ce qui équivaut à la moitié seulement d’une adjonction, moitié à laquelle s’est limité Pierre Samuel le membre de Bourbaki en 1948) ou bien dans les deux catégories C et D ( ce qui équivaut à une adjonction complète). En 1948 la notion de dualité qui est au fondement de la théorie des catégories ( et qui consiste simplement à inverser le sens des flèches)n,était pas encore entrée dans les mœurs, ni surtou dans les têtes, meme les plus fortes têtes de Bourbaki comme celle de Pierre Samuel; 21 ans plus tard en 1969, c’est tout naturellement que Pareigis suivit le flux de pensée décrit par Ellerman page 6 sur 16, en ne se contentant pas comme Pierre Samuel de s’arrêter à mi chemin , c’est à dire au problème universel (« Universal mapping problem ») dont la solution pour tout objet x de X amène à un foncteur F: X → A
donnant un isomorphisme naturel ( c’est à dire canonique, pouvant être étendu par un procédé fixé à toute la catégorie):

HomX[F(x), a] ≅ Het(x,a)
Première partie de l’équation, représentation à gauche du bifoncteur Het à laquelle en est resté Pierre Samuel en 1948,parce qu’il n’a pas eu l’idée d’aborder le problème co-universel, dual du précédent: celui d’une représentation à droite du bifoncteur Het:

Het (x,a) ≅ Hom X(x, G(a))

pour a donné dans A
Pareigis quant à lui en 1969 passe bien au problème dual en inversant ce qu’il appelle la connection, c’est à dire en s’intéressant à un bifoncteur:

Dop × C→ Ens

avec une catégorie directement connectée ν(D,C) qu’il note ν´(C,D) et qu’il appelle en anglais « inversely connected category » mais selon Ellerman cela est orthographié à tort « universely connected category »!!!

Mac Lane, Bourbaki et la théorie de l’adjonction

J’ai déjà parlé de cet article de David Ellerman titré  » Mac Lane, Bourbaki and adjoints : à heteromorphic perspective » , un article à vocation historique qui explique pourquoi Pierre Samuel ( membre du collectif Bourbaki) a frôlé en 1948 l’invention de la notion de foncteurs adjoints qui fut réservée à Daniel Kan en 1958. Au total Bourbaki fit le choix à la fin des années 40 ou au début des années 50, de ne pas utiliser pour fonder les mathématiques le formalisme des catégories et foncteurs, issu en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane pour remplacer celui de la théorie des ensembles, ce qui entraîna la démission d’Alexandre Grothendieckdu groupe.

Mais comme d’habitude David Ellerman illustre son propos à l’aide de la théorie des hétéromorphismes, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2016/01/05/david-ellerman-theorie-heteromorphique-de-ladjonction/

En fait l’explication est assez simple : Pierre Samuel(pour Bourbaki) s’est arrêté à mi-chemin parce qu’il n’avait pas à sa disposition le langage catégorique, le probleme de construction universelle qu’il se posait revient, en termes modernes, à étudier un bifoncteur W (cf l’article ci dessus pour l’explication de cette terminologie chez Ellerman):

W: X op × A → Ens

et à chercher un élément universel pour W(x, -) pour tout x.

Ce qui revient à chercher des objets canoniques de la catégorie A, de forme Fx
donc, tels que :

W( x,a) ≅ HomA (Fx, a)
On est ici très proche de la formulation d’un probleme de recherche de foncteur adjoint: trouver des objets formés selon un procédé canonique Fx tels que :

Hom X( x, Ga) ≅ Hom A (Fx,a)

En 1948 Pierre Samuel se pose un « problème universel »( » Universal mapping problem »), notion qui remonte à Wronski voir notre article:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/05/lidee-de-probleme-universel-un-important-promontoire-pour-une-vision-de-lunite-de-la-mathesis/

Ce qui revient (dans le langage des foncteurs représentables inventé ultérieurement, ironie de l’histoire, par Grothendieck) à chercher une représentation à gauche du bifoncteur Het, voir page 4 de cet autre article d’Ellerman:

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

En fait l’adjonction équivaut à la représentabilité à gauche et à droite du bifoncteur Het, selon l’équation complète qui décrit une adjonction justement comme représentation à gauche et à droite du bifoncteur Het:

HomA( Fx,a) ≅ Het(x,a) ≅ HomX(x,Ga)

Samuel est resté trop sur sa gauche !!!

Au paragraphe 4 ( page 4 sur 16) de:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

David Ellerman donne une représentation diagrammatique illuminatrice du problème universel(« Universal mapping problem ») qui équivaut à la représentation à gauches uni s’écrit:

Hom A( F(x), a) ≅ Het (x,a)
(Trouver la représentation à gauche revient à trouver pour tout x une solution au problème universel consistant à faire commuter le diagramme au dessus, page 4 du texte d’Ellerman)
Par dualité Ellerman donne ensuite page 4 un autre diagramme , dual du précédent, qu’il appelle « Co-universal mapping problem » et qui équivaut à la représentation à droite du bifoncteur Het.
La solution des deux problèmes (universel et co-universel) , c’est à dire la représentabilité à droite et à gauche du bifoncteur Het, est une adjonction.
Ellerman cite le livre de Pareigis de 1970 qui parlait de « solution universelle au problème universel ».
Le lien de ce livre important de Pareigis « Categories and functors » est ici :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/05/bodo-pareigis-categories-and-functors/

Ellerman consacre à Pareigis le paragraphe 5, page 5 à 7

David Ellerman : théorie hétéromorphique de l’adjonction

Nous accordons ici une grand emporta ce aux travaux de David Ellerman, voir:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/
Car ce chercheur place l’idée d’adjonction au rang le plus important des inventions dont nous sommes redevables à la théorie des catégories, et il donne une explication singulière,d’une clarté remarquable en utilisant la notion d’hétéromorphisme, de l’adjonction.
Cette théorie hétéromorphique de l’adjonction de foncteurs (ou de morphismes dans une 2-catégorie plus générale) est expliquée dans ces articles :

Adjoint functors and heteromorphisms :
http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Het-Theory.pdf

Et, dans une perspective plus historique :
Mac Lane, Bourbaki, and adjoints :a heteromorphic perspective:

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

Auxquels il faut adjoindre  » Adjoint brains and functors » qui fait le lien avec les sciences de la vie:

http://arxiv.org/pdf/1508.04036v1.pdf

Ici, nous commencerons avec le paragraphe 3, page 6 à 14, titré  » Heteromorphic theory of adjoints » du premier de ces articles « Adjoint functors and heteromorphisms »
Un hétéromorphisme associe deux objets appartenant à deux catégories différentes, alors qu’un morphisme dans le sens usuel, appelé « homomorphisme », lie deux objets appartenant à une même catégorie attention à ne pas confondre une heteromorphismehétéromorphisme avec un foncteur qui associe à tout objet de la première catégorie un objet correspondant dans la seconde, et à tout morphisme entre deux objets de la première catégorie un morphisme entre les deux correspondants de ces objets dans la seconde catégorie (en respectant de plus la loi de composition des morphismes):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

Un morphisme entre deux objets de la même catégorie est X noté par une flèche simple:
x → y
Alors qu’un hétéromorphisme entre un objet x de X et un objet a de la seconde catégorie A est noté par une flèche double :

x ⇒ a
Nous avons déjà analysé le paragraphe 2 du travail de David Ellerman dans deux articles portant sur la notion de bifoncteurs ou de « distributeur » ou « pro foncteurs » ( quand il s’agit de formaliser les propriétés des homomorphismes). On peut de meme formaliser les propriétés des hétéromorphismes dans le cadre des Het-bifoncteurs, voir:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/
( article hélas en mauvais état à cause de mauvaise utilisation des codes html par moi même) et le dernier faisant le parallèle entre Hom-bifoncteurs et Hat-bifoncteurs:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/

Comme il est rappelé page 6 au début du paragraphe 3.1, la définition la plus « classique » de l’adjonction passe par un isomorphisme « naturel » ( ce qui signifie qu’un tel isomorphisme peut être étendu à toute la catégorie) entre les ensembles d’homomorphismes (« Hom-sets ») et toute l’utilité de l’intervention des hétéromorphismes est expliquée par l’équation page 4:
HomA( Fx,a) ≅ Het(x,a) ≅ HomX(x,Ga)
Sous cette forme il est aisé de déceler la direction de l’adjonction : F est adjoint à gauche, car à gauche dans le premier membre de l’équation et G est adjoint à droite :la direction va aussi de X vers A.
Ceci se note, rappelons le:

F⊣G
L’équation ci dessus se lit aussi : le bifoncteur Het est représentable à gauche et à droite (cf page 4).
Le bifoncteur Het est le suivant:

Het: Xop× A → Ens
et envoie un couple d’objets (x,a) sur l’ensemble des hétéromorphismes liant x à à: x ⇒ a

L’idée de « problème universel » : un important promontoire pour une vision de l’unité de la mathesis

La notion de « problème universel » apparaît déjà chez Wronski où elle voisine avec celles de « loi suprême » et de « Teleiosis » dans la trinomie ou Sainte Trinité des idées de base du système. Voir ici:

http://www.ams.org/journals/bull/1893-02-08/S0002-9904-1893-00135-3/S0002-9904-1893-00135-3.pdf

l’article  du Professeur Echols « Wronski ´s expansion »où le probleme universel est assimilé à un cas particulier de la  » Loi suprême ».

Ce probleme est très clairement défini et Lagrange (pas le même que celui cité dans l’article précédent)le décrit ici (page 1) avant d’en donner la solution (fichier pdf recopié en bibliotheque de mon blog « mathesisuniversalis2.wordpress.com »):

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/?attachment_id=624

Il existe une page Wikipedia qui explique la notion en termes d’objet initial ou final (notions duales) dans une catégorie :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

« Par suite, demander qu’un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près. En d’autre termes, de telles définitions permettent de se concentrer sur l’essentiel (le comportement de l’objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction.

Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l’existence de l’objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l’objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l’objet.
Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu’il est défini par un problème universel. »

Objet initial et objet final sont deux exemples de limites d’un diagramme ( on les obtient quand on prend la limite ou la colimite du diagramme vide),voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Où l’on signale voir le paragraphe « Définition » que réciproquement toutes les limites peuvent être vues comme des objets terminaux (donc des solutions de problèmes universels)dans une certaine catégorie , celle des cônes dans F, où F est le foncteur correspondant au diagramme dont on cherche la limite.

Wronski est le « cas » de la famille, Echols parle dans l’article cité supra de ses démêlés avec les « savants à brevets » , mais ne nous y trompons pas : c’est un génie absolu , et Balzac ne pouvait pas se tromper dans son admiration fascinée pour ce personnage « l’une des plus fortes têtes de l’Europe » et je ne pense pas que les mathématiciens ( ceux de Bourbaki et après) modernes auraient pu garder ce titre de « problème universel » s’ils n’avaient pas partagé cette admiration, surtout compte tenu de l’importance de l’idée et non plus du mot.Une idée, celle de problème universel, qui semble justement se situer au coeur des débats qui agitèrent le groupe Bourbaki dans les années 50 à propos de la théorie des catégories, qui était apparue en 1945, voire en1942.Cet article de Ralf Kromer porte justement sur ce sujet appartenant à l’histoire des idées: « La machine de Grothendieck se fonde t’elle seulement sur des vocables métamathématiques ? Bourbaki et la théorie des categories dans les années cinquante »

http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/12/pdf/smf_rhm_12_119-162.pdf

On y apprend plusieurs choses importantes :

-Samuel Eilenberg avait fui la Pologne très  tardivement , juste avant l’invasion nazie en 1939. Il s’installa aux USA sans problème, grâce à l’aide de la communauté mathématicienne, et travailla avec Saunders Mac Lane, c’est de leurs travaux en commun qu’est issue la théorie des categories en 1942 d’abord, mais surtout  en 1945 avec leur article séminal  » General  theory of natural équivalences ». Les idées de 1942 sont si l’on veut l’insémination, et l’article de 1945 la naissance, ou le baptême de la théorie. Eilenberg ne fut intégré au groupe Bourbaki que vers la fin des années 40. Il semble que Grothendieck grâce à un exposé qui avait été lu en son absence , alors qu’il se trouvait aux USA, avait gagné en grande partie la société des bourbakistes à la nouvelle théorie, qui entretenait des rapports étroits avec ce que Bourbaki appelait « structures » et qui forme la base du structuralisme si en vogue dans les annees 60, mais il se heurta à l’opposition d’André Weil, le mathématicien frère de Simone Weil (morte en1943, mais qui apparaît en compagnie de son frère sur certaines photos du groupe datant de 1938).Finalement ce fut ce dernier  qui gagna, Bourbaki refusa d’intégrer la théorie des catégories et Grothendieck démissionna du groupe.

Il semble qu’un certain article de Pierre Samuel (membre de Bourbaki) en 1948 intitulé « on universal mappings and free topological groups » ait une grande importance pour le sujet qui nous occupe, j’ai en tout cas trouvé plusieurs liens qui l’évoquent et lui accordent une place centrale, en liaison avec la notion de « problèmes universels » ( et je dois d’ailleurs signaler que d’après  l’article ci dessus de Ralf Kromer un thème récurrent de pensée chez Grothendieck  porte sur la commutativité des problèmes universels »(?)
 Il y a d’abord un article important sur le sujet des liens entre philosophie et mathématiques à travers la relation humaine et professionnelle de Jules Vuillemin et Pierre Samuel:

« Pierre Samuel et Jules Vuillemin: mathématiques et philosophie »

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01082189/document

Il s’agit selon son auteur de « présenter une des modalités actuelles possibles de relations entre mathématiques et philosophie » en prenant pour objet d’étude les contributions et réflexions des deux auteurs(Pierre Samuel pour la mathématique et Jules Vuillemin pour la philosophie) sur le concept général de structure et examinant plus précisément la notion de « problème universel ».

Ajoutons que si Vuillemin est défini comme un philosophe, c’est lui qui a écrit « Mathématiques et métaphysique chez  » un livre auquel l’article fait souvent allusion, ce qui n’est guère une coïncidence puisque Descartes est ce philosophe qui le premier a tenté d’appliquer la méthode mathématique en métaphysique.(voir page 2 notamment)

Un autre article qui s’intéresse à Pierre Samuel et au « probleme universel » est dû à David Ellerman que nous connaissons déjà pour ses travaux tournant toujours autour de l’universalité en relation avec l’adjonction des foncteurs :

« Mac Lane, Bourbaki and adjoints : a heteromorphic perspective « 

http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2015/06/Maclane-Bourbaki-Redux.pdf

C’est effectivement Ellerman qui utilise la notion d’hétéromorphisme ( flèche entre deux objets situés dans des categories différentes, alors qu’un (homo)morphisme relie deux objets situés dans une même catégorie), pour clarifier la notion d’adjonction et de propriété universelle . Les articles suivants portent sur ses travaux en ce domaine:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/08/12/david-ellerman-foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/05/adjonction-het-bifoncteurs-et-hom-bifoncteurs/
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/04/foncteurs-adjoints-et-heteromorphismes-les-het-bifoncteurs/

Dans l’article mentionné ici, David Ellerman , qui fait une plus grande part à l’histoire des idées que les autres, que nous avions étudiés auparavant, part d’une remarque de Mac Lane suivant laquelle Bourbaki a manqué de peu l’invention de l’adjonction en 1948, invention qui est comme nous l’avons vu la plus importante de la théorie des categories:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

Ellerman poursuit en assurant que là encore l’utilisation de la théorie non orthodoxe ( faisant intervenir les hétéromorphismes) permet de clarifier les choses et de comprendre que Pierre Samuel s’est approché d’encore plus près de l’adjonction que l’on ne pourrait le penser à première vue. Car c’est Pierre Samuel qui a rédigé en 1948, non seulement l’article dont je parlais plus haut sur les  » Universal mapping probleme » mais l’appendice au premier jet du traité « Algèbre » de Bourbaki. Il a trouvé la  » left representation solving to a universal  mapping problem » ce qui constitue une première moitié d’une adjonction, la seconde moitié étant une représentation duale , à droite .

Il faut rappeler ici , comme il est précisé dans les deux pages Wikipedia suivantes :

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property

qu’une adjonction peut être vue comme résolution d’un problème d’optimisation , formulation assez générale pour couvrir tous les problèmes rencontrés en mathématiques et en physique (qu’est d’autre la recherche d’extrema d’un lagrangien en physique qu’un problème d’optimisation ?) .

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors

« It can be said that an adjoint functor is a way of giving the most efficient solution to some problem via a method which is formulaic. For example, an elementary problem in ring theory is how to turn a rng (which is like a ring that might not have a multiplicative identity) into a ring. The most efficient way is to adjoin an element ‘1’ to the rng, adjoin all (and only) the elements which are necessary for satisfying the ring axioms (e.g. r+1 for each r in the ring), and impose no relations in the newly formed ring that are not forced by axioms. Moreover, this construction is formulaic in the sense that it works in essentially the same way for any rng….

….This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a construction is most efficient if it satisfies a universal property, and is formulaic if it defines a functor. Universal properties come in two types: initial properties and terminal properties. Since these are dual (opposite) notions, it is only necessary to discuss one of them….

The idea of using an initial property is to set up the problem in terms of some auxiliary category E, and then identify that what we want is to find an initial object of E. This has an advantage that the optimization — the sense that we are finding the most efficient solution — means something rigorous and is recognisable, rather like the attainment of a supremum. The category E is also formulaic in this construction, since it is always the category of elements of the functor to which one is constructing an adjoint. In fact, this latter category is precisely the comma category over the functor in question.

....The two facts that this method of turning rngs into rings is most efficient and formulaic can be expressed simultaneously by saying that it defines an adjoint functor…..

….Continuing this discussion, suppose we started with the functor F, and posed the following (vague) question: is there a problem to which F is the most efficient solution?

The notion that F is the most efficient solution to the problem posed by G is, in a certain rigorous sense, equivalent to the notion that G poses the most difficult problem that F solves.[citation needed]

This has the intuitive meaning that adjoint functors should occur in pairs, and in fact they do, but this is not trivial from the universal morphism definitions. The equivalent symmetric definitions involving adjunctions and the symmetric language of adjoint functors (we can say either F is left adjoint to G or G is right adjoint to F) have the advantage of making this fact explicit. »

Rappelons quand même que l’adjonction est orientée : on écrit :

F\dashv G.

pour signifier que le foncteur  F est adjoint à gauche du foncteur  G et G adjoint à droite de F

ce qui est rappelé par le fait que F figure dans le membre de gauche de la famille de bijections qui explicite l’adjonction :

\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)

Noter que le point historique expliqué par Ellerman est mentionné à la fin de la seconde page Wikipedia : portant sur la notion « universal property » :

« Universal properties of various topological constructions were presented by Pierre Samuel in 1948. They were later used extensively by Bourbaki. The closely related concept of adjoint functors was introduced independently by Daniel Kan in 1958. »

En 1948 Bourbaki (via Pierre Samuel) a effectivement manqué de passer de la notion de « propriété universelle  » à celle de foncteur adjoint , ce qui a été réalisé 10 ans plus tard, en 1958, par Daniel Kan dans son article « Adjoint functors » qui est ici :

http://www.ams.org/journals/tran/1958-087-02/S0002-9947-1958-0131451-0/S0002-9947-1958-0131451-0.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kan

La relation entre propriété universelle et adjonction peut aussi s’exprimer par la notion de foncteur représentable ce qui fait entrer en jeu une troisième page Wikipedia (est ce un hasard si ces trois pages sont excellentes ? ce qui n’est pas toujours le cas sur Wikipedia ? l’importance du sujet l’exige! là se trouve résumée toute la philosophie occidentale celle qui figure en notes de bas de pages de Platon selon Whitehead) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

voir le dernier paragraphe « relation to universal morphisms and adjoints »

L’article est déjà assez lourd, nous étudierons l’article d’Ellerman dans un ou des articles suivants, en revenant aussi sur la forme qu’il utilise, celle  des hétéromorphismes , dans ses deux autres papiers et ensuite nous pourrons passer à l’article de Daniel Kan

 

 

 

 

 David Ellerman et Saunders Mac Lane : adjonction et universalité en mathématiques, correspondances de Galois

Nous nous intéressons dans cette série d’article aux travaux de David Ellerman en relation avec l’adjonction et  l’universalité telle que traitée dans la théorie des catégories, qui est selon ces travaux la doctrine des universaux concrets, c’est à dire s’appliquant à eux mêmes (« self predicative »), dans le dernier article nous avions passé en revue la théorie des ensembles qui peut être vue comme doctrine des  universaux abstraits :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/

le papier d’Ellerman que nous suivons ici est celui sur les « concrete universals » ou « self predicative universals » :

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.3192.pdf

où il s’étend à partir du bas de la page 9 sur l’importance de la notion de foncteurs adjoints et son omniprésence dans la théorie des catégories , nous avons déjà consacré plusieurs articles à cette notion qui est aussi liée à la notion de monade :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/16/adjonction-1-foncteurs-adjoints/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/08/13/propriete-universelle-et-foncteurs-adjoints/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/20/foncteurs-adjoints-heteromorphismes-et-homomorphismes/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

mais il existe un autre article de Colin Mac Larty, auteur de l’excellent « Elementary categories, elementary toposes » qui est cependant moins complet que « Toposes, triples and theories » que j’ai recopié en bibliothèque d’un des blogs « Henosophia toposophia » voir :

https://aventuresdidees.wordpress.com/barr-et-wells-toposes-triples-and-theories/

cet article de McLarty porte sur Saunders MacLane, inventeur en 1945 avec Samuel Eilenberg de la théorie des catégories dans la note séminale : « General theory of natural equivalences »:

http://killingbuddha.altervista.org/FILOSOFIA/GToNe.pdf

Le papier de Colin Mc Larty s’appelle « Saunders Mc Lane and the universal in mathematics » le voici :

http://www.jams.or.jp/scm/contents/e-2006-2/2006-12.pdf

il y explique que Mac Lane a passé ses 10 premières années de mathématicien à asseoir de manière philosophique sa convition profonde de l’unité des mathématiques sur l’ouvrage célèbre de 1910 : « Principia mathematica » de Bertrand russell et Alfred North Whitehead .

Ouvage tellement important qu’il figure lui aussi en trois volumes en bibliothèque des blogs « Henosophia »

ce thème de l’unité des mathématiques concerne  aussi le « Graal » recherché par Grothendieck,et, de nos jours, par Olivia Caramello mais il dépasse de loin la mathématique pour fonder selon nous une nouvelle discipline appelée « Henosophia » voir :

https://aventuresdidees.wordpress.com/about/

A la fin de la page 97 de son article sur « MacLane and the universal in mathematics » MacLarty explique que dans le « textbook » de MacLane le concept d’universalité (qui est, comme le rapplle Brunschvicg , lié à l’idée de vérité et donc de Dieu,mais aussi de l’homme si celui ci est , plutôt que « berger de l’Etre », « hérault de la vérité », et d’essence religieuse au vrai sens du terme) se trouve sous un tas de formes équivalentes entre elles et renvoyant les unes aux autres :

limites et colimites, dont l’exemple d’objet terminal, foncteurs adjoints, extensions de Kan ; « ends » et « co-ends » de Yoneda…auxquels il faut ajouter les monades , pierre d’angle d’où leur nom que MacLane a trouvé chez Leinniz

ce « textbook » dont Mc Larty parle est le livre fondateur écrit par McLane :

« categories for the working mathematician »

qui est ici :

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maclanecat.pdf

voir aussi sur la philosophie de MacLane « concepts and categories in perspective « :

http://www.ams.org/samplings/math-history/hmath1-maclane25.pdf

entre les deux lives, celui de Mac Lane « Categories for the working mathematician » et celui de Barr et Wells « Toposes, triples and theories » il est difficile de faire un choix; mais il en existe un qui les dépasse tous deux c’est celui de Mac Lane et Moerdijk « Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory » qui évoque la double origine , géométrique et logique, de la théorie des topoi :

 

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/04/08/topoi-de-grothendieck-2-la-double-origine-geometrique-et-logique-de-la-theorie-des-topoi/

Il est plus difficile à télécharger gratuitement sur le web, on le trouve en format .djvu mais je ne sais pas manipuler de tels fichiers aussi ne l’ai je pas mis sur les bibliothèques des blogs « Henosophia  » contrairement aux deux autres.

En voici l’analyse-résumé sur le Nlab , avec liens hypertexte chapitre par chapitre :

http://ncatlab.org/nlab/show/Sheaves+in+Geometry+and+Logic

Mais revenons à l’article de David Ellerman :

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.3192.pdf

L’tude de l’adjonction débute à partir de la page 9 et il se set tout au long de l’article d’une exemple d’adjonction remontant à l’élaboration de la théorie de Galois : celui des correspondances de Galois qui concernent les catégories ordonnées ou structures d’ordre organisées en catégories :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Correspondance_de_Galois

comme dit au début de cette page Wiki, ce genre de correspondance concerne initialement celle entre les sous corps de l’extension d’un certain corps K (c’esr à dire un corps contenant K) et les sous-groupes de son groupe de Galois :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois

les deux collections (sous-groupes et sous-corps) sont ordonnées selon l’inclusion c’est à dire qu’une certain sous-groupe est « inférieur à « un autre (relation d’ordre <)s’il est contenu dedans .La relation d’ordre( ≤) est alors la relation d’inclusion ( ⊑) , on vérifie facilement quil s’agit bien d’une relation d’ordre c’est à dire réflexive, antisymétrique et transitive :

x ≤ x

si x ≤y et y ≤x alors x≈y

et si x ≤y et y ≤ z alors x ≤ z

 

un ensemble partiellement ordonné, c’est à dire tel que pour deux éléments il existe parfois un ordre entre eux peut alors être vu comme une catégorie : si deux objets x et y sont ordonnés

x ≤ y

alors on dit qu’il y a une flèche unique allant de x vers y : x → y
On a alors une paire de foncteurs adjoints entree deux structures ordonnées considérées comme catégories (P, ≤) et (Q, ≤)

F : P →Q
G : Q → P
si pour tout couple d’objets x,y t q x ∈ P et y∈ Q alors :
x ≤ G(y) si et seulement si y ≤ F(x) (la page Wiki parle alors de correspondance de Galois isotone, mais on peut ramener une correspondance antitone à une correspondanceisotnoe en inversant l’ordre sur l’un des ensembles ordonnés)
dans l’article d’Ellerman (pages 10-11 ) la premièrere structure ordonnée est celle des parties (sous ensembles) d’une certain ensemble U soit P(U)
la seconde est celle des paires de sous ensembles de U soit le produit cartésien P(U) × P(U) ,muni de l’ordre suivant :
(x,y) ≤ (x’, y’) si et seulement si x ≤ x’ et y ≤ y’
on considère alors comme foncteur entre P(U) et P(U) × P(U) le foncteur Δ : P(U) → P(U) × P(U)

qui associe à un sous ensemble x de U la paire (application dite « diagonale »)
et pour le foncteur en sens inverse le foncteur qui consiste à prendre l’intersection de deux partie de U :

⋂(x,y) =x ⋂ y
ce qui est bien une partie de U en tant qu’intersection de deux sous-ensembles x et y de U. On vérifie facilement la fonctorialité de cette application : P(U) × P(U) → P(U) .
L’adjonction entre les foncteurs Δ et ⋂ équivaut alors à

Δ (c ) ⊑ (a,b) ssi c ⊑ ⋂ (a,b)
et ceci pour tous les sous ensembles a,b,c de U
Si l’on fixe a et b , on retrouve la condition d’universalité dans la définition de l’intersection ⋂ :

c ⊑a ⋂ b si et seulement si c ⊑ a et c⊑ b (définition de l’intersection) et comme Δ (c) = (c,c)
c ⊑ a et c⊑ b équivaut à Δ (c) ⊑ (a,b)
De même en fixant c on retrouve la condition d’universalité :
Δ (c) ⊑ (a,b) si et seulement si c ⊑ a ⋂ b
rappel : les conditions d’universalité et d’unicité pour un universel représentant une propriété F et une relation de participation μ sont expliquées page 3

La stratégie d’Ellerman dans la suite est de montrer que les adjonctions consistent à associer deux constructions universelles appelées « semi-adjonctions »
Cela semble spécifique à son approche, on ne rencontre pas ces objets ailleurs

David Ellerman: théorie  des ensembles et universaux abstraits 

Article venant à la suite de :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/18/david-ellerman-concrete-universals-in-category-theory/

Où nous étudions de près le travail de Divic Ellerman: « Concrete universals in category theory »

http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Conc-Univ.pdf

À partir de la fin de la page 2 de cet article David Ellerman se penche sur la theorie des ensembles dont l’idée originale fondatrice était selon lui de former une théorie générale des universaux , un universel étant accolé à une propriété sous la forme d’une entité telle que tout objet possédant la propriété en question aurait une relation spéciale avec cette entité. La théorie des ensembles propose comme relation la relation d’appartenance de la theorie des ensembles notée par le signe ∊et comme « entité universelle  » accolée à une certaine propriété P l’ensemble de tous les objets ayant la propriété P.

Seulement Bertrand Russell trouva un paradoxe qui met à mal cette théorie , il examina la propriété P des ensembles consistant pour un ensemble à « ne pas être élément de lui même « :

Un ensemble X possède la propriete P s et seulement si (ssi) X ∉ X ( X n’appartient pas à X ), X n’est pas élément de X). Soit alors l’entité universelle Z  accolée à cet propriété P, c’est à dire l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes .

Demandons nous si Z appartient à lui même ou non.Nous nous heurtons à un paradoxe logique le paradoxe de Russell:

Si Z appartient à Z : Z  ∊ Z alors Z appartient à l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux mêmes, donc il ne s’appartient pas à lui même. Dons si Z appartient à lui même alors Z ne s’appartient pas à lui mêmes : contradiction !!!

Et dans le cas alternatif si Z n’appartient pas à lui même : Z ∉Z, alors Z n’a pas la propriété P  » être un ensemble qui ne s’appartient pas à lui même) donc il s’appartient à lui même puisqu’il est faus de dire qu’il ne s’appartient pas à lui meme. Don si Z ne s’appartient pas à lui même alors Z s’appartient à lui même. Contradiction encore !!!

Donc dans les deux cas de l’alternative ( soit Z appartient à Z soit Z n’appartient pas à Z c’est soit l’un soit l’autre) nous nous heurtons à une contradiction, cela signifie que la théorie consistant à associer à toute propriete P un universel abstrait : ensemble de tous les éléments ayant cette proprété , que cette theorie donc est fausse parce qu’elle aboutit à un paradoxe . il y a deux manières d’éviter ce paradoxe : soit par la théorie des types :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_types

Soit par la théorie NBG  des classes de Von Neumann-Bernays-Godel :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel

Intuitivement parlant les classes sont des multiplicités  » plus grandes » que les ensembles .Une classe ne peut être élément d’un ensemble ou bien d’une autre classe . toute classe correspond à une propriete selon le schémaexpliqué plus haut  de l’entité universelle de tous les objets possédant une propriété P .

À toute propriete P des ensembles ( des étants multiples qui sont des ensembles puisque la theorie des ensembles est l’ontologie, comme l’a démontré’ Alain Badiou dans « L’être et l’événement »)correspond une classe et réciproquement : la classe des ensembles ayant cette propriété P.

La collection de tous les ensembles ne s’appartenznt pas à eux même est intuitivement « trop grande » pour être un ensemble, c’est donc une classe quelque chose de plus grand que tout ensemble . Essayez de former un ensemble qui s’appartient à lui même , vous aurez du mal : on n’en trouve pas dans la vie quotidienne , ainsi l’ensemble de ces cinq pommes dans la corbeille n’est pas élément de lui même quel sens cela aurai il ? Les éléments de cet ensemble ce sont chacune des cinq pommes et rien d’autre..

Pour penser des ensembles qui sont éléments d’eux mêmes il faut faire travailler ses méninges : on y arrive par des tours de passe passe , par exemple en considérant les ensembles qui ont la propriete de pouvoir être caractérisés par une phrase en francais de moins de x lettre, x étant un nombre entier que nous calculerons de manière à retomber sur nos pattes , considérons en effet l’ensemble de tous les ensembles ayant cette propriété, il peut être décrit en francais par la phrase suivante :

Z = « Ensemble de tous les ensembles pouvant  être décrits par une phrase en Français  de moins de x lettres ou chiffres  « 

Cette phrase a 93 ( si j’ai bien compté) lettres  ou chiffres  donc en prenant x = 95 ( car x a deux chiffres donc remplacer x par deux chiffres dans la phrase ci dessus portera le nombre de caractères à 94) nous sommes rendus et pouvons dire que l’ensemble Z appartient à lui même puisque sa définition en langue française nécessité 94 caractères donc moins de 95 caractères , lettres ou chiffres.

On a un peu le sentiment d’assister à un tour du Bateleur


Donc il est très difficile de former des ensembles s’appartenant à eux mêmes ce qui veut dire que « presque tous les ensembles ne s’appartiennent pas à eux mêmes donc la collection de tous les ensembles ne s’appartenant pas à eux mêmes est « trop grande » pour être un ensemble elle est donc une classe. Il en va de même de la collection de « tous les ensembles », ce n’est pas un ensemble mais une classe, la classe de « toutes les multiplicités ayant la propriété d’être un ensemble » n’est pas un ensemble mais une multiplicité plus grande qu’un ensemble ( puiqu’elle contient les ensembles ne s’appartenant pas à eux mêmes vu qu’elle contient tous les ensembles). C’est une classe, la classe de tous les ensembles, « trop grande »pour être un ensemble.

Et la propriete d’être une classe? Quelle multiplicité , celle de toutes les classes, lui correspond? Pas une classe puisqu’aucune classe ne peut appartenir à une autre.

C’est un conglomérat, le conglomérat de toutes les classes.

Une classe ne peut pas être élément d’un ensemble ni d’une autre classe, mais elle peut être élément d’un conglomérat.

Voit là dessus:

http://marvinius.de/math/lv/2014/Proseminar2014_Vortrag01.pdf

Ces theories des différents ordres de multiplicités intéressent au plus haut point les mathematicinens catégoriciens et par eux les philosophes .Il est vrai que la theorie se pose rarement ce genre de questions t butte rarement sur des paradoxes aussi embêtants que la theorie des ensembles : c’est qu’elle a comme intégré ces différentes sortes de multiplicités par l’intermédiaire des collections des objets ou DES morphisme sur d’une catégorie quelconque , sui peuvent être des ensembles ou des classes , voire éventuellement des conglomérats , auxquels cas respectifs la catégorie est dite petite ou grande ( en anglais : , »large »).voir par exemple cette page du Nlab sur les  » large  categories »:

http://ncatlab.org/nlab/show/large+category

Ainsi que cette note où les conglomérats, classes , ensembles sont abordés, ainsi que les univers de Grothendieck qui en sont une alternative ( ce géniedémiurgique à la Orson Welles  fut vraiment un créateur d’Univers et des théories  comme le philosophe selon Deleuze est « créateur de concepts »:

http://therisingsea.org/notes/FoundationsForCategoryTheory.pdf

Apprenez y  aussi ce que c’est en logique qu’une théorie du premier ordre ( « firstt order theory »)

Notion importante pour la suite de ce blog qui s’intéressera de plus en plus la logique à la fois philosophique et mathématique ( fondée largement sur les topos) , nonobstant le mépris que lui témoigne Brunschvicg et dont a hérité Badiou son disciple infidèle et cachottier (il ne nomme jamais Brunschvicg cela lui écorcherait sans doute la langue).

Si l’ontologie théorie de l’Etre envisagé dans sa dimension de multiple pur est la theorie des ensembles ( thèse incontournable de Badiou ) alors les étants sont les ensembles et les propriétés d’étants sont les classes. .les catégories sont situées au carrefour de ces deux dominés ou voies ( étants et leurs propriétés ) qui constituent ce que nous appellerons le plan ontique dont l’accès est facilité voire permis à l’esprit humain par ces verres grossissants que sont la théorie des ensembles ou des classes.

Les lecteurs attentifs au mouvement des idées ne manqueront pas de remarquer dans le texte de David Ellerman l’opposition claire tracée entre la théorie des ensembles qui est celle des universaux abstraits et la theorie des categories qui traite des universaux concrets .Je me suis inspiré de cette double notion d’universalité dans la pègre suivante recopiée sur plusieurs blogs :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Selon Ellerman et je l’approuve entièrement, la theorie des categories est tout simplement une version mathématisée de la théorie platonicienne des Formes (Idées) qui est le coeur et la profondeur spirituelle du platonisme et donc de toute la philosophie s’il est vrai, comme le dit Brunschvicg que  » le platonisme est la vérité de la philosophie » ou, comme le dit Whitehead, que « toute la philosophie occidentale ( c’est à dire, c’est moi qui précise, toute la philosophie) se réduit à des notes en bas de pages des ouvrages de Platon ».
Selon Ellerman (page3 de l’article) la théorie des catégoriesest le cadre mathématique qui permet de reconnaître les « universaux concrets » des mathématiques, c’est à dire les exemples concrets qui exemplifient de manière parfaite une propriété mathématique. Dans le cas où un dieu-démiurge s’inspirerait dune Idée préxistante du Cheval, comme le croient les conceptions naïves du platonisme,alors que l’universel abstrait serait l’en semble de tous les chevaux (mais un tel universel évoluerait avec le temps et l’apparition incessante de nouveaux chevaux ) un tel universel concret associé à l’Idée du Cheval serait un cheval absolument parfait en beauté en force et en vitesse et surtout représentant parfaitement ce qu’est l’essence même du cheval mais comment reconnaître ce genre de perfection ? il faudrait entrer dans l’esprit du Dieu prééxistant au démiurge qui a formé une telle Idée ou de ce qu’il est devenu en mentalité judéo-islamochrétienne, à savoir le Dieu Créateur de l’Universmais comment cela serait il possible à une créature imparfaite telle qu’une être humain ? c’est pourquoi il vaut mieux limiter les Idées au domaine mathématique créé par l’intellect humain , où l’être humain peut reconnaître un telle perfection dans l’exemplification d’une propriété mathématique et donc un universel concret …

Ellerman formalise ainsi la théorie platonicienne des Formes page 4 : à toute propriété F est associée un universel uF

Il ya aussi une relation de participation notée μ (comme μεθεξις = « participation) :
un objet x participe à l’universel est noté en langage formel ; x μ u F
en renversant les choses, etant donné une propriété Fet une relation  μ , une entité uF est dite universelle pour F (relativement à μ) si elle respecte la condition dite d’universalité :
pour tout objet x: x μ uF si et seulement si F(x) (ce qui veut dire x a la propriété F)
Cette condition d’universalité est accompagnée ,pour la définition d’un universel , de la condition d’unicité(à une équivalence près ) voir page 4 de l’article de David Ellerman , condition qui s’énonce ainsi :
Si uFet vF sont deux universels (c’est à dire satisfont à la condition d’universalité ci dessus) pour la même propriété F ils doivent être équivalents : uF ≊ vF
(une th »orie mathématique doit, pour être une théorie des universaux , posséder une relation d’équivalence ≊ et une relation de participation μ telle que ci dessus afin de pouvoir définir les deux conditions cidessus d’universalité et d’unicité à une équivalence près.
Dans la théorie des catégories comme dans la théorie des ensembles la relation d’équivalence sera l’isomorphisme qui est cependant défini plus simplement dans la théorie des catégories où un isomorphisme est défini comme un morphisme inversible c’st à dire un morphisme m muni d’un morphisme inverse i tel que , si ° est l’opération de composition des morphismes et si la flèche m va de l’objet A à l’objet B et i va de B à A:
m : A → B
i : B → A

alors : m°i = IdB : B → B (morphisme identité sur B)
et i°m = IdA : A → A (morphisme identité sur A)
Dans la théorie des ensembles les deux ensembles A et B sontdits isomorphes s’il existe une application bijective (c’est à dire à la fois injective et surjective) de A vers B c’est à dire si, dans le cas où ils ont tous deux un nombre fini d’éléments, s’ils ont le même nombre d’éléments .
voir :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection
on vérifie facilement qu’une application bijective entre deux ensembles est inversible.
Dans le cas de la théorie des ensembles la relation de participation μ est la relation d’appartenance (« elementhood ») d’un élément à l’ensemble dont il est un élément, relation notée ∈. Ce n’est pas une relation symétrique car si A ∈ B ,il n’est pas vrai en général que B ∈ A Elle n’est pas non plus transitive car si A ∈ B et si B ∈ C il n’est pas vrai en général que A ∈ C
Dans la théorie desz catégories la relation de participation μ est la relation de « factorisation unique » c’est à dire que u participe à v s’il existe un morphisme unique f allant de u vers v :

∃! f : u → v
le point d’exclamation accolé au signe logique ∃ qui signifie « il existe » veut dire l’unicité « il existe un unique morphisme f »)

voir nos articles

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/12/propriete-universelle-en-theorie-des-categories/

et

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/15/quest-ce-quune-propriete-universelle-y-a-til-une-reponse-satisfaisante/

Une limite d’un cône en théorie des catégories est l’exemple même d’un universel : la relation de participation se situe dans l’existence d’un morphisme unisque rendant commutatif un diagramme voir :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories)

« Soit C une catégorie. On considère un diagramme (en) dans C, traduit par un foncteur F : D^{\mathrm{op}} \to C1. Dans de nombreux cas, on considère D une petite catégorie, voire finie, et on parle respectivement de petit diagramme ou de diagramme fini.


Un cône (en) dans F est la donnée d’un objet N de C et d’une famille \psi_X: N \to F(X) de morphismes indicés par les objets X de D^{\mathrm{op}}, telle que pour tout morphisme f : X → Y dans D^{\mathrm{op}}, on a F(f) \circ \psi_X = \psi_Y. Une limite du diagramme F : D^{\mathrm{op}} \to C est un cône (L, \phi) dans F tel que, pour tout autre cône (N, \psi) dans F, il existe un unique morphisme médiateur u : N → L vérifiant \phi_X \circ u = \psi_X pour tout X dans D^{\mathrm{op}}. Ainsi, tout cône se factorise par la limite, de manière unique. En d’autres termes, on a le diagramme suivant : »

image

et comme nous l’avons déjà vu, des exemples classiques de limites sont le produit (qui dans le cas de la catégorie des ensembles est le produit cartésien de deux ensembles) , l’exponentiele, le « produit fibré » (en anglais « pullback ») , ou même l’objet initial (qui est limite d’un diagramme vide ) ou leurs notions duales ,en renversant le sens des flèches, appelées colimites : coproduit ou somme, coproduit fibré (en anglais « pushout ») ou objet terminal comme notion duale de celle de l’objet initial.

Voir par exemple cet article de moi qui fait le lien avec les théories de Wronski sur les « algorithmas primitifs  » (addition, multiplication exponentiation ):
https://henosophiamathesis.wordpress.com/2015/08/29/exponentielle-somme-et-produit-comme-limites-de-diagrammes-en-theorie-des-categories/

On compren mieux avec ces exemples ce que veut dire l’affirmation d’Ellerman suivant laquelle la relation de participation à un universel eest en théorie des catégories la relation de factorisation selon un morphisme unique : x participe à u, noté : x μ u si et seulement s’il existe une flèche unique de x vers u (on dite : « factorisation unique de x par u »)

∃! f : x → u
On voit bien alors qu’en théorie des catégories n’importe quel universel participe à lui même car il existe toujours un morphisme identité :
Idu : u → u
Ceci se dit : la relation de participation est réflexive ‘tout universel participe à lui même
et ce morphisme doit être unique parce que la relation de factorisation par u concerne n’importe quelle flèche partant de x vers un autre objet que u , ce qu’Ellerman ne précise pas car ce n’est pas le sujet mais que l’on voir dans les pages Wiki consacrées à la notion de limite en théorie des catégories

une flèche g : x → w se factorise par u signifie qu’elle est la composée de la flèche unique f ci dessus par une autre h allant de u vers w c’est un exemple de diagramme commutatif :

g = h°f : f : x → u suivie de h : u → w
dans le cas où x = u, f ne peut être que Idu
De même comme les morphismes se composent et que les morphismes identité sont « éléments neutres » pour cette loi de composition , on voit que la relation de participation est transitive dans le cas de la théorie des catégories : si x participe à u et u participe à w alors x participe à w (laflèche composée de deux morphismes identité reste un morphisme identité)
Dans le cas de la théorie des ensembles où la relation de participation est la relation d’appartenance ∈ , nous n’avons plus ces propriétés car cette relation n’est ni réflexive ni transitive.
Or Ellerman appelle « abstraits » les universaux qui ne peuvent participer à eux mêmes et concrets ceux qui participent à eux mêmes; on voit donc que la théorie des ensembles est celle des universaux abstraits, et la théorie des catégories celle des universaux concrets .

J’associe, ensuivant l’approche de Badiou selon lequel la théorie des ensembles est l’ontolgie la théorie des ensembles au plan ontique ou « plan d’être » ou « plan de transcendance « .
Et donc la théorie des catégories au plan d’immanence. J’ai bien insisté sur cette dualité ‘dualité de la phénoménalité dit Michel Henry ) dns la page que j’ai tirée de cet article d’Ellerman :

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

Le paradoxe de Russell a poussé les théoriciens à proscrire l’auto-appartenance pour les ensembles, c’est à dire à interdire la thèse A ∈ A pour tout ensemble A
Badiou le dit dans « l’Etre et l’évènement « dans son style célèbre et si reconnaissable :
« L’ontologie mathématicienne proscrit l’existence d’un ensemble s’appartenant à lui même, c’est à dire de l’évènement  »
L’ontologie mathématicienne c’est selon lui la théorie des ensembles ZF, axiomaisée par Zermelo-Fraenkel, et il identifie le mathème de l’ensemble appartenant à lui même à ce qu’il appelle un « évènement » ainsi soit un évènement comme la « Révolution de 1789 »,il évoque un ensemble appartenant à lui même de par l’autoréférence incessante dont font preuve les révolutionnaires dans leurs discours , où ils font sans arreêt allusion au nom « la Révolution » . On pourrait ire la même chose de l’évènement-Christ , sans cesse nommé dans les écrits chrétiens , ou bien à l’incessante autoréférence coranique qui lui attire qulques ennuis d’ordre logicien de ma part :
https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/demonstration-rigoureuse-de-limposture-du-coran/
Il existe un autre intedit formel de la mathématique, catégorique cette fois, concernant les catégories internes à une autre catégorie , notion que nous n’avons pas encore étudiée ici mais qui s’avère très importante , voir ces liens :
https://en.wikipedia.org/wiki/Internal_category
et sur le Nlab :

http://ncatlab.org/nlab/show/internal+category

ainsi que https://www.dmi.unict.it/ojs/index.php/lematematiche/article/viewFile/456/427

Je laisse à Badiou son interprétation d’un ensemnle élément de lui même comme évènement, façon subtile pour un philosophe de lémancipation de reconnaître l’existence d’un interdit tout en le contournant par un tour de passe passe langaier mais je mérite sans doute le même jugement sévère car je décèle le couple immanence/Transcendance dans la catégorie interne à une autre catégorie qui est la « catégorie ambiante » , la catégorie interne étant selon moi immanenteà l’autre qui est ainsi en position de Transcendance par rapport à elle .
Or l’interdit dont je parlais s’énonce (et se démontre) ainsi :
« Il ne peur exister une catégorie interne à elle même »
j’avais fait un article là dessus en recopiant un échange sur le mailing list des catégories :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/01/une-categorie-interne-a-elle-meme/

(en plus c’est de l’anglais et c’est présenté dans le fouillis des échanges sur un forum : si vous ne comprenez pas tout ce n’est pas grave, vous »êtes  pas « Seul(e) sur Mars » mais sachez que l’interdit tient, et qu’il est reconnu par toute la communauté mathématicienne, ce qui possède à mon avis une signification un peu plus importante que l’interdiction du blasphème contre Dieu ou les Prophètes part toute la communauté des vrais croyants .
Peut on tracer cependant un parallèle entre ces deux interdits mathématiciens que nous venons de rencontrer (ensembliste et catégorique ) et d’autres interdits célèbres et universels ?
on le peut à mon avis avec , peut être, l’interdit de l’inceste qui est absolument universel et concerne tous les peuples de toutes religions mais dont on peine à trouver l’origine comme à donner la signification ou la justification (mises à part les justifications d’ordre génétiques ou le fait que « cela nous dégoûte », donc de l’ordre du plan vital ) : ne serait ce pas que l’enfant est d’abord (avant la naissance ) »contenu » dans le ventre de la mère ou bien , comme spermatozoîde » dans l’organisme du père et que le coït avec le père ou la mère (c’est là la sorte d’inceste qui nous horrifie vraiment) serait commeune rupture du couple immanence /transcendance dans le cas d’une catégorie interne à elle même ? vous trouvez certainement que je me hasarde ici dans le « no man’s land » du grand n’importe quoi et vous avez certainement raison mais sachez que je tiens à mon interprétation de l’interdit d’une catégorie interne à elle même comme interdit de la Transcendance car elle sert mes ténébreux desseins d’identifier le « plan d’immancne de Deleuze » au plan de l’Idée ou de la mathesis brunschvicgien ou « plan spirituel » , le plan vital étant le monde comme plan de la Transcendance ce que reconnaît aussi Michel Henry : ainsi se départagent les deux types d’attitude religieuse dont parle Jean Piaget, disciple de Brunschvicg , le premier type étant celui de l’immanence et le second celui de la Transcendance et ainsi les religions du Dieu Transcendant ne seraient pas si « nobles » que clla car elles consisteraient plus ou moins à faire chuter le ciel (plan spirituel ou plan d’immanence) sur la Terre (plan vital)
le second Interdit dont on peut faire le rapprochement concerneen physique le voyage temporel, et spécifiquement celui en direction du passé, objet de grands films comme « La jetée » de Chris Marker ou bien « L’armée de douze singes » de Terry gilliam qui en est adapté.
(je refuse de considérer les « Retour vers le futur » comme de grands films)

Si vous avez lu cet article jusqu’ici, et c’est le cas puisque vous êtes en train de lire cette phrase, vous avez sans nul doute le droit, en récompense de votre héroïsme, à cette petite récréation : le film « La jetée  » de Chris Marker sur Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=zKW8kLGJYXg

Or on sait que Kurt Gödel, dont la folie des derniers temps(il s’est laisé mourir de faim car il craignait un complot consistant à empoisonner sa nourriture ) a été analysée dans un livre très intéressant « Les démons de Gödel« a rendu  folles les équations de la Relativité générale d’ Einstein en leur permettant de donner naissance, par stricte dérivation logico-mathématique, à une « closed timelike curve » (CTC) ce qui est le nom scientifique d’une voyage ver e passé ; Gödel a imaginé un dispositif un peu étrange celui d’une immense roue se mettant à tourner très vite , au moins à la moitié de la vitesse de la lumière et montré par des calculs utilisant les équations de la Relativité générale qu’un homme attaché sur la roue  ( bien attaché espérons le, d’ailleurs personne n’a pu certifier que ce  » voyageur » pourrait survivre à de telles péripéties) remonterait dans le passé et qu’il pourrait s’approcher aussi près que souhaité de lui même dans le passé ou que n’importe lequel de ses ancêtres , lui permettant ainsi, s’il avit une mentalité un peu « révolutionnaire et terroriste » de tuer son double du passé (comme William Wilson dans le conte d’Edgar Poe) ou bien de tuer son papa , ou son grand père, ou bien sûr sa mère ou sa grand mère avec tous les effets paradoxaux que cela entraînerair pour sa propre existence(peut il exister alorsque ses parents sont morts avant d’avoir pu lui donner naissance ?) .
Des théoriciens aussi prestigieux que Hawking ont réfléchi sur ces paradoxes logiques du voyage dans le temps et pensé à une sorte de « conspiration cosmique » : le voageur temporel pourrait certes s’approcher de son père dnas le passé mais au moment de passer à l’acte contre le vénéravle papa des cinrconstances surviendraient qui lui interdiraient de le tuer ou même de le blesser ou d’influer sur sa ligne spatiotemporell : l’arme s’enrayerait comme par hasard, ou bien une tuile tomberait sur le voyageur,comme par hasard, l’empêchant de commettre son terrible acte terroriste, etc..etc..il me semble que Hawking appelle cela « cosmic censorship »
A la fin de « La jetée » ou de « L’armée des douze singes » qui en est tiré on assiste à un tel dispositif d’interdit mais réalis »é parun mystérieuse « Brigade du Temps  » ou bien dans le film de Gilliam par les homme du futur qui ont envoyé Bruce Gillis dans le passé d’avant la catastrophe écologique et technoscientifique qui a exterminé presque toute l’humanité en 1997, mais lui entend rester dans ce passé de son enfance où l’on respire du si bon air (il y a aussi un femme là dessous, bien sûr, comme dans le film de Chris Marker, plan vital quand tu nous tiens !)et les hommes de l’avenir ne veulent pas qu’il se sépare ainsi de son (leur)temps …
bref j’ai un peu dérivé par rapport à cet admirable David Ellerman mais je tiens à dire que nous reviendrons encore un fois (au moins) sur cet article formidable car Ellerman y aborde l’adjonction à la fin à parit de la pge 14 ansi que sur l’inférence logique chère à Kurt Gödel page 12 ….